Gravitazione universale

Transcript

1 INGEGNERIA GESTIONALE coso di Fisica Geneale Pof. E. Puddu LEZIONE DEL 22 OTTOBRE 2008 Gavitazione univesale 1

2 Legge della gavitazione univesale di Newton Ogni paticella attae ogni alta paticella con una foza diettamente popozionale al podotto delle loo masse e invesamente popozionale al quadato della distanza ecipoca F g =G m 1 m 2 dove G=6, Nm 2 /kg 2 è la costante gavitazionale univesale icavata pe mezzo della bilancia a tosione di Cavendish. Pe la teza legge di Newton, la foza con cui la massa m 1 attae la massa m 2 è uguale ed opposta alla foza con cui la massa m 2 attae la massa m 1. m 1 m 2 F 21 F 12 Se 2 ed 1 sono i vettoi unitai (o vesoi) che collegano le due masse, le due foze di figua saanno, ispettivamente 2 1 F 12 = G m 1 m 2 2 F 21 = G m 1 m

3 Legge della gavitazione univesale di Newton Dalle leggi appena viste possiamo capie che la foza gavitazionale diminuisce con il quadato della distanza. Inolte, Newton ha dimostato, la foza geneata da una massa sfeica finita è uguale alla foza geneata da un copo puntifome della stessa massa posto al cento della sfea. Acceleazione di caduta libea e foza gavitazionale Sappiamo che ogni copo sulla supeficie teeste subisce l'acceleazione gavitazionale g. Uguagliando la legge della gavitazione univesale alla foza di gavità possiamo icavae un'espessione pe g: m g= G M T m g= G M T dove è la distanza dal cento della Tea alla posizione del copo. Questa legge ci dice che g non è una costante, ma vaia con la distanza dal cento della Tea. Sapendo che la foma della è geoide e non sfeica, avemo che g è maggioe ai poli e minoe all'equatoe. Qui di fianco l'immagine, esageatamente schiacciata ai poli, del pianeta Tea. Un copo a quota h subisce una foza gavitazionale pai a F g =G M m T 3 h 2

4 Leggi di Kepleo 1.I pianeti del sistema solae si muovono su obite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi 2.Il aggio vettoe che collega il Sole ad un pianeta descive aee uguali in tempi uguali 3.Il quadato del peiodi obitale di ogni pianeta è popozionale al cubo del semiasse maggioe dell'obita ellittica. 1) 2) A 1 t S t A 2 S F 1 F 2 F 1 F 2 3) A 1 =A 2 S R F 1 F 2 T 2 R 3 La maggio pate delle obite è in ealtà paticamente cicolae: pe quanto iguada Mecuio i semiassi diffeiscono dello 0.4%. Pe quanto iguada la cometa di Halley invece i semiassi diffeiscono del 76%. 4

5 Teza legge di Kepleo e foza centipeta Dimostiamo oa la teza legge di Kepleo pe obite cicolai. Se un pianeta è costetto su obita cicolae, pe la pima legge di newton esiste una foza (centipeta) che mantiene il pianeta sull'obita, il quale altimenti poseguiebbe di moto ettilineo e unifome. Questa foza centipeta è popio la foza di gavitazione univesale: Da cui Ed infine G M S m p G M S T 2 = 2 v =m p = 4 2 T G M S 3 Dove v=2/t è la velocità tangenziale del pianeta. Questa legge, dimostata pe obite cicolai, è in ealtà valida anche pe obite ellittiche!!! S v F c 5

6 Seconda legge di Kepleo e consevazione del momento angolae La seconda legge di Kepleo deiva dalla consevazione del momento angolae. Il momento angolae si conseva in quanto la foza di attazione ta un pianeta ed il Sole è sempe dietta veso il cento, ovveo paliamo di foze adiali. Quindi il podotto vettoiale ta aggio e foza stessa è nullo! M=RF sin0 =0 Poiché il momento angolae è costante se la somma dei momenti meccanici è nulla, avemo che L=mvRsin=cost dove m, v sono la massa e la velocità del pianeta. Calcoliamo oa l'aea del tiangolo ABC in figua. Essa è dsin Ma poiché d=vdt, l'aea è B d A C S F 1 F 2 e quindi ovveo da=vsin dt da =v sin dt da dt = L m Poiché L e m sono due costanti, la deivata pima dell'aea spazzata dal aggio vettoe che collega il Sole al pianeta è costante, pe cui l'aea è una funzione lineae nel tempo e di conseguenza in intevalli di tempo uguali il aggio vettoe spazzeà aee uguali! 6

7 Il campo gavitazionale Sappiamo che sulla tea la foza gavitazionale agente su un copo di massa m è P=mg. Eguagliando questa alla legge della gavitazione di Newton abbiamo icavato un'espessione pe g. Poiché l'acceleazione di gavità è indipendente dal copo che la subisce, chiamiamo campo gavitazionale il vettoe g. Esso è un campo sempe attattivo ed è schematizzato, pe la massa M che lo genea, con delle linee di campo entanti, che danno appunto il veso dell'acceleazione di gavità. g= G M Quest'espessione del campo ci dice che g è dietta adialmente, ma con diezione veso il cento della Tea (o di un alto copo peso in esame). 7

8 Il campo gavitazionale come campo consevativo Finoa abbiamo visto che, con g costante, il campo gavitazionale è consevativo. Col l'espessione vista nella slide pecedente, dobbiamo mostae nuovamente questa popietà! A m A F M H P 1 P 2 P 3 da cui P n B Supponiamo, come accade in figua, che una massa m si muova all'inteno del campo gavitazionale della massa M dalla posizione di patenza A alla posizione di aivo B. Poiché la foza gavitazionale non è costante, dividiamo la taiettoia in tatti abbastanza piccoli in cui il cammino possa consideasi ettilineo e la foza F costante. Il lavoo L AB si ottiene sommando tutti i lavoi della patizione. I punti P i sono gli estemi dei tatti su cui calcoliamo il lavoo. Pe molto piccolo avemo che = A +. Pe la definizione di lavoo avemo che W AP1 = F AP 1 = F AP 1 cos180 =F Consideato che F è data dalla legge di gavitazione univesale e che è molto piccolo, A2 ~ A ~ 2 W AP1 =G Mm A A W AP1 =G Mm A G Mm 8

9 Il campo gavitazionale come campo consevativo In modo analogo si calcolano i lavoi paziali dei singoli segmenti della taiettoia, da cui il lavoo totale =G Mm A W AB =W AP1 W P1P2 W PnB = G Mm G Mm G Mm da cui si vede che ci sono temini uguali che si possono semplificae, dando come isultato finale W AB =G Mm Quindi, il lavoo delle foze del campo gavitazionale è indipendente dalla taiettoia ma dipende solo dalla posizioni iniziale e finale. Con questo concludiamo che il campo elettico è consevativo!!! Inolte concludiamo che ogni campo centale è consevativo. Definiamo come potenziale gavitazionale (dalla elazione W= U) Nota che questo vale solo al di sopa della supeficie teeste. A U= G Mm G Mm B G Mm B 9

10 Consideazioni su moto di pianeti e satelliti L'enegia meccanica di un pianeta intono al sole è poiché K ed U sono discodi, E può essee positiva, negativa o nulla. Pe l'obita cicolae pe esempio abbiamo da cui notiamo che K=1/2 U che, sostituito nell'espessione di E ci da Questa è l'enegia pe obite cicolai. Abbiamo alte condizioni di enegia: obite ellittiche (obita chiusa) mv 2 E=K U= 1 2 m v2 G M S m =G M S m 1 2 mv2 =G M S m 2 E= G M S m 2 G M S m 2 E0 obite paaboliche (obita apeta) obite ipeboliche (obita apeta) E=0 E0 10