x 1 x 2 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.4

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1 Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. y 5 y Esrcizio no. Soluzion a pag.6 Esrcizio no. Soluzion a pag.8 y / Esrcizio no.5 Soluzion a pag. Esrcizio no.6 Soluzion a pag. y atg ln y Esrcizio no.7 Soluzion a pag. Esrcizio no.8 Soluzion a pag.6 y y y ln( ) Esrcizio no.9 Soluzion a pag.8 Esrcizio no. Soluzion a pag. sin y sin sin y sin

2 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar è: y 5 Notiamo com la funzion possa ssr riscritta com: y ( ) C.E. qusto pr rispttar l condizioni. Si tratta di una funzion pari con y(-)y() d è dunqu possibil studiarla nll intrvallo. La condizion y è impossibil non vi sono intrszioni con l ass dll, mntr quando y. Il sgno dlla funzion si ottin risolvndo la disquazion: ( ) > L condizioni agli strmi sono l sgunti: ( ) ( ) y è possibil tracciar un grafico prinar.

3 Edutcnica.it Studio di funzioni l rtt / d appaiono com asintoti vrticali mntr l ass è asintoto orizzontal pr. 6 y' ( 5 ) ( 8 5 ) ( 5 ) y' ( 8 5 )y ovviamnt si ha y > pr (8-5)<. Si prsnta un massimo in 5 con 5 6 y, 9 7 notiamo ch ± y' la curva arriva in (,) con tangnt orizzontal

4 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar è y Pr l sistnza dv ssr - cioè -. Poi dv ssr - cioè ±. s n conclud C.E. (- - -] [ ) Si tratta di una funzion pari ch soddisfa la condizion y(-)y() simmtrica dunqu risptto l ass dll ordinat d è possibil dunqu studiarla nl smipiano dstro pr [ ). L ass y non può mai ssr intrscato dalla curva prché CE. S poniamo y avrmo ± l ass dll vin incrociato dalla curva nl punto P(,). dato ch smpr il sgno dlla funzion è condizionato dal dnominator -> <- >. L condizioni agli strmi sono pr la funzion è positiva. il numrator è un infinito di ordin infrior risptto il dnominator Si dduc il grafico prinar prtinnt al smipiano dstro.

5 Edutcnica.it Studio di funzioni 5 y' ( ( ( ( dato ch: ) ) ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) > smpr ( -) > smpr cctto ch pr. > smpr ) y > pr < quindi pr > la funzion dcrscnt. y' ( ( ) ) cioè in tal punto la tangnt alla curva è vrtical. Il diagramma complto è qui riportato. Si nota com dbba ncssariamnt ssrci un flsso pr <<. 5

6 Edutcnica.it Studio di funzioni 6 6 Esrcizio no.:soluzion La funzion da studiar è: y bisogna considrar ch : > < s y s y s y y la funzion non risulta, dunqu, dfinita in ±. C.E. (- - ). I) < y > è vrificata pr -<< notiamo ch la condizion y non si ha mai, non si hanno dunqu intrszioni con l ass dll asciss inoltr I) > y > è vrificata solo pr << anch qui la condizion y non si vrifica mai non vi sono intrszioni con l ass. Si può dunqu tracciar un prinar grafico.

7 Edutcnica.it Studio di funzioni 7 d d pr < y' mntr pr > y' d ( ) d ( ) ( ) la prima non è dfinita in - d è smpr ngativa, quindi la funzion è dcrscnt, la sconda non è dfinita in d è smpr positiva quindi la funzion è crscnt. Attnzion ( ) pr < y'' mntr pr > ( ) quindi la funzion arriva in prossimità di con tangnt orizzontal. y'' si ricavano i sgni: ( ) pr <- pr > la concavità è rivolta vrso il basso pr -<< vrso l alto. ( ) ( ) non ci sono asintoti obliqui. 7

8 Edutcnica.it Studio di funzioni 8 Esrcizio no.:soluzion / La funzion è: y Dato ch si ha / dv ssr C.E.:( ) quando y ma qusta soluzion non è accttabil dato ch CE; si dduc ch la curva non intrsca gli assi coordinati. Pr il sgno dlla funzion, dato ch / > si ha y> pr >. Valutiamo ora l condizioni agli strmi dl campo. y / H y / prché / tnd a più vlocmnt di /. / / y y L ass dll y è asintoto vrtical dlla funzion pr. Il punto di scissa è di discontinuità dl II ordin. Calcoliamo l drivat y' / ( ) / ( ) y 6 y'' y' y y y ( ) 9 9 ( ) 6 y y ( 9 ) studiando la y notiamo com > quindi : y > pr y(-)> Il punto di ascissa è di minimo con y() invc il punto di ascissa non è di massimo prché in tal punto la funzion non è dfinita. 8

9 Edutcnica.it Studio di funzioni 9 H y' 5 ( ) / / H / 9 / / 5 / / pr cui pr da sinistra la curva assum un orintamnto orizzontal. Studiando la y si ha: y > pr y( --9)< qusto prché il trinomio è positivo pr < a pr > b a b sono du punti di flsso. S crchiamo un vntual asintoto obliquo di quazion ymq avrmo ± y' la curva non ha asintoti obliqui. 9

10 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.5:soluzion Studiamo la funzion y atg Pr il campo di sistnza dv ssr non vi sono itazioni C.E. (- ) Pr l vntuali intrszioni con gli assi avrmo: y O(, ) y atg qusta ultima quazion può ssr risolta sclusivamnt pr via grafica. oltr all origin dov già prso in considrazion si ottrrbbro: a, b-,. Smpr basandosi sul grafico prcdnt si ottin il sgno dlla funzion considrando l condizioni agli strmi dl campo: y y Calcoliamo l drivat: y' y'' ( ) Studiando la y si ottin:

11 Edutcnica.it Studio di funzioni y' > > < < cioè: < < quindi graficamnt la funzion sarà crscnt dcrscnt ni tratti sgunti: i punti di ascissa - sono rispttivamnt punti di minimo massimo. y( π ) min y() π ma studiando la y ottrrmo: y '' > < quindi l origin è un flsso obliquo con y ' ( ) pr gli vntuali asintoti obliqui avrmo: ymq m m y' q ( y m ) π atg y' q ( y atg m ) π Dunqu l rtt pr. π y π y sono asintoti obliqui rispttivamnt pr -

12 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.6:soluzion ln La funzion da studiar: y Pr il campo di sistnza dv ssr >: C.E. ( ). Dato ch y ln ln ln ln ln ( ) possiamo studiar la funzion: poi pr il sgno dlla funzion ci chidiamo y > ln ln > > > ln > ln L condizioni agli strmi dl campo sono: y y Si può ddurr un primo andamnto approssimativo Calcolo l drivat prima sconda: ln y' ln ln ( y ) ( y ) y'' ( ln ln )ln Studiando la y notrmo y > smpr, trann ch pr ln. La funzion è smpr crscnt, inoltr notiamo y (). Il punto di ascissa è di flsso orizzontal dato ch y (). Il comportamnto dlla drivata prima pr è:

13 Edutcnica.it Studio di funzioni y' ( ) ln ln ln dopo avr posto ln ; prosguiamo ora sostitundo tln: t t t t t t Qusto applicando l Hospital oppur confrontando gli infiniti. Considrando la drivata sconda: y > s ( ln ln )ln > qust ultima può ssr ultriormnt rimanggiata. (ln - ln ) ln - ln ln ln(ln - ) (ln ) (ln )(ln - ln ) lo studio dl sgno dlla y si riduc, dunqu allo studio dlla forma: (ln )(ln - ln )ln > il trinomio di II grado ha < quindi basta considrar (ln )ln > ln < ln > qusta condizion quival a < > Qusti ultimi du valori costituiscono punti di flsso. La ricrca di un vntual asintoto obliquo di quazion ymq richid la vrifica: y' non vi sono dunqu asintoti obliqui. In bas all considrazioni sopra spost possiamo tracciar il sgunt grafico:

14 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.7:soluzion La funzion in qustion è: y pr il campo di sistnza dovrà ssr - : C.E. (- ). Pr l vntuali intrszioni con gli assi notiamo: y non vi sono intrszioni con l ass y. Poi valutiamo il sgno dlla funzion: > > > > ln > ln > > ln ln ln s > qusta ultima condizion è smpr vrificata, s < dv ssr vrificata la ln ln < la funzion intrsca l ass nl punto P, ln ln L condizioni agli strmi dl campo sono: y y y y il grafico rapprsntativo i sttori dov è collocata la curva:

15 Edutcnica.it Studio di funzioni 5 gli asintoti orizzontali y d y non intrscano la curva; la rtta è asintoto vrtical. L drivat sono: y' ( ) ln ( ) ln ( ) ln y'' ( ) ln ( ) Ossrvando il comportamnto dlla y : y > mai! (la curva è smpr dcrscnt). Mntr y > -> > >. Dato ch il punto non appartin al C.E. la curva non prsnta flssi. 5

16 Edutcnica.it Studio di funzioni 6 Esrcizio no.8:soluzion y ln( ) Pr la ricrca dl campo di sistnza si ha -> ch è vrificato pr <- >. C.E. (- - ). In consgunza di ciò la curva non intrsca l ass dll ordinat. Ponndo y vrifichiamo vntuali intrszioni con l ass dll asciss. ln ln( ) ln ln( ) si procd pr via grafica L unico punto di intrszion pr l du curv si ha pr a<-. Altr intrszioni non v n sono prché la curva sponnzial tnd a più rapidamnt dlla parabola. Pr il sgno dlla funzion bastrà considrar ch y> quando >a. L condizioni agli strmi dl campo sono: y y y pr il confronto fra infiniti. y poi avrmo: 6

17 Edutcnica.it Studio di funzioni 7 y' y'' ( La drivata sconda è smpr positiva, mntr pr la drivata prima avrmo: ) y' > > < > Pr si ha un minimo di ordinata y ( ). Pr gli vntuali asintoti obliqui di quazion ymq si ha: m ± y' q ( y m ) ± La curva di funzion non ha asintoti obliqui. 7

18 Edutcnica.it Studio di funzioni 8 Esrcizio no.9:soluzion sin y sin π Dv ssr sin quindi kπ ( k N ) con k numro natural, π ottniamo : C.E. (- kπ ). La funzion è priodica con priodo π, possiamo studiarla smplicmnt nll intrvallo [ π π]. L vntuali intrszioni con gli assi si hanno pr y il punto P, è intrszion con l ass dll ordinat. considrando l strmo dl campo π notrmo la stssa ordinata T π,. sin sin Poi poniamo y p π sin sin X π, è intrszion con l ass dll ordinat. Lo studio dl sgno dlla funzion prvd: sin sin y > p > > dato ch sin sin sin la disquazion non è mai vrificata, la funzion è smpr ngativa. L condizioni agli strmi dl campo sono: π / y π / y il punto π è di discontinuità di III a spci. Calcolo dll drivat cos y' (sin ) sin cos p ( y ) sin (sin ) 8

19 Edutcnica.it Studio di funzioni 9 y '' cos y' (sin ) sin (sin ) cos ( y ) (sin ) (sin ) cos ( y ) (sin ) ( y ) (sin ) (sin )(sin sin cos ( y ) (sin ) ) { (sin ) (sin )(sin sin sin ) } ( y ) (sin ) {(sin )( sin sin sin ) } ( y ) (sin ) (sin sin ) sin ( y ) y'' (sin ) (sin ) Studiando la y si ha: y' > cos ( y ) (sin ) > sin dato ch y p (sin ) sono smpr positivi il sgno è dtrminato da sin cos>; sappiamo ch cos< pr π/<<π/. Qusto è il sgno dlla y nll intrvallo studiato. abbiamo un massimo in π π, il punto di ascissa non è di minimo prché in tal punto la funzion non è dfinita. In qusto strmo, applicando qualch piccolo artificio π / ± y' ± cos y' (sin ) sin cos p sin (sin ) (sin ) (sin ) sin p sin (sin ) y' cos sin p sin 9

20 Edutcnica.it Studio di funzioni dato ch (sin) tnd a, applicando più volt l Hopital al trmin rimannt: ± y' π / ± π La curva ha tangnt orizzontal in prossimità di mntr il suo valor tnd ad y-. sin ( y ) Pr la y si ha: y'' > (sin ) > (sin ) dato ch (y)> smpr (sin)> smpr mntr -(sin-)> smpr. La drivata sconda è positiva pr π<< (non è dfinita in π/). il punto π è di flsso si ha y( π )

21 Edutcnica.it Studio di funzioni Esrcizio no.:soluzion sin y sin Soluzion π 5 Pr il campo di sistnza dv ssr sin π 6 6 π 5 C.E.: kπ π kπ ovviamnt dato ch la funzion è priodica 6 6 π con priodo π bastrà studiarla in tal intrvallo con. 6 L vntuali intrszioni con gli assi si hanno pr y qusto si vrifica anch pr π. Abbiamo i du punti: P, T π,. 7 y sin π qusto anch pr π abbiamo i du punti H π, K π,. 6 6 Pr il sgno dlla funzion π 5 7 y > pr sin < sin > < < π π < < π Pr l condizioni agli strmi ossrviamo ch: π 6 π 6 5 π si ha 6 5 π si ha 6 sin sin basta dunqu calcolar solo i sgunti iti sin y sin y abbiamo modo di far un grafico prinar.

22 Edutcnica.it Studio di funzioni sin cos y' p sin ( sin ) cos ( y ) ( sin ) ( y ) y'' ( sin ) ( sin sin 9 )sin sin Ossrvando y notiamo ch p > sin quindi concludiamo y > pr cos< smpr, ssndo una funzion sponnzial i punti di ascissa π π sono rispttivamnt di minimo di massimo. π y min, π y π ma, π inoltr y' ( ) y' ( π ) Pr 6 π pr 5π si ha sin 6 sin mntr cos cos rispttivamnt,

23 Edutcnica.it Studio di funzioni poi notiamo ch pr sin cos y' mntr pr sin cos y'. Pr la y > dv ssr sin ( sin sin 9 ) < in qusta il trinomio è smpr ngativo dato ch sin. Quindi y > è vrificata pr <<π. il punto π è di flsso y(π)/- mntr y (π)/.

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