e n n xn ( 1) n ( 1) n n + 1 2e n x n 3n [ln x]n 1 n + 1 2e n 1

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1 1) Studiare la seguente serie di funzioni en ( 1) n n x n 2) Studiare la seguente serie di funzioni ( 1) n n + 1 2e n xn 3) Studiare la seguente serie di funzioni 3n [ln x]n 1 2n 4) Studiare la seguente serie di funzioni n + 1 2e n 1 x n 5) Studiare la seguente serie di funzioni e n n xn 6) Siano date le tre curve: γ 1 = {(x, y) lr 2 : x 2 + y 2 x = 0, y 0} γ 2 il tratto di curva di equazione polare ρ = e θ, con θ [0, π 2 ] γ 3 il segmento che unisce l origine con il punto (0, e π 2 ) 1

2 Dopo aver provato che la curva γ = γ 1 γ 2 γ 3 è chiusa, calcolare l area del dominio che essa racchiude. 7) Siano date le tre curve: γ 1 : { { x = t sin t x = 2π cos 3 y = cos t 1 t [0, 2π] γ t 2 : y = 2π sin 3 t t [0, π 2 ] γ 3 il segmento che unisce l origine con il punto (0, 2π) Dopo aver provato che la curva γ = γ 1 γ 2 γ 3 è chiusa, detto D il dominio che essa racchiude calcolare y dx dy D 8) Utilizzando il teorema di Gauss-Green, si calcoli x 2 dx dy D D = { (x, y) lr 2 : 1 x 2 + y 2 2 }. Successivamente, verificare l esattezza del risultato calcolando direttamente l integrale doppio. 9) Siano date le tre curve: γ 1 = {(x, y) lr 2 : x 2 + y 2 y = 0, x 0} γ 2 il tratto di curva di equazione polare ρ = e θ π 2, con θ [ π 2, π] γ 3 il segmento che unisce l origine con il punto ( e π 2, 0) Dopo aver provato che la curva γ = γ 1 γ 2 γ 3 è chiusa, calcolare l area del dominio che essa racchiude. 10) Utilizzando il teorema di Gauss-Green, si calcoli y 2 dx dy D D = { (x, y) lr 2 : 1 x 2 + y 2 3 }. Successivamente, verificare l esattezza del risultato calcolando direttamente l integrale doppio. 2

3 11) Calcolare il seguente integrale superficiale (y ln z) 1 + 2z 2 dσ Σ Σ = { (x, y, z) lr 3 : z = e x+y, x [ 1, 1], y [0, 1 x] }. 12) Calcolare il seguente integrale superficiale z x 2 + y 2 dσ Σ Σ = { (x, y, z) lr 3 : z = xy, x 2 + y 2 4, y 0, y x }. 13) Calcolare l area della seguente superficie { Σ = (x, y, z) lr 3 : z = 1 } 2 (x2 + 2y 2 ), x 2 + 4y 2 < 8, x 0. 14) Calcolare il seguente integrale superficiale 1 dσ 1 y 4 Σ = { Σ (x, y, z) lr 3 : z = x + } 2 2 y2, 0 x π 2, y sin x. 15) Calcolare il seguente integrale superficiale x 2 + y 2 dσ Σ z 3 Σ = { (x, y, z) lr 3 : (x, y, z) = (sin(uv), cos(uv), u), (u, v) Ω } con Ω = { (u, v) lr 2 : } 1 2 u v, v 1. 3

4 16) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere il seguente problema y 2y 5y + 6y = 2e x (1 6x) y(0) = 2 y (0) = 7 y (0) = 9 17) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere il seguente problema y + 2y + y + 2y = 30 cos x 10 sin x y(0) = 3 y (0) = 4 y (0) = 16 18) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere il seguente problema 4y 3y y = e x 2 (2 3x) y(0) = 1 y (0) = 15 y (0) = 17 19) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere il seguente problema y 2y 5y + 6y = 2e x (1 6x) y(0) = 2 y (0) = 7 y (0) = 9 20) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere il seguente problema 4

5 y + 2y + y + 2y = 30 cos x 10 sin x y(0) = 3 y (0) = 4 y (0) = 16 21) Ci sono due urne A e B che contengono delle palline numerate. L urna A contiene 6 palline di cui una numerata 1, due numerate 2 e tre numerate 3. L urna B contiene 9 palline di cui due numerate 2, tre numerate 3 e quattro numerate 4. Viene lanciato un dado truccato: se esce la faccia 6 viene estratta una pallina dall urna A, altrimenti viene estratta una pallina dall urna B. Sapendo che il dado è truccato in modo che la probabilità che esca una faccia con un numero pari è doppia di quella che esca una faccia con un numero dispari, calcolare: a) la probabilità che venga estratta una pallina numerata 2; b) la probabilità che nel lancio del dado sia uscita la faccia 6, sapendo che la pallina estratta è numerata 2. Successivamente, detta X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero della pallina estratta, determinare la densità, la media e la varianza di X. 22) Giulio, Carlo e Federico giocano al tiro con l arco. Si sa che la probabilità che Giulio colpisca il bersaglio è pari a 3 4, quella che Carlo colpisca il bersaglio è pari ad 1 2 e quella di Federico è pari ad 1 4. Si sa inoltre che i risultati dei lanci dei tre arcieri sono indipendenti. Calcolare a) la probabilità che nessuno di loro colpisca il bersaglio; b) la probabilità che esattamente due di loro colpiscano il bersaglio; c) la probabilità che Giulio colpisca il bersaglio sapendo che esattamente due di loro hanno colpito il bersaglio. Successivamente, Federico abbandona i due amici e Giulio e Carlo decidono di eseguire 4 tiri ciascuno. Detta X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero dei bersagli colpiti negli otto lanci dei due arcieri, determinare la densità, la media e la varianza di X. 23) Ci sono due urne A e B che contengono delle palline numerate. L urna A contiene 12 palline di cui due numerate 1, quattro numerate 2 e sei numerate 3. L urna B contiene 18 palline di cui quattro numerate 2, sei numerate 3 e otto numerate 4. Viene lanciato un dado truccato: se 5

6 esce una faccia con un numero pari viene estratta una pallina dall urna A, altrimenti viene estratta una pallina dall urna B. Sapendo che il dado è truccato in modo che la probabilità che esca una faccia con un numero pari è doppia di quella che esca una faccia con un numero dispari, calcolare: a) la probabilità che venga estratta una pallina numerata 2; b) la probabilità che nel lancio del dado sia uscita una faccia con un numero dispari, sapendo che la pallina estratta è numerata 2. Successivamente, detta X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero della pallina estratta, determinare la densità, la media e la varianza di X. 24) Giulio, Carlo e Federico giocano al tiro con l arco. Si sa che la probabilità che Giulio colpisca il bersaglio è pari a 1 3, quella che Carlo colpisca il bersaglio è pari ad 2 5 e quella di Federico è pari ad 1 2. Si sa inoltre che i risultati dei lanci dei tre arcieri sono indipendenti. Calcolare a) la probabilità che nessuno di loro colpisca il bersaglio; b) la probabilità che esattamente due di loro colpiscano il bersaglio; c) la probabilità che Giulio colpisca il bersaglio sapendo che esattamente due di loro hanno colpito il bersaglio. Successivamente, Federico abbandona i due amici e Giulio e Carlo decidono di eseguire 5 tiri ciascuno. Detta X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero dei bersagli colpiti nei dieci lanci dei due arcieri, determinare la densità, la media e la varianza di X. 25) Ci sono due urne A e B che contengono delle palline numerate. L urna A contiene 12 palline di cui sei numerate 1, due numerate 2 e quattro numerate 3. L urna B contiene 18 palline di cui otto numerate 2, sei numerate 3 e quattro numerate 4. Viene lanciato un dado truccato: se esce una faccia con un numero primo viene estratta una pallina dall urna A, altrimenti viene estratta una pallina dall urna B. Sapendo che il dado è truccato in modo che la probabilità che esca una faccia con un numero dispari è tripla di quella che esca una faccia con un numero pari, calcolare: a) la probabilità che venga estratta una pallina numerata 2; b) la probabilità che nel lancio del dado sia uscita una faccia con un numero primo, sapendo che la pallina estratta è numerata 2. 6

7 Successivamente, detta X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero della pallina estratta, determinare la densità, la media e la varianza di X. 26) Si consideri l esperimento del lancio di due monete e di un dado entrambi che esca croce è tripla di quella che esca testa. Il dado invece è truccato in modo che la probabilità che esca un numero dispari è doppia di quella che esca un numero pari. b) Detta X la variabile aleatoria numero sulla faccia del dado + numero di teste, determinare la funzione densità discreta di probabilità. avere due urne A e B. L urna A contiene 5 palline bianche ed 3 palline nere; l urna B, invece, contiene 4 palline bianche, 7 palline nere e 2 palline rosse. Se X 4 estraiamo una pallina dall urna A; se, invece, X > 4 estraiamo una pallina dall urna B. Calcolare a) la probabilità che la pallina estratta sia bianca; 27) Si consideri l esperimento del lancio di due monete e di un dado entrambi che esca testa è doppia di quella che esca croce. Il dado invece è truccato in modo che la probabilità che esca un numero pari è doppia di quella che esca un numero dispari. b) Detta X la variabile aleatoria eventuali numero pari sulla faccia del dado + numero di teste, determinare la funzione densità discreta di probabilità. avere due urne A e B. L urna A contiene 3 palline bianche e 6 palline nere; l urna B, invece, contiene 5 palline bianche, 2 palline nere e 2 palline rosse. Se X < 4 estraiamo una pallina dall urna A; se, invece, X 4 estraiamo una pallina dall urna B. Calcolare 7

8 a) la probabilità che la pallina estratta sia nera; 28) Si consideri l esperimento del lancio di due monete e di un dado entrambi che esca croce è quadrupla di quella che esca testa. Il dado invece è truccato in modo che la probabilità che esca un numero primo è tripla di quella che esca un numero non primo. b) Detta X la variabile aleatoria eventuale numero primo sulla faccia del dado + numero di teste, determinare la funzione densità discreta di probabilità. avere due urne A e B. L urna A contiene 4 palline bianche ed 5 palline nere; l urna B, invece contiene 2 palline bianche, 4 palline nere e 3 palline rosse. Se X 3 estraiamo una pallina dall urna A; se, invece, X > 3 estraiamo una pallina dall urna B. Calcolare a) la probabilità che la pallina estratta sia nera; 29) Si consideri l esperimento del lancio di due monete e di un dado entrambi che esca croce è doppia di quella che esca testa. Il dado invece è truccato in modo che la probabilità che esca un numero minore di 4 è tripla di quella che esca un numero maggiore o uguale a 4. b) Detta X la variabile aleatoria eventuali numero pari sulla faccia del dado + numero di croci, determinare la funzione densità discreta di probabilità. avere due urne A e B. L urna A contiene 8 palline bianche e 5 palline nere; l urna B, invece, contiene 5 palline bianche, 4 palline nere e 3 palline rosse. Se X 4 estraiamo una pallina dall urna A; se, invece, X > 4 estraiamo una pallina dall urna B. Calcolare 8

9 a) la probabilità che la pallina estratta sia nera; 30) Si consideri l esperimento del lancio di due monete e di un dado entrambi che esca testa è tripla di quella che esca testa. Il dado invece è truccato in modo che la probabilità che esca un numero pari è quadrupla di quella che esca un numero dispari. b) Detta X la variabile aleatoria eventuale numero primo sulla faccia del dado + numero di teste, determinare la funzione densità discreta di probabilità. avere due urne A e B. L urna A contiene 3 palline bianche ed 4 palline nere; l urna B, invece contiene 4 palline bianche, 6 palline nere e 2 palline rosse. Se X 3 estraiamo una pallina dall urna A; se, invece, X > 3 estraiamo una pallina dall urna B. Calcolare a) la probabilità che la pallina estratta sia bianca; 9