CENNI SUL CONTROLLO DIGITALE

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1 1.1. MODELLISICA - Modellistica dinamica CENNI SUL CONROLLO DIGIALE SISEMI DI CONROLLO DIGIALE: sistemi di controllo in retroazione in cui è presente un calcolatore digitale e quindi una elaborazione a tempo discreto della legge di controllo SISEMA DI CONROLLO ANALOGICO: Regolatore r e Rete m Sistema Amplificatore Attuatore c controllato correttrice y rasduttore di misura SCHEMI IPICI DI UN SISEMA DI CONROLLO DIGIALE Campionamento del segnale errore: A/D Calcol. digitale D/A Attuat. Proc Clock () rasduttore

2 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale Campionamento del segnale retroazionato: A/D Calcol. digitale D/A Attuat. Proc. tempo discreto A/D rasduttore CONROLLO DIGIALE / CONROLLO ANALOGICO: + Maggiore capacità e precisione di elaborazione + Maggiore flessibilità + Maggiore affidabilità e ripetibilità + Maggiore trasmissibilità deisegnali - Progettazione più difficile e articolata - Stabilizzabilità più precaria - Possibilità di arresti non previsti - Necessità di utilizzare energia elettrica

3 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale SEGNALI DI INERESSE: a) Analogico di tipo continuo; b) empo-continuo quantizzato; c) A dati campionati; d) Digitale; (a) (b) t t (c) t DISPOSIIVI DI INERFACCIA (d) t A/D: convertitore Analogico/Digitale. Due possibili descrizioni: 1) Generazione di una sequenza di valori numerici: A/D x(k) x(k) 2) Campionamento ad impulsi di Dirac: x(k) A/D δ x(k)δ(t k)

4 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale D/A, convertitore Digitale/Analogico x(k) D/A x r (t) x(k) H Se si usa il campionatore ad impulsi di Dirac, il ricostruttore (cioè il convertitore D/A) può essere rappresentato da una semplice funzione di trasferimento G r (s): x(k)δ(t k) x r (t) G r (s) Ricostruttore di ordine zero: G r (s) = 1 e s s EMPO DI ELABORAZIONE E SINCRONIZZAZIONE (a) (b) y y(k+1) y y(k+1) y(k) y(k 1) y(k) y(k 1) u u(k) u u(k+1) u(k 1) u(k) e e k 1 k k +1 t k 1 k k +1 t

5 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale rasformata Z Una sequenza di valori x k ottenuta campionando uniformemente con periodo un segnale continuo, t, (x k = x(k) ) può essere rappresentata utilizzando la seguente funzione di trasferimento: X(z) = x k z k k= = x + x 1 z x k z k + La Z-trasformata svolge nei confronti delle equazioni alle differenze lo stesso ruolo che la trasformata di Laplace svolge per le equazioni differenziali. La variabile z -1 ha il significato fisico di ritardo puro pari al periodo di campionamento : z -1 ritardo puro Qualsiasi equazione alle differenze, lineare e a costanti concentrate può essere trasformata in una funzione di trasferimento discreta G(z): y k +3y k 1 +2y k 2 = x k 1 +5x k 2 Y (z)+3z 1 Y (z)+2z 2 Y (z) =X(z)z 1 +5z 2 X(z) Y (z)(1 + 3z 1 +2z 2 )=X(z)(z 1 +5z 2 ) G(z) = Y (z) X(z) = z 1 +5z 2 1+3z 1 +2z 2 = z +5 z 2 +3z +2 Viceversa, qualsiasi funzione di trasferimento discreta G(z) può essere trasformata in una equazione alle differenze, lineare e a costanti concentrate (percorso inverso nel precedente esercizio).

6 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale Una rete correttrice tempo-continua D(s) può esseretrasformatanella corrispondente rete tempo discreta D(z) utilizzando vari metodi approssimati. Due tra i più semplici metodi di discretizzazione sono i seguenti. Metodo delle differenze all indietro. seguente regolatore: D(s) = M(s) E(s) =2s +2 s +5 Esempio: Discretizzare il giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento =.1. Utilizzando il metodo delle differenze all indietro si ottiene D(z) = 2 s +2 s +5 = s = 1 z 1 s= 1 z 1 1 z 1 +2 =2 1 z z 1 z 1 M(z) = 2 =21.2 = 1+5 z 1 z 1 E(z) Il calcolo della corrispondente equazione alle differenze è immediato: M(z)[ z 1 ]=E(z)2[1.2 z 1 ] da cui M(z) z 1 M(z) =2[1.2E(z) z 1 E(z)] m(k) m(k 1) = 2[1.2e(k) e(k 1)] m(k) = 1 [m(k 1) + 2.4e(k) 2e(k 1)]

7 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale Metodo della trasformazione bilineare. Esempio: Discretizzare il seguente regolatore: D(s) = M(s) E(s) =3s +2 s +5 giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento =.2. Utilizzando il metodo della trasformazione bilineare s = 2 (1 z 1 ) (1 + z 1 ) si ottiene D(z) = D(s) s= 2 1 z 1 = M(z) 1+z 1 E(z) = 3 2(1 z 1 )+2(1 + z 1 ) 2(1 z 1 )+5(1 + z 1 ) = 3 6+2z z 1 =.2 La corrispondente equazione alle differenze si ricava dalla relazione M(z)(12 + 8z 1 )=3E(z)(6 + 2z 1 ) da cui cioè m(k) = 1 [ 8 m(k 1) + 18e(k)+6e(k 1)] 12 m(k) = 1 [ 2 m(k 1) + 45e(k)+15e(k 1)] 3

8 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale Confronto tra i due metodi di descritizzazione Si consideri il seguente sistema: G(s) = 25 s(s + 1)(s + 1) e per esso si progetti una opportuna rete correttrice (anticipatrice): D(s) = 1+τ 1 s 1+τ 2 s = s s che migliori la risposta al gradino del corrispondente sistema retroazionato. La funzione di trasferimento D(s) può essere discretizzata utilizzando diversi metodi approssimati: 1) differenze all indietro: D 1 (z) =D(s) s= 1 z 1 2) trasformazione bilineare: = + τ 1 τ 1 z 1 + τ 2 τ 2 z 1 D 3 (z) =D(s) s= 2 1 z 1 = +2τ 1 +( 2 τ 1 ) z 1 1+z 1 +2τ 2 +( 2 τ 2 ) z 1 Risposte al gradino del sistema retroazionato e diagrammi di Nyquist quando =.3 e utilizzando i vari metodi di discretizzazione: Discretizzazione: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).=.3 Nyquist: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).= Im[G(j*w)] Imag] empo (s) Real

9 2.1. RICHIAMI DI CONROLLI AUOMAICI - Controllo Digitale Risposte al gradino e diagrammi di Nyquist quando =.15: Discretizzazione: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).=.15 Nyquist: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).= Im[G(j*w)] Imag] empo (s) Real Risposte al gradino e diagrammi di Nyquist quando =.5: Discretizzazione: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).=.5 Nyquist: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).= Im[G(j*w)] Imag] empo (s) Real Risposte al gradino e diagrammi di Nyquist quando =.5: Discretizzazione: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).=.5 Nyquist: all indietro (r),all avanti(m), bilineare (b), poli zeri (g).= Im[G(j*w)] Imag] empo (s) Real Per molto piccolo i regolatori D(z) hanno un comportamento equivalente.