Statistica. Motivazioni

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1 Statistica Docente: Massimiliano Grosso Dipartimento di Ingegneria Chimica e Materiali Università degli Studi di Cagliari grosso@dicm.unica.it Telefono: Web: 1 Motivazioni Esempi di applicazioni della statistica in problemi di interesse ingegneristico: nalisi di misure sperimentali Verifica di qualità di prodotti di fabbrica Studi demoscopici Quantificazione rischi connessi ad un processo ltro 2 Cenni Teoria della probabilità 1

2 Definizioni preliminari OOLZIONE Insieme di tutte le possibili osservazioni del processo che si intende studiare Esempi: Risultati delle elezioni politiche in un paese. Gradimenti dei telespettatori Misure sperimentali, in linea di principio infinite, che possono essere effettuate su un dato processo Qualità di un prodotto industriale (es: resistenza urti automobili, vita componenti elettronici, etc.) Gli elementi della popolazione presentano delle variazioni dovute a numerosi fattori la cui influenza non può essere prevista variazioni di tipo casuale 3 Definizioni preliminari Si possono contemplare due differenti tipi di popolazione: opolazione di tipo discreto: Ogni elemento della popolazione può assumere valori interi numerabili ma non dei valori intermedi Esempi di popolazioni discrete: opolazione: infiniti lanci opolazione: tutti i dipendenti Tutti i possibili (infiniti) esiti del lancio di un dado (numeri interi da 1 a 6) Giorni di assenza dal lavoro di un impiegato in un azienda nell arco dell anno solare (numeri interi compresi tra 1 e 250) 4 Cenni Teoria della probabilità 2

3 Definizioni preliminari opolazione di tipo continuo Ogni elemento della popolazione può assumere un qualunque numero reale Esempi di popolazione di tipo continuo: opolazione: altezze abitanti nazione opolazione: infinite misure sperimentali» ltezze (in cm) della popolazione di una nazione» Risultati di una misura di temperatura (o di qualunque altra grandezza fisica) 5 Definizioni preliminari In genere non è possibile conoscere il dettaglio di tutta la popolazione: La popolazione è costituita da un insieme infinito (come nel caso delle possibili misure sperimentali) È dal punto di vista pratico impossibile (come nel caso dei gradimenti televisivi e delle elezioni politiche) I dati di tutta la popolazione non sono disponibili (per esempio nella raccolta dati da una centralina di monitoraggio per gli inquinanti essi sono presi con una certa frequenza temporale) Non ha comunque senso applicativo (nel caso di analisi invasive, esempio: crash test delle vetture) 6 Cenni Teoria della probabilità 3

4 Definizioni preliminari CMIONE Insieme dei valori osservati. È pertanto un sottoinsieme della popolazione Esempi: I risultati rilasciati dai cosiddetti exit poll Il campione di telespettatori selezionati dall auditel Il numero finito di prove sperimentali che si è, nella realtà, effettuato (campagna sperimentale). Qualità misurata su un numero finito di articoli prodotti dall industria 7 Definizioni preliminari La statistica ha lo scopo di ottenere informazioni sulla popolazione generica a partire dalle informazioni ottenute dal suo sottoinsieme campione. Interpretazione grafica opolazione Statistica Campione Selezione campione (es.: campagne sperimentali) 8 Cenni Teoria della probabilità 4

5 Teoria delle robabilità Introduzione al concetto di processo aleatorio Definizione Variabile leatoria Definizione eventi Definizione funzione di probabilità Introduzione ssiomi di Kolmogoroff robabilità condizionata Indipendenza stocastica Motivazioni Il singolo esito di un processo aleatorio non è prevedibile a priori, anche dopo ripetute esecuzioni nelle stesse condizioni Si possono comunque individuare delle regolarità nell insieme dei risultati di un numero elevato di ripetizioni dello stesso esperimento ovvero si può modellare la casualità presente in una misura sperimentale La modellazione dell errore sperimentale è una modellazione di tipo statistico Modellazione opolazione Cenni Teoria della probabilità 5

6 Introduzione concetto processo aleatorio Esempio: Lancio dei dadi, lancio di una moneta L esito di tali processi è dominato completamente dalla casualità: nei fatti ciascun esito è imprevedibile Esempio: Misura sperimentale: L errore sperimentale non può essere controllato ed implica una deviazione dal valore vero che si intende misurare non noto a priori Schema di un esperimento Valore vero della quantità misurata y + Errore ε sperimentale Misura sperimentale ottenuta y+ε Obiettivi Nei prossimi lucidi si intende fornire le conoscenze di base per modellare un esperienza aleatoria (come può essere l esempio preso in esame) Lo sviluppo di un modello statistico per un processo è concettualmente ben distinto dallo sviluppo di un modello matematico di tipo deterministico. Scopo finale: introduzione della funzione probabilità che regola il processo aleatorio Sarà necessario fare qualche richiamo di teoria degli insiemi Cenni Teoria della probabilità 6

7 Teoria della robabilità Modellazione Esperimento leatorio Il modello matematico di un processo aleatorio ha lo scopo di prevedere le regolarità (statistiche) di un esperienza, non il singolo esito! Esempi: Lancio di un dado Quale è, per esempio, la frequenza della comparsa dei lati in cui sono rappresentati i numeri pari Lancio di una moneta La frequenza della comparsa della testa e/o della croce Misure sperimentali Il modello matematico deve prevedere, se esiste, il trend centrale delle misure sperimentali. Teoria della robabilità Spazio campione - Definizione L insieme di tutti i possibili risultati che può registrare una esperienza aleatoria prende il nome di spazio campione Uno spazio campione può essere finito o infinito, a seconda che esso sia costituito da un numero finito o infinito di elementi. Esempi: Lancio dei dadi: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Risultato di una misura sperimentale: esempio: Misura di una temperatura in un reattore Nel primo caso lo spazio campione è un insieme discreto finito, nel secondo caso è un insieme infinito continuo + = R Cenni Teoria della probabilità 7

8 Teoria della robabilità Evento Un evento E è un qualunque sottoinsieme dello spazio campione Esempi: Numeri pari nel lancio dei dadi: E = {2,4,6} Risultati sperimentali: temperature osservate superiori a 100 E = {T>100.0} Oppure che si osservi la temperatura T = E = L ultimo evento introdotto è un evento elementare. er definizione, gli eventi elementari non possono essere l unione di altri eventi Teoria della robabilità Evento Si possono introdurre i concetti di eventi complementari secondo le regole di insiemistica. E C = E Nel caso dei dadi: E C = {1,3,5} Nel caso del primo esempio di temperatura nel reattore: E C ={Τ 100.0} Un evento in cui non vi siano elementi si chiama evento impossibile e si indica con il simbolo Ø. Cenni Teoria della probabilità 8

9 Rappresentazione grafica degli eventi Insiemistica - Diagrammi di Venn ω E ω evento elementare ω Õ E Œ « Rappresentazione grafica degli eventi Insiemistica - Diagrammi di Venn E E c = E: E c : Evento complementare» = Ø e mutuamente esclusivi à Cenni Teoria della probabilità 9

10 Teoria della probabilità Spazio campione, Eventi, Spazio degli Eventi Il modello dell esperimento aleatorio deve permettere la previsione della frequenza con la quale si verifica ogni evento di interesse L evento, evento certo, si verifica sempre L evento Ø (insieme vuoto), evento impossibile, non si verifica mai L evento {ω} si chiama evento elementare Lo spazio degli eventi S è definito come l insieme di tutti gli eventi, elementari e non, associati ad un processo aleatorio. Teoria della probabilità Spazio degli Eventi Esempio: nel caso del lancio del dado lo spazio S di tutti i possibili eventi S = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {2,3},, {5,6}, {1,2,3}, {2,3,4},, {1,2,3,4,5,6}} In generale S gode delle seguenti proprietà: œ S œ S C œ S 1, 2 œ S 1» 2 œ S Cenni Teoria della probabilità 10

11 f Teoria della robabilità Definizione robabilità pproccio frequentista Il concetto di probabilità emerge direttamente dal concetto di frequenza relativa. Consideriamo il caso dei lanci dei dadi ed effettuiamo 10 lanci. 2, 3, 6, 3, 2, 2, 2, 2, 6, 5 È possibile valutare la percentuale di volte che si è verificato un dato evento elementare tramite la sua frequenza relativa: f ({ }) ({ ω} ) N ω = N Essendo N({ω}) il numero di volte che si verifica l evento {ω} N il numero totale di esperienze Teoria della robabilità Definizione robabilità pproccio frequentista Si può rappresentare la frequenza relativa su un istogramma: frequenza È possibile anche valutare le frequenze relative di altri eventi diversi da quelli elementari Esempio: ari e Dispari (1, 3, 5) (2, 4, 6) Dispari/ari Cenni Teoria della probabilità 11

12 Teoria della robabilità Definizione robabilità pproccio frequentista Considerando un campione di dati sperimentali di dimensioni maggiori (per esempio n=50), si ottiene un istogramma per le frequenze relative di questo tipo: frequenza ll aumentare del numero di prove sperimentali emerge una certa struttura nel grafico Teoria della robabilità Definizione robabilità pproccio frequentista Teoricamente per n la struttura della frequenza relativa non cambia più frequenza La frequenza con cui si verifica un evento elementare rimane costante all aumentare delle prove. Questo è vero anche per tutti gli elementi dello spazio degli eventi S (per esempio: numeri pari/dispari etc.) Cenni Teoria della probabilità 12

13 Teoria della robabilità Definizione robabilità Definizione frequentista della funzione probabilità: È possibile quindi definire in modo rigoroso la funzione probabilità del processo casuale in esame: ( E) lim f ( E) ( E) N = = lim N N N Si definisce spazio delle probabilità la tripletta (, S, ( )) er definizione la funzione di probabilità è una funzione: ( ): E S [ 0,1] Teoria della robabilità ssiomi di Kolmogoroff (1933) Una volta introdotto il concetto di probabilità per un evento di un processo stocastico, tutta la teoria della probabilità può essere sviluppate partendo da tre assiomi fondamentali: ( ) 0 E 1 E ( ) = 1 ( ) = ( ) + ( ) se = 0 Nel caso di spazi campioni infiniti la 3. può essere scritta: 3 bis. U Ej = ( Ej) se Ei Ek = 0 i, k j= 1 j Cenni Teoria della probabilità 13

14 Teoria della robabilità ssiomi di Kolmogoroff (1933) Sfruttando gli assiomi di Kolmogoroff è possibile ricavare tutte le proprietà della probabilità: Esempio Regola per insiemi complementari Dimostrazione: C ( ) = 1 ( ) C = e C = 0 C ( ) = 1 = ( ) ( ) + Teoria della robabilità roprietà da ssiomi di Kolmogoroff ltre proprietà che possono essere ricavate: 1. Regola di addizione per un numero finito di eventi mutualmente esclusivi: i k n = 0 i, k U j j= 1 2. Regola di addizione per eventi arbitrari = j= 1 3. robabilità dell evento impossibile: (Ø) = 0 ( ) = ( ) + ( ) ( ) n ( ) j Cenni Teoria della probabilità 14

15 Teoria della robabilità roprietà da ssiomi di Kolmogoroff 4. robabilità per insiemi inclusi:, S e 5. Disuguaglianza di oole: ( ) ( ) 6. ltre proprietà che si possono ricavare: n n,, K,, S in generale: ( ) 1 2 n U i i i= 1 i= 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 1 Teoria della robabilità Definizione robabilità Condizionata robabilità che si verifichi se si è verificato: ( ) = ( ) ( ) In maniera analoga si può definire la probabilità dell evento condizionato dall evento. ( ) = ( ) ( ) La 1) e la 2) sono valide se, rispettivamente, () 0 e () 0 2) 1) Cenni Teoria della probabilità 15

16 Teoria della robabilità Definizione robabilità Condizionata Le probabilità condizionate sono delle funzioni probabilità dato che soddisfano gli assiomi di Kolmogoroff per un qualunque insieme M 1. ( M) 0 per ogni evento 2. ( M) = 1 3. Nel caso e disgiunti (» M) = ( M) + ( M) Se Œ allora ( ) = 1 Se {i M}, i = 1,2, sono mutualmente esclusivi, allora ( 1» 2» M) = ( 1 M) + ( 2 M) + Teoria della robabilità robabilità condizionata Esempio: Uno scatola contiene 10 viti di cui 3 difettose. Estraiamo due viti a caso. Determinare la probabilità che nessuna vite estratta sia difettosa Evento : rima vite non difettosa Evento : Seconda vite non difettosa ()=7/10 Una volta estratta 1 vite restano nella scatola 9 viti quindi: ( )=6/9=2/3 La probabilità che anche la seconda vite sia difettosa è quindi: ( )=() ( )=47% Cenni Teoria della probabilità 16

17 Teoria della robabilità Indipendenza stocastica La nozione di indipendenza stocastica di eventi è fondamentale nella teoria della probabilità e nella pratica della sperimentazione: Definizione: Due eventi si dicono indipendenti se: ( ) ( ) ( ) = Dalla definizione di probabilità condizionata: ( )=() ( ) Nel caso in cui ( )=() () si ottiene: ( )=(). Ovvero qualunque cosa accada a essa non dà informazioni su. Quindi e sono indipendenti Teoria della robabilità Indipendenza stocastica Esempio: Riesaminiamo l esempio delle viti considerando di reimmettere nella scatola la vite estratta inizialmente. Intuitivamente, questo implica la perdita di informazione acquisita con il precedente risultato () = () = 0.7 ( ) = () () = 49 % Nota: Non si devono confondere eventi disgiunti con eventi indipendenti. Infatti due eventi disgiunti non sono indipendenti: Cenni Teoria della probabilità 17

18 Teoria della robabilità Indipendenza stocastica Da notare la profonda differenza concettuale tra i due esempi Nel primo caso, il verificarsi di un evento condiziona la probabilità degli eventi successivi. Nel secondo caso, il reimmettere la vite nel contenitore azzera le informazioni acquisite nella prima esperienza. Informazioni pregresse, da un punto di vista logico, possono implicare dipendenza tra i dati sperimentali. Teoria della robabilità - Indipendenza stocastica Esempi con i diagrammi di Venn ( ) = 1 ( ) = ( )/() = ()/() ( ) () ( ) = ( ) = 0 Cenni Teoria della probabilità 18