Modi dominanti. L evoluzione libera del sistema lineare. x(k + 1) = Ax(k) a partire dalla condizione iniziale x(0) = x 0 è:

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1 Capitolo. INTRODUZIONE. L voluzion libra dl sistma linar Modi dominanti ẋ(t) = Ax(t), x(k + ) = Ax(k) a partir dalla condizion inizial x() = x è: x(t) = At x, x(k) = A k x Al tndr di t [di k all infinito, i modi dl sistma tndono a zro, rimangono costanti o divrgono in funzion dl valor dgli autovalori. Alcuni di ssi, prò, tndono a zro più rapidamnt risptto agli altri, pr cui la loro influnza sul comportamnto asintotico dl sistma divnta trascurabil all aumntar dl tmpo. ) Considriamo inizialmnt il caso di autovalori rali distinti. Dfinizion. Siano λ i gli autovalori dlla matric A. L autovalor λ è l autovalor dominant dlla matric A s val la sgunt rlazion: nl caso tmpo-continuo nl caso tmpo-discrto R(λ ) > R(λ ) R(λ 3 )... R(λ n ) λ > λ λ 3... λ n Proprità. Al tndr di t [di k all infinito, l voluzion libra x(t) [x(k) di un sistma linar tmpo-continuo [tmpo-discrto tnd ad appiattirsi lungo il sottospazio corrispondnt all autovalor dominant, cioè l autovalor λ a part ral [a modulo più grand. Zanasi Robrto - Toria di Sistmi A.A. 5/6

2 Capitolo. ANALISI MODALE. Siano v i gli autovttori associati agli autovalori λ i. Siccom gli autovttori v i costituiscono una bas dllo spazio dgli stati, una qualsiasi condizion inizial x può ssr sprssa com somma dll su componnti lungo gli autovttori v i : x = x, v + x, v x,n v n = n x,i v i L componnti x,i di tal scomposizion si possono sprimr com sgu x,i = i x cioè com prodotto scalar tra il vttor x l righ v i dlla matric T : i= T = [ v v... v n, T =. n L voluzioni libr x(t) x(k) corrispondnti alla condizion inizial x sono: x(t) = x, λ t v + x, λ t v x,n λ nt v n x(k) = x, λ k v + x, λ k v x,n λ k n v n S x,, l voluzioni libr x(t) x(k) possono ssr riscritt nl modo sgunt x(t) = x, λ t v + n x,i λ it i= x, v λ i t x(k) = x, λ k v + n x,i λ k i i= x, λ k v i Chiaramnt, al tndr di t di k all infinito, si ha ch x(t) x, λt v x(k) k x, λ k v cioè, indipndntmnt dalla condizion inizial x, s x, l voluzion libra dl sistma tnd vrso l autospazio span[v corrispondnt al polo dominant. Zanasi Robrto - Toria di Sistmi A.A. 5/6

3 Capitolo. ANALISI MODALE.3 ) Prndiamo ora in considrazion il caso di autovalori complssi coniugati. In qusto caso, una coppia di autovalori complssi coniugati λ, = σ±jω vin dtta dominant risptto agli altri autovalori s, nl caso tmpo-continuo, val la sgunt rlazion: R(λ ) = R( λ λ ) > R(λ 3 ) R(λ 4 )... R(λ n ) Sia v l autovttor complsso corrispondnt all autovalor λ siano v R v I, rispttivamnt, la part ral la part immaginaria dll autovttor v. La condizion inizial x può smpr ssr sprssa com somma dll su componnti lungo v R, v I gli altri autovttori v i dl sistma: x = x, v R + x, v I + x,3 v x,n v n L voluzion libra x(t) a partir dalla condizion inizial x assum la sgunt forma: x(t) = [ v R v I σt cos ωt sin ωt x, x, ch può anch ssr riscritta nl sgunt modo x(t) = σt [ cos ωt sin ωt vr v I Al tndr di t all infinito, si ha ch x(t) σt [ v R v I + x,3 λ 3t v x,n λ nt v n x, x, cos ωt sin ωt + n i=3 x, x, x,i λ it σt v i cioè l voluzion libra dl sistma tnd vrso il sottospazio gnrato dai vttori v R v I. Considrazioni analogh valgono anch nl caso di sistmi tmpo-discrti con autovalori complssi coniugati dominati. Zanasi Robrto - Toria di Sistmi A.A. 5/6

4 Capitolo. ANALISI MODALE.4 Esmpio. Dato il sgunt sistma dinamico tmpo continuo ẋ(t) = 3 x(t) = Ax(t) dtrminar il sottospazio corrispondnt al modo dominant. Il polinomio carattristico dlla matric A è dt(si A) = s 3 s s = (s )[(s 3)(s ) + = (s ) 3 Il sistma prsnta 3 autovalori coincidnti: λ =. Il corrispondnt autovttor v si ottin risolvndo il sistma (I A)v = o = v = v = Gli autovttori gnralizzati v v 3 si ricavano nl modo sgunt: (A I)v = v (A I)v 3 = v v = Utilizzando la matric di trasformazion T = [ v v v 3 = la matric A vin diagonalizzata nl modo sgunt A = T AT = L voluzion libra x(t) nllo spazio trasformato è x(t) = At x = t t t t x x = t, v 3 = x + x t + t x + t Zanasi Robrto - Toria di Sistmi A.A. 5/6

5 Capitolo. ANALISI MODALE.5 S si ha ch: x(t) = t t x t + x t + x + x t 3 t t t t v La dirzion v lungo la qual si appiattisc la traittoria x(t) è la sgunt x(t) = Tx(t) x(t) t t v Nl caso di sistma tmpo-discrto: x(k + ) = Ax(k) si possono far considrazioni analogh. L voluzion libra è x(k) = A k x = k k k k(k ) k k k k k Analogamnt al caso prcdnt, s, pr k si ha ch: x(k) k k(k ) k v = x x k(k ) k v Zanasi Robrto - Toria di Sistmi A.A. 5/6

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