Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))"

Transcript

1 Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al dominio della funzione f. Il dominio della funzione composta è costituito dai soli valori di per i quali la composizione funzionale ha senso. ESEMPI: 1. f() =, g() = 2 4 f(g()) = 2 4, D = { 2 o 2} 2. f() = 1 1, g() = 7 f(g()) =, D = { 7} 7 3. f() = 1, g() = 2 +1 f(g()) = , D = Ê

2 Funzione Composta 1. Date le funzioni f() = e e g() = 2+1 Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione; Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione f(g()) = e 2+1, g(f()) = 2e Date le funzioni f() = 2 e g() = +1 Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione; Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione: f(g()) = (+1) 2, g(f()) = 2 +1

3 Funzione Inversa 1 una funzione BIUNIVCA si dice INVERTIBILE se f : A B è invertibile si definisce la funzione inversa f 1 come segue: f 1 : B A, = f 1 () B A tale che f() = un tale esiste ed è unico perchè la funzione f è bunivoca. ESEMPI: 1. = f() = 2+1 ; f Ê : Ê = f 1 () = 1 2 ( 1) ; f 1 Ê : Ê 2. = f() = 2 ; f : (,0] [0,+ ) = f 1 () = ; f 1 : [0,+ ) (,0]

4 PRPRIETÀ: Funzione Inversa 2 sia f : A B invertibile e sia f 1 : B A la sua funzione inversa. considero la funzione composta f 1 f ( = f 1 (f()) con notazione funzionale) f 1 f : A f() = B f 1 () = A f 1 f : A A, funzione identità. la stessa cosa vale per f f 1 f f 1 : B f 1 () = A f() = B f f 1 : B B, funzione identità.

5 B =f() Funzione Inversa 3 = 2+1 ESEMPI: 1 = - (-1) 2 A = =f -1 () A = 2 +1 B il grafico di = f 1 () si ottiene per simmetria rispetto a =. = -1

6 Criterio di Invertibilità le funzioni strettamente monotone sono iniettive CRITERI DI INVERTIBILITÀ se f è strettamente monotona e suriettiva allora f è invertibile se f : A B è invertibile allora: f crescente f 1 crescente f decrescente f 1 decrescente

7 Radici INVERTIBILITÀ DELLA PTENZA: consideriamo il problema dell invertibilità della funzione potenza = n con n Æ {0} se n = 0 la funzione = 0 = 1 è costante dunque non invertibile. se n = 1 la funzione = è l identità, con inversa uguale a se stessa. se n = 2 = 2 è invertibile in Ê + = Ê + Ê + è detta radice quadrata. se n = 3 = 3 è invertibile su tutto Ê = 3 Ê Ê è detta radice cubica. In generale se n è pari si ragiona come per n = 2 e la funzione = n risulta invertibile su Ê + = n Ê+ Ê + radice n sima Viceversa se n è dispari si ragiona come per n = 3 e la funzione = n risulta invertibile su tutto Ê. = n Ê Ê radice n sima

8 Funzione Logaritmo = a Ê Ê + strettamente monotona invertibile f 1 : Ê + Ê / a = ; = f 1 () = log a (logaritmo in base a di ) 1 1 = log a Ê + Ê per a > 1 PPRIETÀ DEI LGARITMI: log a ( 1 2 ) = log a 1 +log a 2 log a ( b ) = b log a = log a Ê + Ê per 0 < a < 1 ( ) 1 log a = log a 1 log a 2 2 log b = log a (cambio di base) log a b

9 Esercizi Funzione Composta 1 ESERCIZI -[(A)] Date le funzioni f() = e e g() = log e ( 2) 1. Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione. 2. Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. SLUZINE : 1. La funzione composta è f(g()) = e log e( 2) = 2. L insieme di definizione è > 2, poichè g() è definita per > La funzione composta è g(f()) = log e (e 2). L insieme di definizione si ottiene ponendo: e 2 > 0 da cui segue > log e 2.

10 Esercizi Funzione Composta 2 ESERCIZI 2 - Date le funzioni f() = 3 e g() = log e 1. Dire quanto vale f(g()) e quale è il suo insieme di definizione. 2. Dire quanto vale g(f()) e quale è il suo insieme di definizione. SLUZINE : 1. La funzione composta è f(g()) = (log e ) 3. L insieme di definizione è > 0, poichè g() è definita per > La funzione composta è g(f()) = log e ( 3 ). L insieme di definizione è 3 > 0 da cui segue < 0.

11 Funzione Inversa 1. Data la funzione R R così definita: f() = + 3 dire se è invertibile e trovare la formula dell inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l inversa è f 1 () = 3 cioè f 1 () = 3 2. Data la funzione f() = dire se è invertibile e trovare la formula dell inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l inversa è f 1 () = ( 2) 1 3 cioè f 1 () = ( 2) Data la funzione f() = dire se è invertibile e trovare la formula dell inversa; Soluzione: la funzione non è invertibile in quanto non è ne iniettiva ne suriettiva. per renderla suriettiva basta pensarla a valori in R + e per renderla iniettiva basta per esempio restringerla a [ 1, + ),

12 dunque la funzione R + [ 1,+ ) definita da f() = è invertibile e la sua inversa è f 1 () = 1.

13 Funzioni arcoseno e arcocoseno FUNZINE arcsin FUNZINE arccos sin : [ π 2,+π 2 ] [ 1,+1] biunivoca cos : [0,π] [ 1,+1] biunivoca arcsin : [ 1,+1] [ π 2,+π 2 ] arccos : [ 1,+1] [0,π]

14 Funzioni tangente e arcotangente Funzione tg tg = sin cos, ±π 2 +kπ, k (periodica di periodo π) π 2 π 2 Grafico di tg tg : ( π 2,+π 2 ) Ê 1 tg π 2 π 2 Grafico di arctg arctg : (,+ ) ( π 2,+π 2 )

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso.

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso. Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f(g()) notazione funzionale (f g)() = f(g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene

Dettagli

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x)) Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al

Dettagli

Coordinate cartesiane nel piano

Coordinate cartesiane nel piano Coordinate cartesiane nel piano O = (0, 0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

1 Funzioni reali di una variabile reale

1 Funzioni reali di una variabile reale 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f

Dettagli

Funzioni Pari e Dispari

Funzioni Pari e Dispari Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

Gli intervalli di R. (a, b R, a b)

Gli intervalli di R. (a, b R, a b) Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI. Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce

Dettagli

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1

Dettagli

Funzioni (parte II).

Funzioni (parte II). Funzioni (parte II). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 21 ottobre 214 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55 Funzioni trigonometriche.

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni

Dettagli

Esercizi relativi al capitolo 2

Esercizi relativi al capitolo 2 Esercizi relativi al capitolo. Funzioni pari e dispari Stabilire se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari.. f (x) = x 4 x. f (x) = 3 x 3 + x 3. f (x) = x3 3 x+x 4. f (x) = x sin

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione

FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione 1 E data la funzione f(x) = sin(2x 5) Allora: (a) dom (f) = {x IR : 1 2x 5 1} (b) im (f) = [ 1, 1] (c) f ha periodo T= π 5 (d) f ha periodo T= 2π 5 2 La funzione

Dettagli

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico

Dettagli

Esercizi sulle Funzioni

Esercizi sulle Funzioni AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Funzioni Esercizio svolto. Trovare i domini di definizione delle seguenti funzioni: a) f) sin + cos ; b) g) log ) ; c) h) sin + e sin. Soluzione. a) La

Dettagli

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n

ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI A. MARTINI Castelfranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni n n n n 0 ottobre 008 A. MARTINI Castelranco Veneto (TV) Relazioni e Funzioni. Insieme delle parti. Partizione di un insieme 3. Prodotto cartesiano 4. Deinizione di relazione 5. Deinizione di unzione 6. Funzioni

Dettagli

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G.

FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ. V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. FUNZIONI E LORO PROPRIETÀ 1 V CLASSICO a. s. 2015-2016 prof. ssadelfino M. G. A1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE 2 Diapositiva 2 A1 Autore; 08/09/2015 DEFINIZIONE DI FUNZIONE X Y E una funzione! g a b c d e f.1.2.3.4

Dettagli

A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame

A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):

MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte): MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y

Dettagli

Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte

Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte Limiti e continuità Richiami sulle unzioni - parte II Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x) Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica

Dettagli

Funzione Esponenziale

Funzione Esponenziale Funzione Esponenziale y y O f : R (0,+ ), f(x) = a x con a > a 0 =, a = a a x > 0 x R strettamente crescente: x < x 2 a x < ax 2 se x tende a +, a x tende a + se x tende a, a x tende a 0 x O f : R (0,+

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le funzioni

Unità Didattica N 2 Le funzioni Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.

Dettagli

Verso il concetto di funzione

Verso il concetto di funzione Verso il concetto di funzione Il termine funzione già appare in alcuni scritti del matematico Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine venne usato in riferimento a espressioni analitiche

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 2

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 2 2.1 Analisi Matematica 2 a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo 2 a) Si ha x 2 + 1 1 per ogni x R, quindi im f [1,+ ). D altra parte, per ogni y 1 esiste x R tale che x 2 + 1=y (x=± y 1), quindi

Dettagli

ANALISI MATEMATICA I-A. Prova scritta del 1/9/2009 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE

ANALISI MATEMATICA I-A. Prova scritta del 1/9/2009 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE ANALISI MATEMATICA I-A CORSO DI LAUREA IN FISICA Prova scritta del /9/009 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE ESERCIZIO. Punti 8 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso w 6 w 64 = 64 3

Dettagli

Funzioni Esercizi e complementi

Funzioni Esercizi e complementi Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un

Dettagli

Argomento 6 Derivate

Argomento 6 Derivate Argomento 6 Derivate Derivata in un punto Definizione 6. Data una funzione f definita su un intervallo I e 0 incrementale di f in 0 di incremento h = 0 = il rapporto I, si chiama rapporto per = 0 + h =

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

3. Generalità sulle funzioni

3. Generalità sulle funzioni ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette

Dettagli

Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. 4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A B, A B, a) A C d) C (A B)

Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. 4. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di Z determinare A B, A B, a) A C d) C (A B) Esercizi su: insiemi, intervalli, intorni. Per ognuna delle successive coppie A e B di sottoinsiemi di N determinare A B, A B, A c e B c. a) A = { N + = 0}, B = { N = 6}, b) A = { N < 5}, B = { N < },

Dettagli

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i

Dettagli

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE 1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di

Dettagli

Analisi Matematica e Geometria 1

Analisi Matematica e Geometria 1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II).

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II). Matematica I, 02.10.2012 Funzione inversa. Funzioni elementari (II). 1. Sia f : A B una funzione reale di variabile reale (A, B R); se f e biiettiva, allora la posizione f 1 (b) = unico elemento a A tale

Dettagli

Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz

Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta. 1. Le due funzioni f(x) = ln(x

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della

Dettagli

Funzioni elementari. per ogni x R. 1 se n =0

Funzioni elementari. per ogni x R. 1 se n =0 Funzioni elementari 1 Funzioni elementari...pag. 1 1.1. Potenze ad esponente naturale...pag. 1 1.2. Potenze ad esponente intero negativo...pag. 2 1.3. Potenze ad esponente razionale positivo non intero...pag.

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI. Giovanni Villani Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 3) FUNZIONI Giovanni Villani FUNZIONI Definizione 1 Assegnati due insiemi A e B, si definisce funzione

Dettagli

FUNZIONI E LORO PROPRIETA'

FUNZIONI E LORO PROPRIETA' FUNZIONI E LORO PROPRIETA' Definizione: Dati due insiemi A e B si dice funzione di A in B una qualunque legge che faccia corrispondere ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si indica con

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) 16 settembre 2016 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 19 settembre

Dettagli

Infiniti e Infinitesimi

Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Funzioni e loro invertibilità

Funzioni e loro invertibilità Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24 1 Generalità 2 Funzioni reali

Dettagli

FUNZIONI. }, oppure la

FUNZIONI. }, oppure la FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte

Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte Questo teorema serve per calcolare il limite di funzioni composte sfruttando limiti fondamentali o altri limiti già noti. TEOREMA. Se esiste lim

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Introduzione Funzioni reali di variabile reale Algebra delle funzioni reali Funzioni composta e inversa Funzioni monotone i definisce funzione reale di variabile reale e s indica con f: A R una funzione

Dettagli

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:

y = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni: Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione

Dettagli

Proprietà globali delle funzioni continue

Proprietà globali delle funzioni continue Limiti e continuità Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Teoremi sulla continuità della funzione inversa 2 2006 Politecnico di Torino 1 Data una funzione

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16) Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle

Dettagli

Matematica Prima prova parziale

Matematica Prima prova parziale Matematica Prima prova parziale Università di Verona - Laurea in Biotecnologie A.I. - A.A. 007/08 lunedì 9 novembre 007 Tema A () Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R; dire se sono sup./inf. itati; calcolarne

Dettagli

Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune

Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune Capitolo 1 Richiami sulle funzioni 1.1 Richiami di teoria Lo studio delle trasformazioni del piano in sé presuppone anche la conoscenza di alcune nozioni sulle funzioni e sui vettori. Per tale motivo in

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata

Dettagli

05 - Funzioni di una Variabile

05 - Funzioni di una Variabile Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 05 - Funzioni di una Variabile Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x). Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com

Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi

Dettagli

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra

Dettagli

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I. Andrea Corli e Alessia Ascanelli

Esercizi di Analisi Matematica I. Andrea Corli e Alessia Ascanelli Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli 6 settembre 5 ii Indice Introduzione v Nozioni preinari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio.

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio. GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE Funzione opposta y = Il grafico della funzione funzione f( x ). f( x ) si ottiene simmetrizzando rispetto all asse x, il grafico della f( x ) Appunti di

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di

x dove fx ( ) assume tali valori si dice punto di massimo o di 7. Funzioni limitate ed illimitate, funzioni inverse Definizione: Una funzione f: A Bsi dice limitata superiormente od inferiormente se il suo condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente.

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni

Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Ottobre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti

Dettagli

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1

Dettagli

Esercizio 1. Sia f(x) = sin x, g(x) = log x. La funzione g(f 2 (x)) è. A log(sin 2 x); B log sin x ; C log(sin x 2 ); D sin log x 2.

Esercizio 1. Sia f(x) = sin x, g(x) = log x. La funzione g(f 2 (x)) è. A log(sin 2 x); B log sin x ; C log(sin x 2 ); D sin log x 2. 1 Esercizio 1. Sia f(x) = sin x, g(x) = log x. La funzione g(f 2 (x)) è A log(sin 2 x); B log sin x ; C log(sin x 2 ); D sin log x 2. Esercizio 2. Sia f(x) = sin(log x ). Questa funzione è Esercizio 3.

Dettagli