Il diagramma cartesiano

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1 Il dagramma cartesano Il pano cartesano Il dagramma cartesano è costtuto da due ass: uno orzzontale, l asse delle ascsse o della varable X, e uno vertcale, l asse delle ordnate o della varable Y. I due ass s ntersecano n un punto, detto orgne degl ass. Su cascun asse vengono msurat valor rfert alle varabl che s voglono consderare, secondo una certa scala graduata e orentata: secondo la sere stablta, valor sull asse delle X crescono con orentamento da snstra a destra, mentre quell sull asse Y aumentano dal basso verso l alto. Nel punto d orgne valor sono ugual a zero. Pertanto gl ass dvdono l pano n quattro quadrant: l prmo, n alto a destra, n cu valor espress sugl ass sono tutt postv; l secondo n alto a snstra n cu l valore delle X è negatvo; l terzo, n basso a snstra, n cu valor degl ass sono entramb negatv; nfne l quarto n cu è negatvo soltanto l valore delle ordnate. Come vedremo, nel corso della trattazone, a no nteressa n modo partcolare l I quadrante, n cu tutt valor consderat sono postv. II quadrante asse Y, ordnate p o s t v I quadrante valor negatv valor postv III quadrante O, orgne n e g a t v asse X, ascsse IV quadrante Un esempo pratco Provamo adesso a utlzzare l grafco cartesano per descrvere un determnato fenomeno. Mettamo per esempo n relazone l consumo d carburante della nostra auto con la pressone de pneumatc e con l numero de passegger trasportat. S tratta d 2012 RCS Lbr S.p.A. Smone Crocett 1/5

2 Approfondmento Il dagramma cartesano nformazon propramente economche n quanto drette ad autare l soggetto nell ottmzzare l mpego dell auto, rsparmando sul costo del carburante. A tale scopo, con dat rlevat emprcamente, costruamo due tabelle, una rferta alla coppa consumo carburante pressone de pneumatc (tabella 1), l altra alla coppa consumo carburante numero de passegger trasportat (tabella 2). Tabella 1 Asse X: fgura 1*, pressone pneumatc (n bar), scala: 0,5 bar Asse Y: consumo carburante, ltr ogn 100 km, scala: 1 ltro 0,5 9 1,0 8 1,5 7 2,0 6 2,5 5 Tabella 2 Asse X: fgura 2*, Asse Y: numero passegger a bordo, consumo carburante, scala: 1 passeggero ltr ogn 100 km, scala: 1 ltro * a p. 4 Rportamo adesso dat delle due tabelle sugl ass cartesan e costruamo due grafc dstnt. Lnee rette o curve Notamo anztutto che cascuna coppa d valor (X,Y) ndvdua sul pano cartesano un determnato punto e che unendo tutt punt ottenamo una lnea. La lnea può essere retta, come nel caso dell esempo consderato, o curva. Ebbene la lnea è cò che descrve l fenomeno consderato. Vedamo come, utlzzando l nostro esempo. La relazone nversa o negatva Il grafco della fgura 1 (a pagna 4) rguarda la prma tabella. Come s può notare, l punto pù n alto è dentfcable con la coppa 0,5 9, mentre quello pù n basso a destra con valor 2,5 4. Notamo ora che la lnea ottenuta unendo tutt punt ha un andamento da snstra verso destra, coè dscendente. Il grafco m fornsce n modo sntetco, anche vsvamente, le nformazon sul consumo dell auto n base alla pressone de pneumatc e sul tpo d relazone che ntercorre tra le due varabl consderate. In questo caso la relazone è nversa, n quanto all aumentare del valore X abbamo un decremento d quello d Y RCS Lbr S.p.A. Smone Crocett 2/5

3 Approfondmento Il dagramma cartesano La relazone dretta o postva Procedendo allo stesso modo ma con valor rfert alla seconda tabella (coppa consumo passegger), scopramo nvece una relazone dretta, poché all aumento della varable X corrsponde anche un aumento della varable Y (grafco d fgura 2 a pagna 4). In tal caso l andamento della lnea è ascendente. In sntes, s parla d relazone dretta (o postva) quando valor sugl ass aumentano o dmnuscono entramb, mentre la relazone è nversa (o negatva) quando all aumentare d una varable l altra dmnusce. La pendenza della lnea Oltre alla drezone della lnea e a dat numerc rportat sugl ass, anche la pendenza della lnea, coè l grado d nclnazone della stessa, fornsce mportant nformazon. La pendenza d una lnea è l rapporto tra la varazone d Y, spostamento vertcale, e la varazone d X, spostamento orzzontale. In pratca essa c dce d quanto vara la varable Y a ogn varazone untara della varable X. Spesso per ndcare la varazone d una varable vene utlzzata la lettera mauscola greca Δ (delta). Pendenza della lnea = spostamento vertcale sull asse Y (ΔY) spostamento orzzontale sull asse X (ΔX) Qund prendendo per esempo dat della tabella 2, la pendenza della lnea passando da 1 a 2 passegger è par a 1. Infatt ΔY=1 (da 4 a 5 ltr). Questo dato c dce che la veloctà d varazone d Y è d 1 untà per ogn aumento untaro d X. Come s può mmagnare, tanto pù la reattvtà della varable Y è elevata, tanto pù la pendenza sarà marcata, vsto che la varazone d Y è posta al numeratore della frazone. Fg. 1. relazone nversa Fgura 2. relazone dretta consumo carburante n ltr ogn 100 km (0,5 9) consumo carburante n ltr ogn 100 km spostamento per aumento spostamento per aumento spostamento per dmnuzone (2,5 4) 5 4 spostamento per dmnuzone 0,5 1,0 1,5 2,0 2, pressone de pneumatc n bar numero de passegger trasportat 2012 RCS Lbr S.p.A. Smone Crocett 3/5

4 Approfondmento Il dagramma cartesano Lo spostamento delle lnee Dobbamo adesso fare una constatazone. La varable Y non è nfluenzata esclusvamente dalla varable X, ma da altre varabl. Per rmanere al nostro esempo, ncdono notevolmente su consum d carburante anche la tpologa d strade percorse. Come è noto, l consumo sul percorso cttadno è pù elevato rspetto a quello extraurbano. Che cosa accade allora alla lnea se volessmo rappresentare la stuazone del consumo su un percorso cttadno n cu consum sono pù elevat? Se nserssmo nuov dat del consumo noteremmo aument costant d Y a ogn varazone d X; nfatt, la nuova varable percorso cttadno ncde allo stesso modo n tutt punt consderat. Ne rsulta uno spostamento delle lnee. Infatt se su percorso extraurbano con pressone pneumatc 0,5 l auto consumava 9 ltr ogn 100 km, n quello cttadno ne consumerà 10, così come a pressone 2,5 l consumo passerà da 4 ltr a 5. Stesso dscorso con rfermento al numero d passegger. I grafc non lnear Come dcevamo, non sempre le relazon che ncontramo hanno carattere lneare e sono rappresentate da rette. In tal caso l grafco che descrve questa relazone c mostra un andamento dscontnuo, a lnea spezzata. Prendamo per esempo le varazon del prezzo della benzna nel corso del tempo. Sull asse delle X msuramo l tempo n settmane, su quello delle Y l prezzo della benzna, con scala 0,10 centesm d euro. Costruamo qund la tabella e successvamente l grafco. Prezzo della benzna n euro Y Settmane X 1,00 1 1,20 2 1,30 3 1,30 4 1,10 5 1,10 6 1,30 7 1,40 8 euro/ ltro Y 1,40 1,30 1,20 O settmane X 2012 RCS Lbr S.p.A. Smone Crocett 4/5

5 Approfondmento Il dagramma cartesano La lettura d questo grafco c mostra l andamento del prezzo della benzna nel corso delle ultme 8 settmane. Constatamo un repentno aumento nella prma settmana che c vene segnalato dalla marcata pendenza della lnea (2) con andamento ascendente; po un aumento, ma meno ntenso (1), nella seconda, come s evnce dalla dmnuzone d pendenza. Il prezzo è qund rmasto stazonaro tra la terza e la quarta settmana e tra la qunta e la sesta settmana: lo s capsce dal fatto che valor d Y non sono cambat e che qund la pendenza è nulla (0), coè parallela all asse X. Constatamo nvece una dmnuzone del prezzo tra la quarta e la qunta settmana, faclmente rconoscble dalla pendenza negatva, dscendente, (3) della lnea. Qund replogando: la pendenza rsulta postva tra la prma e la terza settmana: la relazone tra le varabl consderate è dretta, l che sgnfca che l prezzo è aumentato; la pendenza rsulta negatva tra la quarta e la qunta settmana: la relazone tra le varabl consderate è nversa, coè l prezzo è dmnuto; la pendenza rsulta nulla tra la terza e la quarta e tra la qunta e la sesta settmana: n tal caso non s regstrano varazon del prezzo RCS Lbr S.p.A. Smone Crocett 5/5