Le disequazioni di primo grado

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1 ) Disequazini di prim grad intere Le disequazini di prim grad Cnsider due plinmi A() e B(), entrambi di prim grad in. Le seguenti espressini: A()>B() A() B() A() B() A()<B() sn dette disequazini. Per quant riguarda i termini utilizzati: prim membr, secnd membr,incgnita, grad, essi hann l stess significat che presentan nel cas delle equazini: è l incgnita prim membr è tutt ciò che si trva a sinistra del simbl della disuguaglianza secnd membr è ciò che si trva a destra grad della disequazine è il più alt espnente attribuit alla. Altrettant si può dire delle prprietà (smmand/sttraend la stessa quantità ai due membri,mltiplicand/dividend per un numer divers da zer entrambi i membri il risultat nn cambia). La distinzine che ccrre tenere presente riguarda il cncett di sluzine: infatti, mentre nel cas di un equazine di prim grad la sluzine (se esiste) è unica, nel cas di una disequazine la sluzine è, alternativamente: - un insieme di valri reali (intervall cmpst da infiniti valri) - l insieme vut. L svlgiment, ssia la ricerca delle sluzini,di una disequazine di prim grad si sviluppa cn le stesse mdalità cn cui si affrnta un equazine di prim grad: attravers l applicazine cnsapevle delle prprietà accennate spra si trasprtan tutti i termini cntenenti la a prim membr e quelli privi della a secnd membr. Bisgna tenere presente una cndizine imprtante: nel cas in cui a prim membr il cefficiente della sia negativ ccrre: - mltiplicare per sia il prim che il secnd membr - cambiare il vers della disuguaglianza, csì che > diventi < (e viceversa) e diventi (e viceversa). E utile, al termine dei calcli, eseguire un piccl grafic ve pssa determinarsi il camp dei valri che verifican la disuguaglianza. Nel grafic, per cnvenzine, utilizziam linee cntinue per indicare l intervall in cui la disequazine è sddisfatta, linee tratteggiate per indicare l intervall dve la disequazine nn è sddisfatta. Esempi. > + > + 6 > 8 8 > 6 spst le a prim membr ed i numeri a secnd membr, cambiand i segni semplific:

2 > Esempi. 7 < 9 7 < 9 6 < dev cambiare i segni e il vers 6 > > ciè > 6 Esempi. < < < è impssibile, quindi nn ci sn sluzini Esempi. 8 + > > 7 8 > è verificat per qualunque valre di, quindi l insieme delle sluzini cincide cn l insieme R dei numeri reali ) Disequazini di prim grad frazinarie Sn del tip NUM ( ) DEN( ) > < (vviamente un sl cas per vlta!) Attravers il prcediment vist nel cas delle disequazini intere, si studian separatamente il NUM() ed il DEN() pnendli entrambi > indipendentemente dal vers della disequazine.

3 I risultati csì trvati si pngn in una tabella cntenente linee cntinue ppure tratteggiate nel md vist per le disequazini intere. Esempi. + NUM() DEN()> + > > > Osservazini: - us il pallin pien per indicare che il valre crrispndente è cmpres ciò avviene nel cas dei simbli e, - us il pallin vut per indicare che il valre crrispndente nn è cmpres - per il denminatre us sempre il >, mai il - i segni del risultat sn i seguenti: + nel cas di linee entrambe tratteggiate entrambe cntinue - nel cas di linee diverse fra lr La rispsta all esercizi è la seguente: < ) Disequazini fattrizzate Sn nella frma F () F () F n () >, tenend presente che: - ciascun F i () è di prim grad - nn necessariamente abbiam il simbl >, ma anche <,, - si arriva alla fattrizzazine attravers i vari metdi di scmpsizine studiati. Si rislvn: - pnend ciascun F i ()>, indipendentemente dal vers della disequazine - cstruend una tabella cn linee cntinue e linee tratteggiate, csì cme nel cas delle disequazini fratte: avrem tanti livelli quanti sn i fattri Cnsideriam un esempi in cui i fattri sn tre:

4 Esempi. ( )( )( + ) F () F () F () I segni per ciascun intervall si mettn seguend questa semplice regla: + se nn ci sn linee tratteggiate ppure sn in numer pari - se le linee tratteggiate sn in numer dispari. Pertant la rispsta all esercizi è: ) Sistemi di disequazini di prim grad Si studian separatamente le disequazini, cme vist ai punti precedenti. Si riprtan quindi i risultati ttenuti in una tabella cntenente sl linee cntinue. La rispsta tiene cnt sltant degli intervalli che sddisfan cntempraneamente tutte le disequazini presenti. Un sistema può essere priv di sluzini. Esempi. ( )( ) I a Disequazine ( )( ) F () F () Ris. II a Disequazine - + -

5 Ris. Num() Den()> > > > < Cstruisc una tabella cntenente i risultati delle due disequazini, rappresentati da linee cntinue. La rispsta tiene cnt sl degli intervalli cmuni. Risultat del sistema: >