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1 Indice degli argomenti 1 Teoria degli insiemi 2 Numeri 3 Calcolo combinatorio 4 Approssimazioni, propagazione degli errori, percentuali 5 Funzioni reali 6 Funzioni lineari 7 Programmazione lineare 8 Funzioni quadratiche 9 Metodo dei minimi quadrati. Interpolazione lineare. 10 Logaritmi e funzioni esponenziali. Interpolazione esponenziale. 11 Funzioni sinusoidali 12 Derivate e formula di Taylor 13 Integrali 14 Matrici e sistemi di equazioni lineari 15 Autovettori e autovalori

2 Testi consigliati Marco Abate, Matematica e Statistica. Le basi per le scienze della vita Seconda edizione, McGrawHill (2013) Dario Benedetto, Mirko Degli Esposti, Carlotta Maffei, Matematica per le scienze della vita. Terza edizione, Casa Editrice Ambrosiana (2015)

3 1.1 Elementi e sottoinsiemi di un insieme Definizione Un insieme è, per definizione, una collezione di oggetti detti elementi dell insieme Esempi: i numeri interi da 1 a 10; un gruppo di pazienti su cui viene sperimentato un farmaco; i risultati del lancio di un dado. Gli elementi sono i numeri da 1 a 6

4 Per assegnare un insieme si può: elencare gli elementi racchiudendoli tra parentesi graffe A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {2, 3, 5, 1, 4, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8} precisare una proprietà di cui godono tutti e soli gli elementi dell insieme A = {x x è un numero intero positivo compreso tra 1 e 8} Esempio: B = {a, b, c} = {x x è una delle prime tre lettere dell alfabeto} = {x x è una delle lettere della parola bacca} = {b, c, a} = {b, c, c, a}

5 Notazione La notazione a S esprime il fatto che a è un elemento dell insieme S cioè che a appartiene ad S. La notazione b / S esprime il fatto che b non è un elemento di S cioè che b non appartiene ad S. Esempi: 2 {0, 1, 1, 2, 2}; 5 / {a, b, 1, 7, 3}; Definizione Si definisce insieme vuoto, e si denota con, l insieme privo di elementi. a / per ogni a

6 Definizione Un insieme A è detto sottoinsieme di un insieme B se ogni elemento di A è anche elemento di B. In tal caso si utilizza la notazione A B. Osservazione A A e A per ogni insieme A. Se A B e A B, si pone A B. Esempi: Indichiamo con M l insieme i cui elementi sono le 52 carte di un mazzo di carte francesi; se A è l insieme degli assi e P è l insieme delle carte di picche, allora A M e P M; Sia E = {0, 1, 2, 3, 5}, allora 1 E e {1} E.

7 Notazione Per indicare che un certo insieme S non è sottoinsieme di un insieme B si scrive S B In questo caso esiste almeno un elemento x S tale che x B Esempio: Se E = {0, 1, 2, 7, 9, 11}, A = {0, 1, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, allora A E mentre A B

8 Definizione Un insieme S è detto finito se è costituito di un numero finito di elementi. Tale numero è detto ordine di S e si denota con S. Esempio: L insieme M = {carte di un mazzo di carte francesi} è finito ed ha ordine M = 52. Osservazione Se S è un insieme finito e A S, allora A è finito e A S

9 1.2 Operazioni tra insiemi Definizione Siano A e B due insiemi; l unione A B è l insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A e B cioè che appartengono ad A oppure a B oppure ad entrambi A B = {x x A oppure x B} A B Esempio: Se A = {a, b, 0, 1, 3} e B = {c, b, d, 0, 2, 4}, allora A B = {a, b, c, d, 0, 1, 2, 3, 4}

10 Definizione Siano A e B due insiemi; l intersezione A B è l insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B A B = {x x A e x B} A B Esempio: Se A = {a, b, 0, 1, 3} e B = {c, b, d, 0, 2, 4}, allora A B = {b, 0}

11 Unione ed intersezione godono delle seguenti proprietà: proprietà commutativa: A B = B A e A B = B A proprietà associativa: A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B C proprietà distributiva dell una rispetto all altra: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

12 Osservazione In generale (A B) C A (B C) dunque la scrittura A B C non ha alcun senso. Ad esempio se A = {a, b, 0, 1, 3}, B = {c, b, d, 0, 2, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4}, allora mentre (A B) C = {b, 0} C = {0, 1, 2, 3, 4, b} A (B C) = A {0, 1, 2, 3, 4, c, b, d} = {b, 0, 1, 3} 12 / 27

13 Definizione Siano A e B insiemi; il complementare dell insieme B rispetto all insieme A è l insieme degli elementi di A che non appartengono a B A \ B = {x x A e x B} A B Esempio: Se A = {1, 2, 3, h, k} e B = {a, b, 3, k, 1}, allora A \ B = {2, h} B \ A = {a, b} Dunque, in generale, A \ B B \ A.

14 Notazione La notazione (a, b) indica la coppia ordinata di prima coordinata a e seconda coordinata b. Pertanto (a, b) = (x, y) se e solo se a = x e b = y Si osservi che ad esempio, se a b, allora (a, b) (b, a), invece {a, b} = {b, a}.

15 Definizione Il prodotto cartesiano degli insiemi A e B è l insieme A B i cui elementi sono tutte e sole le coppie ordinate con la prima coordinata in A e la seconda in B. A B = {(a, b) a A e b B} Esempio Se A = {1, 3, 7} e B = {a, b}, allora: A B = {(1, a), (1, b), (3, a), (3, b), (7, a), (7, b)} B A = {(a, 1), (b, 1), (a, 3), (b, 3), (a, 7), (b, 7)} Notiamo che A B B A 15 / 27

16 Notazione Di solito si pone A A = A 2 Si osservi che se A e B sono insiemi finiti, allora A B è finito e A B = A B ; in particolare, A 2 = A / 27

17 1.3 Funzioni Definizione Siano A e B insiemi non vuoti; una funzione f : A B di dominio A e codomino B è una "legge" che ad ogni elemento a A associa uno ed un solo elemento f (a) B detto immagine di a mediante f.

18 Esempi Associando ad ogni giorno dell anno il prezzo della benzina in un determinato distributore si ottiene una funzione il cui dominio è l insieme dei giorni dell anno e il cui codominio è l insieme dei numeri razionali. Facendo corrispondere ad ogni persona il suo gruppo sanguigno si ottiene una funzione il cui dominio è l insieme di tutti gli esseri umani ed il codominio è l insieme {A, B, AB, 0}. Se A è un insieme qualsiasi, la funzione id A : A A che ad ogni a A associa id A (a) = a è detta identità di A. Se A e B sono insiemi non vuoti e b 0 B, la legge che ad ogni a A associa b 0, è una funzione detta funzione costante di valore b 0

19 Osservazione Due funzioni f e g sono uguali se e solo se hanno 1 lo stesso dominio A, 2 stesso codominio B, 3 ad ogni elemento a A fanno corrispondere lo stesso elemento di B cioè sono tali che f (a) = g(a) per ogni a A.

20 Definizione Sia f : A B una funzione; il sottoinsieme f (A) = {f (a) a A} B costituito degli elementi di B che sono immagine di almeno un elemento di A si chiama immagine della funzione.

21 Esempi Siano A = {0, 3, 5, 7}, B = {a, b, c, h, k, t} e f : A B tale che 0 f (0) = a 3 f (3) = a 5 f (5) = h 7 f (7) = b allora f (A) = {a, h, b}. Notiamo che f (A) B. Siano A = {0, 3, 5, 7}, C = {l, m, n} e g : A C tale che 0 g(0) = m 3 g(3) = n 5 g(5) = l 7 g(7) = l allora g(a) = C.

22 Definizione Sia f : A B una funzione; si chiama grafico di f l insieme G f = {(a, f (a)) a A} A B. Osservazione Poichè f : A B è una funzione nel grafico G f è presente una ed una sola coppia di prima coordinata a per ogni elemento a del dominio A. Ad esempio se A = {1, 2, b, c} e B = { 2, 4, 5}, considerati i seguenti sottoinsiemi di A B G 1 = {(1, 2), (2, 2), (b, 2), (c, 2)} G 2 = {(2, 4), (b, 2), (c, 5)} G 3 = {(1, 4), (1, 5), (b, 2), (c, 5), (2, 4)} G 4 = {(1, 2), (2, 4), (b, 5), (c, 5)} Sono grafici di funzioni di dominio A e codominio B solo G 1 e G 4.

23 1.4 Funzioni iniettive, suriettive, biettive Definizione Una funzione f : A B è suriettiva se l immagine di f coincide con il codominio, cioè se f (A) = B Ad esempio la funzione f 1 di dominio l insieme A = {1, 2, b, c} e codominio l insieme B = { 2, 4, 5} il cui grafico è non è suriettiva perchè invece la funzione f 4 di grafico G 1 = {(1, 2), (2, 2), (b, 2), (c, 2)} f 1 (A) = { 2} B G 4 = {(1, 2), (2, 4), (b, 5), (c, 5)} è suriettiva infatti f 4 (A) = B

24 Definizione Una funzione f : A B è iniettiva quando, considerati comunque a 1, a 2 A, se a 1 a 2 allora f (a 1 ) f (a 2 ) Le funzioni f 1 ed f 4 dell esempio precedente non sono inettive. La funzione g : C = {a, b, c, d} D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} di grafico {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} è invece iniettiva.

25 Dato un sottoinsieme non vuoto G A B, si ha: G è grafico di una funzione di dominio A e codominio B se e solo se tutti gli elementi di A compaiono come prima coordinata di una coppia di G e di una sola. Se G è grafico di una funzione di dominio A e codominio B, tale funzione è suriettiva se, l insieme delle seconde coordinate è tutto l insieme B. Se G è grafico di una funzione di dominio A e codominio B, tale funzione è iniettiva se le seconde coordinate sono a due a due distinte.

26 Definizione Una funzione f : A B è biettiva se è iniettiva e suriettiva ovvero se ogni elemento del codominio B è immagine di un elemento di A e di uno soltanto. La funzione g dell esempio precedente non è biettiva perchè, pur essendo iniettiva, non è suriettiva. È ad esempio biettiva la funzione ψ : H = {a, b, c} K = {1, 2, 3} il cui grafico è {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}.

27 Se f : A B è una funzione biettiva, si ottiene una funzione f 1 : B A associando ad ogni elemento b B l unico elemento a A tale che f (a) = b, tale funzione è detta inversa di f. Ad esempio l inversa della funzione ψ è la funzione di grafico {(1, a), (2, b), (3, c)}. ψ 1 : K H 27 / 27