Operatori di confronto:

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1 Operatori di confronto: confrontano tra loro due numeri e come risultato danno come risposta o operatore si legge esempio risposta = uguale a diverso da > maggiore di < minore di maggiore o uguale a minore o uguale a 3 = 3 5 = > 2 3 > 3 3 > 5 3 < 5 3 < 3 3 < Parentesi Esempi: 30+9=39 ; 15=17 2 ; 12 9=21 ; 25>39 ; 39<30+9 ; ; In matematica si usano le parentesi: ( ) per indicare che i calcoli che si trovano al loro interno vanno eseguiti per primi. Esistono tre tipi di perentesi: tonde ( ) quadre [ ] graffe { } prima si svolgono i calcoli racchiusi tra parentesi tonde, poi quelli racchiusi tra parentesi quadre e quindi quelli racchiusi tra parentesi graffe. Ogni volta che si concludono i calcoli all interno di una coppia di parentesi si ottiene un singolo numero e le parentesi possono essere cancellate. Con un esempio: = = =76

2 Uso delle lettere in matematica Spesso in matematica si usano le lettere. Questo non significa che l italiano si mescola con la matematica, assolutamente no! Si utilizzano le lettere perché sono simboli che tutti noi conosciamo e non abbiamo difficoltà a riconoscere. In matematica hanno la funzione di contenitori nei quali posso andare ad inserire dei numeri. Quali? Quelli che voglio (sempre che non ci siano restrizioni e in certi casi, come vedremo, sono necessarie, cioè non proprio tutti i numeri potranno essere messi in questi contenitori). Le lettere si usano quindi come segnaposto per dire qui ci va un numero, se una lettera compare in più posti allora dovunque essa compare dovrò mettere lo stesso numero. Facciamo un esempio: quando guardiamo il tachimetro dell auto o dello scooter leggiamo la velocità del mezzo. Essa è espressa in chilometri orari, ov il numero di chilometri che posso percorrere se per un ora mantengo la stessa velocità. Quindi la velocità è il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo cioè spazio diviso tempo e si può esprimere anche in metri al secondo (quanti metri percorro in un secondo). Se traduco in formula quanto detto scriverò: à= :. Scritto così è un po ingombrante allora si usano le lettere iniziali per rendere più compatta la formula = :. Se ora voglio sapere a quale velocità mi sto muovendo, mi basta misurare quanti metri percorro e quanti secondi ci metto a percorrerli, otterrò due numeri (!) che dovrò andare a mettere nei contenitori appositi della formula e quindi calcolare la velocità con una semplice divisione (usando la calcolatrice ;-). Quindi in matematica quando usiamo le lettere in realtà stiamo usando dei simboli segnaposto per dire: qui ci va un numero, appena decido (trovo, misuro, ) quale ce lo metto. Poiché le lettere sono contenitori di numeri vedremo in seguito che anche su di esse potrò applicare, con le dovute attenzioni, le operazioni aritmetiche e molto altro. Addizione L addizione è una operazione che si svolge tra due numeri chiamati addendi e dà come risultato un terzo numero chiamato somma 30+2=32 addizione somma addendi Una sequenza di addizioni tra più numeri si svolge sempre da sinistra verso destra: = =44+4=48 Proprietà commutativa 30+2=2+30=32 Cambiando l ordine degli addendi la somma non cambia, con una formula + = +

3 Proprietà associativa = = =44 La somma di tre (o più) addendi non cambia se al posto di coppie di essi si sostituisce la loro somma. Con una formula + + = + + = + + Vediamo un esempio: Eseguiamo da sinistra verso destra Associamo i primi due addendi Associamo gli ultimi due addendi Abbiamo ottenuto lo stesso risultato! Quando ci possono essere utili queste proprietà? Facciamo un esempio: = = =20+100=120 Ancora un trucco: noi sappiamo che 30+2=32,! L operazione è reversibile? La risposta è sì, infatti 32=30+2,! (esistono infiniti modi di scrivere 32 e, più in generale, un qualsiasi numero) Quando ci può essere utile questo trucco? Facciamo un esempio: calcoliamo la seguente addizione senza usare la calcolatrice: =? scriviamo 23 come , 57 come e 42 come e otteniamo applichiamo la proprietà commutativa (più volte) e otteniamo e grazie alla proprietà associativa applicata più volte otteniamo Anche se non sembra abbiamo svolto in riga quello che si fa nelle adizioni in colonna!

4 Scrivere un numero come addizione tra altri due è sempre possibile, ad esempio: numero scritto come addizione ;3+2 ; 2+3 ; ;7+2 ; 6+3 ;5+4;4+5;3+6;2+7; ;10+2 ; 9+3 ;8+4;7+5;6+6; ;17+20 ; 29+8 ;33+4;23+14;3+36; Possiamo quindi affermare che la somma di due o più addendi non cambia se ad uno o a più di uno di essi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all'addendo sostituito Moltiplicazione La moltiplicazione è un modo sintetico di indicare una addizione ripetuta. Infatti se scriviamo: =45 È chiaro che occupa parecchio spazio, allora per risparmiare in scrittura osservo che il 5 compare 9 volte nella addizione ripetuta, introduco allora una scrittura (operazione) più compatta per esprimere ciò ov 5 9=45 Numero che deve essere addizionato a se stesso Simbolo che esprime la nuova operazione La moltiplicazione quindi è una operazione che si svolge tra due numeri chiamati fattori e dà come risultato un terzo numero chiamato prodotto 30 2=60 Numero di volte in cui 5 compare nella addizione ripetuta Una sequenza di moltiplicazioni tra più numeri si svolge sempre da sinistra verso destra: Proprietà commutativa = =720 4= =2 30=60 Cambiando l ordine dei fattori il prodotto non cambia, con una formula Proprietà associativa moltiplicazione fattori = prodotto = = =720 Il prodotto di tre (o più) fattori non cambia se al posto di coppie di essi si sostituisce il loro prodotto. Con una formula = =

5 Vediamo un esempio: Eseguiamo da sinistra verso destra Associamo i primi due fattori Associamo gli ultimi due fattori Abbiamo ottenuto lo stesso risultato! Quando ci possono essere utili queste proprietà? Facciamo un esempio: 4 3 5=3 4 5=3 4 5 =3 20=60 Ancora un trucco: noi sappiamo che 30 2=60,! L operazione è reversibile? La risposta è sì, infatti 60=30 2,! Quando ci può essere utile questo trucco? Facciamo un esempio: calcoliamo la seguente moltiplicazione senza usare la calcolatrice: scriviamo 140 come otteniamo =? applichiamo la proprietà associativa e otteniamo scriviamo 14 come 2 7 e otteniamo scriviamo 900 come e otteniamo applichiamo la proprietà associativa e otteniamo

6 Scrivere un numero come moltiplicazione tra altri due è sempre possibile (anche se il numero è primo), ad esempio: numero scritto come moltiplicazione ; ;3 7;21 1; ;9 5;15 3;3 15;45 1; ; 36 2 ;24 3;18 4;12 6;9 8;6 12; Possiamo quindi affermare che il prodotto di due o più fattori non cambia se ad uno o a più di uno di essi se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione È sicuramente la proprietà più importante dell aritmetica e ci permette di distribuire la moltiplicazione sugli addendi di una addizione, vediamo come: = La proprietà è reversibile? La risposta è sì, infatti = E non solo 7+4 5= = = Che equivale a scrivere applico la proprietà commutativa 7+4 5= Quando ci può essere utile questa proprietà? Facciamo un esempio: calcoliamo la seguente moltiplicazione senza usare la calcolatrice: 23 14= = = = =322 Anche se non sembra abbiamo svolto in riga quello che si fa nelle moltiplicazioni in colonna! Infatti è grazie a questa proprietà che funziona l algoritmo della moltiplicazione in colonna. Con una formula + = + Che come abbiamo visto è reversibile, cioè + = +

7 Inoltre, poiché vale la proprietà commutativa per la moltiplicazione, la proprietà distributiva vale anche a destra, cioè + = + = + = + Con un altro esempio 2+5 3=3 2+5 = = Come abbiamo detto la moltiplicazione equivale ad una addizione ripetuta nella quale uno dei due fattori compare un numero di volte pari all altro fattore, valendo la proprietà commutativa possiamo scrivere: oppure Sottrazione 12 6= = = =72 La sottrazione è una operazione che si svolge tra due numeri chiamati rispettivamente minuendo e sottraendo e dà come risultato un terzo numero chiamato differenza minuendo 30 6=24 Una sequenza di sottrazioni tra più numeri si svolge sempre da sinistra verso destra: Proprietà invariantiva sottrazione 12 compare 6 volte 6 compare 12 volte sottraendo = =16 4= = = = =32 8 La differenza di una sottrazione non cambia se sottraggo o aggiungo sia al minuendo che al sottraendo uno stesso numero purché minore o uguale al sottraendo, con una formula = ± ± differenza La moltiplicazione è distributiva anche rispetto alla sottrazione, vale quindi quanto visto per proprietà distributiva rispetto all addizione, cioè =

8 Divisione esatta La divisione esatta è una operazione che si svolge tra due numeri chiamati rispettivamente dividendo e divisore che dà come risultato un terzo numero chiamato quoziente. Con la divisione esatta si ricerca quel numero (quoziente) che moltiplicato per il divisore da come prodotto il dividendo dividendo 30 2=15 Una divisione intera può essere interpretata anche come una sottrazione ripetuta dove al dividendo sottraggo il divisore il numero di volte necessario ad ottenere zero (tale numero volte sarà pari al quoziente). Ad esempio: 30 5=6 ov =0 Una sequenza di divisioni tra più numeri si svolge sempre da sinistra verso destra: Proprietà invariantiva divisione =30 5 3=6 3= = =12 4 Il quoziente di una divisione non cambia se moltiplico o divido sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero purché la divisione sia possibile nell insieme dei numeri Naturali, in formule = = Proprietà distributiva a destra divisore divide e = = = =6 3 Con una formula quoziente ± = ± Che, come visto per la moltiplicazione, è reversibile, cioè ± = ± La divisone non è distributiva a sinistra, cioè ± ± 6 volte (quoziente = 6)

9 Indici di colonna Divisione con la tavola Pitagorica Se il dividendo è un numero a due cifre e il divisore un numero ad una cifra posso consultare la tavola pitagorica in corrispondenza della tabellina del divisore, indice di colonna, e cercare il dividendo. o Se lo trovo leggo sulla stessa riga, a sinistra tra gli indici di riga, il quoziente. Cerco 72 nella tabellina dell 8 Esempio: calcoliamo 72 8 sulla stessa riga, a sinistra, leggo il quoziente Indici di riga In queste tavole mancano la tabellina dell 1 e del 10 perché dividere per essi è molto semplice o Può però accadere che il dividendo non sia presente nella tabellina del divisore come, ad esempio, nell eseguire questa divisione 72 3 Se osservo la tabellina del 3 non troverò 72, come fare? Guardo dove si trova 72 nella tavola Pitagorica e noto che è presente nella tabellina dell 8 e del 9 ( 9 8=72 ), tra i fattori che lo compongono cerco quello che compare nella tabellina del 3, cioè 9 ( 9=3 3 ); allora posso scrivere che per la proprietà associativa della moltiplicazione 72=9 8= 3 3 8=3 3 8 =3 24 E quindi 72 3=24 Facciamo un altro esempio: 56 4, anche in questo caso 56 non compare nella tabellina del 4 ma in quella del 7 e dell 8 ( 7 8=56 ), tra i fattori che lo compongono cerco quello che compare nella tabellina del 4, cioè 8 ( 8=4 2 ); allora posso scrivere che 56=7 8=7 4 2 =7 2 4 = 7 2 4=14 4 E quindi 56 4=14 o Se quanto detto non è applicabile dovrò utilizzare uno dei metodi che seguono.

10 Divisione con resto Nella divisione con dividendo un numero a due cifre e divisore un numero ad una cifra, se non è possibile trovare un numero che moltiplicato per il divisore dia come risultato il dividendo o il divisore è minore del prodotto del divisore per 10 posso procedere in questo modo: o si cerca il più grande multiplo 1 del divisore minore del dividendo o leggo sulla stessa riga, a sinistra tra gli indici di riga, il quoziente o si sottrae al dividendo il numero trovato, la differenza darà il resto Nella tabellina del 6 trovo 36<40 Esempio: calcoliamo 40 6 sulla stessa riga, a sinistra, leggo il quoziente Eseguo la sottrazione: 40 36=4 Quindi 40 6=6 con resto 4 o Può però accadere che il multiplo cercato non sia presente nella tabellina del divisore come, ad esempio, nell eseguire questa divisione 65 3 Se osservo la tabellina del 3 non troverò numeri maggiori di 30, come fare? Cerco nelle tabelline dei multipli di 3 ( 6 e 9 ) il più grande dei loro multipli minori di 65, nel nostro caso 63 che trovo nella tabellina del 9, tra i fattori che lo compongono cerco quello che compare nella tabellina del 3 ( 9=3 3 ) allora posso scrivere che 63=9 7= 3 3 7=3 3 7 =3 21 Algoritmo della divisione (caso generale) e 65 63=2 e quindi si ricava 63 3=21 con resto 2 1 I multipli di un numero sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri naturali (in generale per tutti gli altri interi); i sottomultipli di un numero sono tutti i numeri naturali (in generale interi) che dividono quel numero senza resto.

11 Esiste un algoritmo 2 (lo hai imparato alle elementari) che funziona sempre ed è basato sulla applicazione, anche ripetuta più volte, dei due metodi precedenti, vediamo come: calcoliamo 83 6 Chiaramente il dividendo è maggiore di 10 volte il divisore, infatti 83>60 (se fosse uguale il risultato della divisione sarebbe ovvio, se fosse minore userei i metodi precedenti) Disegniamo il seguente schema e ci disponiamo i numeri dividendo spazio per i resti parziali e resto finale Comincio con la cifra più a sinistra del divisore e controllo se è divisibile per il divisore, in questo caso lo è ma con resto ( 8 6=1 con resto 2 ). Scriverò quindi: resto parziale divisore schema della divisione spazio per il quoziente quoziente parziale Il resto ottenuto in realtà non ha valore di 2 unità ma di 2 decine (20 unità) a cui aggiungere le 3 unità avanzate, scriverò quindi: Mi chiedo quindi se nuovo numero ricavato (23) sia divisibile per 6, lo è ma con resto ( 23 6=3 con resto 5 ). Scriverò quindi: resto finale Poiché 5 non è divisibile per 6 (è un resto!) ho terminato, e quindi si ricava che 83 6=13 con resto 5 in altre parole 83= facciamo un altro esempio: calcoliamo Sequenza di passi elementari, anche ripetuti più volte, che permette di risolve un problema

12 La cifra più a sinistra del divisore non è divisibile per il divisore, quindi considero le prime due (37) e verifico se formano un numero divisibile per il divisore, lo è ma con resto ( 38 7=5 con resto 3 ): resto parziale quoziente parziale Il resto ottenuto in realtà non ha valore di 3 unità ma di 3 decine (30 unità) a cui aggiungere le 9 unità avanzate, scriverò quindi: Mi chiedo quindi se nuovo numero ricavato (39) sia divisibile per 7, lo è ma con resto ( 39 7=5 con resto 4 ), scriverò quindi: Proprietà invariantiva Poiché 4 non è divisibile per 7 (è un resto!) ho terminato, e quindi si ricava che 389 7=55 con resto 4 in altre parole 389= = = = =40 10 Il quoziente di una divisione non cambia se divido o moltiplico sia dividendo che divisore per uno stesso numero (purché non sia zero e nel caso della divisione sia divisore esatto di entrambe), in formule = = 0; divisore esatto di e 0 quoziente parziale

13 Potenze Le potenze sono un metodo sintetico per esprimere la moltiplicazione di un numero per se stesso più volte Significato di potenza: l esponente indica quante volte compare la base in una sequenza di moltiplicazioni Perché a^0 fa 1? Perché se divido a^n per a^n ottengo 1 e poiché la proprietà delle potenze dice che a^n:a^m=a^n-m si ha che a^n:a^n=a^n-n=a^0 ed è anche che a^n:a^n=1 quindi a^0=1 A 0^0 non si da significato perché se dessimo valore 1 significherebbe che 0^n:0^n=0^n-n=0^0=1 contro la regola che non si può dividere per zero Operazioni con i numeri interi Z 3+4= =+7=7 3 4= leggo la sottrazione da destra a sinistra (faccio ), ottengo 1 e gli cambio segno 3+4= = =4 3=1 3 4= 3 +4 = = 7