MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 3) 10 Febbraio 2010

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1 MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 3) 0 Febbraio 200 SOLUZIONI. Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione. Sapendo che 30 ± 2 g di soluto vengono sciolti in 80 ± 2 g di solvente, calcola, in percentuale, il valore stimato, l errore relativo e l errore assoluto della concentrazione della soluzione ottenuta. Indichiamo con s la massa del soluto (con s il valore stimato), con S la massa del solvente (con S il valore stimato) e con M la massa totale della soluzione (con M il valore stimato). Allora si ha s = 30 ± 2 S = 80 ± 2 M = s + S = 20 ± 4 Il valore stimato della concentrazione c, indicato con c, è Gli errori relativi di s e M sono c = s M = % ǫ r s = % ǫr M = % quindi l errore relativo di c, dato dalla somma dei due, vale ǫ r c = ǫ r s + ǫ r M 8.6% Per trovare l errore assoluto di c è sufficiente ricordare che da cui ǫ r c = ǫa c c ǫ a c = ǫ r c c 8.6% 4.3%.2% La concentrazione vale quindi c 4.3% ±.2%.

2 2. Si pescano 4 carte da un mazzo di 40 carte (4 semi, ciascun seme ha 0 carte, dall asso al sette più tre figure, jack, donna e re). a) Qual è la probabilità di pescare esattamente una figura? b) Qual è la probabilità di pescare almeno una figura? c) Qual è la probabilità di pescare esattamente due figure e un asso? Pescare 4 carte contemporaneamente equivale a pescarne 4 una per volta senza rimettere la carta pescata nel mazzo. Le figure presenti nel mazzo sono 2, mentre gli assi sono 4. a) Pescare esattamente una figura significa pescare 3 carte che non siano figure e figura: ( ) P(F) = La stessa probabilità può essere calcolata utilizzando casi favorevoli e casi possibili : ( ) ( ) ( ) P(F) = / 3 4 b) L evento pescare almeno una figura è l evento complementare di pescare 0 figure che ha probabilità P(0F) = 28 ( ) ( ) = / 4 4 La probabilità cercata è allora P(almenoF) = P(0F) c) Pescare esattamente due figure e un asso significa pescare due figure, un asso ed un altra carta che non sia né una figura né un asso: oppure P(2F A) = P(2F A) = ( 2 2 ( 4 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ) ( ) ( 40 / 4 ) 2

3 3. In un laboratorio si misurano (in cm) le lunghezze di un campione di N foglie di un dato albero. La media di queste N lunghezze è 2. Se tre foglie del campione, della lunghezza rispettivamente 6.4, 7.6 e 8, sono scartate, la media delle foglie rimanenti è 4. Determina il numero N di foglie del campione. Indichiamo con m i le misure delle lunghezze del campione in cm, con l indice i che varia da al numero delle misure presenti nel campione. Sappiamo che la media di queste lunghezze, quando il campione è composto da N misure, vale 2: N m i N = 2 m i = 2N Togliendo 3 misure il campione resta composto da N 3 misure e la media diventa 4 quindi N 3 m i N 3 = 4 N 3 m i = 4 (N 3) Conosciamo però le 3 misure tolte dal campione quindi N 3 e di conseguenza m i = m i ( ) = m i 22 N 3 m i = 4 (N 3) m i 22 = 4 (N 3) m i = 4 (N 3) + 22 Ma la somma delle N misure è anche uguale a 2 N quindi si ottiene 2 N = 4 (N 3) N = = 20 N = 0 3

4 4. Risolvi la seguente disequazione 8 2 x x 3 Disegna poi l insieme S T dove S = {(x, y) R R : y 8 2 x} e T = {(x, y) R R : y x 3} La prima cosa da fare è trovare l insieme di definizione di questa disequazione; poiché è presente una radice di indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a 0: 8 2 x 0 x 4 Se x 4 la quantità 8 2 x è definita ed è maggiore o uguale a 0; poiché deve essere maggiore o uguale a x 3, otteremo delle soluzioni se x 3 è una quantità non positiva, cioè se x 3 (le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente): { x 4 x 3 da cui si ottiene un primo insieme di soluzioni x 3. Se x 3 è una quantità positiva, cioè x > 3, dobbiamo confrontare due quantità positive e possiamo elevare al quadrato ambo i membri della disequazione: x 4 x > 3 ( 8 2 x) 2 (x 3) 2 Sviluppando si ottiene { 3 < x x x 2 6 x + 9 x 2 4 x + 0 ovvero { 3 < x x che porta alle ulteriori soluzioni 3 < x Concludendo, la disequazione è verificata per x L insieme S T è la porzione di piano cartesiano che sta sopra alla retta y = x 3 e sotto la curva di equazione y = 8 2 x. Ad esempio, il semiasse negativo delle ascisse appartiene a tale insieme (vedi Figura ). 4

5 Figura : Rappresentazione grafica di y = 8 2 x e y = x Il gruppo sanguigno è determinato da un locus genetico con tre possibili alleli A, B, 0. Il fenotipo A corrisponde ai genotipi AA, A0; il fenotipo B ai genotipi BB, B0; il fenotipo AB corrisponde al genotipo AB; il fenotipo 0 corrisponde al genotipo 00. Sapendo che in una data popolazione l allele A ha frequenza 0.3, l allele B ha frequenza 0. e l allele 0 ha frequenza 0.6, calcola: a) le frequenze genotipiche e le frequenze fenotipiche; b) la probabilità che un individuo, preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che entrambi i genitori hanno gruppo sanguigno AB; c) la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che la madre ha gruppo sanguigno AB ed il padre gruppo sanguigno A. Indichiamo con p, q ed r le frequenze degli alleli A, B e 0 rispettivamente, quindi p = 0.3 q = 0. r = 0.6 Si ha p + q + r = da cui p 2 + q 2 + r 2 + 2pq + 2q r + 2q r = dove p 2 = 0.09, q 2 = 0.0, r 2 = 0.36, 2pq = 0.06, 2q r = 0.2 e 2 p r = a) Le frequenze genotipiche sono i numeri calcolati precedentemente, ovvero f(aa) = p 2 f(bb) = q 2 f(00) = r 2 f(ab) = 2pq f(b0) = 2q r f(a0) = 2pr Le frequenze fenotipiche sono f(a) = p 2 + 2pr = 0.45 f(b) = q 2 + 2q r = 0.3 5

6 f(ab) = 2pq = 0.06 f(0) = r 2 = 0.36 b) P(AB P AB M AB ) = P(AB P AB M AB ) P(P AB M AB ) 2 (2pq/2)(2pq/2) (2pq) 2 = 2 = P(AB P AB M AB ) P(P AB ) P(M AB ) = c) P(AB P A M AB ) = P(AB P A M AB ) P(P A M AB ) = P(AB P AB M AB ) P(P A ) P(M AB ) = 6. Sia data la funzione (p 2 + p r)pq (p 2 + 2pr)(2pq) = 3 0 f(x) = a x2 b x con i parametri a, b R a, b 0. a) Calcola i parametri a e b sapendo che f( ) = 3/2 e f( 2) = 5. b) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), individua l insieme di definizione e trova i valori di x per i quali f(x) = 0. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), calcola i limiti agli estremi dell insieme di definizione. a) Imponiamo le condizioni f( ) = 3/2 e f( 2) = 5: { a ( ) 2 b = 3 2 a b = 3 a ( 2) 2 b 2 = 5 4 a b = 5 Risolvendo il sistema si trova a = 4 e b =, ovvero la funzione è f(x) = 4 x2 x b) La funzione non è definita quando si annulla il denominatore, quindi il suo insieme di definizione è {x R : x }. f(x) = 0 4 x 2 = 0 x = ± 2 6

7 c) Dobbiamo calcolare quattro limiti, a ± e a da destra e sinistra. A ±, numeratore e denominatore tendono a +, ma il numeratore è un polinomio di grado superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato del limite è + : lim f(x) = + lim x + f(x) = + x Per x che tende a, sia da destra che da sinistra, il numeratore tende a un numero finito, mentre il denominatore tende a 0, quindi lim f(x) = + lim x + f(x) = + x 7