RETI LINEARI R 3 I 3 R 2 I 4

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1 RETI LINERI 1 Leggi di Kirchoff. Metodo delle correnti di maglia R 1 R 3 I 1 I 3 E 1 J 1 J 2 J 3 I 2 I 4 R 4 I 5 R 5 I 6 R 6 J 4 R 7 Il calcolo delle correnti e delle differenze di potenziale in un circuito lineare come quello in figura si effettua assegnando un verso convenzionale alle correnti nelle resistenze (alcuni di questi sono indicati in figura) ed applicando la conservazione della carica ad ogni nodo: e la legge di Ohm ad ogni maglia chiusa del circuito: n I i 0 (1) i0 m E i i0 l R i I i (2) d esempio, nel nostro circuito, per il nodo a cui sono collegate R 1, ed R 3 si ha: e per la maglia che contiene, R 5, R 6 ed R 4 : i0 I 1 I 2 I 3 0 (3) R 5 I 5 + R 6 I 6 R 4 I 4 (4) partire dalle (1) e dalle (2) e possibile, in più modi, scrivere un sistema di equazioni lineari che ci permette di calcolare le I i date le E i. In questo paragrafo analizzeremo il metodo delle correnti di maglia, una procedura che permette di scrivere uno dei possibili sistemi lineari in una forma standardizzata, semplice ed elegante. 1

2 tal fine consideriamo le maglie elementari che compongono il circuito (provate a definirle) ed introduciamo le correnti di maglia J i ; nel nostro esempio abbiamo 4 maglie. Le correnti effettive nelle resistenze saranno uguali a quelle di maglia per gli elementi che appartengono ad una sola maglia; nel nostro esempio: I 1 J 1 ; I 3 J 2 (5) mentre per ricavare la corrente negli elementi che sono in comune a due maglie, utilizziamo le (1); nel nostro esempio, da (3) si ottiene: I 2 J 1 J 2 (6) quindi le correnti effettive negli elementi in comune a due maglie sono date dalla differenza delle due correnti di maglia. Scriviamo ora le equazioni delle maglie: E 1 R 1 J 1 + (J 1 J 2 ) 0 R 3 J 2 + R 4 (J 2 J 3 ) + + (J 2 J 1 ) R 5 J 3 + R 6 (J 3 J 4 ) + R 4 (J 3 J 2 ) 0 R 6 (J 4 J 3 ) + R 7 J 4 (7) Riordiniamo i termini e riscriviamo il sistema in forma matriciale: R R 3 + R 4 R R 4 R 4 + R 5 + R 5 R R 6 R 6 + R 7 J 1 J 2 J 3 J 4 E La matrice dei coefficienti è simmetrica ed i suoi elementi hanno le seguenti proprietà: (8) Gli elementi diagonali, chiamiamoli a ii, sono uguali alla somma delle resistenze presenti nella maglia i-esima; Gli elementi non diagonali a ij a ji sono uguali alla somma delle resistenze, nel nostro esempio una sola per volta, in comune fra le maglie i-esima e j-esima, cambiata di segno. pplicando queste due proprietà potremo scrivere direttamante la matrice dei coefficienti per qualunque circuito. Notiamo infine che nel metodo delle correnti di maglia si scrive esplicitamente solo la seconda legge di Kirchoff (2) mentre si tiene conto implicitamente della prima (1) con l introduzione delle correnti di maglia. 2

3 2 La rete lineare come dispositivo con due terminali R 1 R 3 E 1 R 4 R 5 R 6 R 7 onsideriamo ora una qualunque rete lineare, e due terminali e collegati a due punti qualsiasi della rete. onnettiamo ad e una resistenza (resistenza di carico). È possibile predire il comportamento del sistema tra i due terminali (cioè la differenza di potenziale tra e e la corrente in ) per qualsiasi carico senza conoscere i dettagli della rete, ma solo eseguendo un numero finito di misure ai capi e?. In particolare le misure più semplici che possiamo effettuare sono quelle della corrente di corto circuito I cc e della differenza di potenziale a circuito aperto V ca : I cc corrente tra e per 0 V ca differenza di potenziale tra e per In risposta alla domanda mostreremo nei prossimi paragrafi che qualsiasi rete lineare è equivalente ad un generatore ideale di tensione in serie con una resitenza o, alternativamente, ad un generatore ideale di corrente in parallelo con una resistenza. Mostreremo poi come calcolare i parametri di questi due circuiti equivalenti a partire solo dalle due quantità misurate V ca ed I cc. 3 Il teorema di Thevenin Rete lineare Ogni rete lineare è equivalente, su due suoi terminali e, ad un generatore ideale di tensione in serie con una resistenza. è uguale alle differenza di potenziale tra i capi e della rete a circuito aperto; è la resistenza misurata tra e quando nella rete sostituiamo i generatori di tensione con corto circuiti e quelli di corrente con circuiti aperti. Il teorema si può dimostrare in generale partendo dalle leggi di Kirchoff; in queste note verificheremo solamente la sua validità in un caso particolare molto semplice. onsideriamo il circuito: 3

4 E I R 1 I Il riquadro evidenzia la separazione tra la rete ed il carico. Secondo le definizioni date, in questo caso si ha: E R 1 + (9) R 1 // R 1 R 1 + (10) Vogliamo calcolare I, la corrente nel carico, quindi calcoliamo preliminarmente alcune quantità indicate in figura: I E R 1 + // E V I // E + R 1 + R 1 + (11) R 1 + R 1 + (12) I V E R 1 +R 1 + E (R 1 + ) R 1 + R 1 +R 1 + E Th (R 1 + ) R 1 +R R 1 R Quest ultima espressione è quella che otterremmo direttamente per il circuito equivalente di Thevenin collegato sul carico. Vi faccio notare che la rete lineare considerata in questo esempio viene detta partitore di tensione; infatti può essere utilizata per limitare la differenza di potenziale su un carico. In assenza di carico: V E (14) R 1 + quindi il dispositivo ci permette di diminuire la differenza di potenziale fornita dal generatore di un fattore costante. Naturalmente, come abbiamo visto, in presenza del carico il discorso si complica. In quali condizioni la (14) resta approssimativamente vera? ome dovrebbe essere fatto un semplice partitore di corrente? (13) 4

5 4 Il teorema di Norton I N I due circuiti in figura sono equivalenti qualunque sia il carico collegato ai terminali e se: e I N (15) Nel secondo circuito il simbolo circolare col trattino orizzontale rappresenta un generatore ideale di corrente. Infatti considerando i due circuiti collegati a due carichi uguali ed imponendo che le correnti nel carico siano le stesse nei due casi: i I N j i si ha per il primo: e per il secondo: dall uguaglianza dei secondi membri si ricava: e quindi: V i (16) V j i (17) j I N j + i i (18) i + i (19) Ora I N (generatore ideale di corrente) deve essere indipendente dal carico, quindi da i, quindi il termine contenente i si deve annullare, il che avviene per: e sotto questa condizione si ottiene che: (20) I N (21) Notiamo anche che I N è la corrente di corto circuito, come si verifica semplicemente sia nel primo che nel secondo circuito. Verificata questa equivalenza, e tenendo conto del teorema di Thevenin, possiamo enunciare il teorema di Norton che stabilisce l equivalenza tra una generica rete lineare ed un generatore di corrente in parallelo con una resistenza: 5

6 Ogni rete lineare è equivalente, su due suoi terminali e, ad un generatore ideale di corrente I N in parallelo con una resistenza. I N è la corrente misurata tra e in corto circuito; è la resistenza misurata tra e quando nella rete sostituiamo i generatori di tensione con corto circuiti e quelli di corrente con circuiti aperti. 5 Misura dei parametri dei circuiti equivalenti di Thevenin e Norton ome abbiamo visto, e I N sono la differenza di potenziale a circuito aperto e la corrente di corto circuito rispettivamente, quindi possono essere ottenute da misure ai capi e ; secondo gli enunciati dei teoremi, per ricavare ed dovremmo invece eseguire delle operazioni sul circuito. La (21) ci consente tuttavia di ricavare anche queste quantità in funzione di V ca ed I cc. In definitiva, possiamo ricavare i parametri dei circuiti equivalenti di Thevenin e Norton eseguendo solo delle misure ai capi e : 6 Massimo trasferimento di potenza V ca ; V ca I cc (22) I N I cc ; V ca I cc (23) onsideriamo un generatore reale, equivalente ad un generatore ideale E in serie alla resistenza interna R int, collegato ad una resistenza di carico. La potenza complessiva erogata dal generatore è data da: P E I mentre quella dissipata (o, se preferite, utilizzata) nel carico è P ome variano queste due quantità al variare di e per E ed R int fissati?. Potete facilmente verificare che il massimo di P si ha per 0: e che il massimo di P si ha per: e vale: R int + (24) (R int + ) 2 (25) P max R int (26) R int (27) P max (28) 4 R int Poichè in molte situazioni siamo interessati alla potenza effettivamente erogata nel carico, queste considerazioni possono essere utili per dimensionare il generatore rispetto al carico e/o viceversa. 6

7 7 La trasformazione triangolo-stella R S 1 R T 3 R T 1 R S 3 R S 2 R T 2 I due circuiti in figura sono equivalenti se le resistenze misurate tra le tre coppie di terminali sono uguali per i due circuiti. Devono cioè valere le tre relazioni: R T1 //(R T2 + R T3 ) R S1 + R S2 R T2 //(R T1 + R T3 ) R S2 + R S3 (29) R T3 //(R T1 + R T2 ) R S1 + R S3 che ci permettono di calcolare le R Ti note le R Ti o viceversa; potete trovare le espressioni esplicite della trasformazione sul libro di testo. Tale trasformazione può essere utile per semplificare circuiti in cui sono inseriti elementi di tipo triangolo o di tipo stella. d esempio, i due circuiti seguenti sono equivalenti: ma nel primo non è possibile calcolare la resistenza equivalente tra i terminali e utilizzando solo le regole di composizione di serie e paralleli, mentre nel secondo questo è possibile; quindi applicando le espressioni standard della trasformazione possiamo realizzare una effettiva semplificazione del circuito. Ovviamente si può ottenere comunque lo stesso risultato applicando le leggi di Kirchoff. 7