y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m ="

Transcript

1 DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA E DERIVABILITA PUNTI DI NON DERIVABILITA Angela Donatiello

2 A (,y ) = (c, f(c)) B(,y ) = (c+, f(c+)) m = y y y tg dove è l angolo ce la retta forma con l asse delle ascisse valutato in senso antiorario. RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE y f (c ) f (c) f (c ) f (c) Angela Donatiello

3 Esso prende il nome di rapporto incrementale, in quanto è il rapporto tra l incremento della variabile dipendente e quello della variabile indipendente. Il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta secante la curva nei due punti A e B Esprime il tasso di variazione della funzione relativo all intervallo [c,c+] E un tasso di crescita se è positivo, un tasso di decrescita se negativo Si può interpretare ance come velocità media di variazione della funzione nell intervallo assegnato Se la funzione è una retta esso è costante, altrimenti varia, al variare dell intervallo Esempio. Il tasso di crescita di una popolazione maltusiana è un rapporto incrementale: n m N(t) N(t ) N(t ) Angela Donatiello 3

4 Esempio. Velocità media di un corpo. La velocità media è rappresentata dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo, indipendentemente dalla legge oraria considerata. v media s t s(t) t s(t t ) E interessante valutare ance la velocità istantanea di un corpo. Esempio. Controllo della velocità: tutor in autostrada e autovelo. Tutor misura la velocità media: v media t t t L autovelo misura la velocità istantanea, ossia una velocità media con l intervallo di tempo t v is tan tan ea t s t s t s(t s(t) t s(t Angela Donatiello ) s(t t ) )

5 Data una funzione y f (), il ite del rapporto incrementale, y f (c ) f (c) se esiste ed è finito si ciama derivata della funzione nel punto c e si indica con il simbolo f '(c) o df (c) d Esempio. Accelerazione media e accelerazione istantanea. (8..7) Angela Donatiello 5

6 Significato geometrico di derivata Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nei due punti A e B. Quando però, il punto B di coordinate B (c,f (c )) tende ad avvicinarsi al punto A di coordinate A (c,f (c)). La retta secante, tende quindi a diventare tangente alla curva nel punto A. Di conseguenze, il valore del rapporto incrementale tende e diventare il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva in A. Angela Donatiello 6

7 Il valore f '(c) y f (c ) f (c) derivata della funzione nel punto c, coincide con il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in c. Equazione della retta tangente Ricordiamo l equazione del fascio proprio di rette di centro un dato punto P y y m( ) y f (c) m( c) m f '(c) y f (c) f '(c)( c) Angela Donatiello 7

8 Punto stazionario: Data la funzione y f () e un suo punto = c, se f '(c) allora si dice = c è punto stazionario, ovvero un punto a tangente orizzontale. Derivata destra e sinistra f ' f ' (c) f (c ) f (c) derivata sinistra nel punto c (c) f (c ) f (c) derivata destra nel punto c Una funzione si definisce derivabile in un punto c se esistono finite le derivate destra e sinistra e sono uguali. Una funzione si definisce derivabile in un intervallo ciuso [a,b] se è derivabile in tutti i suoi punti interni e se esistono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. Angela Donatiello 8

9 Teorema. Se una funzione f () punto è ance continua. Continuità e derivabilità y è derivabile in un punto allora in quel Hp: f ( ) f ( ) finito T: f () f () Dim. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Calcolo il ite per di entrambi i membri, tenendo conto del fatto ce il ite della somma è la somma dei iti, il ite del prodotto è il prodotto dei iti e il ite di una costante è la costante stessa. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Angela Donatiello 9

10 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Ricordiamo l ipotesi: finito f ( ) f ( ) f '() f ( ) f ( Allora f '() (*) f ( ) f () f '() f () ) Pongo se Sostituendo nella (*) f () f () cioè la funzione è continua in. Angela Donatiello

11 Attenzione: Non vale il viceversa!!!! Il teorema non si può invertire!! E cioè possibile trovare funzioni continue in un punto, ma non derivabili in tale punto. Controesempio. La funzione valore assoluto f () Proviamo ce in = è continua, ma non derivabile. ) f () f () f () Pertanto possiamo affermare ce è continua in = Angela Donatiello

12 ) Valutiamo ora la derivata destra e la derivata sinistra: f ' () f ( ) f () f ' () f ( ) f () Pertanto la derivata destra e la derivata sinistra in = esistono finite, ma sono diverse, la funzione non è derivabile in = e si dice ce essa a in = un punto angoloso. Angela Donatiello

13 Punti di non derivabilità Punti angolosi E' un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra esistono finite,o almeno una delle due è finita, ma sono diverse. In questo caso la curva nel punto a due tangenti con pendenza diversa. f ' (c) f ' (c) Angela Donatiello 3

14 Cuspidi Un punto di cuspide è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite, ma con segno diverso. Cuspide verso il basso: f ' (c f ' (c ) ) Cuspide verso l alto: f ' (c f ' (c ) ) Angela Donatiello

15 Flessi a tangente verticale Un punto di flesso a tangente verticale è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite con lo stesso segno. In questo caso la retta tangente alla curva esiste ed è una retta parallela all asse y di equazione = c. f ' (c f ' (c ) ) f ' (c f ' (c ) ) Angela Donatiello 5

16 Funzione derivata: f '() : f ( ) f () REGOLE DI DERIVAZIONE D[k f ()] k f '() D[f () g()] f '() g'() D[f () g()] f '()g() f ()g'() n n D[f ()] n[f ()] f '() f '() D f () [f ()] f () f '()g() f ()g'() D g() [g()] Angela Donatiello 6

17 (dim. svolte in aula) Derivate fondamentali D(k) D() (sen) cos D(cos ) D sen D(a ) a ln a D(log a ) loga e D(tg) tg cos D(arcsin ) D(arctg) D(e ) e D(ln ) D( ) D(arccos ) Angela Donatiello 7

18 Derivata della funzione inversa Teorema. Sia f () sua inversa. Se f () zero, allora ance f (y) è derivabile e vale la relazione: Applicazioni y definita e invertibile in un intervallo I e sia f (y) la y è derivabile in ogni punto di I, con derivata diversa da D[f (y)] f '() D(arcsin ) D(arccos ) D(arctg) Angela Donatiello 8

19 Derivata della funzione composta Teorema. Se la funzione g è derivabile nel punto e la funzione f è derivabile in z g(), allora la funzione composta y f (g()) è derivabile in e la sua derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a. D[f (g())] df dz f '(z) g'() con z g() dz d Esempio. y z g() df dz Dy dz d 3 ( 3 ) in tal caso 3 3 y f (z) z z 3 z' ( ) (6 6 ) Esempio. y ln sen( 3 ) y' cos( ) sen( Angela Donatiello 9 )

20 Angela Donatiello Esempio. 3 arctg y 3 3arctg 3) ( arctg y' Esempio. arcsen y ) ( ) ( ) ( y'

21 Derivate di ordine superiore al primo Data la funzione y f (), la sua derivata y' f '() è una funzione della variabile, della quale a sua volta è possibile calcolare la derivata. Tale derivata prende il nome di derivata seconda y'' f ''(). In modo analogo si definisce la derivata terza, come la derivata della derivata seconda e così via. La derivata di una funzione è ance detta derivata prima. 3 Esempio. y f () 3 y' 3 3 '' 6 y () y y''' 6 Angela Donatiello

22 Angela Donatiello Derivate di funzioni definite per casi o contenente valori assoluti ln () f Determino il dominio della funzione C.E., D Poi valuto il segno dell argomento del modulo ln ln ln

23 Angela Donatiello 3 Si deduce ce l argomento è ln ln Posso quindi scrivere la funzione per casi: ln ln ln () f Determino ora la funzione derivata '() f

24 Attenzione!!!!!! Devo inizialmente escludere gli estremi, in quanto va controllato se in essi la funzione derivata esiste oppure no e pertanto vanno eventualmente esclusi dal dominio di derivabilità. Cosa succede in =? Valutiamo la derivata destra e la derivata sinistra. Se esse risultano diverse o non esistono o sono infinite, allora la funzione iniziale y = f() non risulta derivabile in = e dunque tale punto va escluso dal dominio di derivabilità. f ' () f ' () f ' () f ' () finite Pertanto la funzione in = non è derivabile e presenta un punto angoloso, D ', dominio di derivabilità Si osserva ce D' D Angela Donatiello

25 Determiniamo le due semirette tangenti in = f () ln P(; ) y m( ) f ' () t : y f ' () t : y Angela Donatiello 5

26 Esercizi. Determina la funzione derivata delle seguenti funzioni contenente moduli. y 6 y e y ln( ) Determina l equazione della retta tangente alla curva y e nel suo punto di intersezione con l asse y. [y = - + ] a b c y d ; 3 y ed inoltre si a ce f () Determina i coefficienti dell equazione grafico corrispondente passa per il punto tangente la retta sapendo ce il, nell origine a per Angela Donatiello 6

27 Determina i punti di discontinuità e di non derivabilità delle seguenti funzioni e indicane il tipo. f () e [= punto di discontinuità I specie; = punto angoloso; = p. disc. II specie] f () 3 3 [= cuspide; = flesso a tangente verticale] Angela Donatiello 7

28 Trova a e b, in modo ce la funzione sia continua e derivabile in tutto R a cos bsen f () [a= -, b = ] f () a bln 3 (a ) [a =, b = - 5/] Angela Donatiello 8

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1). G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata

Dettagli

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE Continuità e derivabilità Si studi la continuità e la derivabilità delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco { Si trovi, se possibile, a e b in modo che le

Dettagli

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un

Dettagli

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica

Dettagli

Variazione di una funzione

Variazione di una funzione a) Variazione di una funzione Variazione di : Δ= 2-1 Δf Variazione di f: Δf= 2-1 =f( 2 )-f( 1 ) b) 1 Δ 2 In questo caso a una variazione di, Δ, corrisponde una piccola variazione di f, Δf Δf In questo

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 1. DEFINIZIONI. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 TEOREMA DELL ESTREMANTE LOCALE. TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE 3. DETERMINAZIONE

Dettagli

TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità.

TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA. La condizione di continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità. PROF.SSA MAIOLINO D. TEORIA SULLE DERIVATE SECONDA CONTINUITA DELLE FUNZIONI DERIVABILI Se una unzione y( è derivabile in un punto 0, allora è continua in 0. La condizione di continuità di una unzione

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE INTERVALLI Per definire il campo di esistenza (o dominio) di una funzione reale di variabile reale y=f()si devono indicare talvolta insiemi di numeri reali che su

Dettagli

DERIVATA di una funzione

DERIVATA di una funzione DERIVATA di una unzione Sia e * A punto di accumulazione di A : A R * è il RAPPORTO INCREMENTALE * Il rapporto incrementale di calcolato in * rappresenta il coeiciente angolare della secante passante per

Dettagli

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p.

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. Calcolo Differenziale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 1/33 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine

Dettagli

Derivate delle funzioni di una variabile.

Derivate delle funzioni di una variabile. Derivate delle funzioni di una variabile. Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della matematica ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. I problemi

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

Argomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate

Argomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate 6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11)

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2007 Sessione suppletiva ESAME DI STAT DI LIE SIENTIFI RS DI RDINAMENT 7 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Rispetto a un sistema di assi cartesiani

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della

Dettagli

Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue applicazioni nel campo matematico e fisico.

Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue applicazioni nel campo matematico e fisico. Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue applicazioni nel campo matematico e fisico. Introduzione In matematica la derivata di una funzione è uno dei cardini dellanalisi matematica

Dettagli

Derivata di una funzione

Derivata di una funzione Derivata di una funzione Prof. E. Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it Il problema delle tangenti Quando si effettua lo studio delle coniche viene risolta una serie di esercizi che richiedono la

Dettagli

Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima

Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Massimi e minimi con la derivata prima pag. 1 di 6 Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Ricordiamo che il significato geometrico della derivata prima è quello di coefficiente angolare

Dettagli

DERIVATE. 1.Definizione di derivata.

DERIVATE. 1.Definizione di derivata. DERIVATE Definizione di derivata Sia y = f( una funzione continua Fissato un punto o appartenente all insieme di definizione della funzione y = f(,sia Po = (; f(o il punto di ascissa o appartenente al

Dettagli

Istituzioni di Matematica I

Istituzioni di Matematica I Istituzioni di Matematica I Le soluzioni proposte costituiscono solo una traccia di possibili soluzioni (lo studente deve giustificare i vari risultati), possono esserci altri modi, altrettanto corretti,

Dettagli

Richiami sullo studio di funzione

Richiami sullo studio di funzione Richiami sullo studio di funzione Per studiare una funzione y = f() e disegnarne un grafico approssimativo, possiamo procedere in ordine secondo i seguenti passi:. determinare il campo di esistenza (o

Dettagli

2. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA

2. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA . SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA Esempi 1. Un auto viaggia lungo un percorso rettilineo, con velocità costante uguale a 70 km/h. Scrivere la legge oraria s= s(t) e rappresentarla graficamente. 1. Scriviamo

Dettagli

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile 5//5 Calcolo dierenziale per unzioni di una variabile Derivata di una unzione De. Sia : a,br, si deinisce derivata di nel punto a,b il numero, se inito,: d dy, y,,, D, Dy d d 5//5 Derivata di una unzione

Dettagli

Problema ( ) = 0,!

Problema ( ) = 0,! Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente

Dettagli

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Le Derivate Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato durante

Dettagli

G5. Studio di funzione - Esercizi

G5. Studio di funzione - Esercizi G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA PROBLEMA 2. Figura 1

SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA PROBLEMA 2. Figura 1 www.matefilia.it SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA 216 - PROBLEMA 2 Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua f: [, + ) R, derivabile in ], + ), e sono indicate le coordinate

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

Una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse x. Calcola il dominio e l'immagine della funzione rappresentata nella seguente figura:

Una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all'asse x. Calcola il dominio e l'immagine della funzione rappresentata nella seguente figura: Vero o falso: [0,1] ha minimo 1 e massimo 0 (0,100 ] non ha minimo ma ha massimo 100 (0,5) è un intorno di 2 y=x 2 è invertibile y=x 2 è pari y=x 3 è pari Posto g( x)= x 2 e f (x )=x+1 allora g( f ( x))=(

Dettagli

= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 )

= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 ) ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.1 su derivate: la definzione Classe 5B Sc.Soc. Data:...... Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo

Dettagli

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci Dai la denizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0, illustra il suo signicato geometrico e serviti di tale denizione per dimostrare che f

Dettagli

Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti

Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti Introduzione Rette per uno e per due punti Rette per uno e per due punti Rette secanti e tangenti Derivata d una funzione in un punto successive Derivabilità a destra e a sinistra Rette per uno e per due

Dettagli

Argomento 6 Derivate

Argomento 6 Derivate Argomento 6 Derivate Derivata in un punto Definizione 6. Data una funzione f definita su un intervallo I e 0 incrementale di f in 0 di incremento h = 0 = il rapporto I, si chiama rapporto per = 0 + h =

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE

Dettagli

By Fabriziomax. Storia del concetto di derivata:

By Fabriziomax. Storia del concetto di derivata: By Fabriziomax Storia del concetto di derivata: Introduzione: La derivata fu inventata da Newton per risolvere il problema pratico di come definire una velocita e un accelerazione istantanea a partire

Dettagli

AMERICHE PROBLEMA 1

AMERICHE PROBLEMA 1 www.matefilia.it AMERICHE 16 - PROBLEMA 1 Considerata la funzione G: R R è così definita: svolgi le richieste che seguono. 1) x G(x) = e t sen (t)dt Discuti campo di esistenza, continuità e derivabilità

Dettagli

Sia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se

Sia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se PUNTI ESTREMANTI E PUNTI STAZIONARI. MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI E RELATIVI. TEOREMI DI FERMAT, ROLLE E LAGRANGE. CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER MASSIMI E MINIMI RELATIVI. PROBLEMI DI MASSIMO E

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (1) 22/11/2006 (civili + ambientali)

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (1) 22/11/2006 (civili + ambientali) a Prova parziale di Analisi Matematica I () ) Data la funzione f ( ) = tg + ln( cos ) a) determinare il campo di esistenza, b) calcolare il limite lim f ( ) π ) Definizione di limite finito: lim f ( )

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2017

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2017 SOLUZIONE DEL PROBLEMA TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 7. Studiamo la funzione f() per verificare che il suo grafico sia compatibile con il profilo della pedana. Dominio della funzione. R Eventuali simmetrie

Dettagli

24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y 2 domf con x 6= y, sidefinisceilrapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y) =

Dettagli

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0. 55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13 Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

FUNZIONI 3. calcolare: a) lim f ( x)

FUNZIONI 3. calcolare: a) lim f ( x) ) Data la funzione di equazione a) lim f ( ) b) lim f ( ) f FUNZIONI ), scriverne il dominio poi calcolare: 5 c) lim f ( ) d) lim f ( ) ( ± 5 ) Data la funzione di equazione f ( ) 5, scriverne il dominio

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME

ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 LE DISEQUAZIONI 1. Le disequazioni di primo e secondo grado 2. Le disequazioni di grado superiore al secondo e le disequazioni fratte

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne LA ERIVATA I UNA FUNZIONE Pro. Giovanni Ianne /22 Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P? Per una circonerenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. IL PROBLEMA

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 7 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 Si calcoli il ite della funzione x cosx x sen x, quando x tende a. x cosx x x sen x = [F. I. ] x x cosx x (1 sen x x ) x cosx 1 sen x x =

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A

ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 4 GIUGNO 206 FILA A Durata della prova: 2 ore e mezza. NOTA: Spiegare con molta cura le risposte. NOTAZIONE: log = ln = log e. Esercizio 5 punti) Sia

Dettagli

ITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio

ITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO

Dettagli

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale

5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale CAPITOLO 5 Calcolo differenziale 5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale Sia data la funzione f : X Y, e sia 0 X. Se la variabile indipendente passa dal valore 0 al valore 0 +, con molto

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero . Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],

Dettagli

ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE

ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE Determinare l incremento della funzione f (x) = x 2 relativo al punto x 0 e all incremento x x 0, nei seguenti casi:. x 0 =, x = 2 2. x 0 =, x =. 3. x 0 =,

Dettagli

Maturità Scientifica, Corso di ordinamento, Sessione Ordinaria

Maturità Scientifica, Corso di ordinamento, Sessione Ordinaria Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 7 Problema 1 Maturità Scientifica, Corso di ordinamento, Sessione Ordinaria 001-00 In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei

Dettagli

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo

Dettagli

STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1

STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo

Dettagli

Derivate delle funzioni di una variabile. Il problema delle tangenti

Derivate delle funzioni di una variabile. Il problema delle tangenti Derivate delle funzioni di una variabile Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più importanti di tutta la matematica sia per le sue implicazioni di natura puramente teorica,

Dettagli

Elementi di matematica - dott. I. GRASSI

Elementi di matematica - dott. I. GRASSI Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d uso comune nei libri, in televisione, nei quotidiani descrivere fenomeni di varia natura per mezzo di rappresentazioni grafiche. Tali

Dettagli

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione

Dettagli

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 16/11/2007

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 16/11/2007 Nome a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 6//7 ) Data la funzione ( ) = f e Calcolare il campo di esistenza e il suo comportamento agli estremi ) Definizione di derivata prima di una funzione f()

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe II A Turismo A.S. 2014/2015 Prof.ssa RUGGIERO ANGELA ISABELLA I NUMERI REALI Radicali: - Riduzione allo stesso indice e semplificazione - Alcune operazioni fra

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto

Dettagli

Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni

Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1 Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1. Date le funzioni f 1 (x) = x/4 1, f 2 (x) = 3 x, f 3 (x) = x 4 2x, scrivere a parole le operazioni che, dato x in modo opportuno, permettono di calcolare

Dettagli

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011 Prof. C. Perugini Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 010/011 Prof. C. Perugini Esercitazione n.1 1 Obiettivi dell esercitazione Ripasso di matematica Non è una lezione di matematica! Ha lo scopo

Dettagli

Studio di una funzione razionale fratta

Studio di una funzione razionale fratta Studio di una funzione razionale fratta Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo CDE? 2. La funzione presenta un asintoto verticale di equazione... x = 0 x =

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0.

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0. D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di

Dettagli

Derivazione. Capitolo DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Derivazione. Capitolo DERIVATA DI UNA FUNZIONE Capitolo 3 Derivazione 3.1. DERIVATA DI UNA FUNZIONE Sia data, nel piano cartesiano, una curva di equazione y = f(); di tale curva, sia fissato un punto P, individuato dall ascissa = P. Vogliamo calcolare

Dettagli

DERIV AT E. Arriviamo ora alla de nizione di derivata attraverso il concetto di rapporto incrementale.

DERIV AT E. Arriviamo ora alla de nizione di derivata attraverso il concetto di rapporto incrementale. DERIV AT E Il concetto di derivata di una funzione, è scaturito dal celebre problema della ricerca delle tangenti ad una curva in un suo punto, che ha lungamente impegnato i matematici prima di Newton

Dettagli

Derivata di una funzione

Derivata di una funzione Derivata di una funzione Derivabilità e derivata in un punto Sia y = f x una funzione reale di variabile reale di dominio D(f), e sia D(f). Si die he la funzione è derivabile in se esiste ed è finito il

Dettagli

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x Capitolo USO DELLE DERIVATE IN ECONOMIA Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione Si definisce derivata della funzione y f() nel punto 0 del suo insieme

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Esercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:

Esercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 +

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

Lezione 5 (9/10/2014)

Lezione 5 (9/10/2014) Lezione 5 (9/10/2014) Esercizi svolti a lezione Nota 1. La derivata di una funzione. Consideriamo una funzione f(x) : R R e definiamo il rapporto incrementale nel punto x 0 come r(h) = f(x 0 +h) f(x 0

Dettagli