Problemi di meccanica quantistica non relativistica

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1 Problemi di meccanica quantistica non relativistica

2 Carlo Alabiso Alessandro Chiesa Problemi di meccanica quantistica non relativistica Springer

3 Carlo Alabiso Dipartimento di Fisica e Scienze della Terra Macedonio Melloni Università di Parma Alessandro Chiesa Dipartimento di Fisica e Scienze della Terra Macedonio Melloni Università di Parma UNITEXT- Collana di Fisica e Astronomia ISSN ISSN (elettronico) ISBN ISBN DOI / Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York c Springer-Verlag Italia 2013 (ebook) Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione anche parziale è ammessa esclusivamente nei limiti della stessa. Tutti i diritti, in particolare i diritti di traduzione, ristampa, riutilizzo di illustrazioni, recitazione, trasmissione radiotelevisiva, riproduzione su microfilm o altri supporti, inclusione in database o software, adattamento elettronico, o con altri mezzi oggi conosciuti o sviluppati in futuro, rimangono riservati. Sono esclusi brevi stralci utilizzati a fini didattici e materiale fornito ad uso esclusivo dell acquirente dell opera per utilizzazione su computer. I permessi di riproduzione devono essere autorizzati da Springer e possono essere richiesti attraverso RightsLink (Copyright Clearance Center). La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dalla legge, mentre quelle per finalit di carattere professionale, economico o commerciale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, autorizzazioni@clearedi.org e sito web L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati ecc., anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Le informazioni contenute nel libro sono da ritenersi veritiere ed esatte al momento della pubblicazione; tuttavia, gli autori, i curatori e l editore declinano ogni responsabilit legale per qualsiasi involontario errore od omissione. L editore non pu quindi fornire alcuna garanzia circa i contenuti dell opera. Layout copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: CompoMat S.r.l., Configni (RI) Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I Milano Springer fa parte di Springer Science + Business Media (

4 Prefazione Per gli studenti di fisica, la meccanica quantistica non relativistica rappresenta forse la materia più caratterizzante del corso di studi. Inoltre, costituisce un ottima palestra di metodologia della fisica teorica, e in questo ruolo formava il nucleo centrale del corso di Istituzioni di Fisica Teorica della vecchia laurea unitaria. Con i nuovi ordinamenti, tale corso è stato scorporato e distribuito nei successivi livelli delle nuove lauree, ma non c è dubbio che l argomento continui a svolgere ancora questa importante funzione pedagogica. A causa delle loro dimensioni microscopiche, particelle come l elettrone e il protone non ricadono sotto la nostra esperienza sensoriale, e sono governate da leggi del moto qualitativamente diverse da quelle della meccanica classica che, al contrario, si può basare sull intuizione fisica diretta degli oggetti descritti. Questo impone una cautela particolare nell uso delle tecniche e persino delle parole impiegate per trattare il microcosmo: non possiamo parlare di un protone come fosse un sassolino da tenere fermo in mano, ma bisogna utilizzare il linguaggio corretto. Come in tutte le palestre, gli esercizi sono fondamentali, anzi ne sono la loro ragione. I problemi qui raccolti erano stati assegnati come prove di esame, ma le soluzioni vanno oltre il solo fatto tecnico, sono più estese e più approfondite, con lo scopo di far meglio comprendere allo studente la lettera e lo spirito degli argomenti. Nel testo si trovano talvolta problemi simili, proposti con l intento di applicare di volta in volta soluzioni differenti, convinti che una profonda comprensione dell argomento possa essere raggiunta guardandolo da punti di vista diversi e apprezzandone le varie sfaccettature. Raramente esiste un solo modo di risolvere un problema; più spesso esistono varie strade, delle quali alcune più praticabili di altre, e l abilità del solutore sta nell individuare la piùbreveolapiù elegante. Per quanto riguarda l utilizzo pratico del volume, all interno di ciascuna delle undici sezioni tematiche è stato mantenuto l ordine cronologico originario. In esso è possibile individuare diversi gradi di difficoltà, inizialmente in termini crescenti, per tornare a un livello intermedio negli ultimi problemi, assegnati a suo tempo nell ambito della laurea triennale.

5 vi Prefazione Ringraziamo il Prof. Enrico Onofri che per oltre dieci anni ha condiviso con il primo degli autori la responsabilità del Corso di Istituzioni di Fisica Teorica, e al quale si deve la formulazione di un certo numero di Problemi. Parma, luglio 2012 Carlo Alabiso Alessandro Chiesa

6 Indice 1 Problemi Equazione di Schrödinger in una dimensione Equazione di Schrödinger in due e tre dimensioni Oscillatore Armonico Delta di Dirac Perturbazioni indipendenti dal tempo Calcolo Variazionale Evoluzione temporale Perturbazioni dipendenti dal tempo Momento angolare e spin Molte particelle Argomenti vari Risposte e suggerimenti Equazione di Schrödinger in una dimensione Equazione di Schrödinger in due e tre dimensioni Oscillatore Armonico Delta di Dirac Perturbazioni indipendenti dal tempo Calcolo Variazionale Evoluzione temporale Perturbazioni dipendenti dal tempo Momento angolare e spin Molte particelle Argomenti vari Soluzioni Equazione di Schrödinger in una dimensione Equazione di Schrödinger in due e tre dimensioni Oscillatore Armonico Delta di Dirac

7 viii Indice 3.5 Perturbazioni indipendenti dal tempo Calcolo Variazionale Evoluzione temporale Perturbazioni dipendenti dal tempo Momento angolare e spin Molte particelle Argomenti vari Appendice A.1 Evoluzione libera della Gaussiana A.2 Oscillatore armonico e polinomi di Hermite A.3 Potenziali centrali e coordinate polari A.4 Armoniche sferiche e polinomi di Legendre A.5 Particella libera in tre dimensioni e funzioni di Bessel A.6 Potenziale idrogenoide e polinomi di Laguerre A.7 Polinomi ortogonali A.8 Equazioni differenziali fuchsiane A.9 Funzioni ipergeometriche A.10 Funzioni ipergeometriche confluenti A.11 Delta di Dirac A.12 Integrali utili A.13 Integrali diretti e di scambio A.14 Rappresentazione dei momenti angolari A.15 Composizione dei momenti angolari A.16 Metodi approssimati A.16.1 Perturbazioni indipendenti dal tempo A.16.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo A.16.3 Calcolo variazionale A.17 Momenti angolari e campi elettromagnetici A.17.1 Potenziali scalare e vettore A.17.2 Effetto Zeeman A.17.3 Interazione Spin-Orbita A.17.4 Zeeman e Spin-Orbita A.18 Formulazione generale della Meccanica Quantistica A.19 Descrizione di Schrödinger, Heisenberg, interazione A.20 Lo spettro degli operatori autoaggiunti A.21 Costanti Bibliografia Indice analitico...461