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1 ANALISI DELLE SERIE STORICHE De Iaco S. UNIVERSITÀ del SALENTO DIP.TO DI SCIENZE ECONOMICHE E MATEMATICO-STATISTICHE FACOLTÀ DI ECONOMIA 24 settembre 2012

2 Indice 1 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà 2 Funzione di autocorrelazione parziale (PACF) 3 Stima della funzione autocovarianza 4 Stima della funzione di autocorrelazione

3 Analisi delle Serie Storiche 3 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà Le funzioni di autocorrelazione Nell analisi delle serie storiche l ACF e la PACF sono strumenti fondamentali per: studiare l evoluzione dei fenomeni temporali; indagare sulle relazioni esistenti tra i valori; definire un modello stocastico appropriato. In letteratura, è diffuso il concetto di autocorrelazione, poichè l analisi della correlazione riguarda le variabili aleatorie di uno stesso processo stocastico.

4 Analisi delle Serie Storiche 4 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà La funzione di autocorrelazione Sia {X t,t T } un processo stocastico stazionario del secondo ordine. Per ogni coppia X t e X t+k, con k = 0, ±1, ±2, l autocorrelazione è definita nel seguente modo: essendo ρ k = Cov(X t,x t+k ) V ar(xt ) V ar(x t+k ) = C k C 0 k = 0, ±1, ±2,..., (1) Cov(X t,x t+k ) = C k, V ar(x t ) = V ar(x t+k ) = Cov(X t,x t ) = C 0. Al variare dell intervallo temporale k, ρ k viene denominata funzione di autocorrelazione (ACF), oppure correlogramma.

5 Analisi delle Serie Storiche 5 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà Notazione matriciale per l autocovarianza Se {X t,t T } è stazionario del secondo ordine, la matrice di autocovarianza del vettore aleatorio (X 1,X 2,...,X m ) risulta essere: C 0 C 1 C 2... C m 1 C 1 C 0 C 1... C m 2 C m = C m 1 C m 2 C m 3... C 0 dove C m è simmetrica e C 0 è la varianza del processo.

6 Analisi delle Serie Storiche 6 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà Notazione matriciale per l autocorrelazione Inoltre, la matrice di autocorrelazione del vettore aleatorio (X 1,X 2,...,X m ) risulta essere: P m = 1 ρ 1 ρ 2... ρ m 1 ρ 1 1 ρ 1... ρ m ρ m 1 ρ m Quindi si ottiene: C m = P m C 0. (2) C m e P m sono denominate matrici di Toeplitz di ordine m.

7 Analisi delle Serie Storiche 7 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà Proprietà della funzione di autocorrelazione Assegnato un processo stocastico stazionario del secondo ordine, la funzione di autocorrelazione soddisfa le seguenti proprietà: 1. ρ 0 = ρ k = ρ k, k = 0, ±1, ±2, ρ k 1 1 ρ k 1, k = 0, ±1, ±2, det(p m ) C m e P m sono semi-definite positive. Tale proprietà implica che il determinante e tutti i minori principali di tali matrici sono non negativi.

8 Analisi delle Serie Storiche 8 Funzione di autocorrelazione (ACF) e proprietà 6. ρ k è invariante rispetto a qualsiasi trasformazione lineare del processo X t. In altri termini, se si pone X t = ax t + b X t+k = cx t+k + d, con a,b,c,d R e a,c 0, risulta: ρ C(X t,x t+k k = V ) Cov(aX t + b,cx t+k + d) = ar(x t) V ar(x t+k ) V ar(axt + b) V ar(cx t+k + d) = = ac C(X t,x t+k ) ac V ar(x t ) V ar(x t+k ) = ρ k.

9 Analisi delle Serie Storiche 9 Funzione di autocorrelazione parziale (PACF) Funzione di autocorrelazione parziale Sia {X t,t T } stazionario del secondo ordine. La funzione di autocorrelazione parziale, indicata con π k, k = ±1, ±2,..., consente di valutare la correlazione tra X t e X t+k, dopo aver eliminato l influenza delle correlazioni con le variabili intermedie X t+1,x t+2,...,x t+k 1.

10 Analisi delle Serie Storiche 10 Funzione di autocorrelazione parziale (PACF) Se per ogni coppia di variabili aleatorie X t e X t+k, k = ±1, ±2,..., si definiscono le seguenti quantità: X t = E(X t X t+1,...,x t+k 1 ), X t+k = E(X t+k X t+1,...,x t+k 1 ), viene denominata autocorrelazione parziale π k, la correlazione fra gli scarti (X t X t ) e (X t+k X t+k ), ovvero π k = ρ(x t X t,x t+k X t+k ). Al variare dell intervallo temporale k, π k viene denominata funzione di autocorrelazione parziale (PACF).

11 Analisi delle Serie Storiche 11 Funzione di autocorrelazione parziale (PACF) Se si utilizza un modello di regressione lineare multipla per X t e X t+k risulta: dove π k = ρ(x t X t,x t+k X t+k ) = det(q k), k = ±1, ±2,... det(p k ) P k indica la matrice di autocorrelazione di ordine k, Q k indica la stessa matrice, in cui l ultima colonna è sostituita dal vettore (ρ 1,ρ 2,...,ρ k ) T.

12 Analisi delle Serie Storiche 12 Funzione di autocorrelazione parziale (PACF) In particolare, per k = ±1, ±2, ±3 valgono le seguenti relazioni: π 1 = ρ 1 ; π 2 = ρ 2 ρ ρ 2 ; 1 π 3 = ρ 3[1 ρ 2 1] + ρ 1 [ρ ρ 2 2 2ρ 2 ] [1 ρ 2 ][1 + ρ 2 2ρ 2 1 ].

13 Analisi delle Serie Storiche 13 Stima della funzione autocovarianza Stima della funzione autocovarianza Assegnato un processo stocastico X t, stazionario del secondo ordine, siano X 1,X 2,...,X n le variabili aleatorie associate, rispettivamente, ai tempi 1, 2,..., n, osservati. Lo stimatore di C k risulta essere: dove Ĉ k = 1 n k ( Xt n X ) ( X t+k X ), (3) t=1 X = 1 n n X t. t=1

14 Analisi delle Serie Storiche 14 Stima della funzione autocovarianza Ĉ k presenta una distorsione dell ordine di 1/n, tuttavia è asintoticamente corretto, ovvero ) lim E n (Ĉk = C k. (4) n + In alternativa, il seguente stimatore: Ĉ k = 1 n k n k ( Xt X ) ( X t+k X ), (5) t=1 presenta una minore distorsione rispetto a Ĉk, ma un errore quadratico medio maggiore.

15 Analisi delle Serie Storiche 15 Stima della funzione autocovarianza Lo stimatore jackknife Inoltre, lo stimatore jackknife C k risulta essere: dove C k = 2Ĉk 1 2 Ĉ k è lo stimatore basato su (X 1,X 2,...,X n ), (1Ĉk + 2 Ĉ k ), (6) 1Ĉk, 2 Ĉ k sono gli stimatori calcolati sui due insiemi della seguente partizione: P 2 = {(X 1,...,X s ),(X s+1,...,x n )}. C k è preferibile poichè presenta una distorsione dell ordine di 1/n 2, ma richiede dei calcoli più complessi.

16 Analisi delle Serie Storiche 16 Stima della funzione di autocorrelazione Stima della funzione di autocorrelazione Assegnato un processo stocastico X t stazionario del secondo ordine, siano X 1,X 2,...,X n le variabili aleatorie associate, rispettivamente, ai tempi 1,2,...,n osservati. Lo stimatore di ρ k risulta essere: ρ k = Ĉk Ĉ 0 = n k (X t X)(X t+k X) t=1, k = 0,1,2,... n (X t X) 2 t=1

17 Analisi delle Serie Storiche 17 Stima della funzione di autocorrelazione Osservazioni ρ k è distorto, la distorsione può essere ridotta utilizzando lo stimatore jackknife: ρ k = 2 ρ k 1 2 ( 1 ρ k + 2 ρ k ) (7) ρ k viene stimato fino ad un lag k n/4.

18 Analisi delle Serie Storiche 18 Stima della funzione di autocorrelazione Proprietà dello stimatore ρ k Se le variabili aleatorie X 1,X 2,...,X n sono i.i.d., si verifica che: la f.d.p. di ρ k è simmetrica; E (ˆρ k ) 1 n V ar (ˆρ k ) 1 n ; lo stimatore ρ k, per n sufficientemente elevato (n > 500), converge in distribuzione ad una normale, con valore atteso 1/n e varianza 1/n.

19 Analisi delle Serie Storiche 19 Stima della funzione di autocorrelazione Interpretazione di ρ k Se ρ k > 0, tra le coppie di valori separate da un lag k esiste concordanza; se ρ k < 0, tra le coppie di valori separate da un lag k esiste discordanza; se ρ k oscilla intorno allo zero, allora la s.s. è casuale; se la s.s. è una realizzazione di un processo stocastico di variabili indipendenti, si assume che l intervallo di confidenza al 95% sia, approssimativamente, il seguente: [ 2, + 2 ]; n n

20 Analisi delle Serie Storiche 20 Stima della funzione di autocorrelazione Interpretazione di ρ k la presenza di correlazione solo su piccoli lags indica che la serie è stazionaria; se le stime dei coefficienti di autocorrelazione tendono ad annullarsi per lags molto elevati, allora ciò indica che la serie non è stazionaria; se: x t acos(ωt), 0 < ω < π, allora ρ k, per n elevato, può essere approssimata dalla seguente funzione: ρ k cos(ωk), k = 0,1,2,...; infine in presenza di un solo valore anomalo, ρ k tende ad annullarsi ad ogni lag; in presenza di due o più valori anomali, ρ k raggiunge valori elevati solo in corrispondenza dei lags temporali intercorrenti tra due valori anomali.

21 Analisi delle Serie Storiche 21 Stima della funzione di autocorrelazione Stima della funzione di autocorrelazione parziale La PACF misura l autocorrelazione esistente tra le variabili di una s.s. distanti k unità di tempo, a prescindere da eventuali legami nei lags precedenti. Assegnati i modelli di regressione: X t = φ 10 + φ 11 X t 1 + Z t, X t = φ 20 + φ 21 X t 1 + φ 22 X t 2 + Z t,... =... X t = φ k0 + φ k1 X t 1 + φ k2 X t φ kk X t k + Z t, è immediato dedurre che stimare i coefficienti di regressione φ 11,φ 22,...,φ kk, dove le variabili aleatorie Z t: sono non correlate, presentano valore atteso nullo e varianza costante, mediante il MMQ, equivale a determinare le stime π 1, π 2,..., π k dei coefficienti di autocorrelazione parziale, π 1,π 2,...,π k.

22 Analisi delle Serie Storiche 22 Stima della funzione di autocorrelazione Le equazioni di Yule-Walker. La PACF può essere anche stimata ricorrendo alle equazioni di Yule-Walker. Si consideri il seguente modello di regressione: X t = φ 1 X t 1 + φ 2 X t φ p X t p + Z t, con E(Z t ) = 0, V ar(z t ) = σ 2 Z, Cov(Z t,z t ) = 0, t t,

23 Analisi delle Serie Storiche 23 Stima della funzione di autocorrelazione moltiplicando ambo i membri per X t k, risulta: X t X t k = φ 1 X t 1 X t k + φ 2 X t 2 X t k φ p X t p X t k + Z t X t k. Per cui, applicando a quest ultima il valore atteso, si ottiene: C k = φ 1 C k 1 + φ 2 C k φ p C k p, (8) essendo E(Z t X t k ) = 0, k > 0.

24 Analisi delle Serie Storiche 24 Stima della funzione di autocorrelazione Dividendo l equazione (8) per C 0, si ottiene: ρ k = φ 1 ρ k 1 + φ 2 ρ k φ p ρ k p. (9) Per k = 1, 2,..., p, si ottengono le equazioni di Yule-Walker: ρ 1 = φ 1 +φ 2 ρ φ p ρ p 1 ρ 2 = φ 1 ρ 1 +φ φ p ρ p ρ p = φ 1 ρ p 1 +φ 2 ρ p φ p. (10)

25 Analisi delle Serie Storiche 25 Stima della funzione di autocorrelazione Utilizzando la notazione matriciale: R p = P p Φ p, (11) dove R p = ρ 1 ρ 2. ρ p, Φ p = φ 1 φ 2. φ p, 1 ρ 1 ρ 2... ρ p 1 ρ 1 1 ρ 1... ρ p 2 P p = ρ p 1 ρ p 2 ρ p

26 Analisi delle Serie Storiche 26 Stima della funzione di autocorrelazione Osservazioni Le stime di φ 1, φ 2,..., φ p si ottengono risolvendo la (11) rispetto a Φ p : Φ p = P 1 p R p, e sostituendo ai coefficienti ρ k quelli stimati ρ k ; nel vettore Φ T i = [φ i1 φ i2... φ ii ], si indica con φ ij il parametro di un modello di regressione di ordine i, associato ad una variabile slittata di j unità temporali; al variare di p, possono essere ottenuti differenti insiemi di equazioni del tipo (10); stimando le quantità φ pp, con p = 1,2,..., si ottiene la funzione di autocorrelazione parziale empirica;

27 Osservazioni risolvendo le equazioni (10) per p = 1, 2,..., risulta: φ 11 = ρ 1 φ 22 = φ 33 = 1 ρ 1 ρ 1 ρ 2 1 ρ 1 ρ ρ 1 ρ 1 ρ 1 1 ρ 2 ρ 2 ρ 1 ρ 3 1 ρ 1 ρ 2 ρ 1 1 ρ 1 ρ 2 ρ 1 1 = ρ2 ρ2 1 1 ρ 2 1. (12) In generale, per il parametro φ pp, il determinante del numeratore presenta lo stesso numero e gli stessi elementi del denominatore, ad eccezione dell ultima colonna, dove sono riportati gli elementi del vettore R p; le stime dei parametri φ 11, φ 22,..., possono essere ottenute dalle equazioni (12), sostituendo ai coefficienti di autocorrelazione teorici ρ k, quelli stimati ρ k.

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