George Boole ( )
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- Albina Perini
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1 Mtemtic Alger di Boole Cpitolo 5 Ivn Zivko George Boole ( ) Mtemtico inglese del dicinnovesimo secolo, ffrontò in modo originle prolemi di logic. Le sue teorie trovno forte ppliczione un secolo più trdi con lo sviluppo dell tecnologi informtic. Docente: Ivn Zivko 1
2 Mtemtic Introduzione L logic si è sviluppt con l inizio di un pproccio lgerico llo studio del vero e del flso di proposizioni (frsi) composte d enunciti più piccoli. Esempio: «il sole è un stell» è un frse ver, «l terr è pitt» invece è un frse fls. E le seguenti frsi composte sono vere o flse? «il sole è un stell e l terr è pitt» «il sole è un stell o l terr è pitt» Introduzione Per fcilitre lo studio gli enunciti vengono indicti con delle lettere minuscole: = «il sole è un stell» = «l terr è pitt» Docente: Ivn Zivko 2
3 Mtemtic Introduzione Il vero e il flso sono invece sostituiti d i numeri zero e uno: Vero=1 Flso=0 Gli opertori logici Docente: Ivn Zivko 3
4 Mtemtic L congiunzione (AND) Per l opertore AND in informtic e mtemtic ci sono diversi simoli usti dipendenz del linguggio, d esempio: *, &, & &, Nell lger di Boole il simolo usto per l AND è quello dell moltipliczione. L congiunzione (AND) Quindi l frse «il sole è un stell e l terr è pitt» potrà essere sintetizzt nell lger di Boole con: Docente: Ivn Zivko 4
5 Mtemtic L congiunzione (AND) Un proposizione compost d enunciti legti d opertori AND è ver solo se tutti gli enunciti sono veri. " il " l sole terr è un stell" è pitt" 1 0 0, è, è flso vero L congiunzione (AND) Qundo non si conosce l verità o flsità dei singoli enunciti isogn costruire l tell di verità per tutti i csi possiili Docente: Ivn Zivko 5
6 Mtemtic L disgiunzione (OR) Per l opertore OR i diversi simoli possiili sono:,,, Nell lger di Boole il simolo usto per l OR è quello dell somm. L disgiunzione (OR) Quindi l frse «il sole è un stell o l terr è pitt» potrà essere sintetizzt nell lger di Boole con: Docente: Ivn Zivko 6
7 Mtemtic L disgiunzione (OR) Un proposizione compost d enunciti legti d opertori OR è ver nche se un solo enuncito è vero. " il " l sole terr è un stell" è pitt" 1 0 1, è, è flso vero L disgiunzione (OR) L tell di verità dell opertore OR risult quindi: Docente: Ivn Zivko 7
8 Mtemtic L negzione (NOT) I diversi simoli per l opertore NOT sono: x, ~,, Nell lger di Boole il simolo usto è quello di un rr sopr l letter.! L negzione (NOT) L negzione è l unico opertore che può essere pplicto nche un singolo enuncito. " il " l sole terr è un stell" è pitt" , è, è flso vero Docente: Ivn Zivko 8
9 Mtemtic L negzione (NOT) L tell di verità dell opertore NOT risult quindi: L disgiunzione esclusiv (XOR) I simoli usti per l opertore XOR sono:,,, ^ L opertore XOR d un risultto vero solo se uno soltnto dei due enunciti è vero; se tutti gli enunciti sono veri llor il risultto srà flso. Docente: Ivn Zivko 9
10 Mtemtic L disgiunzione esclusiv (XOR) Esempio: " i soldi " i soldi sono sono " i soldi in nel soldi tsc" cssetto" o sono in tsc o nel cssetto" L incomptiilità logic (NAND) Il suo simolo può essere: Assume vlore flso solo se gli enunciti che lo compongono sono entrmi veri Docente: Ivn Zivko 10
11 Mtemtic L incomptiilità logic (NAND) Oss.: l opertore NAND è il contrrio dell opertore AND, inftti detto per esteso sree NOT AND. L negzione congiunt (NOR) Il suo simolo può essere: Assume vlore vero solo se gli enunciti che lo compongono sono entrmi flsi Docente: Ivn Zivko 11
12 Mtemtic L negzione congiunt (NOR) Oss.: l opertore NOR è il contrrio dell opertore OR, inftti per esteso sree NOT OR. Il suo simolo è: Il condizionle (IMP) x y x " Hi studito" " Pssi l' esme" y " Se hi studito llor pssi l' esme" Se hi studito e pssi l esme risult quindi un frse giust: x y x y Docente: Ivn Zivko 12
13 Mtemtic Il condizionle (IMP) L tell del condizionle risult: Il condizionle può essere ricvto prtire d ltri opertori: Il suo simolo è: Il icondizionle (EQV) x y y " Hi studito" " Pssi l' esme" x " Pssi l' esme se e solo se hi studito" Il icondizionle è quindi un opertore di equivlenz, cioè srà vero solo se i due enunciti hnno lo stesso vlore. Docente: Ivn Zivko 13
14 Mtemtic Il icondizionle (EQV) L tell del icondizionle risult: Espressioni composte Chirmente un cert situzione potrà essere compost d più opertori e lettere, d esempio l espressione: E ( c ) L oiettivo potrà essere quello di semplificre tle espressione e ricvre l su tell di verità. d f Docente: Ivn Zivko 14
15 Mtemtic Tvole di verità Tvole di verità Per descrivere il vlore di verità di un espressione compost doimo costruire l tvol di verità studindo il vlore ssunto dlle sue singole componenti. Esempio: E Docente: Ivn Zivko 15
16 Mtemtic Esempio 2: Tvole di verità E ( ) c c c Tipi di espressioni Tutologie: espressioni sempre vere, possono essere indicte con l letter v oppure con un 1. E 1 v Docente: Ivn Zivko 16
17 Mtemtic Tipi di espressioni Contrddizioni: espressioni sempre flse, possono essere indicte con l letter f oppure con un 0. E 0 f Tipi di espressioni Soddisfciili: è il cso più frequente, cioè qundo l espressione può ssumere si vlori veri che flsi. E Docente: Ivn Zivko 17
18 Mtemtic Proprietà e leggi dell logic Proprietà e leggi dell logic Oss.1: Spesso un espressione può essere semplifict usndo le leggi dell logic. Oss.2: si usno le prentesi per dre l precedenz d un operzione rispetto d un ltr. Oss.3: per convenzione l negzione (NOT) h l precedenz sugli ltri opertori. Dopo quest ultim in ssenz di prentesi h precedenz l congiunzione (AND). Gli ltri opertori sono sullo stesso pino. Docente: Ivn Zivko 18
19 Mtemtic Docente: Ivn Zivko 19 Proprietà e leggi dell logic Proprietà di idempotenz (AND, OR): Proprietà commuttiv (AND, OR): Proprietà e leggi dell logic Proprietà ssocitiv (AND, OR): Legge dell doppi negzione(not): ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c
20 Mtemtic Docente: Ivn Zivko 20 Proprietà e leggi dell logic Leggi di De Morgn: Proprietà e leggi dell logic Proprietà distriutive (AND, OR): c c c c
21 Mtemtic Docente: Ivn Zivko 21 Proprietà e leggi dell logic Leggi di ssorimento: Proprietà e leggi dell logic Leggi di ssorimento:
22 Mtemtic Proprietà e leggi dell logic Eliminzione del condizionle: Eliminzione del icondizionle: Leggi del completmento Spesso è utile spere le leggi di completmento: x x x x 0 1 Docente: Ivn Zivko 22
23 Mtemtic Semplificzione di espressioni logiche Le proprietà e le leggi possono essere uste per semplificre un espressione. Esempio: Semplificzione di espressioni logiche Esempio 2: + = Docente: Ivn Zivko 23
24 Mtemtic Dimostrzione di leggi Per dimostrre le leggi e le proprietà si possono usre le tvole di verità, oppure le ltre leggi, come nell esempio che segue. Esempio: dimostrimo = Principio di dulità Osservimo che in molte leggi c è un cert simmetri, che possimo rissumere nel seguente principio: D ogni uguglinz vlid nell lger di Boole se ne può trrre un ltr scmindo + con e 0 con 1. Ad esempio x+0=x è l legge dule di x 1=x. Docente: Ivn Zivko 24
25 Mtemtic Connettivi in modulo 2 È possiile ricvre delle formule (che vnno vlutte in modulo 2) che dnno come risultto il vlore delle operzioni logiche. Operzione logic Vlore (mod 2) Form Normle Disgiuntiv (f.n.d) Docente: Ivn Zivko 25
26 Mtemtic Letterle Form normle disgiuntiv Per letterle si intende un letter o l su negt: x y x z... Form normle disgiuntiv Prodotto fondmentle: Per prodotto fondmentle si intende un prodotto di letterli senz però ripetizioni di lettere (negte o non): xy yh Un letterle è nche un prodotto fondmentle. Non lo sono invece per esempio: xyx c yhy x z cc Docente: Ivn Zivko 26
27 Mtemtic Form normle disgiuntiv Prodotti inclusi: Un prodotto si dice incluso in un ltro se tutti i suoi letterli (con le stesse negzioni) sono completmente contenuti nel secondo. Consider: xy xyz xzy Il primo prodotto è incluso nel terzo! Form normle disgiuntiv Form normle disgiuntiv: Un espressione in f.n.d è un somm di prodotti fondmentli, in cui nessun prodotto è incluso in un ltro! Esempio: xy xz xyz Invece l seguente non è in f.n.d.: xy xz xyz z z Docente: Ivn Zivko 27
28 Mtemtic Metodo lgerico per pssre ll f.n.d Ogni espressione logic si può mettere in f.n.d. sfruttndo le leggi e le proprietà viste. Esempio: c c Form normle disgiuntiv complet Un f.n.d. si dice complet se tutti i suoi prodotti fondmentli possiedono tutte le lettere. Ad esempio: xyz xyz xyz xyz Docente: Ivn Zivko 28
29 Mtemtic Metodo per completre le f.n.d. Completimo d esempio l seguente f.n.d.. 2 Metodo per completre le f.n.d. Per portre un qulsisi espressione in f.n.d.c. si può usre un metodo prtico che sfrutt l tvol di verità dell espressione stess. Accnto ogni rig che ssume vlore 1 isogn ricvre un prodotto fondmentle contenente tutti i letterli. Docente: Ivn Zivko 29
30 Mtemtic 2 Metodo per completre le f.n.d. Esempio : E ( ) c c c Circuiti logici Docente: Ivn Zivko 30
31 Mtemtic Circuiti logici I circuiti logici sono circuiti il cui ingresso consiste di uno o più it e l uscit di un solo it. Si possono costruire cominndo tr loro circuiti elementri dette porte logiche. Port AND Docente: Ivn Zivko 31
32 Mtemtic Port OR Port NOT Docente: Ivn Zivko 32
33 Mtemtic Port NAND Port NOR Docente: Ivn Zivko 33
34 Mtemtic Port XOR Esempio di circuito logico Costruimo il circuito logico dell seguente espressione: x y Docente: Ivn Zivko 34
35 Mtemtic Prolem Implementre il seguente prolem in un circuito logico: tre dirigenti di un industri (,,c) prendono decisioni mggiornz ssolut. Docente: Ivn Zivko 35
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Equazioni di secondo grado Capitolo
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Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti
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