Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta

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Simone Cortese
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1 Prova scritta D. 1 Si derivi l espressione dei legami ingresso-uscita, nel dominio del tempo per le funzioni di correlazione nel caso di sistemi LTI e di segnali d ingresso SSL. Si utilizzi tale risultato per calcolare la densità spettrale di potenza (PSD) in uscita ad un filtro LTI di risposta armonica H(f) nell ipotesi che l ingresso sia il segnale: x(t) = A cos(2πf 0 t + Θ) con Θ variabile aleatoria uniforme in [0, 2π) D. 2 Derivare la struttura del ricevitore ottimo per trasmissione numerica su canale AWGN. Particolarizzare tale struttura al caso di segnalazione QAM. D. 3 Si consideri il seguente insieme di segnali (Hadamard): s m (t) = 3 i=0 ove i coefficienti c im sono gli elementi della matrice [ ] 4 t it/4 T/8 c im T Π, m = 1, 2, 3, 4 T/ Schizzarne l andamento temporale di tali segnali e determinarne per ispezione la costellazione: s m, m = 0, 1, 2, 3. Determinare inoltre una maggiorazione per la probabilità d errore per simbolo. Stabilire infine se trattasi di un sitema di modulazione efficiente in banda o in potenza.

Θ) con Θ variabile aleatoria uniforme in [0, 2π) D. 2 Derivare la struttura del ricevitore ottimo per trasmissione numerica su canale AWGN. Particolarizzare tale struttura al caso di segnalazione QAM.

2 Prova scritta D. 1 Sia X(n) un processo aleatorio SSL, gaussiano a media nulla ed autocorrelazione r XX (m) = a m a < 1 Determinare la pdf del 1 o ordine del segnale Y (n) = X(2n) X(2n 1). D. 2 Si consideri il seguente insieme di segnali (segnalazione biportante): ove s ij (t) = [2i + 1 M 1 ] d 2 2ψ(t) cos[2πf0 t] + [2j + 1 M 1 ] d 2 i {0, 1, M 1 1}, j {0, 1, M 1 1} 2ψ(t) cos[2πf0 t] e sono due segnali di energia unitaria ed ortogonali. Determinarne per ispezione la costellazione dei segnali, stabilire da quanti simboli è costituita e quanti bits trasporta ogni simbolo, disegnarla per M 1 = 4, individuare, se possibile, una una codifica alla Gray, e stabilire se trattasi di un sitema di modulazione efficiente in banda o in potenza. Determinare inoltre la la probabilità d errore per simbolo. D. 3 Segnalazione con ISI nulla

sono due segnali di energia unitaria ed ortogonali.

3 Prova scritta D. 1 Sia X(t) un s.a. SSL, gaussiano bianco con PSD S XX (f) = 1 Tale segnale è inviato in parallelo al filtro LTI, passa-basso ideale, ( ) f H 1 (f) = A 1 Π B ed al filtro passa-banda ideale ( ) ( )] f 10B f + 10B H 2 (f) = A 2 [Π + Π B B Detti Y 1 (t) e Y 2 (t) i segnali in uscita al filtro passa-basso e, rispettivamente, a quello passa-banda, Determinare i guadagni A 1 e A 2 in modo che i segnali in uscita abbiano la stessa potenza; Calcolare S Y1 Y 1 (f), S Y2 Y 2 (f) e S Y1 Y 2 (f) e schizzarne gli andamenti; Stabilire se i s.a. Y 1 (t) e Y 2 (t) siano o meno indipendenti, se cioè ogni campione dell uno è indipendente da ogni campione dell altro; Calcolare P ({ Y 1 (t) 1} { Y 2 (t) 1}). D. 2 Si consideri il seguente insieme di segnali: s m (t) = Derivare la costellazione e disegnarla; A rect T (t) cos[2πf c t + m π 2 ] m = 0, 1, 2, 3 2A rect T (t) cos[2πf c t + m π 2 + π 4 ] m = 4, 5, 6, 7 Calcolare l energia media E s e l energia media per bit E b ; Codificare i segnali in binario con un codice di Gray, se possibile. Calcolare la massima efficienza spettrale. D. 3 Si illustri il fenomeno dell ISI, si derivi il Criterio di Nyquist e si discutano le soluzioni con occupazione spettrale finita.

4 Prova scritta D. 1 Sia X(t) un s.a. gaussiano SSL, a media nulla con PSD S XX (f) = Tale segnale è filtrato con il filtro LTI, passa-basso, H(f) = Detto Y (t) il segnale in uscita al filtro passa-basso (ft ) j2πf/f c, f c T = 0, 1 Schizzare accuratamente la PSD S XX (f) dell ingresso, la funzione di trasferimento dell energia del filtro e la PSD S Y Y (f) dell uscita, adoperando le stesse scale per i tre grafici. Stabilire se, ai fini del calcolo degli effetti in uscita al filtro, il segnale X(t) è modellabile come rumore bianco. In caso di risposta affermativa al punto precedente, determinare la PSD approssimata dell ingresso e la banda, al 95% della potenza, del segnale d uscita. Discutere eventuali necessari cambiamenti per X(t) non gaussiano. D. 2 Si trasmette un traffico con velocita R b = 1 Mbps mediante una modulazione 16-PAM. Calcolare la banda B occupata nel caso di filtro ideale passa basso e di filtro RRC con α = 0.25 (roll-off). D. 3 Si presenti il confronto tra le varie tecniche di modulazione utilizzate in termini di efficienza spettrale e contrasto di energia a parità di probabilità d errore (piano di Shannon).

5 Prova scritta D. 1 Si consideri il sistema LTI avente la seguente risposta impulsiva: h(n) = ba n 1 u(n 1) con in ingresso una sequenza di v.a. iid X(n) con media µ X e varianza σ 2 X. Stabilire le condizioni cui devono soddisfare a e b per avere un sistema stabile. Determinare inoltre a e b in modo che l uscita abbia la stessa media dell ingresso ed una varianza pari ad un decimo di σ 2 X. D. 2 Si trasmette un traffico con velocita R b = 1 Mbps mediante una modulazione 16-PAM. Calcolare la banda B occupata nel caso di filtro ideale passa basso e di filtro RRC con α = 0.25 (roll-off). D. 3 Si presenti il confronto tra le varie tecniche di modulazione utilizzate in termini di efficienza spettrale e contrasto di energia a parità di probabilità d errore (piano di Shannon).

Determinare inoltre a e b in modo che l uscita abbia la stessa media dell ingresso ed una varianza pari ad un decimo di σ 2 X. D.

6 Prova scritta D. 1 Per combattere disturbi fortemente correlati i sistemi radar usano il filtro MA: y(n) = x(n) x(n 1) Supposto che il disturbo in ingresso sia aleatorio a media nulla con autocorrelazione esponenziale r XX (m) = σi 2ρ m, determinare l attenuazione del disturbo C A, definita da C A = σi 2/σ2 O, dove σ2 I è la potenza del disturbo in ingresso al filtro e σo 2 è quella in uscita. Ripetere il calcolo per disturbo con autocorrelazione gaussiana, cioè r XX (m) = σi 2ρm2. Stabilire infine cosa cambia se, a parita di funzione di autocorrelazione, il disturbo non e gaussiano ma ha una pdf uniforme in ( 1, 1). D. 2 Si consideri il seguente insieme di segnali (segnalazione biportante): ove s ij (t) = [2i + 1 M 1 ] d 2 2ψ(t) cos[2πf0 t] + [2j + 1 M 1 ] d 2 i {0, 1, M 1 1}, j {0, 1, M 1 1} 2ψ(t) cos[2πf0 t] e sono due segnali di energia unitaria ed ortogonali. Determinarne per ispezione la costellazione dei segnali, stabilire da quanti simboli è costituita e quanti bits trasporta ogni simbolo, disegnarla per M 1 = 4, individuare, se possibile, una una codifica alla Gray, e stabilire se trattasi di un sitema di modulazione efficiente in banda o in potenza. Determinare inoltre la la probabilità d errore per simbolo, nell ipotesi che i segnali siano equiprobabili. D. 3 Derivare la struttura del ricevitore ottimo per trasmissione numerica su canale AWGN. Particolarizzare tale struttura al caso di segnalazione QPSK.

esponenziale r XX (m) = σi 2ρ m, determinare l attenuazione del disturbo C A, definita da C A = σi 2/σ2 O, dove σ2 I è la potenza del disturbo in ingresso al filtro e σo 2 è quella in uscita.

7 Prova scritta D. 1 Valutare la banda di rumore del filtro MA definito da: y(n) = x(n) + x(n 1) D. 2 Definito guadagno asintotico tra due costellazioni, aventi lo stesso valore medio di energia per bit, il valore in db (G db ) del rapporto G = ( ) d 2 min E b ( ) d 2 min E b 1 calcolare G db conseguito da una costellazione 8-PAM rispetto a alla costellazione 8-PSK: 2 D. 3 Derivare le prestazioni di un sistema di modulazione 4-QAM.

valore in db (G db ) del rapporto G = ( ) d 2 min E b ( ) d 2 min E b 1 calcolare G db conseguito da una

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