author: Ing. Giulio De Meo NUMERI

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1 NUMERI Un numero è una entità astratta usata per descrivere una quantità. I numeri sono generalmente descritti tramite delle cifre, secondo un sistema di numerazione, e possono essere manipolati tramite le quattro operazioni fondamentali: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'algebra elementare. Distinguiamo gli insiemi dei numeri: N = Naturali : { 0, 1, 2, 3... } - Infinito e totalmente ordinato. Z = Interi Relativi : {,-2, -1, 0,1,2,..} naturali con lo zero ed i segni (positivi e negativi) Q = Razionali: { 0, ½, 1, 3/2,...} numeri frazionari dati dal rapporto tra 2 numeri interi. R = Reali: R = ], + [ = {... 2,..., ½.., 0,...½,..1,... 2,...2,...} numeri interi, razionali ed irrazionali (numeri sotto radice). C = Complessi: numeri contenenti l unità immaginaria i = (-1). numero primo: numero naturale maggiore di 1 divisibile solamente per se stesso e per uno. Detto in altro modo, deve avere esattamente due divisori interi positivi distinti: 1 e se stesso. Al contrario, un numero maggiore di 1 che ha più di due divisori è detto composto. La successione dei numeri primi inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. numero perfetto: numero uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso sé stesso. es. il numero 6 è un numero perfetto, 6 = cosi come il 28 = Numero triangolare: numero naturale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come in figura. L n-esimo numero triangolare T n si può determinare dalla formula di Gauss numero decimale Periodico: numero formato da una parte intera seguita da infinite cifre decimali (periodo) che, da un certo punto in poi, si ripetono a gruppi dello stesso ordine. Se il periodo inizia subito dopo la virgola è detto semplice, altrimenti è detto misto. Un numero decimale periodico si può scrivere in forma frazionaria (frazione generatrice) seguendo 2 regole: 1) Se è periodico semplice: numeratore = (cifre del numero senza la virgola) (cifre decimali) ; denominatore = (numero di 9 pari al numero di cifre del periodo) 2) Se è periodico misto: numeratore = (cifre del numero senza la virgola) (parte non periodica) ; denominatore = (numero di 9 pari al numero di cifre del periodo en numero di 0 pari alle cifre dell antiperiodo). 2

2 La Prova del Nove Scopo della Prova del Nove è verificare il risultato di una moltiplicazione o divisione. Se i due numeri in basso coincidono il risultato dell operazione è corretto. esempio nel caso di Moltiplicazioni: Somma cifre 1 numero Somma cifre 2 numero = 1+1 = = 1+6 = 7 Somma cifre prodotto Somma cifre risultato 2x7 = 1+4 = = 2+3 = 5 dei 2 numeri in alto ipotetico 812 x 457 = esempio nel caso di Divisioni senza Resto: Somma cifre 2 numero Somma cifre prodotto dei 2 numeri in alto Somma cifre risultato Somma cifre 1 numero = =1+3= : 8x4=3+2= =2+3= = 832 esempio nel caso di Divisioni con Resto: : 581 = 258 con resto 2 Somma cifre 2 numero Somma cifre prodotto dei 2 numeri in alto + somma cifre resto Somma cifre risultato Somma cifre 1 numero = = 6 5x6 = = 32 = = 5 Terne Pitagoriche Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a 2 + b 2 = c 2 si dice che formano una terna pitagorica. Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche (soddisfano il teorema di Pitagora) Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5). Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate. Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc), con k numero intero positivo. Se a e b sono primi fra loro allora la terna è primitiva, altrimenti è derivata. 3

3 PROPOSIZIONI In una proporzione A : B = C : D i termini A e C si chiamano antecedenti, i termini B e D conseguenti; A e D si dicono estremi, B e C medi. Proprietà FONDAMENTALE: A : B = C : D segue A x D = B x C dell' INVERTIRE A : B = C : D segue B : A = D : C del PERMUTARE i medi A : B = C : D segue A : C = B : D del PERMUTARE gli estremi A : B = C : D segue D : B = C : A del COMPORRE A : B = C : D segue (A + B) : B = (C + D) : D oppure (A + B) : A = (C + D) : C dello SCOMPORRE A : B = C : D segue (A - B) : B = (C - D) : D (con A>B) oppure (A - B) : A = (C - D) : C del COMPORRE e dello SCOMPORRE A : B = C : D segue (A + B) : (A - B) = (C + D) : (C - D) (con A>B) Risoluzione di particolari Sistemi elementari: x + y = A x = B y -> x : y = B : 1 --> (x+y) : x = (B+1) : B -> A : x = (B+1) :B y = A - x x = ( A B ) / ( B+1) ; x 2 + y 2 = A x = B y -> x 2 : y 2 = B 2 : 1 --> (x 2 +y 2 ) : x 2 = (B 2 +1) : B 2 -> A : x 2 = (B 2 +1) :B 2 x = [ ( A B 2 ) / ( B 2 +1) ] ; y = x / B ; 4

4 IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA Il triangolo di Tartaglia é costituito da una semplice collocazione di numeri naturali a livelli: disponendo di esso fino al livello n é possibile calcolare al massimo l'ennesima potenza di un binomio.. Ogni Riga inizia e termina con 1, mentre i numeri intermedi sono la somma di due interi posti alla sua destra e sinistra del livello soprastante, come indicato dai segmenti rossi. I numeri di ogni livello determinano i coefficienti binomiali dello sviluppo del binomio di Newton: Es: (a+b) 5 = a a 4 b + 10 a 3 b a 2 b a b 4 + b 5 Calcolo della Radice Quadrata con metodo babilonese ( metodo di Erone) Il metodo è anche noto come quadratura del rettangolo poiché si considera il numero di cui si vuole determinare la radice quadrata, come Area di un rettangolo che iterativamente si trasforma in un quadrato equivalente il cui lato è la radice cercata. Il lato del rettangolo successivo è la semisomma dei lati del precedente. Il processo termina quando base e altezza saranno uguali. Es. Determiniamo la radice quadrata di 8: 8 = 2,828 Scelgo un rettangolo di area 8: lati 4 e 2: b 1 = (4+2)/2 = 3 ; b 2 = (2,66+3)/2 = 2,833 ; b 3 = (2,833+3,4286)/2 = 3,13 ; b 4 = (2,55+3,13)/2 = 2,84 ; h 1 = 8/3 = 2,66 ; h 2 = 8/2,33 = 3,4286; h 3 = 8/3,13 = 2,55; h 4 = 8/2,84 = 2,816; b 5 = (2,84+2,816)/2 = 2,828; h 5 = 8/2,828 = 2,828; MONOMI E POLINOMI monomio: espressione algebrica formata dal prodotti di numeri o lettere di qualsiasi grado. M.C.D.: il massimo comune divisore tra più monomi è il monomio formato da numero e lettera di grado minimo comuni a tutti; se tra i monomi non ci sono termini in comune, il MCD = ± 1. m.c.m. : il minimo comune multiplo tra più monomi, è il monomio formato da lettere e numeri primi presi con esponente massimo, comuni e non comuni a tutti i monomi. polinomio: somma algebrica di due o più monomi. Il grado del polinomio rispetto ad una sua lettera, è l esponente massimo con cui compare la lettera nel polinomio. Il grado del polinomio è il maggiore esponente di una delle sue lettere. 5

5 PRODOTTI NOTEVOLI Differenza di quadrati: (a 2 b 2 ) = (a b) ( a + b) Quadrato di un binomio: (a + b) 2 = a ab + b 2 ; (a b) 2 = a 2 2 ab + b Quadrato di un trinomio: (a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc (a + b c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab 2ac 2bc Cubo di un binomio: (a + b) 3 = a a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3 a 2 b + 3 a b 2 b 3 Differenza di cubi: a 3 b 3 = (a b ) ( a 2 + a b + b 2 ) Somma di cubi: a 3 + b 3 = (a + b ) ( a 2 a b + b 2 ) Se 2 a Radicali doppi b è un quadrato perfetto allora: 2 2 a + a b a a b a ± b = ± 2 2 Formula inversa: x ± y = x + y ± 4xy = a ± b Proprietà delle Potenze = = ; =1 = ; = = = Proprietà dei Radicali Proprietà dei logaritmi Log 1 = 0 ; log 0 = - log = ln =. ; log = ; = = = con z = m.c.m. (n,m) ; log ( a b ) = log (a) + log (b) log a = log (a) log (b) b log (a) n = n log (a) log a N log b N = log a b 6

6 SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado minore. Fattorizzazione totale o raccoglimento a fattori comuni: k a + k b + k c = k ( a + b + c ) si prende il MCD tra i monomi che formano il polinomio e lo si mette in evidenza: Fattorizzazione parziale o raccoglimenti successivi a fattori comuni: a x + a y + b x + b y = a ( x + y) + b ( x + y ) = ( x + y ) ( a + b) oppure a x + a y + b x + b y = x ( a + b) + y ( a + b ) = ( x + y ) ( a + b) Somposizione di un particolare trinomio di secondo grado : x 2 s x + p x 2 ( a + b ) x + ( a b ) = ( x - a ) ( x - b ) p = somma dei due numeri ; q = prodotto degli stessi numeri a b. es. x 2 5 x + 6 = ( x 3 ) ( x 2 ); quindi a = 2 ; b = 3 ; se il trinomio è del tipo a x 2 + b x + c, con coefficiente di x 2 diverso da 1, bisogna dividerlo per a : a x 2 + b x + c = x 2 + ( b/a) x + c/a ; e se possibile, trovare due numeri ( n, m ) tali che n + m = - b/a ; n m = c/a; se esistono, allora il polinomio si scrive: a x 2 + b x + c = a ( x n ) ( x m ) Un secondo metodo evita di dividere tutto per il coefficiente a: si cercano due numeri (n,m) tali che n + m = b ; n m = a c ; trovati i numeri si scompone ( b x = n x + m x ) e si fattorizza. es. 4 x 2 11 x + 7 ; somma = 11; prodotto = (4 7) = 28 ; i numeri sono n = 4 ; m = 7; 4 x 2 11 x + 7 = 4 x 2 4 x 7 x + 7 = 4 x ( x 1 ) 7 ( x 1 ) = ( x 1 ) ( 4 x 7 ) 7

7 Scomposizione mediante la REGOLA DI RUFFINI Teorema di Ruffini: un polinomio P(x) è divisibile esattamente per il binomio ( x c ) se e solo se il resto R della divisione è nullo, cioè R = P(c) = 0. Regola di Ruffini: tra i divisori del termine noto del polinomio, si cercano quelli che lo annullano (gli zeri del polinomio), cioè tali che P(c)=0. Quindi si applica la regola: esempio: P(x) = x x x 15 ; i divisori del termine noto 15 sono : ±1, ±3, ±5, ±15 P( 5) = ( 5) ( 5) ( 5) 15 = = x x x 15 = ( x + 5 ) ( x 2 +2x 3 ) = = ( x + 5 ) ( x 1 ) ( x + 3) EQUAZIONI DI SECONDO GRADO AD UNA INCOGNITA Equazione: a x 2 + b x + c = 0 ; discriminante: = b 2 4 a c ; Se > 0 : soluzioni reali e distinte b ± x 1 = X 2 = 2a Se = 0 : soluzioni reali coincidenti x 1 = X 2 = b 2a Se <0 : nessuna soluzione reale, S=Ǿ. b ± 2 Nel caso in cui b è pari, si usa la formula ridotta: x = Proprietà utili per risolvere equazioni parametriche: 1) soluzioni opposte: x 1 = X 2 ; bisogna imporre che il coefficiente di x, b=0; 2) soluzioni reciproche: x 1 = ( 1 / x 2 ); bisogna imporre che c = a; 3) una soluzione sia nulla: essendo il loro prodotto=0 deve essere c = 0; 4) una soluzione pari ad un numero n : si sostituisce alle x dell equazione il numero n 5) somma dei quadrati delle soluzioni pari al numero n : x x 2 2 = n ; dalla proprietà del quadrato di un binomio b 2 a 2 ac x x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 2 x 1 x 2 = n ; quindi si pone b c n = 2 a a 6) somma delle soluzioni uguale ad un numero: x 1 + x 2 = n; si pone (-b/a) = n; 7) prodotto delle soluzioni uguale ad un numero: x 1 x 2 = n si pone (c/a) = n; 2 Equazione Pura: ax 2 +c =0 se c<0 ammette 2 soluzioni x = ± (-c/a) ; Equazione Spuria: ax 2 +bx =0 -> x ( ax+b) = 0; soluzioni: x=0 e x = (-b/a); Equazione Monomia: ax 2 =0 due soluzioni nulle: x 1 = 0 ; x 2 = 0 ; 8

8 Equazioni con Valore Assoluto f (x) = n -> si risolvono 2 equazioni distinte: f(x) = n ; f(x) = n; Esempio 1: 2x+1 = 5 ; si risolvono le 2 eq. 2x+1 = 5 -> x = 2 ; 2x+1 = -5 -> x = -3 ; Esempio 2: x 2 x 2 - x + 1 = 1 Studiamo i valori assoluti separatamente : Disequazione Soluzione Sostituzione Valore Assoluto x 2 x 2 > 0 x < -1 V x > 2 x 2 x 2 x 2 x 2 < 0-1 < x < 2 -x 2 + x + 2 x + 1 > 0 x > -1 x + 1 x + 1 < 0 x < -1 -x -1 Si individuano cosi 3 regioni dei numeri Reali in cui il valore assoluto assume un diverso valore -1 2 x 2 x 2 - x 2 + x + 2 x 2 x 2 - x - 1 x + 1 x + 1 Regione 1 Regione 2 Regione 3 corrispondenti alla risoluzione di 3 sistemi: 1) x < -1 ; x < -1; ( x 2 x 2 ) ( -x 1) = 1; x = 2 ; x = - 2 S1 = {- 2} ; Delle due soluzioni è valida solo x = - 2 poiché deve essere verificata la condizione x < -1. 2) -1 < x < 2 ; -1 < x < 2 ; ( -x 2 + x + 2 ) ( x + 1) = 1; x = 0 ; soluzione è valida S2 = { 0 } ; 3) x > 2 ; x > 2 ; x > 2 ; ( x 2 x 2 ) ( x + 1) = 1; x 2 2x 4 = 0 ; x = ; 1-5 ; unica soluzione che soddisfa tale sistema è S2 = { }. Per cui l equazione iniziale ammette le tre soluzioni: { - 2 ; 0 ; ; } 9

9 ax + by = c dx + ey = f Sistemi di 1 grado lineari: Se (a/d) (b/e) il Sistema è Determinato ( numero finite di soluzioni) Se (a/d) = (b/e) = (c/f) il Sistema è Indeterminato ( infinite soluzioni) Se (a/d) = (b/e) (c/f) il Sistema è Impossibile ( non ammette soluzioni) Sistemi di grado superiore al 1 Sistemi simmetrici : sono particolari sistemi di 2 grado in cui è possibile scambiare tra loro le incognite senza alterare il sistema. Le soluzioni ottenute saranno (x,y) ; (y,x); Ogni sistema simmetrico può essere ricondotto con passaggi algebrici alla forma normale x + y = s xy = p risolvibile con la regola della somma e prodotto: t 2 st + p = 0 ; le soluzioni (t 1, t 2 ) dell equazione sono anche soluzioni del sistema : (t 1, t 2 ) ; (t 2, t 1 ) ; Analizziamo alcuni Particolari Sistemi riconducibili ai Simmetrici in forma normale: I ) x 2 + y 2 = a ; x + y = b; Dal quadrato di Binomio: sostituendo nel sistema x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 2xy ( x + y ) 2 2xy = a b 2xy = a x +y = b x +y = b x +y = b xy = ½ (b a) II ) x 3 + y 3 = a ; x + y = b; Dal cubo di binomio: x 3 + y 3 = ( x + y ) 3 3xy(x+y) sostituendo nel sistema ( x + y ) 3 3xy (x+y) = a b 3 3xyb = a x +y = b ; x +y = b x +y = b xy = (b 3 a) / (3b) ; III ) ( x + y ) 2 (x+y) = a ; x 2 + y 2 = b; Si pone: x+y = z; si ottiene cosi l equazione di z 2 z a = 0; calcolate le soluzioni z 1 e z 2 si ottengono 2 sistemi separati. L unione delle loro soluzioni è la soluzione del sistema di partenza. z 2 z a = 0 ; x 2 + y 2 = b ; x 2 + y 2 = b ; x 2 + y 2 = b ; x+y = z 1 ; x+y = z 2 ; IV) x 2 y 2 xy = a ; x + y = b ; Si pone: xy = z; si ottiene cosi l equazione di z 2 z a = 0; calcolate le soluzioni z 1 e z 2 si ottengono 2 sistemi separati simili a quelli del caso precedente. L unione delle loro soluzioni è la soluzione del sistema di partenza. Sistemi Omogenei: sistema formati da equazioni omogenee (i monomi dell equazione sono tutti dello stesso grado). Si risolvono ponendo x = t y e sostituendo si procede per confronto: x 2 + 5xy + 4y 2 = 22 t 2 y t y y 2 = 22 facendo in modo che 1/y 2 =1/y 2 si ha 4xy + y 2 = 11 4ty 2 + y 2 = 11 t= 1 x=y risolvere il 1 sistema t 2-3t + 2 = 0 t=2 x = 2y risolvere il 2 sistema 10

10 DISEQUAZIONI Per risolvere una disequazione quadratica tipo [ (ax 2 + bx + c ) O ] bisogna trovare le radici ( x 1 e x 2 ) della equazione associata: l insieme dei valori di x R per cui la disequazione è soddisfatta si indica su un grafico ( retta dei numeri reali ) segnato con sopra il segno (+). Consideriamo sempre il caso in cui a >0 : a>0 (ax 2 + bx + c ) >0 (ax 2 + bx + c ) <0 >0 (x < x 1 ) ( x > x 2 ) intervalli esterni x 1 x 2 ( x 1 < x < x 2 ) intervalli interni x 1 x 2 =0 S=R { b / 2a } S = ; Nessuna soluzione reale <0 S=R ; Soddisfatta per ogni x S = ; Nessuna soluzione reale Nel caso in cui si ha una disequazione con a < 0, si cambia segno a tutti i termini della disequazione, inoltre il segno > diventa < e viceversa, e si risolve come sopra. DISEQUAZIONI DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE Distinguiamo 2 casi : 1) A(x) > 0 : si devono studiare le disequazioni A(x)>0 e B(x)>0 ed B(x) ottenuti i grafici si ottiene la soluzione dal prodotto dei segni scegliendo (+) = soddisfa. (+) ( ) = ( ) ; ( ) ( ) = (+) ; (+) (+) =(+) 2) A(x) < 0 : si risolve come il caso sopra, A(x)>0 e B(x)>0 ma si prende B(x) come soluzione gli intervalli in cui risulta il segno ( ). 11

11 DISEQUAZIONI ESPONENZIALI a x > b nelle ipotesi che b>0 e che a 1; per risolverla bisogna portare b come potenza di a cioè: [ b = a m ] ; cosi la disequazione diventa a x > a m si hanno due casi: 1) a>1 soluzione x < m ; 2) 0 < a < 1 a seconda del segno se a x < a m soluzione x > m ; a x > a m soluzione x < m ; DISEQUAZIONI LOGARITMICHE log a ( x ) > b nelle ipotesi che a>0 e che b R ; per risolverla bisogna portare il termine a destra sotto forma di logaritmo nella stessa base a cosi la disequazione diventa si hanno due casi: log a ( x ) > log a ( a b ) 1) a>1 soluzione x > b ; 2) 0 < a < 1 a seconda del segno se log a ( x ) > log a ( a b ) 0 < x < a b ; log a ( x ) < log a ( a b ) x > a b ; SISTEMI DI DISEQUAZIONI ( + ) SOLUZIONE COMUNE La soluzione di un Sistema di disequazioni definite in R è l intervallo di valori appartenenti ad R comune a tutte le disequazioni del sistema. Si risolvono singolarmente le disequazioni : se le soluzioni trovate hanno valori di x comuni, questi valori sono soluzione del sistema, dal momento che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema. Altrimenti è IMPOSSIBILE. 12

12 DISEQUAZIONI DI FUNZIONI IRRAZIONALI n A(x) > B(x) se n = numero dispari, basta elevare ad n ambo i membri; dopo avere sviluppato si ottiene una disequazione razionale. se n = numero pari, si devono considerare due casi : n 1) A(x) > B(x) la soluzione è ottenuta dal Sistema di disequazioni B(x) 0 ; ( per l esistenza della radice ) A(x) > 0 ; ( B(x) 0 quindi B(x) 0 per cui A(x)>0 altrimenti la diseq è assurda ) [A(x)] n > B(x) ; la soluzione comune del sistema è soluzione della disequazione. n 2) A(x) < B(x) bisogna dapprima risolvere separatamente i due Sistemi B(x) 0 ; [A(x)] n < B(x) ; A(x) < 0 ; A(x) 0 ; l unione delle due soluzioni ottenute rappresenta la soluzione della disequazione irrazionale. DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO Distinguiamo 3 casi: A(x) < B (x) 1) A(x) < B(x) ; equivale al sistema A(x) > B (x) 2) A(x) > B(x) equivale alle 2 distinte disequazioni seguenti: A(x) > B (x ) ; A(x) < B (x) risolte le disequazioni separatamente si prende come soluzione l unione delle 2 soluzioni. 3) A(x) > B(x) oppure A(x) < B(x) si procede come visto per le equazioni. Esempio: x 2-5x + 6 x 3 ; si individuano tre regioni : 2 3 x 2-5x x 2 + 5x - 6 x 2-5x + 6 -x+3 -x+3 x-3 x 2 2 < x < 3 x 3 ( x 2-5x + 6 ) (-x+3) ( - x 2 +5x - 6 ) (-x+3) ( x 2-5x + 6 ) (x - 3) Soluzioni: { 1 x 2 } { 2 < x < 3 } { x = 3 } La Soluzione della disequazione iniziale è l unione delle tre soluzioni dei sistemi: S = { 1 x 3 }; 13