DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

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1 DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE DOWNLOAD Il pdf di questa lezione (0308a.pdf) è scaricabile dal sito calvini/scamb/ 08/03/2012

2 I 3 PRINCIPI DELLA DINAMICA PRIMO PRINCIPIO Esiste una categoria di sistemi di riferimento detti inerziali dotati della seguente proprietà: per essi è nulla l accelerazione di un qualunque punto materiale non soggetto a forze. Solo relativamente ad essi è valido il Primo Principio di enunciato : Ogni corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché forze esterne ad esso applicate non lo costringono a mutare tale stato. Per semplicità consideriamo il concetto di forza come un concetto primitivo. La forza è la manifestazione delle azioni che gli altri punti materiali esercitano sul punto materiale P, su cui stiamo concentrando la nostra attenzione. 2

3 L esperienza dimostra che l intensità delle azioni (= forze) che gli altri punti materiali esercitano su P diminuisce allontanando questi punti da P. Se le distanze sono sufficientemente grandi possiamo considerare P come non soggetto a forze. Tutti gli osservatori (= sistemi di riferimento) che nelle predette condizioni misurano un accelerazione nulla per P sono inerziali. Tutti gli osservatori che vedono P o fermo o animato da moto rettilineo uniforme sono inerziali. Fissato in particolare un osservatore che vede P fermo, questo osservatore sarà inerziale. Tutti gli altri osservatori che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto a questo osservatore sono inerziali e solo questi. 3

4 SECONDO PRINCIPIO La forza è una grandezza fisica vettoriale. Se il punto P è soggetto alle azioni dei corpi circostanti, sarà soggetto a molteplici forze F i. Se su P agiscono N forze, si può definire risultante R delle N forze applicate a P la seguente somma vettoriale R = N i=1 F i. (1) Enunciato del Secondo Principio: Per un osservatore inerziale esiste una relazione di proporzionalità diretta tra la risultante R delle forze agenti su P e l accelerazione a di P. 4

5 Vale R = M a, (2) dove la costante di proporzionalità M prende il nome di massa inerziale ed ha le dimensioni di una massa ([M] = kg). La (2) stabilisce una relazione di causa-effetto tra forza e accelerazione. Detta relazione sussiste solo per gli osservatori inerziali. Dalla (2), che rappresenta la formulazione quantitativa del Secondo Principio, si ricavano le unità di misura della forza e la definizione dinamica di forza. Si ha [F ] = kg m s 2. Nel S.I. la forza che conferisce l accelerazione unitaria alla massa unitaria è il Newton (N). Quindi N = kg m s 2. 5

6 TERZO PRINCIPIO Se il punto materiale A esercita la forza F BA sul punto materiale B, allora B esercita su A una forza F AB uguale ed opposta. Vale F AB = F BA. (3) Risulta opportuno osservare che le forze F AB e F BA risultano applicate a corpi diversi. Le rette d azione delle due forze devono coincidere (Terzo Principio in Forma Forte). 6

7 APPLICAZIONE: FORZA CENTRIPETA Come prima applicazione delle leggi appena enunciate, si propone il caso di un corpo di massa M che descrive con moto a velocità costante v una circonferenza di raggio R e centro C. Si tratta di un moto circolare uniforme, dotato quindi di un accelerazione normale alla traiettoria. È l accelerazione centripeta, orientata verso il centro C e data in modulo da a centr = v2 R. (4) 7

8 In base al Secondo Principio dovrà esistere una forza F centr, detta forza centripeta, la quale, applicata sul corpo e diretta verso C, lo constringerà a percorrere una siffatta traiettoria. Il modulo di questa forza vale F centr = M v2 R oppure F centr = M ω 2 R, (5) dove ω = v/r è la velocità angolare. Esercizio Un disco 33 giri di diametro D = 30 cm è posato sul piatto del giradischi che ruota compiendo 33 giri ogni minuto primo. Una pallina P di stucco di massa M = 0.3 g è appiccicata sull orlo del disco. Determinare la velocità angolare del disco, la velocità e l accelerazione della pallina. Determinare inoltre la forza centripeta applicata alla pallina. 8

9 Il raggio è R = D/2 = 0.15 m. La frequenza f e la velocità angolare sono date da f = s = 0.55 Hz ; ω = 2 π f = 3.46 rad s 1. (6) La velocità di P è v = ω R = 0.52 m s, (7) mentre l accelerazione centripeta è a centr = ω 2 R = 1.79 m s 2. (8) Infine la forza centripeta su P è M a centr = kg 1.79 m s 2 = N. È una forza adesiva. 9

10 LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE - PESO In base alla legge di Newton della gravitazione universale due punti materiali di masse M e m posti alla distanza d l uno dall altro si attraggono con una forza F diretta lungo la loro congiungente ed avente un intensità data da F = G m M d 2, (9) proporzionale quindi al prodotto m M tra le masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza interposta. Nella (9) G è la costante di Cavendish, che ha il valore G = m 3 kg 1 s 2. 10

11 Come conseguenza della legge di gravitazione universale di Newton, le masse m ed M si scambiano la coppia azionereazione F mm = F, F Mm = F, dove F mm è la forza su m da M (ossia che M esercita su m), mentre F Mm è la forza su M da m. La retta d azione delle due forze è comune (Terzo Principio in Forma Forte). Di seguito ci si occuperà della forza F che M esercita su m. 11

12 Si può dimostrare che la (9) vale anche nel caso che la massa M sia estesa, purché abbia simmetria sferica. In tal caso M va pensata concentrata nel suo centro C e d va intesa come distanza tra m (puntiforme) ed il centro C. Per peso P della massa m s intende l intensità della forza gravitazionale con cui la Terra (M) attrae m. La massa della Terra è M = kg ed il raggio terrestre medio è R T = m. Con questi valori inseriti nella (9) si ottiene per il peso P di m la seguente espressione 12

13 P = G m M R 2 T = m g, (10) dove g è il modulo, calcolato sulla superficie terrestre, dell accelerazione di gravità g = G M R 2 T = ( ) 2 m m = 9.81 s 2 s 2. (11) Ove necessario, il peso P di un corpo va trattato come una forza e quindi si scriverà P = m g, dove l accelerazione di gravità è un vettore che, rispetto alla verticale locale (assi z 1 e z 2 di figura), punta verso il basso. 13

14 PESO E MOTI UNIFORMEMENTE ACCELERATI Anche in base alle considerazioni precedentemente sviluppate, si può considerare il vettore g accelerazione di gravità praticamente uniforme sulla superficie terrestre in una regione ristretta rispetto al valore di R T. Pertanto un corpo di massa m sarà soggetto ad una forza peso P = m g (12) praticamente uniforme in tutta la regione considerata. Nel caso il peso sia l unica forza applicata al corpo, si applicherà il Secondo Principio al moto del corpo come segue R = m a m g = m a a = g, (13) 14

15 dove l ultimo passaggio richiede l identificazione tra la massa gravitazionale e quella inerziale (!!!). In conclusione, nei casi in cui la forza peso risulti essere l unica forza applicata ad un corpo ed il moto avvenga su piccole distanze, si avranno moti uniformemente accelerati con accelerazione g. Moti siffatti sono stati trattati nella parte di Cinematica. 15

16 LE 3 LEGGI DI KEPLERO (1) Le 3 leggi di Keplero hanno validità generale in quanto discendono da proprietà fisiche dell interazione gravitazionale. Ci si limita agli enunciati riferiti al sistema solare. Legge delle orbite: Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. In figura F e F sono i fuochi. Il Sole è in F. In coordinate polari l equazione dell ellisse di semiasse maggiore a ed eccentricità e è ρ = a (1 e2 ) 1 e cos φ. (14) 16

17 Legge delle aree: LE 3 LEGGI DI KEPLERO (2) descrive aree uguali in tempi uguali. Il raggio che va dal Sole ad un pianeta Qualitativamente, più il pianeta è lontano dal Sole, più lentamente si muove. In seguito si fornirà un interpretazione di questa legge in termini di conservazione del momento angolare. Legge dei periodi: Il quadrato del periodo T di rivoluzione di un pianeta è proporzionale al cubo di a, il semiasse maggiore dell orbita. Vale T 2 = 4 π2 a 3 dove la massa m del pianeta è trascurabile rispetto a M S, la massa del G(M s +m) Sole. 17

18 SATELLITI IN ORBITA CIRCOLARE Visto da un osservatore inerziale (quindi, non ruotante), il moto di un satellite che percorre un orbita circolare attorno alla Terra appare come un moto circolare uniforme. Siano T il periodo, r il raggio dell orbita e m la massa del satellite. La forza di gravità agente sulla massa m con intensità F = G m M r 2 (15) è la forza centripeta che impone al satellite il moto circolare uniforme con accelerazione a n = ω 2 r = 4 π2 T 2 r. Il Secondo Principio della dinamica si scrive G m M r 2 = m 4 π2 T 2 r, (16) dove la massa m può essere eliminata. 18

19 Si ottengono le seguenti relazioni che intercorrono tra periodo T e raggio r dell orbita (= legge dei periodi applicata al sistema Terra-satellite) T = 2 π r 3 G M e r = G M T 2 4 π (17) Per un orbita alla quota di 100 km sulla superficie terrestre si ha r = R T m = m. La prima delle (17) fornisce come valore del periodo T = 5180 s = 86 minuti primi. Il raggio dell orbita geostazionaria si ottiene dalla seconda delle (17) ponendo T = 24 h = s. Si ottiene r = m, cui corrisponde un orbita alla quota h = r R T = m sopra la superficie terrestre. 19

20 REAZIONE VINCOLARE - PIANO ORIZZONTALE Si consideri un corpo soggetto al suo peso P ed appoggiato su di una piattaforma orizzontale che lo sostiene. Il corpo ha accelerazione nulla, quindi la risultante R delle forze ad esso applicate sarà nulla (II Principio). Questo si spiega con la presenza di una forza vincolare N che la piattaforma esercita sul corpo impedendogli di cadere. Si impone P + N = 0, (18) la cui componente z dà m g +N = 0 N = m g. (19) Ne discende che la reazione vincolare N è diretta verso l alto e vale in modulo m g. 20

21 ... E SE IL PIANO ACCELERA VERTICALMENTE? Si consideri la situazione in cui la piattaforma orizzontale che sostiene il corpo accelera verticalmente con accelerazione a T. Se a T è verso l alto, anche il corpo avrà la stessa accelerazione a T. Se a T è orientata verso il basso e molto intensa, il corpo potrà perdere contatto (... a meno che non sia incollato). Nei casi in cui il corpo abbia la stessa accelerazione della piattaforma si può scrivere P + N = m a T, (20) la cui componente z dà m g+n = m a T z N = m (g+a T z ). (21) 21

22 In questo caso l intensità della reazione vincolare differirà dal peso mg del corpo, risultando maggiore se a T z > 0 e minore se a T z < 0. Nel caso particolare in cui valga a T z = g (piattaforma in caduta libera), si avrà N = 0. I Principi della Dinamica, validi nei sistemi di riferimento inerziali, sono in grado di spiegare in maniera semplice la dipendenza della reazione vincolare (forza di contatto) N da a T. Alle stesse conclusioni su N si giunge se il corpo di massa m è qualcosa di più complicato (essere vivente, bicchiere colmo d acqua, ecc....). Tuttavia, in casi siffatti risultano evidenti effetti di forze di volume, la cui spiegazione in base ai suaccennati Principi non è semplice! 22

23 SISTEMI DI RIFERIMENTO NON INERZIALI Un sistema di riferimento solidale con la piattaforma è non inerziale in quanto ha accelerazione a T rispetto ad un sistema inerziale. Indicata con a l accelerazione di m rispetto ad un sistema inerziale e con a l accelerazione rispetto ad un sistema non inerziale, si scrive la legge di addizione delle accelerazioni a = a T + a, (22) che permette di scrivere il II Principio come R = m (a T + a ) R m a T = m a. (23) 23

24 Il termine correttivo m a T che va aggiunto alla forza reale R per poter scrivere una relazione causale tra forza ed accelerazione relativa a si chiama forza apparente (o forza fittizia). Se non si introduce questa correzione, si perde la relazione di causalità tra forza ed accelerazione nei sistemi non inerziali (compaiono accelerazioni prive di causa reale o spariscono accelerazioni che dovrebbero esistere). Il termine correttivo m a T è interpretabile come la presenza in un sistema di riferimento non inerziale (con accelerazione di trascinamento a T ) di un campo gravitazionale apparente a T dovuto alla non-inerzialità del sistema. Detto campo gravitazionale rende facilmente conto degli effetti di forze di volume che si manifestano nei sistemi di riferimento non inerziali. 24

25 A titolo di semplice applicazione di questi concetti, si presenta il caso di un sistema di riferimento (= osservatore) non inerziale in caduta libera sotto l azione della gravità g. La sua accelerazione sarà a T = g ed il conseguente campo gravitazionale apparente dovuto alla non-inerzialità sarà a T = g. In assenza di altre forze reali oltre al campo gravitazionale g che provoca la caduta libera, si avrà per questo osservatore una completa cancellazione del campo gravitazionale reale g ad opera del campo apparente g e questo avverrà punto per punto, atomo per atomo. L osservatore sperimenterà l assenza di peso, la scomparsa di gradienti di pressione indotti dalla gravità e tanti altri fenomeni tipici di questa situazione. 25