Trasmissione Numerica

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1 Trasmissione Numerica Alessandro Celotti 8/1/11 Indice 1 Caratterizzazione Statistica del Processo PAM Eetti del rumore sui sistemi di comunicazione analogici studiati e confronto tra essi 4 3 Cifra di rumore e temperatura di rumore 5 4 Rappresentazione di segnali deterministici passabanda 6 5 Rappresentazione di processi aleatori passabanda 7 6 Caratteristiche spettrali dei segnali modulati in angolo 8 7 Modulatori e demodulatori di frequenza e di fase 1 8 Modulatori e demodulatori d'inviluppo 11 9 Processi aleatori gaussiani 1 1 Ripetitori analogici e rigenerativi 1 11 Probabilità di errore per segnalazione M-aria ortogonale con ricezione coerente 14 1 Probabilità di errore per segnalazioni M-PSK Probabilità di errore per segnalazioni M-QAM Ecienza spettrale e probabilita di errore per segnalazioni M- PAM Rappresentazione geometrica dei segnali Ricezione ottima in canale AWGN Proprietà del ltro adattato 1 18 Probabilità di errore per segnalazioni binarie 1

2 19 Demodulazione e rivelazione di segnali PAM, PSK e QAM 3 Forme d'onda ed ecienza spettrale per segnalazioni M-PSK ed M-QAM 5 1 Caratterizzazione Statistica del Processo PAM Deniamo processo PAM con il segnale aleatorio a k dati dell'impulso (tipicamente a media nulla E[a k ] = ): x(t) = k= a k p(t kt ) (1) Noi lavoriamo in un intervallo [, T ] senza preoccuparci di quello che precede o segue. Decido in maniera ottima osservando il segnale nell'intervallo. Se trasferisco un impulso capita una dispersione della forma d'onda e capita invadere l'intervallo successivo la scelta simbolo a simbolo non va più bene. Poichè il canale è a banda limitata trasferiamo segnali a durata maggiore per evitare la distorsione. Un modello ragionevole è il segnale PAM sequenza di impulsi modulati con p(t) con durata molto più grande con banda limitata. Se p(t) è un segnale a durata limitata e banda innita, la situazione è la stessa. La decisione può essere fatta sulla sequenza di simboli. Caratteristiche fondamentali statistiche: Media Statistica. E[x(t)] = k= E[a k ]p(t kt ) se la media di a k = E[x(t)] = () Funzione di Autocorrelazione. E[x(t)x(t τ)] = E[ R x (tτ) = k= l= k= l= a k a l p(t kt )p(t τ lt )] E[a k a l ]p(t kt )p(t τ lt ) Per ipotesi la sequenza è stazionaria in senso lato E[a k a l ] = R a (k l) k= l= Ponendo k l = m si ha: R x (tτ) = m= R a (k l)p(t kt )p(t τ lt ) k= m= R a (m) k= R a (m)p(t kt )p(t τ (k m)t ) = p(t kt )p(t τ kt + mt )

3 ma p(t kt )p(t τ + mt kt ) = g(t kt ; τ) g(t; τ) = p(t)p(t (τ mt )) faccio repliche per ogni ssato τ in funzione di t di passo T per ottenere un segnale periodico di periodo T. Processo Ciclo Stazionario Calcoliamo la media temporale R x (τ) =< R x (t, τ) > valor medio nel periodo: 1 T R x (t, τ)dt essendo ciclostazionario di periodo T 1 T T 1 T 1 T m= m= m= R a (m) R a (m) R a (m) k= k= kt +T k= kt p(t kt )p(t τ kt + mt )dt = p(t kt )p(t τ kt + mt )dt = p(λ)p(λ (τ mt ))dλ ponendo λ = t kt gli intervalli non si sovrappongono quindi equivale all'integrale esteso ad R poichè integrale ad intervalli adiacenti quindi: R x (τ) = 1 T m= R a (m) p(λ)p(λ (τ mt ))dλ supponendo che p impulso di energia per il modello reale per aver un segnale di potenza, questo è la convoluzione con l'impulso in τ mt quindi: R x (τ) = 1 T m= R a (m)r p (τ mt ) (3) la funzione di autocorrelazione è in forma di PAM deterministico pesato in ampiezza dalla funzione di autocorrelazione dati. E' quindi nella forma PAM modulato in ampiezza è l'autocorrelazione e il ritardo τ è la sequenza dati valutati in m. Spettro di Potenza. Lo spettro di potenza è la trasformata di fourier rispetto a τ S x (f) = 1 T m= R a (m)s p (f)e jπfmt = P (f) T m= R a (m)e jπfmt S p (f) è la densità di energia, mentre la trasformata di fourier della sequenza di autocorrelazione è lo spettro di potenza S a (f) trasformata di fourier della sequenza dati. Quindi: S x (f) = P (f) S a (f) T La banda è limitata dall'impulso, più è stretta la banda di P(f) più è limitato lo spettro- Per avere uno spettro specico possiamo agire o su P(f) o su S a (f) su R a (m). (4) 3

4 Eetti del rumore sui sistemi di comunicazione analogici studiati e confronto tra essi DSB Il segnale trasmesso è lo stesso di quello ricevuto a meno del rumore, che è in ingresso al ricevitore ed è di tipo termico. Il ricevitore prevede un ltro passabanda per eliminare il rumore sul canale. r(t) = A c m(t) cos(πf c t + φ c ) + n c (t) cos(πf c t) + n s (t) sin(πf c t) con le componenti in fase e quadratura del rumore. Il rumore è di tipo rumore bianco con densità spettrale di potenza tra (-W,W) con S nc (f) = S ns (f). L'uscita è moltiplicata per una portante e fatta passare per un ltro passabasso: y(t)=(r(t) cos(πf c t + φ)) LP F = A c m(t) cos(φ c φ) + nc(t) cos(φ) + ns(t) sin(φ) supposto ricevitore sincrono otteniamo che φ c = φ quindi y(t) = Ac nc(t) m(t) + cos(φ) + ns(t) sin(φ). Per calcolare la potenza del rumore sappiamo che la componente in fase e in quadratura sono indipendenti poiché incorrelati. Ne facciamo l'analisi e otteniamo che: E[(n c (t) + n s (t)) ] = E[n c(t)] + E[n s(t)] + E[n c (t)n s (t)] = Pc 4 cos (φ) + P s 4 sin (φ) + = essendo P c = P s si ha Pc 4 (cos (φ) + sin (φ)) = Pc 4. Assumo φ = ho che y(t) = Acm(t) ( S N ) o = A c Pm 4 Pnc 4 + nc(t) in termini di rapporto segnale rumore ho che = A c Pm W ma essendo la potenza ricevuta P r = A c Pm, il termine di rumore è lo stesso di quello in banda base a meno del fatto che il segnale ha viaggiato dove ho deciso. Nel caso DSB l'snr è SSB P r W u(t) = A c cos(πf c t)m(t) ± A c m(t) ˆ sin(πf c t) r(t) = u(t) + n c (t) cos(πf c t) n s (t) sin(πf c t) = A c [m(t + n c (t))] cos(πf c t) + [±A c m(t) ˆ n s (t)] sin(πf c t). Nel caso SSB-U il rumore con densità spettrale N nell'intervallo di frequenza e il segnale utile rimane invariato. Si ha che y(t)=(r(t)cos(πf c t)) L P con demodulazione sincrona si ha che Ac m(t) + 1 n c(t). c Pm 4 Pnc 4 Il rapporto segnale rumore al destinatario è ( S N ) o = A = A c Pm W. Poichè la potenza del rumore è P nc = W. Ma in termini di potenza ricevuta ho che P R = A c Pm + A c P ˆm poichè P m = P ˆm ho che P R = A cp m e ancora una volta ho che il ( S N ) o = P R W. Con SSB ho lo stesso rapporto segnale rumore che ottengo in banda base. AM Convenzionale u(t) = A c [1 + am n (t)] cos(πf c t) con m n segnale normalizzato, ho che r(t) = A c [(1 + am n (t) + n c (t))] cos(πf c t) n s (t) sin(πf c t) supposto demodulatore sincrono il demodulatore è di inviluppo si ha lo stesso risultato in uscita per demodulatore sincrono. y(t) = (r(t) cos(πf c t)) L P = Ac (1 + am(t)) + 1 n c(t) il rapporto segnale rumore ottenuto, poichè il segnale utile è Acam(t), è: ( S N ) o = A c a Pmn 4 Pnc 4, la P R = A c (1 + a P mn ) mentre la P nc = W ho un segnale rumore del tipo: ( S N ) o = A c a P mn W = A c (1+a P mn ) a P mn (1+a P mn ) W = P R P mn a W (1+a P mn ) poiché m(t) è normalizzato si ha che m(t) < 1 pertanto P m 1 lo sarà anche a e 4

5 di conseguenza anche a P m 1. Quindi consideriamo il fattore di riduzione η = a P mn 1+a P mn così che il rapporto segnale rumore nel caso AM è ( S N ) o = η P R N. W In presenza di demodulatore di inviluppo: se il rapporto segnale rumore è elevato: V r (t) = [A c (1 + am n (t)) + n c (t)] + n s(t) = A c(1 + am n (t)) n [1 + c(t) A c(1+am n(t)) ] + n s (t)a c (1+amn(t)) A c (1+amn(t)) n =A c 1 + am(t) 1 + c(t) A n c (t) n c(1+am n(t)) A + s (t) c (1+amn(t)) A. c (1+amn(t)) n P ( c(t) A c(1+am n(t)) 1) 1 la probabilità del segnale utile è molto più forte rispetto quello di rumore. Se la relazione è vera, lo sarà per il quadrato, e poichè n c ha le stesse proprietà statistiche di n s vale anche per tale rumore. Quindi poichè lo sviluppo 1 + x (1 + x ) x 1 si ha V r(t) n A c (1 + am n (t))(1 + c(t) A ) = A c(1+am n(t)) c(1 + am n (t)) + n c (t), l'uscita dal demodulatore di inviluppo è la stessa di quella con demudolatore sincrono. Se il rapporto segnale rumore è molto basso: V r (t) = A c(1 + am n (t)) + n c(t) + A c n c (t)(1 + am n (t)) + n s(t) = + A c (1+amn(t)) n c (t)+n s (t) ] supponendo che il ter- [n c(t) + n s(t)][1 + Acnc(t)(1+amn(t)) n c (t)+n s (t) mine di rumore è molto forte si ha che il terzo termine è molto piccolo quindi: V r (t) V n (t)(1 + Acnc(t)(1+amn(t)) n c (t)+n s (t) ) Nel caso di modulazione d'angolo FM o PM per limitare il rumore si mette un ltro passabanda che fa passare il solo segnale FM, e viene fatto in modo che il SNR superi una certa soglia, questa soglia si può abbassare inseguendo il ricevitore in un feedback: ricevitore con feedback che fa in modo da ridurre la soglia di qualche decibel. Considerazioni: -L'ecienza Spettrale: DSB e AM hanno W, mentre SSB ha ecienza spettrale migliore W. -Prestazioni: DSB,SSB ha prestazioni uguali a quello in banda base, AM convenzionale ha prestazioni peggiori. DSB e SSB hanno un demodulatore sincrono, SSB è migliore e riguarda segnali con densità spettrale vicino l'origine. VSB è demodulato con inviluppo. ( S N ) o può crescere con il quadrato del rapporto della banda del segnale modulato con quella modulante W di frequenza legata alla k f. Aumentando banda cresce linearmente la potenza. 3 Cifra di rumore e temperatura di rumore Consideriamo un amplicatore che ha come spettro di potenza il prodotto S n (f) H(f) la potenza di uscita di tale amplicatore risulterà P no = S n (f) H(f) df Ma S n (f) = N con = kt densità di potenza (k è la costante di Bozman, T è la temperatura assoluta). Ma H(f) si scrive come il prodotto tra il guadagno dell'amplicatore con due 5

6 volte la banda equivalente del rumore R H(f) df = GB Neq. P no = H(f) = GB Neq +P ni = kt GB Neq+P ni = kgb Neq [T +T e ] P ni è un rumore generato dall'amplicatore. Introduciamo un parametro chiamato Temperatura Equivalente di Rumore: T e = P n i kgb Neq (5) La temperatura di rumore è la misura di rumore di un amplicatore è la temperatura ttizia in ingresso per misurare la potenza in uscita. Pertanto un amplicatore rumoroso è equivalente ad uno ideale con temperatura della sorgente inizializzata di T e per misurare la stessa potenza, impostando una temperatura ttizia. Un ulteriore parametro è la Cifra di Rumore legata con la temperatura di rumore. Supposto un amplicatore rumoroso con ingresso sorgente di rumore. Il rapporto segnale rumore è ( S N ) o = GP si kgb Neq (T +T e) = P si kgb Neq (1+ Te T quando T e = pertanto il SNR è ( S N ) o = ( S N ) i( 1 1+ Te T legato sia al rumore dell'amplicatore che alla tempera- 1 SNR è dato da 1+ Te T tura della sorgente di ingresso Te il rumore si annulla ) ) il fattore di riduzione del T = T. Deniamo cifra di rumore misurata in db: T ssata la temperatura T a quella d'ambiente F = 1 + T e T (6) Dati un insieme di amplicatori in cascata. Il guadagno totale è calcolato come prodotto dei guadagni i-esimi: G = G 1 G G k (7) La cifra di rumore totale secondo Fries è calcolata come F = F 1 + F 1 + F 3 1 F k (8) G 1 G 1 G G 1 G G k 1 La rumorosità dipende dai primi valori della catena. Se la prima cifra di rumore è piccola, ed il guadagno grande la F complessiva è piccola. Se avviene il contrario la cifra di rumore complessiva è grande. 4 Rappresentazione di segnali deterministici passabanda I segnali passabanda hanno la caratteristica che lo spettro risulta essere nullo all'eterno di una certa banda a frequenza f dove tale banda: w < f X(f) = f f. Solo in un certo intorno di f non è nullo. Questi segnali sono importanti per le comunicazioni: i segnali modulati. Un caso limite è quello sinusoidale detto anche monocromatico. La 6

7 rappresentazione è fattaa come quella dei fasori. Preso x(t) = A cos(πf t + θ) = A eπft+θ + A e πft+θ prendiamo la parte a frequenza positiva moltiplicata per due e la trasliamo verso destra. Avremo il segnale analitico z(t) tale che Z(f) = X(f)u 1 (f) per traslarlo verso destra bisogna moltiplicarlo per e jπft z(t) = x(t) F 1 [u 1 (f)] = x(t) (δ + j πt ) = x(t) + jx(t) 1 πt. Tale convoluzione prende il nome di trasformata di Hilbert x(t). ˆ z(t) = x(t) + jx(t) ˆ Chiamiamo Inviluppo Complesso la traslazione verso destra del segnale analitico: X e (f) = Z(f + f ) x e (t) = z(t)e jπft questo equivale nel caso passabanda al concetto di fasore. x e (t) = x c (t) + jx s (t) li scriviamo come modulo e fase V (t)e jθ(t) dipendenti dal tempo: V (t) = x c(t) + x s(t) detto inviluppo di x(t) e Θ(t) = arctan ( xs(t) x c(t) ) detta fase istantanea. Il segnale x(t) si ottiene come x(t) = R{x e (t)e jπft } = R{V (t)e jθ(t) e jπft } = V (t) cos (πf t + Θ(t)) un segnale passabanda è rappresentato da una frequenza con lente uttuazioni di fase e ampiezza, quindi modulato in fase ed in ampiezza. 5 Rappresentazione di processi aleatori passabanda Dato un processo aleatorio passabanda x(t) da esso ci ricaviamo le due componenti: x c (t) e x s (t) rispettivamente componente in fase ed in quadratura. x c (t) = x(t) cos (πf t) + x(t) ˆ sin (πf t) ˆ x s (t) = x(t) cos (πf t) x(t) sin (πf t) l'inviluppo complesso è descritto come: x e (t) = x c (t) + jx s (t) e il processo si ricava come x(t) = R{x e (t)e jπft } Studiamo le caratteristiche statiche delle componenti x c (t) e x s (t) e del processo x(t). Se x(t) è a media nulla e stazionario in senso lato le componenti in bassa frequenza x s e x c saranno a media nulla e congiuntamente stazionari in senso lato. Sulla media possiamo dire che agisce soltanto sulla parte aleatoria ma E[x(t)] = anche la sua trasformata di hilbert avrà media nulla quindi le componenti hanno media nulla. E[x c (t + τ)x c (t)] autocorrelazione del processo x c (t) in termini di tempo ritardo = E[(x(t + τ) cos (πf (t + τ)) + x(t ˆ+ τ) sin (πf (t + τ)))(x(t) cos (πf t) + x(t) ˆ sin (πf t))] = supposto x(t) SSL R x (τ) cos (πf (t + τ)) cos (πf t) + R xˆx (τ) cos (πf (t + τ)) sin (πf t) + Rˆxx (τ) sin (πf (t + τ)) cos (πf t) + Rˆxˆx (τ) sin (πf (t + τ)) sin (πf t) = R x (τ)[cos (πf (t + τ)) cos (πf t) + sin (πf (t + τ)) sin (πf t)] R x ˆ(τ)[cos (πf (t + τ)) sin (πf t) sin (πf (t + τ)) cos (πf t)] = R x (τ) cos (πf τ) + R ˆ x (τ) sin (πf τ) l'autocorrelazione di x c (t) dipende solo dal ritardo ed è un processo SSL. R xcx c (τ) = R x (τ) cos (πf τ) + R ˆ x (τ) sin (πf τ) (9) 7

8 Un ulteriore risultato si ottiene con l'autocorrelazione in quadratura infatti R xsx s (τ) = R xcx c (τ) (1) Per la mutua correlazione otteniamo: R xcx s (τ) = R x (τ) sin (πf τ) R ˆ x (τ) cos (πf τ) (11) Da tale risultato fa si che le componenti spettrali sono congiuntamente SSL. Per la potenza delle componenti in quadratura è pari a quella in fase vista come l'autocorrelazione del processo valutato nell'origine: R xcx c () = R x (). La potenza della mutua correlazione è nulla. Componente in fase e quadratura nell'origine, prese nello stesso istante sono incorrelate e dunque indipendenti. 6 Caratteristiche spettrali dei segnali modulati in angolo Banda innita teoricamente ma cerchiamo di limitarla del 98% della potenza totale. Studiamo la banda nel caso segnale modulante sinusoidale ho che u(t) = A c cos(πf c t + β sin(πf m t)) con m(t) = a cos(πf m t) ho come indice di modulazione: { k p a, se PM. β = k f a f m, se FM. u(t) si può scrivere come u(t) = R{A c e jπfct e jβ sin(πfmt) jβ sin(πfmt) }. Poichè e il seno è periodico di periodo 1 f m anche il suo esponenziale sarà periodico e quindi si può esprimere in serie di Fourier: n= C n e jπnfmt Il segnale al primo termine è Hermitiano con trasformata di fourier reale e quindi i C n sono reali e si ha che C n = 1 e jβ sin(πfmt) e jπnfmt dt T m T m posto u = πf m t con T m = 1 f m C n = 1 π ej[β sin(n) nu] du così che A questo punto considero la funzione di bessel di prima specie di ordine n J n (β) e jβ sin(πfmt) = + A c n= n= J n (β)e jπnfmt u(t) = R{A c e jπfct J n (β) cos(πf c + πnf m t) 8 + n= J n (β)e jπnfmt }

9 E' un segnale periodico con spettro a righe e banda innita poiché n varia tra (, + ). 1. J n (β) = k= ( 1) k ( β )n+k k!(k + n)! n > J n (β) ssando β sarà trascurabile fatto variare n in modulo, se β è molto piccolo si ha che J n (β) βn n n!. Si ha che se J n (β) tale che se n è pari è uguale ad J n (β) mentre se è dispari è uguale a J n (β) Abbiamo banda che arriva no a f c +nf m poiché J n (β) è trascurabile e la banda è limitata. La banda B c = (β + 1)f m entrata sulla portante che contiene il 98% della potenza totale. La banda è legata a β. Maggiore è β maggiore è la banda, e l'informazione sarà più protetta dal rumore. A parità di rapporto segnale rumore usiamo 1 4 P trasmessa aumentando la banda. { (k p a + 1)f m, se PM. B c = ( k f a f m + 1)f m, se FM. Per il fattore a di ampiezza, se tale fattore cresce ha lo stesso eetto dell'aumento della banda B c. Se aumento f m, c'è aumento proporzionale in PM, altrimenti è lento ed è di tipo additivo in FM. Se la banda è molto grande la dipendenza da f m scompare. In realtà se il rapporto è maggiore di 1 in FM è inalterata. M c = [β] + 3 armoniche che facciamo passare considerando la banda B c. Se β= pertanto non modulato per lo meno due portanti ce le portiamo per il numero di impulsi che passano per il ltro che hanno 98% della potenza. { [k p a] + 3, se PM. M c = [ k f a f m ] + 3, se FM. Non cambia per f m e si distanziano con stesso numero di armoniche. All'aumentare del f m il numero di armoniche diminuisce, la separazione aumenta per tenere stessa banda i fattori si bilanciano. Se m(t) è periodico si ha che u(t) = A c cos(πf c t+βm(t)) = A c R{e jπfct e jβm(t) } ma m(t) è periodico anche il suo esponenziale lo sarà quindi esprimibile in serie di fourier: e jβm(t) = C n e jπnfmt + u(t) = A c R{e jπfct C n e jπnfmt } scritto come modulo e fase si ha che + = A c C n cos(π(f c + nf m t)t + arg (C n ) 9

10 La frequenza la troviamo a f c ± f m dove f m = 1 T m con T m periodo del segnale modulante. Ma con m(t) generico con banda W e ampiezza si ha che la banda B c = (β + 1)W con { m(t) β = max k p, se PM. m(t) max k f W, se FM. detta Banda di Carsen. 7 Modulatori e demodulatori di frequenza e di fase La modulazione e la demodulazione di frequenza è analoga a quella di fase a meno di un operazione di derivata o integrale. Modulatore di Frequenza d φ(t) u(t) = A c cos(πf c t + φ(t)) dt π = k f m(t). La frequenza di oscillazione è f c + k f m(t) = f o (t) che è la somma di un valore costante (l'oscillazione libera) e qualcosa proporzionale al messaggio. I metodi per la modulazione di frequenza sono due quello: -diretta che si eettua tramite dei particolari dispositivi chiamati VCO (oscillatore controllato in tensione). Dispositivo che oscilla più rapidamente o lentamente a seconda della grandezza di m(t). Il VCO è un diodo varactor anche se in realtà è un condensatore che varia a seconda della tensione applicata. -indiretta: tale modulazione si applica integrando il segnale m(t) in ingresso al t πk f dt il segnale di uscita viene inviato in ingresso ad un modulatore FM a banda stretta ed inne ad un moltiplicatore di frequenza: *La prima componente genera una modulazione d'angolo a banda stretta: dato un certo segnale u(t)=a c cos(πf c t + φ(t)) per ipotesi di banda stretta si ha che φ(t) 1 quindi A c cos(πf c t) cos(φ(t)) A c sin(πf c t) sin(φ(t)) A c cos(πf c t) A c sin(πf c t)φ(t). Questo assomiglia all'am convenzionale, la dierenza è che la portante è in quadratura ed ha ampiezza più piccola. V x (t) = A c 1 + φ (t). La banda dipende dalla derivata non dal modulo stesso. In φ(t) c'è il legame o proporzionale o integrale al segnale che attenua le componenti in alta frequenza, con banda W intorno ad φ(t). Si ha quindi la massima banda W rispetto alle bande di quelli modulati in ampiezza e poichè vale la relazione φ(t) 1 u(t) ha banda stretta vicino f c e quindi è la più stretta possibile. *La seconda componente che introduce la moltiplicazione di frequenza. Tale dispositivo è un dispositivo del quale entra A c cos(θ) ed esce A c cos(nθ(t)) che nel caso di θ(t) = πf c t + φ(t) si ha che entra u(t) = A c cos(πf c t + φ(t)) ed esce A c cos(πnf c t + nφ(t)). Come si ottiene questa moltiplicazione di frequenza si ottiene con un non linearità senza memoria seguita con un ltro passabanda, se metto A c cos(θ(t)) in ingresso ad una non linearità senza memoria passabanda ottengo l'uscita che sarà g(a c cos(θ(t))) ma visto in funzione di θ g(a cos(θ)) = A + A 1 cos(θ) + A cos(θ) + + A n cos(nθ). cos(θ) periodica di π, g( ) periodica di π con h(θ) è periodica di π e sviluppo in serie di Fourier. 1

11 h(θ(t)) = + h n e jnθ = h + h 1 e jθ + h 1 e jθ +... se θ dipende dal tempo l'uscita è la stessa g(a cos(θ(t))) = h + h 1 cos(θ(t)) + + h n cos(nθ(t)) con θ(t) = πf c t + φ(t). Nei prossimi coseni quelli a n avranno frequenza raddoppiata e banda maggiore, moltiplicato per n sarà la fase e la portante. All'innito questo non vale e tende a sovrapporsi. Le ampiezze devono essere decrescenti per far in modo che la serie converga. Per selezionare la banda prescelta da tale serie di coseni a frequenza nf c utilizzo un ltro passabanda che seleziona proprio quel segnale in modo da prelevare quello desiderato. Così ho realizzato un moltiplicatore di frequenza. Può capitare che la frequenza nf c non sia quella prescelta in quel caso bisogna moltiplicare per un coseno centrato ad una portante desiderata f LO in modo tale che con un ltraggio (passabasso), ssando la frequenza dell'oscillatore locale sso la frequenza che mi interessa, elimino la frequenza somma nf c + f LO lasciando quella della dierenza, in modo da ottenere la moltiplicazione di frequenza che mi interessa con segnale in uscita y(t)=a c cos(π(nf c f LO )t + nφ(t)). Così genero un segnale modulato in angolo a banda larga a partire da uno modulato in angolo a banda stretta che è facilmente generabile. Demodulatore di Frequenza t u(t) = A c cos(πf c t + πk f m(λ)dλ) demodulazione segnale FM. Si applica un derivatore fa si che il segnale FM che in ingresso ha inviluppo costante presenta un inviluppo variabile dove è contenuta l'informazione del segnale. du(t) t dt = A c sin(πf c t + πk f m(λ)dλ(πf c + πk f m(t))). Con la derivazione l'inviluppo del segnale ottengo il messaggio di informazione. In realtà dovrei assicurarmi che con il demodulatore di inviluppo si può recuperare il messaggio questo è vero solo se k f m(t) m ax < f c poichè tale quantità non deve essere negativa. Se vale quella relazione si ottiene il messaggio con in demodulatore di inviluppo come nel caso AM convenzionale ottenendo come uscita A c (πf c + πk f m(t)). Seguito con un blocco della continua per ricavare πk f m(t) e quindi il messaggio m(t) ed eliminare f c. 8 Modulatori e demodulatori d'inviluppo m(t) m(t) m ax Per studiare i modulatori e demodulatori di inviluppo dobbiamo rifarci al caso AMconvenzionale. u(t) = A c [1 + m(t)] cos(πf c t + φ c ) inserendo insieme al segnale DSB anche la portante. L'informazione è inserita nell'inviluppo. Pertanto questa modulazione modica l'inviluppo V u (t) e condizione necessaria è che esso sia sempre positivo. V u (t) = A c [1 + m(t)] = A c [1 + m(t)] quando 1 + m(t) > se il termine è negativo ci sarà inversione di fase e distorsione. In questo modo non ci sarà distorsione quando m(t) 1. Può capitare di soddisfare tale relazione denendo m(t)=am n (t) dove m n (t) = e a è detto indice di modulazione. Il segnale modulato sarà: u(t) = A c [1 + am n (t)] cos(πf c t + φ c ). Per la demodulazione di un AM convenzionale non occorre una demodulazione sincrona poiché l'informazione è contenuta nell'inviluppo, se vale la relazione m(t) 1 l'inviluppo 1+m(t)>. Se noi raddrizziamo il segnale, eliminiamo i valori negativi del segnale ponendo u(t) t< a zero e conservando i valori di 11

12 u(t) t>. Il messaggio sarà recuperato passando il segnale raddrizzato all'interno di un ltro passabasso che sceglie la banda corrispondente al segnale del messaggio. La combinazione del raddrizzatore con il ltro passabasso è detto rivelatore di inviluppo. L'uscita di un rivelatore di inviluppo è nella forma d(t) = g 1 + g m(t) dove g 1 è la componente in continua mentre g è il guadagno del segnale demodulato. La componente continua può essere eliminata facendo passare il segnale d(t) attraverso un trasformatore con uscita solo g m(t). 9 Processi aleatori gaussiani Se x(t) è gaussiano x(t) ˆ è gaussiano pertanto anche le componenti x c (t) e x s (t) sono congiuntamente gaussiane, dando luogo a variabile aleatoria indipendente. Non solo nell'origine R xcx s (τ) τ si annulla: quindi i due processi sono staticamente indipendenti. Ne valutiamo lo spettro di potenza delle due componenti: S xc (f) = F [R xc (τ)] = F [R x (τ) cos (πf τ) + R ˆ x (τ) sin (πf τ)] = 1 S x(f f )+ 1 S x(f +f )+ 1 j [S x(f f )( j sign(f f )) S x (f +f )( j sign(f + f ))] = S x (f f )[ 1 sign(f f) ]+S x (f +f )[ 1+sign(f+f) ] = S x (f f )u 1 ( f)+ S x (f + f )u 1 (f) otteniamo quindi: S xc (f) = S x (f f ) + S + x (f + f ) = S xs (f) (1) Per lo spettro della mutua corralazione otteniamo: S xcx s (f) = 1 j [S x(f f ) S x (f + f )] 1 [S x(f f )( j sign(f f )) S x (f + f )( j sign(f + f ))] = 1 j S x(f f )[ 1 sign(f f) ] 1 j S x(f + f )[ 1+sign(f+f) ] = 1 j S x(f f )u 1 ( f) 1 j S x(f + f )u 1 (f) S xcx s (f) = 1 j [S x (f f ) S + x (f + f )] (13) Denisco il processo del rumore come S n (t) = h f (e h f kt 1) con h costante di Plank, k costante di Bozman e T temperatura assoluta. Poichè la costante è talmente piccola da far si che che tutto tenda a, f deve essere molto h kt grande. Quindi f e e h f kt 1 + h kt S n() = kt (piatto in una certa banda) ha pertanto densità spettrale di potenza N = kt. 1 Ripetitori analogici e rigenerativi. Il rumore bianco dove Ogni ripetitore produce una certa attenuazione che nel peggiore dell'ipotesi è distorsione. Le prestazioni dipendono da α E s. I ripetitori pertanto introducono amplicazione in modo da combattere l'attenuazione. Quello che non posso combattere è il rumore di cui la sua potenza è aumentata k volte. Esistono due tipi di ripetitori quelli analogici (non rigenerativi) e quelli rigenerativi. Ripetitori Analogici Tra trasmettitore ed uscita utilizzo più tratte di attenuatori e amplicatori in cascata. Calcolo il rapporto segnale rumore in uscita considerando che ogni coppia amplicatore-attenuatore può essere visto come un unico amplicatore 1

13 con cifra di rumore L F pertanto otteniamo che: F 1 = L 1 F a1, F = L F a,..., F k = L k F ak dove i guadagni sono: G 1 = Ga 1 L 1, G = Ga L,..., G k = G ak L k. Con Fries calcoliamo la cifra di rumore totale, dovuta a k amplicatori rumorosi e ottengo che: F = F 1 + F 1 + F 3 1 F k = G 1 G 1 G G 1 G G k 1 L 1 F a1 + (L F a ) 1 G a1 + (L 3 F a3) 1 G a1 G a + + (L k F ) 1 ak G a1 G a L 1 L... G k 1 L 1 L 1 L L k 1 Il rapporto segnale rumore in uscita è pari a quello in ingresso al blocco totale fratto la cifra di rumore complessiva (disegno T x i (LG) x Y o ): ( S N ) o = ( S N ) 1 x F Ma poichè G k L k = 1 poichè per ipotesi l'amplicazione è pari all'attenuazione. Pertanto per ogni tratta c'è sempre la stessa cifra di rumore e attenuazioni. Collegamento a tratte uguali con cifra di rumore dovuta ad un amplicatore complessivo: F = kf a L (k 1) ma essendo kf a L (k 1) con k il numero di tratte avremo che F kf a L avremo che: ( S N ) o = ( S N ) 1 x kf a L (14) Se uso dei ripetitori: all'aumentare della distanza, l'attenuazione della singola tratta decresce linearmente con la tratta. Le prestazioni con i ripetitori analogici non rigenerativi sono E b k decresce linearmente e non esponenzialmente con la distanza. La P(e) sarà aumentata. Eb P b (e) = Q( ) (15) k Ripetitori Rigenerativi Invece di amplicare prendo una decisione, scelgo un simbolo e rigenero in modo da ottenere una forma d'onda ripulita dal rumore. Alla ne di ogni tratta ripulisco dal rumore. Ovviamente non è risolto completamente il problema poichè posso sbagliare (cumulazione di sbagli). La probabilità di errore all'ultima tratta sarà k pari al numero di tratte. Decidendo su un bit k volte sbaglio su k prove indipendenti ottengo: ( ) k p n (1 p) k n n n(dispari) per p piccolo è il contributo n=1 kp. La probabilità di errore in questo caso sarà: Eb P b (e) = kq( ) (16) Confronto: 13

14 La P b nel caso non rigenerativo ha un aumento molto più elevato dovuto all'argomento della Q( ) La P b caso rigenerativo aumenta sempre però le prestazioni sono migliori rispetto l'analogico. 11 Probabilità di errore per segnalazione M-aria ortogonale con ricezione coerente Il segnale ricevuto r = [r 1, r,..., r M ] dove il singolo segnale è s i = [,,..., E s,..., ] il ricevitore prende quello con la componente r i maggiore da questo ne consegue che la P (c s 1 ) = P (r 1 > r, r 1 > r,..., r 1 > r M s 1 ) = per il condizionamento P ( E s + n 1 > n, E s + n 1 > n 3,..., E s + n 1 > n M ) = P (r 1 > n, r 1 > n 3,..., r 1 > n M ) = f(r 1)P (r 1 > n, r 1 > n 3,..., r 1 > n M r 1 )dr 1 r 1 è deterministica, avremo M-1 eventi che coinvolgono M-1 variabili aleatorie indipendenti con la stessa probabilità e pdf = f(r 1)[P (r 1 > n r 1 )] M 1 dr 1 Ma P (r 1 > n r 1 ) = P (n < r 1 r 1 ) = 1 P ( n σ > r1 σ r 1) = 1 Q( r1 σ ) con N σ = quindi la P (c s 1 ) = + f(r r1 1)[1 Q( )] M 1 dr 1 ma f(r 1 ) è la e media E s densità della variabile r 1, ed è una gaussiana a varianza pertanto: P (c s 1 ) = e (r 1 Es) r1 [1 Q( )] M 1 dr 1 πn con un cambio di variabili x = r1 π [1 Q(x)] M 1 dx Da qui abbiamo che la probabilità di errore è la stessa per ogni generico simbolo e quindi P (e) = 1 e (x ottengo che Es ) π [1 Q(x)] M 1 dx e (x Es ) Per questo sistema ssato il rapporto segnale rumore per simbolo all'aumentare del numero di segnali la probabilità di errore per bit diminuisce. Ricaviamo la relazione tra P(e) per simbolo e la P b (e) per bit. La P M (e) M 1 se sbaglio M bit su k bit, ci saranno k su n bit dierenti che codicano il simbolo su cui ho commesso errore. g(n) = P M (e)( k ) M 1 n il numero medio di bit sbagliati per simbolo si calcola come k n=1 ng(n) = P M (e) M 1 P M (e) k M 1 k n=1 k ( ) k n n n=1 = P M (e) M 1 k k! n n!(n k)! n=1 (k 1)! (n 1)!(n k)! = P k 1 M (e) M 1 k p= (k 1)! p!(k 1 p)! 14

15 con p=n-1. Per la formula di Newton ottengo che k 1 ( ) k 1 (1 + 1) k 1 = = n n= k 1 p= Il numero medio di bit errati per simbolo è: (k 1)! p!(k 1 p)! = k 1 P = P M (e) M 1 kk 1 (17) La P b si può approssimare al rapporto n bit errati n bit trasmessi: dato N numero totale di simboli, k numero di bit per simbolo. P b (e) NP kn = 1 P M (e) k M 1 kk 1 = P M (e) k 1 k 1 ma se M 1 P b(e) P M (e) vado con la stessa probabilità su uno qualsiasi degli altri poichè la distanza è la stessa se sbaglio. 1 Probabilità di errore per segnalazioni M-PSK La P(e) è calcolata con il criterio ML, le regioni di decisione sono i due assi passanti per il punto medio tra le distanze del punto considerato rispetto al precedente e il successivo. La P (c s ) = P (θ r ( π M, π M ). Valuto la densità del vettore r e calcolo la probabilità che la fase appartenga all'intervallo. La densità congiunta di modulo e fase è f V,Θ (v, θ) = 1 1 f XY (v cos(θ), v sin(θ)) ma v f(r) = 1 π e 1 1 N [(r 1 E s) +r ] dove n 1, n due variabili aleatorie gaussiane a media nulla e varianza N f V,Θ (v, θ) = v π e 1 1. [(v cos(θ) E s) +(v sin(θ)) ] = Poichè voglio la densità della fase ottengo f Θ (θ) = considerando il cambio di variabili λ = v N ho che 1 π v π e 1 1 N [v v E s cos(θ)+e s]. f V Θ (v, θ)dv = λe [ λ +ρs λ cos(θ) ρ s] dλ con ρ s è il rapporto segnale rumore per simbolo. λ +ρ s cos (θ)+ρ s sin (θ) λ cos(θ) ρ s = ρ s sin (θ)+ 1 [(λ ρ s cos(θ)) ] con queste considerazioni si ha che: f Θ (θ) = e (ρs sin (θ)) π ma la fase è uniforme in (,π). P (c s ) = π M π M f Θ (θ)dθ λe [(λ ρ s cos(θ)) ] dλ con P (e s ) = 1 P (c s ) -La fase è uniforme tra ( π, π) quando ρ s =. -Quando ρ s in quel caso la P(c s ) = 1 M. -Se ρ s la densità della fase tende ad addensarsi nell'origine, quindi P (c s ) 1P (e s ). Considero il caso M= la dierenza di fase è π segnali antipodali in quel caso E Q( b ). Caso M=4 coppia di segnali antipodali in due componenti in quadratura in questo caso P (c) = (1 P b (e)) = (1 Q( Q E ( b E ) + Q( b ) = Q( E b )) E b )[1 1 Q( E b )] Q( Ma P(e)=1-P(c)=1-1- E b ) questo v π e 1 1 N [v v E s cos(θ)+e s] dv 15