La teoria microeconomica del consumo

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1 Isttuzon d Economa Matematca La teora mcroeconomca del consumo Il problema del consumatore 2 a parte. Maro Sportell Dpartmento d Matematca Unverstà degl Stud d Bar Va E. Orabona, 4 I Bar (Italy) (Tel.: +39 (0) ; fax: +39 (0) ) E mal: msportell@dm.unba.t URL: 1

2 L utltà margnale Consderamo una generca funzone d utltà u = u( x) Defnzone: S defnsce utltà margnale del bene x x l tasso d varazone dell ndce d utltà al varare della quanttà x. Formalmente scrveremo: MU = u = Osservazone: L utltà margnale è sempre postva, perché le preferenze sono monotone. Qund, l utltà cresce al crescere della quanttà del bene: MU > 0 u x 2

3 L utltà margnale Un agente razonale tende a soddsfare bsogn pù urgent con le prme untà (dos) dsponbl del bene. Cò mplca che gl ncrement d utltà saranno relatvamente elevat con le prme untà consumate del bene. Gl ncrement d utltà tenderanno a dvenre va va mnor quando dos successve del bene comncano ad essere consumate per soddsfare bsogn meno urgent. Osservazone: Da un punto d vsta formale, questa potes logca derva dell assunzone che le preferenze sono convesse e, d conseguenza, la funzone d utltà è quas concava. 3

4 L utltà margnale Formalmente, l potes logca sopra enuncata mplca che l tasso d varazone dell utltà margnale d x al varare dello stesso x è sempre non postvo, ossa: 2 MU u = u = 0 2 x x Osservazone: Qualora cresca la quanttà d un bene dverso da x, le varazon dell utltà margnale d x sono sempre non negatve: MU x 2 u = uj = 0 x x j j 4

5 Il Saggo Margnale d Sosttuzone Se consderamo un nseme d paner dstnt appartenent allo stesso nseme d ndfferenza, ( X X) allora l ndce d utltà sarà dentco per tutt paner: Segue che u u u u du = dx + dx + + dx + + dxk = x x x x = 1 u( x) = u = cost. x X k u dx x = 0 k 5

6 Il Saggo Margnale d Sosttuzone Se assumamo che le quanttà varno due alla volta, allora u u du = dx j + dx j = x x Possamo così calcolare l tasso al quale x j deve varare al varare d x, affnché l benessere rest nvarato. Questo tasso d varazone s defnsce Saggo Margnale d Sosttuzone : j 0 MRS dx u x u j = = = < dx u x u j j 0 6

7 Il Saggo Margnale d Sosttuzone Osservazone: Il Saggo Margnale d sosttuzone è decrescente n valore assoluto: 2 d xj dx 2 3 j Perché 1 ( 2 2 = uu 2 ) j u juu j + uj ju > 0 x u, u < 0 e u 0 j j j Cò conferma che la curva d ndfferenza è convessa. Dal punto d vsta geometrco l MRS denota l nclnazone della curva d ndfferenza. 7

8 Specfche funzon d utltà n R 2. La funzone d utltà Cobb Douglas. Questa funzone d utltà genera curve d ndfferenza regolar. La sua equazone è: u = α β 1 2 Ax x, ]0,1] α β 8

9 Specfche funzon d utltà n R 2. La funzone d utltà quas lneare. Questa funzone d utltà genera curve d ndfferenza regolar. La sua equazone è: u = Ax + β x α 1 2 0< α < 1; β > 0 9

10 Il Vncolo d Blanco Defnzone: Dces Inseme d Blanco l nseme de paner a cu s assoca una spesa non superore alla dsponbltà monetara dell agente: B = x X: px m { } dove p è l vettore de prezz de ben e m la dsponbltà monetara dell agente. L nseme d blanco è compatto, perché è lmtato ( k : x k m/p k ) e chuso (nclude la frontera). In forma estesa l nseme d blanco può scrvers: p1x1+ p2x2+ + p x + + p x m p x m k k = 1 k 10

11 La retta d blanco Quando s consderano paner che ncludono solo due ben, l nseme d blanco p x + p x m è rappresentable con una retta denomnata retta d blanco. Tale retta s ottene consderando l nseme de paner a cu s assoca una spesa par alla dsponbltà monetara p x + p x = m x m = p x p2 p2 11

12 La retta d blanco L nclnazone della retta d blanco è msurata dal coeffcente angolare dx dx 2 1 = 1 2 che denota l tasso al quale l agente può scambare ben senza alterare la spesa m. p p 12

13 La retta d blanco Le varazon della dsponbltà monetara. Ogn varazone d m modfca l ntercetta della retta d blanco. Pertanto, la retta s traspone parallelamente nel pano cartesano. Gl aument d m espandono l nseme d blanco; le rduzon lo restrngono. 13

14 La retta d blanco Le varazon de prezz. Ogn varazone de prezz modfca l nclnazone della retta d blanco. Pertanto, la retta ruota nel pano cartesano. Gl aument d uno de prezz restrngono l nseme d blanco; le rduzon lo espandono. 14

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