Esercizi di riepilogo

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1 Esercizi di riepilogo

2 Es1: Scommesse al casinò Tizio e Caio si alternano al tavolo di un casinò. Tizio gioca negli istanti di tempo dispari, mentre Caio in quelli pari Ad ogni istante di tempo, il guadagno netto in una giocata è una v.a. con ddp Si assuma che tutte le siano indipendenti. L evento è considerato una perdita.

3 Es1: Scommesse al casinò a) Tizio e Caio giocano finché una sconfitta di Caio segue ad una sconfitta di Tizio. Trovare la ddp del numero di turni giocati. (Un turno è composto da una giocata di Tizio seguita da una di Caio) b) Trovare la ddp di Z, istante di tempo in cui Caio ha la terza sconfitta c) Sia N il numero dei turni finché Tizio e Caio vincono almeno una volta ciascuno. Trovare E[N].

4 Es2: Somma di un numero Geometrico di v.a. Geometriche Sia dove le v.a. sono Geom(p), e Tutte le v.a. e sono indipendenti Mostrare che Suggerimento: interpretare le di Bernoulli è Geometrica con parametro in termini di uno split di un processo

5 Es3: Ponte ferroviario Un ponte ferroviario è costruito sul Po I treni passano sul ponte secondo un processo di Poisson con tasso di treni al giorno a) Se un treno arriva al giorno 0, trovare la prob. che non ci saranno treni nei giorni 1, 2 e 3 b) Trovare la prob. che il treno successivo al treno nel giorno 0 impieghi più di 3 giorni per arrivare c) Trovare la prob. che nessun treno arrivi nei primi 2 giorni, e che arrivino 4 treni nel quarto giorno d) Trovare la prob. che il quinto treno impieghi più di 2 giorni per arrivare al ponte

6 Es4: Buffer Messaggi di tipo A, B e C arrivano in un buffer comune. Ogni tipo di messaggio viene generato secondo un processo di Poisson con rate messaggi per minuto, rispettivamente. Si assuma che il buffer venga immediatamente svuotato quando contiene un totale di 10 messaggi a) Qual è la prob. che, dei primi 10 messaggi arrivati nel buffer, solo il primo e un qualsiasi altro messaggio siano di tipo A. b) Qual è la prob. che, durante uno scaricamento, il buffer contenga 5 volte tanti messaggi di tipo A quanti quelli di tipo B c) Determinare la prob. che esattamente 2 messaggi di ogni tipo arrivino al buffer durante un intervallo di 5 minuti

7 Es5: clienti di un negozio Un negozio apre al tempo t=0 e i potenziali clienti arrivano come in un processo di Poisson ad un ritmo di all ora. Indipendentemente da tutto il resto, un potenziale cliente diventa un acquirente con prob. Il negozio chiude appena vede 10 clienti acquirenti a) Qual è la prob. che esattamente 3 dei primi 5 potenziali clienti diventino acquirenti? b) Qual è la prob. che il quinto potenziale cliente arrivato diventi il terzo acquirente della giornata? c) Qual è la ddp e il valore atteso di L, la durata dell intervallo di tempo in cui il negozio sta aperto?

8 Es5: clienti di un negozio d) Dato che esattamente 3 dei primi 5 potenziali clienti diventino acquirenti, qual è il valore atteso condizionato del tempo totale in cui il negozio è aperto? e) Considerando solo clienti che arrivano dal tempo t=0 alla chiusura del negozio, qual è la prob. che nessun acquirente arrivi entro unità di tempo dal precedente acquirente?

9 Es6: Arrivi di Poisson in un tempo Esponenziale Si consideri un processo di Poisson con tasso indipendente e una v.a. Trovare la ddp del numero di arrivi di Poisson durante l intervallo di tempo

10 Es7: Pizzeria Una pizzeria serve n tipi diversi di pizza, ed è visitata da un numero aleatorio K di clienti in un dato periodo di tempo, dove K è distribuito come Poisson con media Ogni cliente ordina una pizza, scegliendo uno degli n tipi di pizza in maniera equiprobabile, indipendentemente dagli altri utenti. Trovare il valore atteso del numero di pizze diverse ordinate

11 Es8: Processo stazionario [Bel, Es 3.1, Es 3.2] Se il processo X è stazionario, i seguenti processi sono stazionari? a) Processo Y dove con b) Processo Z dove con

12 Es9: Trasformazione di un processo X è un processo casuale con valore medio nullo e autocorrelazione Si calcoli il valore medio del processo Y, dove

13 Es10: Arrivi Markoviani I tempi di interarrivo tra due clienti successivi sono delle v.a. indipendenti e identicamente distribuite con la seguente ddp Si costruisca un modello Markoviano con 4 stati che descriva il processo degli arrivi Suggerimento: in questo modello, uno degli stati dovrebbe rappresentare gli istanti di tempo in cui i clienti arrivano

14 Es11: Evoluzione di una catena di Markov La catena di Markov mostrata sotto inizia nello stato 3 prima della prima prova a) Indicare quali stati sono ricorrenti, transienti e periodici b) Qual è la prob. che il processo sia nello stato 3 dopo n prove? c) Trovare il numero atteso di prove necessarie per lasciare lo stato 3 (inclusa la prova fatta per uscire dallo stato 3) d) Qual è la prob. che il processo non entri mai nello stato 1?

15 Es11: Evoluzione di una catena di Markov e) Qual è la prob. che il processo sia nello stato 4 dopo 10 prove? f) Dato che il processo è nello stato 4 dopo 10 prove, trovare la prob. che il processo sia stato nello stato 4 dopo la prima prova.

16 Es12: Stima LMS Due v.a. continue X e Y hanno una ddp congiunta y 2 1 Si vuole stimare Y basandosi sull osservaz. di X a) Trovare la stima LMS di Y: b) Calcolare l errore quadratico medio condizionato c) Calcolare l errore quadratico medio. Coincide con x d) Trovare, lo stimatore lineare LMS di Y basato su X. e) Cosa ci si aspetta dal MSE di L(X) rispetto al MSE di g(x)?

17 Es13: stima di canale Si consideri un canale di comunicazione sul quale si trasmettono bit 0 o 1. Il canale inverte il bit con prob. p, indipendentemente dagli altri bit. Il valore di p è ignoto. Si vuole stimare il valore di p con l aiuto di un amico: usando il canale, si trasmettono all amico sequenze di 3 bit note ad entrambi. L amico, una volta ricevuta la sequenza, dirà quanti bit di questi sono stati invertiti dal canale. Sia X il numero di bit invertiti nella sequenza di 3 bit a) Trovare la ddp di X b) Si derivi lo stimatore ML per p basato su, il numero di bit invertiti nelle prime n sequenze di 3 bit c) Lo stimatore ML è polarizzato?

18 Es13: stima di canale d) Lo stimatore ML è consistente? e) Si mandano n = 100 sequenze di 3 bit e si trova che il numero totale di bit invertiti dal canale è 20. Si costruisca un intervallo fiduciario al 95% per p. Se necessario, si può usare un valore conservativo sulla varianza del numero di bit invertiti f) Quali sono altri metodi per stimare la varianza del numero di bit invertiti? Come ci si aspetta che cambi l intervallo fiduciario in questi casi?

19 Es14: Arrivi di un autobus Il numero di minuti tra gli arrivi di autobus ad una fermata è una v.a. Esponenziale di parametro. Mario ritiene che la ddp a priori di sia a) Lunedì Mario arriva alla fermata e osserva un ritardo di 30 minuti. Qual è la ddp a posteriori, la stima MAP, e la stima a valor atteso condizionato di? b) Mario decide di ottenere una stima migliore: osserva i ritardi per 5 giorni, e ottiene i valori 30, 25, 15, 40 e 20 minuti. Si assume che queste osservazioni siano indip. Rispondere alle stesse domande di a)

20 Es15: Lanci di moneta La probabilità di ottenere testa, ddp, è distribuita in [0, 1] secondo la Trovare la stima MAP di assumendo che n lanci di moneta indipendenti abbiano dato k teste.

21 Es16: Stima del parametro di una Poisson Derivare lo stimatore ML del parametro di una v.a. di Poisson basato sulle osservazioni Lo stimatore è non polarizzato e consistente?

22 Es17: Stima del parametro di una v.a. Uniforme Siano date delle osservazioni uniformemente distribuite nell intervallo. Qual è la stima ML di? Lo stimatore è non polarizzato o asintoticamente non polarizzato? Si possono derivare stimatori alternativi che sono non polarizzati?

23 Es18: Test binario di ipotesi Una v.a. X è caratterizzata da una ddp Gaussiana con media varianza che è o pari a (ipotesi nulla ) oppure pari a (ipotesi alternativa ) Si vuole testare contro usando 3 osservazioni e regione di rifiuto pari a e per un qualche numero Determinare tale che la probabilità di falso rifiuto sia Qual è la corrispondente probabilità di falsa accettazione?

24 Es19: Rivendita di biglietti Il numero di chiamate telefoniche ricevute quotidianamente da una agenzia di rivendita di biglietti è distribuito come Poisson. In un giorno tipico, il valore atteso del numero di chiamate è. Quando ci sono eventi importanti, il valore atteso è, con Si descriva il likelihood ratio test per decidere se in città è presente un evento importante, basandosi sul numero di chiamate ricevute Assumendo un dato valore per la probabilità di falso rifiuto, si trovi l espressione per la soglia critica