A=B se e solo se 1) m=p 2) n=q 3) a i,j =b i,j K per ogni i=1,,m e j=1,,n. Studiamo ora alcune delle proprietà che regolano queste operazioni.

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1 Osservzioe: due trii soo idetihe se e solo se ho lo stesso uero di righe lo stesso uero di oloe e ho le stesse etrte i K: dte A i j i B i j i p j j q AB se e solo se p q ij ij K per ogi i e j. Studio or lue delle proprietà he regolo queste operzioi. So di trii Per ogi A B C K vlgoo le segueti proprietà: Proprietà ssoitiv ABCA BC ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-

2 Per l diostrzioe si rid pg. Esistez dell eleeto eutro Esiste O K tle he AO OA A dove O è l trie o tutte le etrte ulle defiit durte l lezioe preedete. D diostrre. Esistez dell opposto Esiste l trie à K tle he à A O A à Se l trie A h per etrte gli eleeti ij llor l trie à h i posizioe ij l eleeto - ij. D diostrre. ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-

3 U struttur lgeri G he soddisf le tre proprietà preedeteete elete si defiise gruppo: quidi K è u gruppo. Proprietà outtiv ABBA D diostrre. Ne segue he K è u gruppo outtivo. Diostrio l proprietà ssoitiv. Sio A B C geerihe trii di K llor esistoo ij ij ij opportue etrte i K tli he: A i j i B i j i C i j i j j j per esteso ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-

4 ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9- B A C B A per defiizioe di so di trii per l proprietà ssoitiv dell so i K per defiizioe di so di trii A B C

5 diostrzioe potev essere ftt o l otzioe siteti giustifido oe pri le uguglize: A B C i j i j i j i j i j i A B C j i j i.... j... Oppure: ABC K A BC K Duque l trie so l prio ero h lo stesso uero di righe/oloe dell trie so l seodo ero. Per defiizioe di so di trii: A B C... i j i j i j i j A B C i j i j i j i j per ogi i e j. Prodotto di uo slre per u trie Per ogi A B K e per ogi λ µ K vlgoo le segueti proprietà d diostrre: ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-5

6 λµ Aλ A µ A d diostrre; λ AB λ Aλ B d diostrre; λ µ Aλ µ A diostrt di seguito; AA d diostrre. Per ogi A K e per ogi λ µ K per defiizioe di prodotto o uo slre: λµ A λµ per l proprietà ssoitiv del prodotto i K λµ λµ λµ λµ λ µ λ µ λ µ λ µ per defiizioe di prodotto tr uo slre e u trie ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-6

7 µ λ µ µ µ λ µ λ µ A stess diostrzioe o l otzioe siteti otivdo i pssggi: λµ Oppure λµ λµ λµ i j i... i j i... i j i... i j i... j... j... j... j... λ µ A K λ µ A K λµ A i j λµ i j λµ i j λ µ A i j per ogi i e j. Proprietà ssoitiv Prodotto tr trii Sio A K B K p e C K pq Duque l trie prodotto l prio ero h lo stesso uero di righe/oloe dell trie prodotto l seodo ero. ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-7

8 ABCABC d diostrre Proprietà distriutive Sio A K BC K p ABCABAC d diostrre Sio A K p BC K p BCABACA d diostrre Eleeto eutro siistro / destro Sio A K p e I p K pp : I p AA d diostrre Sio A K p e I K : AI A d diostrre Ovviete el so di trii qudrte di ordie il prodotto di trii è sepre e defiito e risult u legge di oposizioe iter; le tre proprietà ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-8

9 qui elete vlgoo lete ed esiste l trie I eleeto eutro del prodotto. Attezioe: rispetto l prodotto o possiile grtire per ogi trie l esistez dell trie ivers. Quidi i geerle dt u trie A Λ K o è detto he esist Ā tle he A Ā I ĀA. Ne segue he K è u gruppo outtivo K o è u gruppo. Ioltre rispetto l prodotto tr trii o vle l legge dell ulleto del prodotto: eppure essu delle due trii fttori del prodotto è l trie ull. ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-9

10 Si A K trie trspost u trie di etrte ij : si defiise trspost di A l si idi o t A A t oppure A I u trie di K di etrte ji. Per esteso A i j... K t A K j i. Co otzioe siteti A t i j i A ji j j i ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-

11 ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9- Per ostruire l trie trspost trsrivo l i-esi rig di A ell i-esi olo di t A sio le righe o le oloe o vievers. Esepi 5 - A Poihé A R llor t A R : t 5 A B Poihé B R llor t B R:

12 t... B Proprietà delle trsposte Sio A B K e si λ K llor vlgoo le segueti relzioi: t t A A d diostrre; t AB t A t B diostrt di seguito; t λa λ t A d diostrre. Devo diostrre he l trie t AB è ugule ll trie t A t B: ho lo stesso uero di righe lo stesso uero di oloe e le stesse etrte. Iftti: ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-

13 A B K A B K t AB K. D ltr prte A B K t A t B K t A t B K diostrto e. Rest d diostrre he io le stesse etrte ioè he per ogi i e j i posizioe ij ell trie t AB i si lo stesso eleeto he si trov i posizioe ij ell trie t A t B. etrt ij dell trie t AB è ugule ll etrt ji dell trie AB: ji ji. etrt ij dell trie t A t B è l so delle etrte ij di t A e di t B. D ltr prte l eleeto i posizioe ij di t A è ji e l eleeto i posizioe ij di t B è ji : l etrt ij di t A t B è ji ji..v.d. ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-

14 ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9- Eserizi d svolgere: Copletre le diostrzioi o svolte i ul. Si eseguo qudo possiile le segueti operzioi o le trii: A t B; t C D; t C t D; t D t C. Dte le trii Si verifihi he: t E t t E; t E t E t ; t. D C B A E

15 trii qudrte prtiolri Si A K u trie qudrt. Gli eleeti ostituisoo l digole priiple di A. trie A è dett trigolre superiore se ij per ogi i>j tutti gli eleeti l di sotto dell digole priiple soo ulli. trie A è dett trigolre iferiore se ij per ogi i<j tutti gli eleeti l di sopr dell digole priiple soo ulli. trie A è dett digole se ij per ogi i j tutti gli eleeti l di fuori dell digole priiple soo ulli. trie digole è si trigolre superiore he iferiore. trie A è dett sietri se oiide o l trspost: A t A. ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-5

16 ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-6 Esepi 5 A R A è u trie qudrt di ordie. digole priiple di A è -. A è u trie trigolre superiore B 5 R B è u trie qudrt di ordie 5. digole priiple di B è --. B è u trie trigolre iferiore.

17 ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-7 C R C è u trie qudrt di ordie. digole priiple di C è -. C è u trie digole. D R D è u trie qudrt di ordie. digole priiple di D è. D è u trie sietri iftti D t.

18 Osservzioi: Se A è u trie trigolre superiore/iferiore llor t A è u trie trigolre iferiore/superiore; Se A è u trie digole llor t A è h ess digole e A t A duque è he sietri. Attezioe: le trii sietrihe o soo eessriete digoli. ezioe - Eseritzioi di Alger e Geoetri - Ao deio 9-8