Comportamento a regime dei sistemi in retroazione per segnali di ingresso canonici

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1 Comortamento a regime dei itemi in retroazione er egnali di ingreo anonii

2 Errore a regime ed ineguimento Un obiettivo rimario nella rogettazione dei itemi di ontrollo è l ineguimento del egnale di riferimento Analizziamo le rorietà di ineguimento dei itemi di ontrollo in retroazione a regime er egnali anonii alolando l errore di ineguimento ogni egnale uò eere viluato in erie di Taylor ed eere aroimato da una.l. di egnali anonii

3 R E - Y E R - Y R - R R Analizziamo il omortamento a regime di E er egnali di ingreo anonii gradino, rama, arabola.. R r t k k gradino k rama k 2 arabola k t k! ell iotei he il itema a ilo hiuo ia tabile, oiamo aliare il teorema del valore finale

4 k t R E t e e k e Affinhè l errore a regime ia finito, devono emlifiari i k oli nell origine Poihé: il numero di oli nell origine di oinide on il numero di zeri nell origine di / on

5 efiniamo tio di un itema il numero di oli nell origine he oiede: Sitema di tio zero: non ha oli nell origine Sitema di tio uno: ha un olo nell origine Sitema di tio due: ha due oli nell origine.

6 Errore al gradino er un itema di tio zero k e on k oizione otante di k k e errore è finito e diminuie all aumentare del guadagno di Bode di

7 Errore al gradino er un itema di tio uno e k on k e erhè errore è nullo, a regime i ottiene l ineguimento erfetto o teo aade er itemi di tio due, tre.

8 Errore alla rama er un itema di tio zero k e on k e

9 Errore alla rama er un itema di tio uno k e on k v k e ~ ~ ~ veloità otante di ~ k o v

10 Errore alla rama er un itema di tio due k e on k ~ ~ e

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13 Se un itema non ha il numero di oli nell origine neeari a garantire l errore a regime rihieto, è oibile introdurli tramite il ontrollore Analogamente il ontrollore uò modifiare il valore dell errore a regime introduendo un guadagno oortuno e rorietà di ineguimento a regime oono quindi eere modifiate da un ontrollore del tio: on k ed l oortuni C k l C è detto ontrollore tatio inerimento del ontrollore tatio ridue il margine di fae del itema e uò renderlo intabile

14 Eemio ato il roeo on f.d.t.: P 2 rogettare un ontrollore he garantia: - errore a regime er un ingreo a gradino nullo - errore a regime er un ingreo a rama <

15 Il roeo è di tio zero, quindi e venie hiuo in retroazione unitaria reenterebbe errore al gradino finito e ari a: e k P.5.6 Verifihiamolo:.35 Ste Reone >> /2; >> wfeedbak, Tranfer funtion: >> tew Amlitude Time e

16 Per avere errore al gradino nullo è neeario he C*P ia di tio, er avere errore alla rama < è neeario he il guadagno di ia oortuno, la f.d.t. di C dovrà quindi eere del tio Ck/ Caloliamo k: e ram k > 2 k v k 2 2 k < C 2

17 >> 2/; >> l*; >> wfeedbakl, Tranfer funtion: ^2 2 2 >> tew >> figure >> t[:.:]; >> w,t,t Amlitude Amlitude Ste Reone Time e inear Simulation Reult Time e

18 Analii della tabilità Verifihiamo l effetto he ha l aggiunta di C ulla tabilità robuta del itema a ilo hiuo: Bode iagram Gm Inf, Pm Inf 4 Bode iagram Gm Inf db at Inf rad/e, Pm 65.5 deg at.9 rad/e Magnitude db Magnitude db Phae deg -45 Phae deg Frequeny rad/e margin -8-2 Frequeny rad/e margin*

19 yquit iagram 8 yquit iagram Imaginary Axi Real Axi Imaginary Axi Real Axi nyquit nyquit*

20 Analii in frequenza del itema a ilo hiuo >> wfeedbak, Tranfer funtion: >> w2feedbak*, Tranfer funtion: ^2 2 2 >> bodew,w2 Con l inerimento di C: - Si nota he la w2 ha modulo db alle bae frequenze, garantendo un buon ineguimento a regime er egnali inuoidali di ulazione inferiore alla banda aante - Si ha una riduzione della banda aante Magnitude db Phae deg B ode iagram -2-2 F requ en y rad / e w w2

21 Analii tramite luogo delle radii Root ou.8 Root ou Imagin ary Axi Sytem: untitled Gain:.748 Pole: -.74i aming:. 88 Overhoot %:.5 Frequeny rad/e: rlou Real Axi rlou* Real Axi Il itema a ilo hiuo ha emre una dinamia di rimo ordine Il itema a ilo hiuo al reere di k uò avere una dinamia di eondo ordine on: Taot T reente S% reente

22 eemio ato il roeo on f.d.t.: P 5 2 rogettare il omenatore tatio in modo da avere: - errore al gradino nullo - errore alla rama<.

23 Il roeo è di tio uno, quindi meo in retroazione unitaria ha già errore al gradino nullo ed errore alla rama finito e ari a: e ram > delle eifihe.4 Ste Reone inear Simulation Reult Amlitude.8.6 Amlitude Time e Time e

24 Si deve introdurre un ontrollore er aumentare oortunamente il guadagno: e ram.4 k > 4. C 4 5k 2 2 5k <.

25 .5 Ste Reone w w 9 inear Simulation Reult 8 7 Amlitude.5 Amlitude Time e >> wfeedbak,; >> wfeedbak4*,; >> tew,w Time e >> w,t,t >> hold Current lot held >> w,t,t Il itema è iù veloe a ovraelongazione è aumentata errore alla rama è diminuito

26 Analii in frequenza del itema a ilo aerto tabilità robuta 8 yquit iagram 6 Bode iagram Gm Inf db at Inf rad/e, Pm 25.2 deg at 4.25 rad/e Imaginary Axi Sytem: Real: -.25 Imag: 45 Frequeny rad/e: Magnitude db Phae deg Real Axi -8-2 Frequeny rad/e a ulazione di attraveramento è aumentata Il margine di fae è diminuito Il itema a ilo hiuo è omunque tabile

27 Analii in frequenza del itema a ilo hiuo 2 Bode iagram Magnitude db Phae deg w w bodew,w -8-2 Frequeny rad/e Sono aumentati modulo alla rionanza e banda aante

28 eemio ato il roeo on f.d.t.: P 5 2 rogettare il omenatore tatio in modo da avere: - errore al gradino nullo - errore alla rama<.

29 È lo teo del reedente ma deve eere: e ram.4 k > 4. C 4 5k 2 2 5k <. 2.8 Ste Reone Ste Reone Amlitude Time e Sitema a ilo hiuo enza omenatore tatio Amlitude Time e Sitema a ilo hiuo on omenatore tatio: È diventato intabile

30 Bode iagram Gm.58 db at.4 rad/e, Pm 5.2 deg at.29 rad/e 5 Bode iagram Gm -5.5 db at.4 rad/e, Pm deg at 2.5 rad/e Magnitude db Magnitude db Phae deg Frequeny rad/e Senza omenatore Phae deg Frequeny rad/e Con omenatore In queti ai è neeario introdurre, oltre al omenatore tatio, un altro omenatore he tabilizzi il itema a ilo hiuo enza modifiare guadagno E tio di

31 Errore a regime er diturbi anonii ulla atena diretta R - C P f Conideriamo un itema di ontrollo in retroazione u ui agie un diturbo additivo f ulla atena diretta Obiettivo del ontrollore è quello di rendere traurabile l azione del diturbo ull uita del itema ontrollato Ci ouiamo dell effetto a regime di diturbi otanti gradino o a rama

32 Agendo er ovraoizione degli effetti onideriamo nullo R e aloliamo la f.d.t. tra uita e diturbo P C Y f f a f.d.t ha lo teo denominatore della f.d.t. tra ingreo ed uita, e il itema è tabile er alolare l uita a regime quando agie il diturbo i uò uare Il teorema del valore finale y f f

33 Se il diturbo è un gradino ed il itema è di tio i ha: y f k quindi e i vuole he a regime il diturbo abbia una ara influenza ull uita i deve aumentare il guadagno di Analogamente a quanto vito reedentemente i ottiene he er annullare l uita er un diturbo a gradino è neeario avere un itema di tio o ueriore

34 Anhe er diturbi di tio rama valgono i riultati ottenuti reedentemente: itema di tio : uita a rama itema di tio : uita a gradino, inveramente roorzionale a kv itema di tio 2: uita nulla

35 Conideriamo ora un diturbo agente ull uita del ontrollore: R - C f P a f.d.t. tra uita e diturbo è: P Y f C P

36 P C P Y f f f f Conideriamo un diturbo a gradino e alihiamo il teorema del valore finale: y Se ia C he P ono di tio, l uita a regime ha un valore finito e non nullo y

37 Se P è di tio : ~ y Se C è di tio : ~ ~ y In generale: Per annullare l effetto di un diturbo a gradino è neeario he ia reente un olo nell origine nella f.d.t. del itema a monte del unto di ingreo del diturbo

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