Appunti di Matematica Computazionale Lezione 1. Equazioni non lineari. Consideriamo il problema della determinazione delle radici dell equazione

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1 Appunti di Mtemti Computzionle Lezione Equzioni non lineri Considerimo il prolem dell determinzione delle rdii dell equzione dove è un funzione definit in [,]. Teorem: Zeri di unzioni Continue Si un funzione ontinu nell intervllo hiuso e limitto [,] e tle he ssum negli estremi e vlori di segno opposto. Allor esiste in [,] lmeno un vlore * tle he *. L pprossimzione numeri di un rdie * di si s sull uso di metodi itertivi he onsistono nell ostruzione di un suessione di iterti,,...,,... he tende ll soluzione del prolem *, ioè Le prolemtihe legte questi metodi sono: Convergenz dell suessione di iterti * lim * + Veloità di onvergenz dell suessione di iterti * ordine del metodo 3 Intervllo di onvergenz, ioè selt del punto inizile per ui si h l onvergenz 4 Criteri di rresto del metodo itertivo questo è un prolem numerio dovuto l ftto he lvorimo on i numeri finiti e doimo fre un numero finito di pssi 5 Buon o ttiv posizione del prolem

2 Considerimo prim i punti 3 e 4. Definizione: Veloità di Convergenz Un suessione di iterti { }, genert d un metodo numerio, si die onvergere un punto * on veloità di ordine p, on p oppure si die onvergente di ordine p se >: p * + *, on intero opportuno. Se p, oorre he < ffinhé l suessione si onvergente. In tl so si die onvergente linermente. Risult: * + + * *... * e tnto più piolo è < tnto migliore è l onvergenz, pur rimnendo linere. Se p si die he l onvergenz è qudrti o del seondo ordine L onvergenz dei metodi itertivi per l determinzione delle rdii di equzioni non lineri in generle dipende dll selt del punto inizile. Metodi onvergenz Lole: sono metodi in ui l onvergenz è ssiurt per pprtenente d un intorno dell soluzione. Metodi Convergenz Glole: sono metodi in ui l onvergenz è ssiurt per qulsisi selt del punto inizile pprtenente ll intervllo he rhiude l rdie, ioè [,].

3 I metodi he onsidereremo srnno luni onvergenz lole ltri onvergenz glole. Un metodo numerio onvergente gener un suessione { } di iterti he soddisf l. Lvorndo on un loltore non possimo fre un numero infinito di pssi, per ui è neessrio fornire delle ondizioni per rrestre il proedimento itertivo. Vi sono due possiili riteri: il ontrollo sul vlore dell funzione nel punto o il ontrollo dell inremento he dimo - per ottenere. In entrmi i metodi si suppone di ver fissto un tollernz ε. Controllo sul Vlore dell funzione: il proesso viene rrestto l psso per ui si verifi < ε Si possono però verifire situzioni in ui il test si present o troppo restrittivo o troppo ottimistio. Cso Restrittivo Y X* X X L iterto è viino * m > ε. L errore e * - << 3

4 Cso Ottimistio Y X* X X Il vlore di è lontno d * m < ε L errore e * - >> Si vede quindi he, se l funzione h un derivt prim lt nell intorno dell soluzione, il test può risultre troppo restrittivo, mentre se h un derivt piol llor il test può risultre troppo permissivo. Controllo dell inremento: il proesso viene rrestto l psso per ui si verifi he l differenz tr due iterti suessivi è minore dell preisione fisst ε, ioè < ε Si può onludere he un riterio d rresto sto si sul ontrollo del vlore dell funzione si sul ontrollo dell inremento risult molto più ffidile. 4

5 5 Metodi Convergenz Glole Metodo di Bisezione Il metodo di Bisezione si s sul teorem degli zeri di funzioni ontinue. Si < e ponimo [ ] ], [,. Il metodo di isezione onsiste nel generre un suessione di sottointervlli [ ] [ ] [ ] I I I,,...,,,, tli he < I I e In prtiolre si determin + si lol e si determin il sottointervllo he soddisf le ondizioni del teorem. < < pone si se pone si se ltrimenti ert rdie l è Se In questo modo l intervllo inizile viene vi vi dimezzto. L lunghezz di... Il metodo onverge linermente on pe /. Inftti si h e * * *

6 he dimostr l onvergenz linere del metodo. Il metodo è glolmente onvergente. Inftti lime lim. Un riterio di rresto del metodo di isezione è hiedere he l intervllo - si minore di un preisione fisst ε, ioè ε. Quest relzione i permette di vlutre teorimente qunte iterzioni sono neessrie per rggiungere l preisione prefisst. Inftti dll relzione si ottiene log ε + ε Il metodo di Bisezione è un metodo di siur m lent onvergenz. Osservzione: Nel progrmmre l lgoritmo è utile, per vedere il segno di utilizzre l funzione di lireri sign se > se se < + Inoltre qundo si v lolre il punto operndo on i numeri finiti si può ottenere un risultto errto, ioè fuori dll intervllo di definizione; inftti d es. operndo on 3 ifre deimli il entro dell intervllo [.983,.986] è 6

7 s s fl s fl.96 fl. Se invee si utilizz l formul si eseguono le seguenti operzioni: fl fl esterno ll'intervllo + s fl s s 3 fl.3.3 s fl.5 fl s fl oppure.985 entrmi interni ll'intervllo Esempio Voglimo determinre lo zero di in [,] [-, ], usndo il metodo di Bisezione. 3 4 I [-,] I [.5,] I 3 [.5,] I 4 [.5,.65] 7

8 Metodi di linerizzzione Il metodo di Bisezione è onvergenz glole, m utilizzndo solo il segno dell funzione gli estremi degli intervlli, non tiene onto dei vlori he l funzione ssume in questi punti. Considerimo quindi ltri metodi, non tutti onvergenz glole, he utilizzno nhe il vlore dell funzione nelle vrie pprossimzioni dell soluzione. In generle, sviluppndo in serie di Tylor l funzione in un opportuno intorno di * e tronndo lo sviluppo l primo ordine se ne ottiene un versione linerizzt del tipo per un opportuno ζ ompreso tr * ed. *+*- ζ 3 L 3 suggerise l ide di pprossimre l soluzione del prolem di lolre lo zero di on un suessione di iterti ottenuti ome punto di inontro on l sse di un suessione di rette he vi vi pprossimno l ndmento dell funzione in esme in punti sempre più viini llo zero. In prtiolre si ottiene il seguente metodo itertivo: l generio psso, noti e, in ordo on l 3, si determin ome + zero dell rett pssnte per il punto, e on oeffiiente ngolre m ζ, ioè si determin il punto + in ui l rett inontr l sse delle. Come si riv dll 3 tle rett è y + m e si er + tle he y m seguente shem itertivo. Al vrire di si ottiene il 8

9 9 > + m m 4 A seond di ome si seglie il oeffiiente ngolre dell rett si hnno differenti metodi. Metodo delle Corde Nel metodo delle orde si pone m ugule d ogni iterzione. In prtiolre si pone > m m d ui si ottiene l formul riorsiv + dove può essere indifferentemente o. Il oeffiiente ngolre quindi si determin un volt sol e quindi, nel metodo delle Corde, tutte le rette sono tr loro prllele. Tle metodo h onvergenz linere on p. Esempio: Applizione del Metodo delle Corde per l rier dello zero dell funzione preedente.

10 3 3 4 Metodo dell Regul lsi Nel metodo dell Regul lsi si fiss un punto inizile, m e si pone d ui si ottiene l formul riorsiv + Quindi tutte le rette pssno per il punto inizile, e hnno pendenz vriile. Metodo onvergenz linere. Esempio: Applizione del Metodo dell Regul lsi per l rier dello zero dell funzione preedente. In questo so si h e.

11 3 4 3 Metodo di Newton Nel metodo di Newton, d ogni psso, si onsider l rett pssnte per il punto, e tngente ll urv, e si determin il nuovo iterto ome il punto di inontro tr quest rett e l sse delle. Per fr iò, nell formul riorsiv 4, si pone m ' ottenendo l formul riorsiv + ' Esempio: Applizione del Metodo di Newton.

12 Questo metodo h rtteristihe diverse di metodi preedenti, in qunto, ome vedremo, onverge solo lolmente, ioè se si prte d un punto suffiientemente viino ll soluzione *. L su veloità di onvergenz è però qudrti, ioè è un metodo di ordine per rdii semplii. Ciò signifi he l errore l psso + si omport ome il qudrto dell errore l psso -esimo, moltiplito per un ostnte indipendente d. Metodo delle Senti Vrinte del metodo di Newton è il metodo delle senti, in ui non è neessrio fre due vlutzioni, un di ed un di ' d ogni iterzione. Il metodo delle senti sostituise ll tngente l rett pssnte per i punti, e,, + Si può fr vedere he per il metodo delle senti l ordine di onvergenz è p.68, m l onvergenz è sempre lole.

13 Esempio: Applizione del Metodo delle Senti. 3 3