Forze conservative. Conservazione dell energia. Sistemi a molti corpi 1 / 37
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- Matteo Carlini
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1 Forze conservative Il nome forze conservative deriva dal fatto che le forze che appartengono a questa categoria sono tali da conservare l energia. Una forza è conservativa se il lavoro da essa compiuto su UNA QUALSIASI traiettoria chiusa è nullo. QUALSIASI traiettoria è molto impegnativa come richiesta: implica che esiste una caratteristica globale della forza, qualcosa che vale in ogni punto dello spazio, che induce questo potente comportamento. È abbastanza naturale rendersi conto che se il lavoro di una forza è nullo su una qualsiasi traiettoria chiusa, allora il lavoro effettuato da quella forza su una qualsiasi traiettoria può essere espresso in funzione solo dei punti iniziali e finali della traiettoria stessa. 1 / 37
2 forze conservative L A B A = 0 2 / 37
3 forze conservative L A B A = 0 L AB,1 3 / 37
4 forze conservative L A B A = 0 L AB,1 + L BA,2 = 0 L AB,2 + L BA,2 = 0 Forza conservativa L AB,1 L AB,2 = 0 L AB,1 = L AB,2 4 / 37
5 forze conservative L A B A = 0 L AB,1 + L BA,2 = 0 L AB,2 + L BA,2 = 0 Forza conservativa L AB,1 L AB,2 = 0 L AB,1 = L AB,2 5 / 37
6 forze conservative L A B A = 0 L AB,1 + L BA,2 = 0 L AB,2 + L BA,2 = 0 Forza conservativa L AB,1 L AB,2 = 0 L AB,1 = L AB,2 6 / 37
7 forze conservative L A B A = 0 L AB,1 + L BA,2 = 0 L AB,2 + L BA,2 = 0 Forza conservativa L AB,1 L AB,2 = 0 L AB,1 = L AB,2 7 / 37
8 Energia Potenziale 8 / 37 Per una forza conservativa il lavoro compiuto dipende solo dalla posizione iniziale e finale: introduciamo una funzione che in ogni punto dia per un corpo la possibilità di lavoro per quel punto. Chiamiamo Energia Potenziale questa funzione U(x), tale che: L AB = U(A) U(B). Come diretta conseguenza abbiamo che: L AB + U = 0 Il lavoro effettuato va a scapito potenziale x U(x) = x 0 F (x)dx + U(x 0 ) = F (x)dx + K Energia potenziale conoscendo la forza per sistemi UNIDIMENSIONALI F (x)dx = du(x) F (x) = du(x) dx Forza conoscendo l energia potenziale per sistemi UNIDIMENSIONALI
9 Energia Potenziale 9 / 37 Per una forza conservativa il lavoro compiuto dipende solo dalla posizione iniziale e finale: introduciamo una funzione che in ogni punto dia per un corpo la possibilità di lavoro per quel punto. Chiamiamo Energia Potenziale questa funzione U(x), tale che: L AB = U(A) U(B). Come diretta conseguenza abbiamo che: L AB + U = 0 Il lavoro effettuato va a scapito potenziale x U(x) = x 0 F (x)dx + U(x 0 ) = F (x)dx + K Energia potenziale conoscendo la forza per sistemi UNIDIMENSIONALI F (x)dx = du(x) F (x) = du(x) dx Forza conoscendo l energia potenziale per sistemi UNIDIMENSIONALI
10 Energia potenziale da forza: esempi La forza peso F = mg con g = g = 9.8 m/s 2 può essere considerata unidimensionale se prendiamo un sistema di riferimento con un asse lungo la verticale. Dobbiamo anche scegliere l orientamento, e lo orientiamo verso l alto. In tal caso l energia potenziale della forza peso vale: x U(x) = F (x)dx + U(x 0 ) = F (x)dx + K x 0 U(x) = ( mg)dx = mgx + K = mg(x x 0 ) con U(x 0 ) = 0 10 / 37
11 Notiamo che: l energia potenziale della forza peso è definita a meno di una costante addittiva per fare i conti DOBBIAMO scegliere (come più ci conviene) una quota zero in cui l energia potenziale è posta a zero la definizione potenziale dipende dall orientamento dell asse verticale con la scelta fatta l energia potenziale cresce con l altezza dalla quota zero, e diventa negativa e diminuisce per quota minore della quota zero il lavoro compiuto dalla forza peso per passare da una quota ad un altra è L(x I x F ) = U(x I ) U(x F ) = mg(x I x F ). 11 / 37
12 Energia potenziale da forza: esempi Consideriamo la forza elastica F = k(x x 0 ) e scegliamoci un sistema di riferimento con un asse lungo la molla, orientato a piacere, con l origine posta a piacere. NOTA BENE: per x 0 intendiamo la POSIZIONE in cui la forza esercitata dalla molla è nulla, cioè la posizione del corpo quando la molla è lunga la lunghezza a riposo l 0, e NON la lunghezza a riposo. In tal caso l energia potenziale della forza elastica vale: x U(x) = F (x)dx + U(x 0 ) = F (x)dx + K x 0 U(x) = k(x x 0 )dx + K = = kx 2 kxx 0 + K = (con K = 1 2 kx2 0 + K ) = 1 2 k(x x 0) 2 + K = 1 2 k(x x 0) 2 (con K = 0 U(x 0 )) = 0 12 / 37
13 Notiamo che: 13 / 37 l energia potenziale elastica non dipende dall orientamento dell asse; l energia potenziale elastica è sempre positiva per ogni valore di x; l espressione generica per l energia potenziale elastica U(x) = kx 2 kxx 0 + K = 1 2 k(x x 0) 2 + K si riduce a U(x) = 1 2 kx2 se scegliamo come origine il punto in cui la forza elastica è nulla, e definiamo per tale punto l energia potenziale nulla; il lavoro compiuto dalla forza elastica per passare da una posizione ad un altra è: L(x I x F ) = U(x I ) U(x F ) = 1 2 k[(x I x 0 ) 2 (x F x 0 ) 2 ] = 1 2 k[x2 I x2 F + 2x 0(x F x I )] e solo scegliendo l origine in x 0 abbiamo L(x I x F ) = 1 2 k(x2 I x2 F ); allungando o accorciando la lunghezza della molla rispetto alla lunghezza a riposo immagazziniamo energia potenziale nella molla, in ugual valore.
14 Energia potenziale da forza: esempi 14 / 37 Consideriamo la forza di attrito viscosa F x = kv x e cerchiamone il potenziale, nel caso particolare, ma non è una grossa assunzione, che v x = K. Preliminarmente occorre verificare che sia conservativa, per cui integriamola su un circuito chiuso: L AB,2 + L BA,2? = 0 x1 x 0 F (x)dx + x1 x0 x 1 F (x)dx = L AB,2 + L BA,2 con A = x 0 ; B = x 1 x 0 F (x)dx = kv xandata (x 1 x 0 ) x0 F (x)dx = kv xritorno (x 0 x 1 ) = kv xritorno (x 1 x 0 ) x 1 v xandata = v xritorno kv xritorno (x 1 x 0 ) = kv xandata (x 1 x 0 ) x1 x 0 F (x)dx + x0 x 1 F (x)dx = 2kv xandata (x 1 x 0 )
15 Quindi: La forza di attrito viscosa non è conservativa. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito viscoso è sempre negativo: infatti si OPPONE al moto, per cui F att x < 0. Nell esempio precedente abbiamo che se x 1 > x 0 allora v xandata = x 1 x 0 t > 0 e il lavoro complessivo è negativo; se x 1 < x 0 allora v xandata = x 1 x 0 t < 0 e il lavoro complessivo è nuovamente negativo. Ugualmente troviamo che per le forze di attrito dinamico e di attrito turbolento abbiamo non conservatività e lavoro compiuto negativo / 37
16 Forza da energia potenziale: esempi Conoscendo l energia potenziale è possibile determinare la forza in una data posizione attraverso la relazione F (x) = du(x) dx. Dal grafico della energia potenziale leggiamo la forza in ogni posizione a partire dalla pendenza. U(x) = Ax 4 Bx 2 F (x) = du = 2Bx 4Ax3 dx F (x) = 0 quando du dx = 0 F (x) > 0 quando du dx < 0 F (x) < 0 quando du dx > 0 16 / 37 Un po come una pallina che rotola in una sagoma...
17 Forza da energia potenziale: esempi Conoscendo l energia potenziale è possibile determinare la forza in una data posizione attraverso la relazione F (x) = du(x) dx. Dal grafico della energia potenziale leggiamo la forza in ogni posizione a partire dalla pendenza. U(x) = Ax 4 Bx 2 F (x) = du = 2Bx 4Ax3 dx F (x) = 0 quando du dx = 0 F (x) > 0 quando du dx < 0 F (x) < 0 quando du dx > 0 17 / 37 Un po come una pallina che rotola in una sagoma...
18 Forza da energia potenziale: esempi Conoscendo l energia potenziale è possibile determinare la forza in una data posizione attraverso la relazione F (x) = du(x) dx. Dal grafico della energia potenziale leggiamo la forza in ogni posizione a partire dalla pendenza. U(x) = Ax 4 Bx 2 F (x) = du = 2Bx 4Ax3 dx F (x) = 0 quando du dx = 0 F (x) > 0 quando du dx < 0 F (x) < 0 quando du dx > 0 18 / 37 Un po come una pallina che rotola in una sagoma...
19 Forza da energia potenziale: esempi Conoscendo l energia potenziale è possibile determinare la forza in una data posizione attraverso la relazione F (x) = du(x) dx. Dal grafico della energia potenziale leggiamo la forza in ogni posizione a partire dalla pendenza. U(x) = Ax 4 Bx 2 F (x) = du = 2Bx 4Ax3 dx F (x) = 0 quando du dx = 0 F (x) > 0 quando du dx < 0 F (x) < 0 quando du dx > 0 19 / 37 Un po come una pallina che rotola in una sagoma...
20 Forza da energia potenziale: esempi Conoscendo l energia potenziale è possibile determinare la forza in una data posizione attraverso la relazione F (x) = du(x) dx. Dal grafico della energia potenziale leggiamo la forza in ogni posizione a partire dalla pendenza. U(x) = Ax 4 Bx 2 F (x) = du = 2Bx 4Ax3 dx F (x) = 0 quando du dx = 0 F (x) > 0 quando du dx < 0 F (x) < 0 quando du dx > 0 20 / 37 Un po come una pallina che rotola in una sagoma...
21 Energia potenziale in tre dimensioni È possibile generalizzare le relazioni tra forza ed energia potenziale in tre dimensioni. Data un energia potenziale U(x, y, z) abbiamo sempre che il lavoro L(A B) = U(A) U(B). Per ogni componente della forza si ha la relazione: F x = U x, F y = U y, F z = U z compatta: F = grad (U) con grad ( x, oppure in forma più y, z ). 21 / 37
22 Energia meccanica Combinando il teorema cinetica con la relazione tra lavoro di una forza conservativa e la variazione di energia potenziale abbiamo: L AB = E c (B) E c (A) = E = U E + U = 0 Chiamiamo Energia meccanica di un corpo sottoposto a (più) forze conservative E m = E c + U 1 + U Poiché ad ogni variazione di energia cinetica corrisponde una uguale e opposta variazione di energia potenziale, abbiamo che per un corpo soggetto a forze conservative l energia meccanica si conserva. 22 / 37
23 Descrizione del moto in termini energetici Nota l energia meccanica è possibile descrivere il moto di un corpo senza risolvere esplicitamente l equazione del moto. Come esempio consideriamo l esercizio del compitino. Prendendo l origine - e la posizione in cui l energia potenziale gravitazionale è nulla - l energia potenziale è: U(y) m = gy if y > l 0 = 10 m Al di sopra della posizione in cui l elastico è a riposo non viene esercitata alcuna forza elastica e quindi l energia potenziale associata è nulla 23 / 37 gy ω2 (y l 0 ) 2 if y < l 0 (1) Al di sotto della posizione in cui l elastico è a riposo abbiamo anche l energia potenziale elastica. Con la scelta fatta per il valore nullo potenziale elastica abbiamo raccordato i
24 Descrizione del moto in termini energetici In figura è mostrata l energia potenziale in funzione della quota y. U(y) Punto di partenza, velocità e energia meccanica nulla. Forza diretta verso negativo asse y / y
25 Descrizione del moto in termini energetici In figura è mostrata l energia potenziale in funzione della quota y. 200 U(y) Inizia a esercitarsi la forza elastica / y
26 Descrizione del moto in termini energetici In figura è mostrata l energia potenziale in funzione della quota y. 200 U(y) L energia potenziale ha un minimo; l energia cinetica e quindi la velocità è massima. La forza agente sul corpo è nulla / y
27 Descrizione del moto in termini energetici In figura è mostrata l energia potenziale in funzione della quota y. 200 Punto di inversione a velocità nulla. Forza diretta 100verso positivo asse y, pendenza massima quindi accelerazione massima U(y) / y
28 Dalla conservazione meccanica otteniamo una condizione su ω 2 perché sia vero che il tuffatore abbia velocità nulla quando si lascia cadere e quando raggiunge il suolo: E m(y = 0) = U(y = 0) + E c(y = 0) = U(y = 0) = 0 E m(y = 40) = U(y = 40) + E c(y = 40) = U(y = 40) = E m(y = 0) = 0 U(y 0 = 40)/m = 0 = gy ω2 (y 0 l 0 ) 2 2gy 0 ω = = 0.93 rad/s (y 0 l 0 ) 2 Per la posizione di equilibrio finale usiamo il fatto che corrisponde ad una risultante delle forze pari a zero, ovvero al minimo potenziale: du dy = g + ω2 (y l 0 ) du dy eq = 0 y eq = l 0 g ω 2 = m ovvero a h = d yeq = m dal suolo 28 / 37
29 Quantità di moto e impulso Un corpo di massa m che si muove a velocità v possiede una grandezza fisica vettoriale chiamata Quantità di moto - o anche, più arcaicamente, impulso, data dalla relazione P = mv (2). La quantità di moto è legata alla risultante delle forze F dalla relazione, derivante dal secondo principio della dinamica, dp = F (3) dt. Quindi, se su un corpo non agiscono forze o la risultante delle forze è nulla, la quantità di moto si conserva. Integrando l equazione 3 per una forza che agisce nel tempo 29 / 37 abbiamo: t1. t 0 dp dt = P (t 1 ) P (t 0 ) = P = t1 t 0 F dt (4)
30 La grandezza t 1 t 0 F dt è chiamata Impulso di una forza. Quando le forze sono note e normali l equazione 4 non aggiunge molto alla conoscenza della dinamica del corpo; anzi, ne precisa solo la variazione di velocità tra due momenti senza descriverne la velocità in ogni momento - come otteniamo risolvendo l equazione del moto. Per fenomeni impulsivi, cioè fenomeni in cui viene applicata su un corpo una forza di grande intensità in un tempo molto limitato, l equazione risulta utile per ricostruire l impulso a partire dalle quantità di moto iniziali e finale - che dopo l impulso restano invariate in quanto la forza ha cessato di agire. 30 / 37
31 Impulso di una forza: esempio Un tipico esempio di forza impulsiva è la reazione vincolare. Prendiamo ad esempio un corpo che cade in moto parabolico su un piano. P x = v 0x m = cost P y = v y(t)m Al momento dell urto sul suolo sul corpo agiscono la forza di gravità, non impulsiva, e la forza vincolare, impulsiva. Immaginando di avere un urto istantaneo vediamo che l impulso della forza di gravità tende a zero, per cui sul corpo agisce solo l impulso della forza di reazione vincolare del suolo I(N) che nel caso di suolo orizzontale è diretto lungo la verticale. Poichè la reazione vincolare non compie lavoro, abbiamo che durante l urto si conserva l energia meccanica, ovvero l energia cinetica del corpo prima e dopo l urto è costante. 31 / mv2 I = 1 2 mv2 F v F = ±v I soluzione accettabile: I(N) = ĵ Py = ĵ ( 2mvI) v F = v I
32 Impulso di un sistema di corpi La conservazione della quantità di moto per un corpo non soggetto a forze può essere estesa ad un sistema di corpi soggetti a forze, in modo molto potente. Infatti, se per un corpo la soluzione dell equazione del moto può essere esplicita, per un sistema di corpi la difficoltà di trovare la soluzione può essere proibitiva. Se consideriamo un sistema di possiamo costruire la quantità di moto globale del sistema e studiarne la variazione nel tempo: P = i m i v i dp dt = d i m iv i dt = i m i a i 32 / 37
33 Prima equazione cardinale Per ogni corpo del sistema l accelerazione a i è determinata dalla risultante delle forze agenti sul corpo. Separiamo tali forze in forze INTERNE, cioè esercitate sul corpo dagli altri corpi del sistema presenti nella sommatoria, e forze ESTERNE: F = Fi ext + j i F ji, dove F ji rappresenta le forze che gli altri corpi esercitano sul corpo i-esimo. Le forze tra corpi obbediscono al principio di azione e reazione, per cui per ogni coppia di corpi abbiamo che F ji = F ij. Da questo otteniamo: dp dt = i m i a i = i F ext i + F ji + F ij = i,j>i i F ext i 33 / 37 Ovvero, la prima equazione cardinale : la variazione della quantità di moto totale del sistema è data dalla somma delle forze esterne che agiscono sui corpi.
34 Centro di massa La prima equazione cardinale mette in relazione la quantità di moto totale di un sistema di corpi con la risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema, ma non ci dice niente sull equazione del moto dei singoli corpi. Possiamo vedere però come la prima equazione cardinale permette di descrivere almeno il modo di un particolare punto del sistema chiamato centro di massa. 34 / 37 P = m i v i = d i m ir i dt i R CM i m ir i i m i P = M tot dr CM dt
35 Centro di massa e moto del centro di massa La posizione del centro di massa si determina a partire dalla posizione di ogni corpo del sistema. Nel caso di un corpo esteso e continuo, alla somma su tutti i corpi puntiformi si sostituisce l integrale sul volume: R CM = i m ir i = 1 dv ρ(x)x M tot i m i V Spesso considerazioni di simmetria aiutano a determinare la posizione del centro di massa. Ad esempio, la posizione del centro di massa di una sfera è al suo centro - dove altro potrebbe essere? 35 / 37
36 La descrizione del moto di un corpo esteso soggetto a forze esterne è data dalla descrizione del moto del suo centro di massa: dp dt = i F ext i dp d dr CM = M dt tot dt dt M tot a CM = F ext = M tot a CM 36 / 37 Ovvero: il moto di un corpo esteso soggetto a forze esterne può essere descritto come il moto di un oggetto puntiforme di uguale massa posto nel centro di massa del corpo stesso, soggetto alla risultante di tutte le forze esterne agenti su ogni elemento del corpo stesso.
37 Come esempio consideriamo un corpo esteso di forma arbitraria soggetto alla forza di gravità. Abbiamo: dp dt = F ext = V dp = M tot a CM dt M tot a CM = M tot g dv ρ(x)g = M tot g 37 / 37
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