Esame di AM2 & EAP (270/04) a.a. 2009/10

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1 Quarto appello del 16 Luglio Un urna contiene delle palline numerate e distribuite in seguente maniera: Vengono estratte due palline senza rimpiazzo e siano X e Y rispettivamente il numero della prima e della seconda pallina estratta. 1.A. Calcolare E[X 2Y ], Var(X 2Y ) ed il coefficiente di correlazione ρ X,Y. 1.B. Trovare la densità congiunta della variabile bidimensionale (X, Y ) e calcolare la probabilità P { (X, Y ) A } dove A = { (X, Y ) R 2 : X > 1, Y 2 }. 2. Un chip elettronico ha un tempo di vita che segue una legge esponenziale di media µ = 4 ore. Non appena il chip smette di funzionare esso viene sostituito con un nuovo. 2.A. Qual è la probabilità che un chip scelto a caso abbia un tempo di vita compreso tra 3 e 8 ore? 2.B. Qual è la probabilità che un chip qualsiasi abbia un tempo di vita superiore a 5 ore? 2.C. Qual è la probabilità esatta che 32 chip non siano sufficienti per una settimana? Riportare un valore approssimativo per tale probabilità. 3. Dare la definizioni di speranza matematica per una variabile aleatoria discreta X e dimostrare le sue proprietà principali. Sia X una v.a. che segue la legge di Poisson P(λ). a) Qual è la densità di X? b) Calcolare la funzione di ripartizione di X, E[X] e Var (X). 4. Sia X una v.a. che segue la legge: X /3 p i 1/12 α 1/4 1/6 β 1/8 Trovare i valori dei parametri α e β in modo che 2 e 4 siano i valori più attesi di X.

2 Terzo appello del 25 Giugno Due dadi vengono lanciati entrambi. Il primo dado è equilibrato, mentre il secondo è stato truccato in maniera tale che 2 e 4 si ottengono con probabilità 1/5 e gli altri risultati sono equiprobabili. Sia X il risultato del lancio del primo dado e Y il risultato del secondo. 1.A. Calcolare P {X Y = 1}. 1.B. Qual è la probabilità che Y sia un numero pari sapendo che X Y = 1? 1.C. Calcolare E[X Y ] e Var(X Y ). Qual è il valore più atteso della v.a. X Y? 1.D. Trovare la densità congiunta della variabile bidimensionale (X, Y ) e calcolare la probabilità che X Y Con riferimento all esercizio precedente, i due dadi vengono lanciati più volte. Sia Z il numero dei lanci necessari per ottenere X Y = 1. 2.A. Qual è la legge della v.a. Z? 2.B. Quanto vale P {Z 7}? 2.C. Supponiamo di non avere ottenuto X Y = 1 nei primi 15 lanci. Qual è la probabilità che occorrono ancora 12 lanci per ottenere X Y = 1? 2.D. Qual è il numero atteso dei lanci necessari per avere X Y = 1? 3. Derivare la formula di Bayes. Enunciare e dimostrare la Legge dei Grandi Numeri. 4. Data la funzione f(x) = α e β 2x se x 0, 0 se x < 0. Quali condizioni devono verificare i parametri α e β in modo che f(x) sia densità di una variaile aleatoria X? Determinare una limitazione numerica superiore e indipendente da α e β per P {X > 10, 5}.

3 Secondo appello del 11 Giugno Un urna contiene 7 dadi di quali 4 sono equilibrati mentre gli altri 3 sono stati manipolati in modo tale che, per ciascuno di essi, la probabilità di ottenere 2 e 5 sia 1/3, mentre gli altri risultati sono equiprobabili. a) Un dado viene estratto a caso e lanciato. Si indica con X il risultato del lancio. Qual è la probabilità di ottenere 2? Quanto valgono E[X] e Var (X)? Qual è il valore più probabile di X? b) Un dado viene estratto a caso e lanciato ottenendo 5. Qual è la probabilità che si tratti di uno dei dadi squilibrati? 2. Un segnale consiste in una parola di n bit, ciascuno dei quali può assumere i valori 0 oppure 1. Nel corso della trasmissione ogni bit può essere distorto (cioè può essere mutato da 0 a 1 oppure da 1 a 0) con probabilità p = a) Qual è il numero medio dei bit distorti in un segnale di 50 bit? b) Qual è la probabilità che: b.1) un segnale di 6 bit contenga al meno 3 bit distorti? b.2) un segnale di 50 bit contenga non più di 3 bit distorti? b.3) un segnale di 359 bit contenga un numero di bit distorti compreso tra il 24 e 36? 3. Dare la definizione di uno spazio di probabilità. Derivare la formula della probabilità totale. Enunciare il Teorema Limite Centrale e discutere la sua applicazione ad una v.a. X B(n, p). Dare la definizioni di varianza per una variabile aleatoria X e discutere la legame con la disugugianza di Chebyshev. Dare la definizione di densità congiunta per una variabile aleatoria discreta bidimensionale (X, Y ). Discutere la legame con le densità marginali di X e Y. Sia X una v.a. che segue la legge Esponenziale E(λ). a) Qual è la densità di X? b) Trovare la funzione di ripartizione di X, E[X] e Var (X).

4 Esonero di Calcolo di Probabilità (3 CFU) (8 Aprile 2010) Traccia A Tutti i riferimenti alle formule/risultati DEVONO essere giustificati. 1. Due urne contengono delle palline numerate e distribuite in seguente maniera: a) Una pallina viene estratta a caso e sia X il suo numero. Qual è la probabilità di ottenere 3? Quanto valgono E[X] e Var (X)? b) Una pallina viene estratta a caso ottenendo 5. Qual è la probabilità che si tratti di una pallina estratta dalla seconda urna? 2. Con riferimento alle urne dell esercizio precedente si estraggono due palline con rimpiazzo. a) Calcolare E[2X Y ] e Var (2X Y ) dove X e Y sono rispettivamente i numeri della prima e della seconda pallina estratte. b) Trovare la densità congiunta della variabile bidimensionale (X, Y ) e calcolare la probabilità P { (X, Y ) A } dove A = { (X, Y ) R 2 : X > 2, Y 4 }. 3. Un dado è stato truccato in modo che il 4 si ottiene con probabilità p = a) Qual è il numero medio dei 4 ottenuti in 27 lanci del dado? b) Qual è la probabilità: b.1) di ottenere non più di 2 volte 4 in 7 lanci del dado? b.2) di ottenere al meno 4 volte 4 in 50 lanci del dado? b.3) di ottenere k volte 4 in 390 lanci del dado dove k [33, 40]?

5 Esonero di Calcolo di Probabilità (3 CFU) (8 Aprile 2010) Traccia B Tutti i riferimenti alle formule/risultati DEVONO essere giustificati. 1. Due urne contengono delle palline numerate e distribuite in seguente maniera: a) Una pallina viene estratta a caso e sia X il suo numero. Qual è la probabilità di ottenere 4? Quanto valgono E[X] e Var (X)? b) Una pallina viene estratta a caso ottenendo 3. Qual è la probabilità che si tratti di una pallina estratta dalla prima urna? 2. Con riferimento alle urne dell esercizio precedente si estraggono due palline con rimpiazzo. a) Calcolare E[X 2Y ] e Var (X 2Y ) dove X e Y sono rispettivamente i numeri della prima e della seconda pallina estratte. b) Trovare la densità congiunta della variabile bidimensionale (X, Y ) e calcolare la probabilità P { (X, Y ) A } dove A = { (X, Y ) R 2 : X 3, Y > 2 }. 3. Un dado è stato truccato in modo che il 3 si ottiene con probabilità p = a) Qual è il numero medio dei 3 ottenuti in 48 lanci del dado? b) Qual è la probabilità: b.1) di ottenere non più di 4 volte 3 in 6 lanci del dado? b.2) di ottenere al meno 5 volte 3 in 60 lanci del dado? b.3) di ottenere k volte 3 in 430 lanci del dado dove k [23, 30]?