15. Serie Numeriche. I processi di somma infinita compaiono fin dall antichità. Aristotele nella Fisica è cosciente del fatto che la serie geometrica

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1 5. Serie Numeriche I processi di somma ifiita compaioo fi dall atichità. Aristotele ella Fisica è cosciete del fatto che la serie geometrica + q + q 2 + q ha somma fiita se q < e Fraçois Viète ( ) calcola el q + q 2 + q 3 + = q. Nel medioevo Nicole d Oresme ( ) dimostra che la serie armoica è divergete. I processi ifiiti di somma soo ache utilizzati per cofutare i paradossi di Zeoe. Ma è co la ascita del Calcolo ad opera di Sir Isaac Newto ( ) e Gottfried vo Leibiz (646 76) che le serie ifiite divetao parte itegrate del calcolo differeziale e itegrale. I questo capitolo illustriamo alcui metodi per lo studio della covergeza dei processi di somma ifiita o serie, discutedo vari esempi. Il processo di somma Data ua successioe {a } R, si puo costruire ua uova successioe {s } sommado via via i termii della successioe {a }, i.e., poedo { s 0 = a 0, (5.) s + = s + a +, 0, cioè s := a + a a = a j. La successioe {s } si chiama la successioe delle somme parziali di a o ache serie della successioe a e si usa idicarla co il simbolo

2 82 5. Serie Numeriche Figura 5.. P j = ( + )/ a j. Isomma la frase si cosideri la serie a j, è sioimo di si cosideri la successioe delle somme parziali a j, 0 della successioe a. 5. Esempio (Somma dei primi aturali). Per ogi aturale c è ua formula chiusa, i.e. ua formula algebrica co u umero di operazioi da effettuare idipedete da, per la somma dei primi aturali. Si ha S () := = X j = ( + ). (5.2) 2 Se e possoo dare varie dimostrazioi. (i) Sembra che la seguete dimostrazioe sia stata data da Gauss all età di sette ai. Si scrive S () = ( ) + S () = + ( ) , e sommado le due eguagliaze si ottiee 2S () = ( + ) + ( + ) + + ( + ) = ( + ). (ii) Dispoedo quadrati di lato come i Figura 5., l area totale dei quadrati tratteggiati è S () = ( + ) =. 2 2 (iii) La successioe x := ( + )/2, 0, soddisfa le 8 < x 0 = 0, : x + = x + ( + ), 0. che defiiscoo apputo S (). 5.2 Esempio (Somma dei termii di ua progressioe geometrica). Sia x R. La serie x j si chiama serie geometrica di ragioe x. È apputo la somma della progressioe geometrica, x, x 2, x 3,.... C è ua formula chiusa per le somme parziali della progressioe geometrica. 4 ovembre 2003

3 5. Serie Numeriche Proposizioe. Si ha 8 X >< q + x j se x, = q >: + se x =. Dimostrazioe. Se q = ovviamete P qj = +. Se ivece q, si puo procedere i molti modi. Ad esempio si puo osservare che x + = ( x)( + x + x x ) oppure mostrare per sostituzioe che la successioe x := q+, 0, q verifica le ricorreze del processo di somma, 8 < x 0 =, : x + = x + q +, Esempio (Serie telescopiche). Siao {b } ua successioe e sia {a } defiita da si abbia a 0 = 0, a = b b,. Evidetemete X X a j = a j == (b 0 b ) + (b b 2 ) + + +(b 2 b ) + (b b = b 0 b. U esempio è la serie P j(j+) di Pietro Megoli ( ). Ifatti j(j+) = j j+, j e duque X j(j + ) =. + Il trucco precedete permette di riscrivere ua successioe come la somma dei suoi icremeti successivi. Somma di ua serie 5.a Serie covergeti, divergeti, idetermiate Sia =0 a, a R, ua serie umerica. 5.5 Defiizioe. Si chiama somma della serie il limite, se esiste, delle somme parziali della serie. I questo caso la somma si idica co il simbolo a j, a j := lim a j. 4 ovembre 2003

4 84 5. Serie Numeriche Si possoo verificare 3 situazioi tra loro esclusive. (i) Il lim a j o esiste. I questo caso si dice che la serie è idetermiata. (ii) lim a j = L R. I questo caso si dice che la serie coverge ad L, (iii) lim a j = + (risp. ). I questo caso si dice che la serie diverge a + (risp. ). 5.b Serie e itegrali impropri Il cocetto di somma di ua serie può essere iterpretato come u caso particolare di itegrale improprio, cfr. Capitolo. Ifatti ad ua successioe {a } di umeri reali, associamo la fuzioe costate a tratti ϕ : [0, + [ R defiita da ϕ(x) = a se x <, evidetemete ϕ è misurabile e per ogi 0 si ha a j = 0 ϕ(x) dx. (5.3) x 5.6 Proposizioe. lim x + ϕ(x) dx esiste se e solo se esiste il limite di 0 successioe lim ϕ(x) dx. I questo caso i due limiti soo uguali. I particolare la serie 0 a j coverge se e solo se ϕ è itegrabile i seso improprio su [0, [. Dimostrazioe. Sia F (x) := R x ϕ(s) ds. Se esiste il limite di F (x) per x, segue dal teorema 0 di collegameto, Teorema 4.7, che F () per e i due limiti coicidoo. Suppoiamo ora che la successioe {F ()} coverga ad L per. Per ogi x 0, idichiamo co x la parte itera di x e osserviamo che si ha F (x) = F ( x) + a x (x x) da cui 8 < φ() φ(x) φ( + ) se a 0 : φ( + ) φ(x) φ() se a 0. I ogi caso mi(f ( x), F ( x + )) F (x) max(f ( x), F ( x + )) e quidi, per x, F (x) L per il criterio del cofroto. (5.4) Cocludiamo questa sezioe co ua codiziie ecessaria per la covergeza di ua serie. 5.7 Proposizioe. Sia a j ua serie covergete. Allora a j 0. 4 ovembre 2003

5 5. Serie Numeriche 85 Dimostrazioe. Evidetemete per ogi 0 si ha a = a j a j. Se a j L R, usado la regola per il calcolo dei limite della somma si trova che a ha limite L L = 0. Attezioe, la codizioe a 0 o implica i geerale che la serie a j coverge, cfr. ad esempio la serie armoica i Paragrafo 5.d. Alcui esempi 5.c La serie geometrica Dalla Proposizioe 5.3 segue immediatamete 5.8 Proposizioe (Serie geometrica). La serie geometrica di ragioe x R coverge se x < a x, diverge a + se x, è idetermiata se x <. 5.d La serie armoica La serie armoica è data da j = No è ota ua forma chiusa per le somme parziali della serie armoica. Pero co i metodi del calcolo, è facile otteere stime per difetto e per eccesso delle somme parziali H := j. Sia ϕ : [0, [ R la fuzioe ϕ(x) = j se j x < j. Dalla (5.3), j=k /j = k ϕ(x) dx. D altra parte x + ϕ(x) x x > 0, 4 ovembre 2003

6 86 5. Serie Numeriche H H / log H log e e e e e e e e e Figura 5.2. H = P /j, H/ log e H log. e duque Abbiamo provato 0 + x dx H = + j=2 j + x dx. 5.9 Proposizioe. Le somme parziali {H } della serie armoica soddisfao le stime log( + ) H + log. (5.5) H è duque asitotica a log, H / log. I particolare la serie armoica diverge a +, ache se le sue somme parziali aumetao i modo esasperatamete leto, cfr. Figura Costate di Eulero-Mascheroi. Posto ora γ := H log, dalla (5.5) segue che 0 < γ <. Ioltre Z γ = + ϕ(x) dx. x Essedo apputo ϕ(x) /x x, γ è decrescete. D altra parte essedo /x covessa, per x [j, j] si ha x j x + j j j e duque Itegrado Z γ = + I coclusioe x ϕ(x) j x. j j ϕ(x) dx x 2 X j=2 j = = j Proposizioe. Le somme parziali H della serie armoica soo ua successioe asitotica a log. Ioltre H log è decrescete e ha u limite γ i [/2, [. γ si chiama la costate di Eulero-Mascheroi. Co la otazioe di Ladau, H = log + γ + o() per. 4 ovembre 2003

7 5. Serie Numeriche 87 Ua valore approssimato di γ è Si ha ache H log = + γ log + o log È così spiegata la letezza ella covergeza H / log che si riscotra ella Figura e I umeri co la virgola Per ogi x 0 si costruisce la sua rappresetazioe decimale x = q 0, q q 2 q 3... calcolado iterativamete { x 0 := x, q 0 := [x 0 ], x j+ := x j qj 0 j q j+ := [0 j+ x j+ ] j 0. Ricordiamo che [x] idica il più grade itero miore o uguale a x. Per iduzioe si prova che per ogi j > 0 q j {0,..., 9} e 0 x j < 0 j+. Ifatti è chiaro che da x = x 0 [x 0 ] < e da 0 x j < 0 j+ segue dall iterazioe che q j+ {0,,..., 9} e che 0 x j+ = 0j x j [0 j x j ] 0 j < 0 j. I particolare x j 0 per j. Ioltre q 0 + N q j 0 j = q 0 + e duque per N x = N (x j x j+ ) = q 0 + x x N+ = x x N+ q j 0 j = q 0 + q 0 + q q o, come si usa scrivere, x = q 0, q q 2 q Viceversa ogi allieameto decimale i.e. ogi serie del tipo q i/0 i, q i {0,, 2,..., 9}, i è covergete a u umero o egativo. Evidetemete la serie ha limite perché è a termii positivi, e coverge perché q j 0 j 9 0 j = 9 0 /0 =. L algoritmo per la costruzioe dell allieameto decimale può o termiare o termiare dopo N passi, i.e. x j = q j = 0 j > N. Quest ultima evetualità accade se e solo se x = k 0, k {0,..., 0 N }. I particolare esistoo umeri razioali co allieameto N decimale ifiito: ad esempio /3 = 0, Ioltre si ha 4 ovembre 2003

8 88 5. Serie Numeriche 5. Proposizioe. Due allieameti decimali differeti q 0, q q 2... e h 0, h h 2... hao sempre somme differeti eccetto il caso i cui esiste u itero N tale che q N = + h N e q i = 0, h i = 9 i > N, o viceversa, i.e. h N = q N + e q i = 9, h i = 0 i > N. Dimostrazioe. Suppoiamo che q 0 + P q 0 h 0 + q j 0 j = h 0 + P q j h j 0 j = 0. h j 0 j i.e. Se o è q j = h j j, sia N il primo idice per cui q N h N. Dovrà allora essere q N h N 0 N = j=n+ q j h j 0 j =: R N e poiché R N 0 N ecessariamete q N h N =. Se ad esempio q N = + h N allora R N = j=n+ q j h j 0 j =, e q j h j = 9 j > N, i.e. q j = 0 e h j = 9 j. 5.2 Esempio e soo lo stesso umero razioale. 5.f Altri esempi 5.3 Esempio (Serie telescopiche). Dall Esempio 5.4 e quidi madado all ifiito X j(j + ) = +, Più i geerale se a è ua successioe, si ha j(j + ) =. X (a j a j+ ) = a 0 a +, e quidi la serie P (a j a j+ ) coverge, diverge o è idetermiata rispettivamete se la successioe a coverge, diverge o o ha limite. Nei primi due casi (a j a j+ ) = a 0 lim a. 5.4 Serie armoica geeralizzata =, α. Ripetedo la procedura seguita per la serie armoica si prova facilmete α che 4 ovembre 2003

9 5. Serie Numeriche Proposizioe. Le somme parziali S := j α, α, soddisfao le stime α ( I particolare la serie armoica geeralizzata diverge a + se α <, coverge se α > e i questo caso ) ( + ) α S + ( ) α α α j α + α. (5.6) 5.6 Esempio. Studiare la serie P j 2, cioè la serie armoica geeralizzata co α = 2. La serie coverge e azi j 2 2. I alterativa possiamo osservare che per ogi j 2 e quidi j 2 j(j ) j 2 = + j j=2 2 + Si potrebbe ache provare che P j 2 = π2 6. j(j + ) = Serie a termii o egativi C è ua sostaziale semplificazioe del problema della covergeza delle serie se cosideriamo serie a termii o egativi. Ifatti le somme parziali di ua serie a termii o egativi costituiscoo ua successioe crescete e duque dotata di limite, fiito o ifiito. I altre parole la somma di ua serie a termii o egativi esiste sempre ed è possibile passare al limite elle evetuali disequazioi o equazioi otteute sulle somme parziali. C e pero ache l esigeza di cofrotare direttamete le somme di due serie a partire dalle successioi che vegoo sommate. A questo proposito soo utili i segueti criteri, validi per serie a termii o egativi. Per redersi coto della importaza della codizioe di sego, si cosideri il seguete esempio. Siao date due serie a j e b j e si sappia che per ogi j p si ha che a j b j. Sommado da p a queste diseguagliaze si ottiee 4 ovembre 2003

10 90 5. Serie Numeriche a j j=p b j p, (5.7) j=p e tuttavia o si può passare al limite per se o si coosce per altra via l esisteza dei due limiti a j e b j. Per le serie a termii o egativi (o defiitivamete o egativi, o più i geerale defiitivamete di sego costate), le rispettive successioi delle somme parziali soo defiitivamete mootoe e l esisteza delle somme è garatita. Segue 5.7 Proposizioe (Criterio del cofroto). Siao a j e b j due serie a termii o egativi. Se allora Percio a j b j j p, a j b j. (5.8) j=p (i) se la serie b j coverge, allora la serie a j coverge, (ii) Se la serie a j diverge, allora la serie b j diverge. 5.8 Esempio. Poiché j=p j 2 2, j, j(j + ) si ricava che P /j2 2 P /(j(j + )). Passado al limite per (le serie soo a termii positivi) si trova che j 2 < 2 X j(j + ) = 2. I realtà, co gli strumeti giusti si ottiee che P /j2 = π 2 /6. Nel caso si fosse iteressati a decidere se ua data serie coverge o diverge, seza pretedere di otteere stime sulla somma, si può utilizzare il seguete 5.9 Proposizioe (Criterio del cofroto asitotico). Siao a j e b j due serie a termii positivi. Suppoiamo che a b L R. Se la serie a j diverge, allora diverge ache la serie b j. Se la serie b j coverge, allora ache la serie a j coverge. Dimostrazioe. Ifatti la successioe a /b è limitata; perciò per u qualche M > 0 0 a M b e dal criterio del cofroto i Proposizioe 5.7, P a j M P b j. 4 ovembre 2003

11 5. Serie Numeriche 9 Alcui cofroti vegoo fatti più spesso di altri. È d uso icapsularli i regole dette criteri di covergeza. Qui espoiamo due criteri di covergeza basati sul cofroto co la serie geometrica Teorema (Criterio della radice). Sia = a ua serie a termii o egativi. (i) Se esistoo K < e p N tale che per ogi p allora la serie = a coverge e a K <, a Kp K. =p (ii) Se esiste K > e p N tale che per ogi p allora la serie = a diverge. a K >, Dimostrazioe. (i) Per ogi j p si ha 0 a j K j e sommado da p a a j j=p p K j = K p+j Kp K. j=p Passado al limite per si ottiee la stima e la covergeza della serie. La dimostrazioe di (ii) è del tutto aaloga e viee lasciata al lettore. 5.2 Proposizioe (Criterio del rapporto). Sia = a ua serie a termii positivi. Se esistoo K < e p N tale che per ogi p allora la serie = a coverge e a + a K <, a a p K. =p Dimostrazioe. Dalle ipotesi si ricava successivamete per iduzioe a p+ Ka p a p+2 Ka p+ K 2 a p... a p+j K j a p, j 0, 4 ovembre 2003

12 92 5. Serie Numeriche e, sommado da p a, p a j a p K j a p K. j=p Passado al limite per (la serie è a termii positivi) si ottiee la stima e la covergeza della serie. I criteri del rapporto e della radice soo iefficaci se, ad esempio, a o a + /a, come mostra la serie armoica geeralizzata / α. Osserviamo acora che dall Esercizio?? segue che se a + /a, allora a ; i.e., se il criterio del rapporto è iefficace, è iefficace a fortiori il criterio della radice Serie a termii di sego variabile Nel caso di ua serie a j a termii di sego variabile, coviee, ripetedo quato fatto per gli itegrali geeralizzati, defiire a + j := max(a j, 0) = Ovviamete { a j se a j > 0 0 altrimeti a j := max( a j, 0) = a j = a + j a j, j 0 { a j se a j < 0 0 altrimeti. e, sommado da 0 a p, si ottiee a j = a+ j a j. Se le due serie a termii positivi a destra o soo etrambe divergeti, I teoremi sui limiti permettoo di cocludere 5.22 Proposizioe. Si ha j=o a j coverge se a+ j e j=o a j diverge a + se a+ j diverge e j=o a j diverge a se a+ j coverge e a j soo etrambe covergeti, a j coverge, a j diverge. Lo studio della covergeza è così ricodotto allo studio di serie a termii o egativi, trae che el caso i cui etrambe le serie a+ j e a j soo divergeti. Poiche a j = a + j + a j, 0 a+ j, a j a j j 0, dal criterio del cofroto e dalla Proposizioe 5.22 segue 5.23 Proposizioe. Sia data la serie a j. Se la serie a j coverge, allora ache la serie a j coverge e a j a j. (5.9) 4 ovembre 2003

13 5. Serie Numeriche 93 Dimostrazioe. Per ogi j 0, a + j e a j soo o egativi e a + j + a j = a j, perciò 0 a + j, a j a j, j 0. Per il criterio del cofroto per serie a termii positivi, le serie P a+ j e P a j covergoo e, per quato già detto, la serie data P a j coverge. D altra parte dalla diseguagliaza triagolare x + y x + y segue che X X a j a j a j, 0, e passado al limite per (abbiamo appea provato che la serie P a j è covergete), si trova la stima (5.9) Defiizioe. La serie a j si dice assolutamete covergete se la serie a j coverge. Cosideriamo ifie u tipo di serie a termii di sego variabile che si icotra spesso Defiizioe. Ua serie si dice di sego altero se si scrive come ( )j a j, co a j 0, i.e. ( ) j a j = a 0 a + a 2 a co a 0, a, a 2,... tutti o egativi. U classico risultato sulle serie a termii di sego altero è il seguete 5.26 Teorema (Leibiz). Sia ( )j a j, a j 0, ua serie a termii di sego altero. Se (i) a 0, (ii) a è decrescete, a + a N, Allora ( )j a j è covergete e per l errore tra la somma e la somma parziale (p )-esima p ( ) j a j ( ) j a j si ha la stima j=p ( )j a j ap. Dimostrazioe. Siao p < q N. È facile covicersi, facedo il coto distiguedo i casi p pari e p dispari, che dalla ipotesi di decresceza si ha qx ( ) j a j a p + a q. (5.0) j=p Se ora ɛ > 0, esiste per ipotesi tale che per p si ha a p < ɛ e duque dalla (5.0) per q > p 4 ovembre 2003

14 94 5. Serie Numeriche qx ( ) j a j < 2 ɛ. j=p P o Per l arbitrarietà di ɛ la successioe delle somme parziali ( )j a j è di Cauchy e duque covergete, cfr. Parte I. Madado poi q all ifiito ella (5.0) si ottiee la stima voluta Esempio. Sia a ua successioe. Si dice che la successioe {a } ha variazioe totale limitata se a k+ a k < +. k=0 Provare che se {a } è ua successioe a termii o egativi e a variazioe totale limitata, allora la serie P k=0 ( )k a k coverge e X ( ) k a k a k+ a k. k=p 5.28 Osservazioe. Il lettore presti attezioe al fatto che esistoo successioi a 0 co a 0 per cui la serie a termii di sego altero ( )j a j o coverge. I altre parole o si può elimiare dalle ipotesi del Teorema 5.26 quella di decresceza della successioe {a }. Si cosideri ad esempio la serie di termii ( ) a := ( ) +. k=p Evidetemete a 0, a 0 e per ogi ( ) j a j = ( ) j j + Ora la serie ( )j / j è covergete per il criterio di Leibiz, Teorema 5.26, e la serie j è divergete. Pertato ( )j a j = Osservazioe. L Esempio?? mostra ache che per serie a termii di sego variabile o sussiste i geerale u criterio del cofroto asitotico. Evidetemete ( ) ( ) + j. = + ( ), eppure la serie = ( ) / coverge e la serie = ( ) a diverge. 5.a Qualche esempio 5.30 Esempio. Discutere la covergeza della serie P = log(cos(/2 ))). Posto a := log(cos(/ 2 )), si vede che a 0 per ogi. La serie duque è a termii egativi. Poiche si verifica (ad esempio co la formula di de l Hôpital) che 4 ovembre 2003 log(cos x) x 2 2,

15 5. Serie Numeriche 95 si coclude che a. 2 2 Il criterio del cofroto asitotico, Proposizioe 5.9, e al covergeza della serie armoica geeralizzata P = 2 implicao che la serie data è covergete. Voledo ua stima si puo essere piu precisi. Ricordiamo le stime x2 2 cos x x2 2 + x x2, x [0, ]. I particolare cos x /2 per x [0, ]. Essedo la fuzioe log t, t > 0, cocava, si ha e quidi 2 log 2(t ) log t (t ) t [/2, ] log 2 x 2 2 log 2(cos x ) log(cos x) cos x 24 x2 per ogi x [0, ]. Percio per ogi itero a log da cui segue, essedo 5/4 < P i= /2 < 2, che 2 a 2 log 2. = 5.3 Esempio. Studiare la covergeza della serie Z / e x = 0 + x 2 dx. La serie è a termii positivi. Posto F (y) := R y e x 0 +x 2 dx, segue dal teorema di de l Hôpital e dal teorema fodametale del calcolo che F (y) y per y 0 +. Percio, posto a := R / e x 0 +x 2 dx, si ha a //. Poiché la serie armoica è divergete, il criterio di cofroto asitotico permette di cocludere che la serie data è divergete Esempio. Discutere la covergeza della serie Z + e x si x dx. =0 La serie è a termii di sego idetermiato. Vediamo la covergeza assoluta. Procuriamoci prima ua stima sui termii da sommare. Sia a := Z + e x si x dx. Dalle proprietà dell itegrale, si ricava che a Z + e x si x dx e ( + ) = e. 4 ovembre 2003

16 96 5. Serie Numeriche Ora la serie P =0 e coverge, ad esempio utilizzado il criterio della radice, e quidi per coforto la serie data coverge assolutamete. I alterativa, si puo provare ad esempio che e e /2 per ogi, i.e., che e /2. Lo si vede provado ad esempio mostrado che la fuzioe f(x) := xe x2 /2 decresce per x e f() = / e. Segue allora che a e =0 =0 = e = e. Esercizi Calcolare le somme parziali delle segueti serie telescopiche j + j p, j 2 + j j + /2 j 2 (j + ) 2, X j(j + )(j + 2), X j=2 j rette si dicoo essere i posizioe geerica se a due a due si icotrao i uo e u solo puto. Calcolare i umero di regioi piae idividuate da rette i posizioe geerica Come cosegueza della formula del biomio di Newto si provi che P ` j = Facciamo cadere ua pallia da pig-pog da u altezza h sopra u tavolo di lego duro. La pallia rimbalzerà ifiite volte prima di fermarsi perdedo quota ad ogi rimbalzo. Suppoiamo che ad ogi rimbalzo la pallia arrivi al 75% della quota raggiuta al rimbalzo precedete. Si calcoli il tempo che la pallia da pig-pog impiega a fermarsi Curva di vo Koch. Partedo da u triagolo equilatero di lato uo, si icolli al cetro di ogi lato u triagolo equilatero di lato /3 i modo da otteere ua stella. Al cetro di ogi lato della stella si icolli u triagolo equilatero di lato /9. Iterado il procedimeto si geera per iduzioe ua curva chiusa detta curva di vo Koch. Figura 5.3. La costruzioe della curva di vo Koch. Provare che la figura risultate ha area fiita e che la curva di vo Koch ha lughezza ifiita Isieme di Cator. U quadrato di lato uitario viee diviso i 9 quadrati di lato /3 e quello cetrale viee colorato di ero. I rimaeti 8 quadrati di lato /3 vegoo divisi allo stesso modo (i quadrati di lato /9) e quelli cetrali vegoo similmete colorati i ero. Si itera il procedimeto per iduzioe e si chiede di calcolare l area della parte colorata di ero. La parte o colorata del quadrato è oto come l isieme di Cator che icotreremo spesso el seguito. 4 ovembre 2003

17 5. Serie Numeriche 97 Figura 5.4. La costruzioe dell isieme di Cator i dimesioe Provare che P qj è dell ordie di 8 q >< + se q > q se q = >: se 0 q <. q Provare che P jqj è dell ordie di 8 q +2 (q ) >< 2 se q > 2 se q = 2 >: se 0 q <. q 5.4. Stimare l errore che si commette sostituedo la somma della serie P /j2 co ua sua somma parziale U bruco leto ma teace cammia alla velocità di 0cm al miuto su ua striscia di gomma che uo spiritello maligo alluga ogi miuto di metro. Riuscirà il bruco ad arrivare alla fie della striscia? Si faccia ua pila di moete uguali di diametro. Si dispoga la pila i modo che le moete siao i equilibrio e formio ua grodaia la più ampia possibile, cfr. la Figura 5.5. A che distaza si trovao i cetri della prima e dell ultima moeta? Figura 5.5. Il problema della pila di moete. 4 ovembre 2003

18 98 5. Serie Numeriche Al variare di evetuali parametri x reale studiare la covergeza di alcue delle serie di termie geerale e,,! (2)!, 2 log( + 2 )!, (2)! (3)! (2)!, 2! (2)!, cos π log( + ), si! ( + ), arcta 2, log 2 ( + /), arcta +, π si(/) 2π, ( ) k k (k + )(k + 2), log( + /), ( ) si(/), ) 3, ( ) log, (log ) log, π 2 arcta, log + ( ), log + ( ) ( ), si, ( + x) (+/), x ], 0[, ( 2) e x,! x, ( ) log + ( ) e, π 4 arcta cos, Z / si x dx, 0 x Z + ( ) t 2 e t2 dt, Z + si x x 2 dx. si(/) /,, log 2 +, log, Z 3 si 2 2 x dx, Z π/2 (si x) dx, 0 Z + e x si x dx, 4 ovembre 2003