Corso di Sistemi di Elaborazione delle informazioni

Transcript

1 Corso di Sistemi di Elaborazione delle informazioni Sistemi di Numerazione Francesco Fontanella

2 I sistemi di numerazione Sono stati inventati i SISTEMI DI NUMERAZIONE: Forme di rappresentazione dei numeri che impiegano sequenze di cifre; Una cifra è un simbolo appartenente ad un alfabeto finito; La rappresentazione di un numero naturale (numerale); assume forme diverse a seconda del sistema di numerazione utilizzato. 2

3 La Rappresentazione Posizionale Il sistema numerico arabo è detto posizionale perché: ciascuna cifra rappresenta una quantità diversa a seconda della sua posizione all interno della stringa; questa quantità è il prodotto del valore numerico della cifra per una potenza intera della base; quanto più la cifra è a sinistra nella stringa tanto più essa è significativa perchè maggiore è la potenza per cui va moltiplicata; n=c k 1 b k 1 c k 2 b k 2 c 1 bc 0 3

4 Conversione da binario a decimale Per quanto già visto nell'esempio precedente, la conversione da binario a decimale si effettua moltiplicando il valore della cifra i-esima per quello del peso corrispondente. ESEMPIO cifre pesi Cifre x pesi = =

5 Conversione da Decimale a Binario La conversione da decimale a binario avviene per dividendo in maniera iterativa per 2 e utilizzando i resti: Esempio Convertire la rappresentazione di in base Cifra a destra (meno significativa) = Cifra a sinistra (più significativa)

6 Cambiamenti di Base Binario ottale Per passare dalla codifica binaria a quella ottale, si raggruppano le cifre binarie a gruppi di 3 (2 3 = 8) a partire da destra e le si sostituiscono con una cifra del sistema ottale Esempio: = ottale binario Per passare dalla codifica ottale a quella binaria, si sostituisce ad ogni cifra ottale la corrispondente cifra binaria (composta da 3 cifre): Esempio: =

7 Cambiamenti di Base Binario esadecimale Per passare dalla codifica binaria a quella esadecimale, si raggruppano le cifre binarie a gruppi di 4 (2 4 = 16) a partire da destra e le si sostituiscono con una cifra del sistema esadecimale Esempio: = 91F 8 esdecimale binario Per passare dalla codifica esadecimale a quella binaria, si sostituisce ad ogni cifra esadecimale la corrispondente cifra binaria (composta da 4 cifre): Esempio: A7F 8 =

8 Rappresentazione dei Numeri Relativi Nel casi dei numeri relativi dobbiamo tener conto del segno del numero. La soluzione più immediata è quella di utilizzare un bit del registro come segno del numero. I restanti bit costituiscono il numero in valore assoluto. Se si dispone di N bit, l intervallo di rappresentazione è [-2N N-1]. +/- SEGNO MODULO Il segno + (numeri positivi) è con lo zero, mentre il meno con 1 8

9 Rappresentazione dei numeri negativi: Esempi Numero di bit Intervallo rappresentabile 4 [-7, +7] 8 [-127, +127] 16 [-32767, ] 32 [ , ] 9

10 Rappresentazione dei Numeri Reali Il concetto di rappresentazione posizionale viene utilizzato anche per i numeri reali. Infatti, fissata una base b la stringa: 0.c 1 c 2 c i rappresenta il numero reale x (0 x 1): x=c k 1 b k 1 c k 2 b k 2 c k i b k i

11 Rappresentazione dei Numeri Reali A differenza dei numeri interi, i numeri reali devono essere necessariamente rappresentati in maniera approssimata. Infatti, solo una piccolissima parte dei numeri reali possono essere rappresentati in maniera esatta, tutti gli altri devono essere necessariamente rappresentati in maniera approssimata. Ovviamente l'errore di rappresentazione dipende dal numero di bit usati: Esempi Numero di bit errore di rappresentazione

12 Conversione da binario a decimale La conversione da binario a decimale si effettua moltiplicando il valore della cifra i-esima per quello del peso corrispondente. ESEMPIO cifre pesi Cifre x pesi = =

13 Conversione da decimale a binario La conversione da decimale a binario di un numero minore di uno avviene per moltiplicazioni successive della parte frazionaria ESEMPIO Convertire in binario la rappresentazione: x 2 = con parte intera x 2 = con parte intera x 2 = con parte intera = x 2 = con parte intera 1 13

14 Conversione da decimale a binario La conversione decimale-binario di un generico numero reale si ottiene convertendo separatamente la parte intera e quella frazionaria Esempio: Parte intera Parte frazionaria segno

15 Conversione numeri razionali: binario - decimale Convertire da binario a decimale le seguenti rappresentazioni (segno e modulo):

16 Conversione numeri razionali: decimale - binario Convertire in binario (segno e modulo) le seguenti rappresentazioni decimali, utilizzando 8 bit per la parte frazionaria e 8 per quella intera: