Architettura degli Elaboratori

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1 Architettura degli Elaboratori Rappresentazione dell Informazione Barbara Masucci

2 Cosa studiamo oggi Ø Un moderno elaboratore è un sistema elettronico digitale programmabile Ø Il suo comportamento è flessibile e specificato mediante un programma Ø ossia un insieme di ordini, che lavorano su un insieme di dati Ø Che lingua parla un elaboratore? Ø Come codificare e memorizzare opportunamente dati e informazioni? Ø Come impartire le giuste istruzioni per risolvere un problema?

3 Il linguaggio dei computer Ø I computer «parlano» in binario Ø Alfabeto costituito da due soli simboli, 0 e 1, corrispondenti a Ø Spento (OFF) Ø Acceso (ON) Ø Questi due simboli, detti bit = binary digit corrispondono ai due stati possibili di un circuito elettrico

4 Rappresentazione Binaria Ø Cosa possiamo rappresentare in binario? Ø Numeri (interi, col segno, con la virgola) Ø Parole Ø Istruzioni Ø Programma Ø Idea fondamentale su cui sono costruiti i calcolatori: Ø Programmi e dati rappresentati da numeri Ø Oggi ci occupiamo della rappresentazione degli interi

5 Rappresentazione con n bit Quanti interi possiamo rappresentare con una sequenza n bit? E quali sono?

6 Rappresentazione con n bit n = 1 n = 2 n = 3 n = = = = = = = = = = = = = =0 =1 =2 =3 =4 =5 =6 =7 =8 =9 =10 =11 =12 =13 =14 =15

7 Rappresentazione con n bit Con n bit è possibile rappresentare tutti i 2 n interi compresi fra 0 e 2 n -1 Perché?

8 Risposta Se con k bit posso rappresentare p sequenze distinte, con k+1 bit posso rappresentare 2p sequenze distinte 1 bit 2 sequenze distinte 2 bit 4 sequenze distinte 3 bit 8 sequenze distinte 4 bit 16 sequenze distinte k bit 2 k sequenze distinte Si formalizza con una prova per induzione

9 Rappresentazione Binaria E possibile prevedere il numero di bit necessari per rappresentare N in binario?

10 Numero di bit per rappresentare N Ø E possibile rappresentare 152 con 7 bit? Ø No, perché con 7 bit possiamo rappresentare tutti e soli gli interi da 0 a = 127 Ø E possibile rappresentare 152 con 8 bit? Ø Si, perché con 8 bit possiamo rappresentare tutti gli interi da 0 a = 255 In effetti: < 152 < Ø Il minimo numero n di bit necessari a rappresentare N in binario è tale che N 2 n -1, da cui n log 2 (N+1) Poiché n deve essere un intero, si considera il più piccolo intero successivo al valore ottenuto

11 Rappresentazione con n bit n = 1 n = 2 n = 3 n = = = = = = = = = = = = = Ma perché 101 = e 1101 = 13? =0 =1 =2 =3 =4 =5 =6 =7 =8 =9 =10 =11 =12 =13 =14 =15

12 Notazione Decimale Ø Anche detta notazione araba Ø E una notazione posizionale Ø Ogni cifra ha un peso diverso secondo la posizione che occupa Ø = Ø 2 unità Ø 5 decine Ø 7 centinaia

13 Notazione Binaria Ø Anche la notazione binaria è posizionale Ø Ogni cifra ha un peso diverso secondo la posizione che occupa Ø = = 5 Ø = = 13

14 Evitare ambiguità Ø Per distinguere le due rappresentazioni, indichiamo la base (numero di simboli dell alfabeto) come pedice del numero Ø Binario: base 2 Ø Decimale: base 10 Ø Esempi Ø (101) 2 = (5) 10 Ø (1101) 2 = (13) 10 Ø (1011) 2 = (11) 10

15 Conversioni Come convertire una sequenza binaria in un intero decimale?

16 Da Binario a Decimale N = ( ) 2 N = = = = 181

17 Conversioni Come convertire un intero decimale in una sequenza binaria?

18 Da Decimale a Binario Dato N = (181) 10, cerco la più grande potenza di 2 contenuta in 181: 181 = = = = = = = 4+1 = = = = 1x2 7 +0x2 6 +1x2 5 +1x2 4 +0x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 = ( ) 2 Nota: esiste un unico modo di esprimere un intero come somma di potenze distinte di =1 2 1 =2 2 2 =4 2 3 =8 2 4 = = = = =256

19 Notazione posizionale La notazione posizionale è definita solo per le basi 10 e 2?

20 Base b=10 La sequenza di cifre decimali rappresenta l intero a n-1 a n-2 a 1 a 0 N = a n-1 10 n-1 + a n-2 10 n a a n 1 = i i=0 a 10 i

21 Base b=2 La sequenza binaria a n-1 a n-2 a 1 a 0 rappresenta l intero N = a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a a n 1 = i i=0 a 2 i

22 Base b generica La sequenza a n-1 a n-2 a 1 a 0 di simboli in {0, 1,, b-1} rappresenta l intero N = a n-1 b n-1 + a n-2 b n a 1 b 1 + a 0 b 0 n 1 = i i=0 a b i

23 Esempi (234) 10 (234) = = (234) = (101) 10 (101) = = (101) = 5 10

24 Esercizio Ø Da cosa sono caratterizzati i numeri pari in binario? Ø (11010) 2 è pari? Ø Suggerimento: guardate l ultimo bit (il meno significativo) Ø (11010) 2 è caratterizzato da

25 Conversioni tra basi (più diffuse) Le possibilità Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

26 Algoritmi di conversione Binario Decimale Ø Da Binario a Decimale Ø Moltiplico ogni cifra binaria per l opportuna potenza di 2 e poi faccio la somma Ø Da Decimale a Binario Ø Esprimo il numero come somma di potenze di 2, partendo dalla più grande potenza di 2 minore del numero Esistono altri algoritmi, più efficienti, per convertire un numero da binario a decimale e viceversa

27 Da Binario a Decimale Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

28 Da Binario a Decimale Ø Sia N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 un intero in binario Ø Il valore di N è N=a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a 1 2+ a 0 Ø Definiamo i valori S n-1 = a n-1 S n-2 = a n-2 + 2S n-1 S n-3 = a n-3 + 2S n-2.. S i = a i + 2S i+1.. S 0 = N

29 Esempio 1 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 5 = a 5 +2S 6 = = 5 S 4 = a 4 +2S 5 = = 11 S 3 = a 3 +2S 4 = = 22 S 2 = a 2 +2S 3 = = 45 S 1 = a 1 +2S 2 = = 90 S 0 = a 0 +2S 1 = = 181 S 0 = N = 181

30 Esempio 2 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 3 S 5 = a 5 +2S 6 = = 7 S 4 = a 4 +2S 5 = = 14 S 3 = a 3 +2S 4 = = 29 S 2 = a 2 +2S 3 = = 58 S 1 = a 1 +2S 2 = = 116 S 0 = a 0 +2S 1 = = 233 S 0 = N = 233

31 Esempio 3 ( ) 2 n=8 S 7 = a 7 = 1 S 6 = a 6 +2S 7 = = 3 S 5 = a 5 +2S 6 = = 7 S 4 = a 4 +2S 5 = = 15 S 3 = a 3 +2S 4 = = 31 S 2 = a 2 +2S 3 = = 63 S 1 = a 1 +2S 2 = = 127 S 0 = a 0 +2S 1 = = 255 S 0 = N = 255

32 Perché funziona? N = a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n a 1 2+ a 0 = (a n-1 2 n-2 + a n-2 2 n a a 1 ) 2 + a 0 S 0 = S a 0 = ( (a n-1 2 n-3 + a n-1 2 n a 2 ) 2 + a 1 ) 2 + a S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. = (( (a n-1 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 S n-2 = S n a n-2 = (( ( (a n-1 ) 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 S n-1 = a n-1

33 Algoritmo di conversione: da Binario a Decimale MSD=cifra più significativa N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2 LSD=cifra meno significativa N = (( ( ( a n-1 ) 2+ a n-2 ) a 2 ) 2 + a 1 )2 + a 0 N= S 0 = S a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2.. S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 Dal basso verso l alto: da a n-1 a a 0 ; da MSD a LSD S n-1 = a n-1 S n-2 = a n-2 + 2S n-1 S n-3 = a n-3 + 2S n-2.. S i = a i + 2S i+1.. S 0 = a 0 +2S 1 S 0 =N

34 Da Decimale a Binario Decimale Ottale Binario Esadecimale Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

35 Algoritmo di conversione: da Decimale a Binario Dato: N Risultato: a n-1, a n-2,, a 1, a 0 con a i = 0 o 1 Procedura inversa: dall alto verso il basso (da a 0 ad a n-1 ) N= S 0 = S 1 2 +a 0 S 1 = S a 1 S 2 = S a 2 S i = S i a i S n-2 = S n a n-2 S n-1 = a n-1 a 0 ed S 1 sono il resto e il quoziente della divisione di N = S 0 per 2. a i ed S i+1 sono il resto e il quoziente della divisione di S i per 2. Fino ad ottenere un S i =0 Algoritmo delle divisioni successive

36 Esempio: N=152 S n-1 = a n-1 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2??? S 0 = a 0 +2S 1 = = 152 S 1 = a 1 +2S 2 = = 76 S 2 = a 2 +2S 3 = = 38 S 3 = a 3 +2S 4 = = 19 S 4 = a 4 +2S 5 = = 9 S 5 = a 5 +2S 6 = = 4 S 6 = a 6 +2S 7 = = 2 S 7 = a 7 +2S 8 = =1 152 : 2 = 76 con resto 0 76 : 2 = 38 con resto 0 38 : 2 = 19 con resto 0 19 : 2 = 9 con resto 1 9 : 2 = 4 con resto 1 4 : 2 = 2 con resto 0 2 : 2 = 1 con resto 0 1 : 2 = 0 con resto 1 N = ( ) 2 STOP

37 Esempio: N=51 N = (a n-1 a n-2 a 1 a 0 ) 2??? N 2 = = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3+ 0*2 2 +1*2 1 +1*2 0

38 Esercizi Ø Convertire in base 2 Ø Ø Ø Scrivere in binario su 7 bit il numero Ø Suggerimento: effettuare la conversione e aggiungere i bit mancanti per arrivare a 7 bit Ø Convertire in base 10 Ø Ø

39 Indovinello: come conta ET? Ø ET viene sulla Terra e ci dice che i re di Roma sono 13 Ø Quante dita ha ET? Ø Il 13 deve essere interpretato come una stringa di simboli Ø Non conosciamo la base della loro numerazione Ø Sappiamo che il loro sistema di numerazione è POSIZIONALE Ø Sappiamo che i re di Roma sono 7 10 Ø E se ET dicesse che i re di Roma sono 111? Linguaggi, Codifica e Rappresentazione dell Informazione

40 Riepilogo Ø Rappresentazione binaria con n bit Ø Algoritmi di conversione per interi Ø bin->dec e dec->bin [P] parr. 1.1, 1.2, 1.3.1