ESERCIZI 1) A fianco sono riportati i risultati di due rilevazioni quantitative su 10 elementi. Per questi dati si ha: 10

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1 ESERCIZI 1) A fianco sono riportati i risultati di due rilevazioni quantitative su elementi. Per questi dati si ha: x i = 1 y i = 1 x y i = 1 i = 6514 i i = 1 i = 1 i = x y 2 i 2 i = = i = 1 a) Disegnare il grafico della distribuzione congiunta. b) Calcolare media di e di, la varianza di e Cov(,). c) Calcolare la retta di regressione di rispetto a e disegnarla sul sistema di assi dove è stata disegnata la distribuzione congiunta. a) Scatterplot of vs Scatterplot of vs b) Descriptive Statistics: Variable Mean Variance,0 5,878 Variable Mean 651,4 Covariances: ; 5, , ,0 Quindi Cov(,) = 97,0667 c)

2 Scatterplot of vs Qui sotto sono riportati i risultati della regressione effettuata con il software Minitab da cui sono stati cancellati (e indicati con xxx) alcuni valori. Predictor Coef SE Coef T P Constant xxx xxx xxx S = R-Sq = xxx% R-Sq(adj) = 72.7% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression Residual Error Total Obs C1 C4 Fit SE Fit Residual St Resid xxx 8.15 xxx d) Calcolare l indice R 2 Regression Analysis: C4 versus C1 The regression equation is C4 = ,5 C1 Predictor Coef SE Coef T P Constant -60,4 1,5-0, 0,683 C1 16,514 3,302 5,00 0,001 S = 24,01 R-Sq = 75,8% R-Sq(adj) = 72,7% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,02 0,001 Residual Error Total e) Calcolare il valore di approssimato e il residuo per la seconda unità sperimentale. Osservaz. C1 C4 Fit Residui 1,00,00 654,00 699,24 -,24 2,00,00 672,00 666,22 5,78 3,00,00 613,00,16 12,84

3 4,00,00 630,00 616,67 13,33 5,00,00 679,00 682,73-3,73 6,00,00 577,00,16-23,16 7,00,00 718,00 682,73 35,27 8,00,00 6,00 649,70-7,70 9,00,00 612,00 616,67-4,67,00,00 717,00 699,24 17,76 La precedente tabella è stata calcolata inserendo nella colonna Fit i valori della variabile risposta (C4) ottenuti con la formula della retta di regressione, ossia = -60,4 +16,514*B2 Ove B2 è il valore contenuto nella cella B2, ossia,00. Copiando tale formula si ottiene, per ogni valore di (contenuti nella colonna C1) io valore calcolato secondo il modello di regressione di. Nella colonna dei residui si è semplicemente eseguita la sottrazione tra il valore di reale (colonna C4) e il valore di y calcolato (colonna Fit). Il valore di calcolato e il residuo per la seconda unità sperimentale, ossia per,0 sono, rispettivamente, 666,22 e 5,78. f) Disegnare il grafico dei residui e valutare la bontà del modello. Con excel, basta riportare in ascisse il fitted value (ossia i valori calcolati con il modello) e in ordinate i residui, ottenendo:,00 30,00 20,00,00 0,00 -,00 550,00,00 650,00,00 750,00-20,00-30,00 -,00-50,00 Serie1 C è una certa simmetria e quindi il modello può essere considerato, a una prima analisi buono. Con Minitab ho fratto uno scatterplot dei residui verso Fit, ottenendo la stessa cosa.

4 Scatterplot of Residui vs Fit Residui Fit 2) Si considerano, per due specie di pesci, il peso, la lunghezza, la larghezza e l'altezza e si vuole stabilire se il peso è esprimibile come funzione lineare delle altre variabili. Qui sotto sono riportati i grafici dei residui della regressione lineare per le due specie. Commentare i due grafici e stabilire - tramite essi - se il peso delle due specie di pesci è esprimibile come funzione lineare della lunghezza, larghezza e altezza. Nel primo caso sembra che le cose non funzionino. Il grafico dei residui è ben lontano d presentare una simmetria accettabile rispetto all asse delle x. Nel secondo caso le cose sembrano funzionare un po meglio. Quindi la risposta che suggerisce un esame grafico dei dati (del grafico dei residui) è che il peso sia esprimibile come funzione lineare delle altre variabili solo per la seconda specie di pesci e non certo per la prima. 3) Si vuole studiare se una variabile, indicata con, possa avere una dipendenza lineare da 3 variabili esplicative, indicate con 1, 2 e 3. Si effettua una regressione lineare su 0 osservazioni campionarie considerando un modello con costante e con variabili esplicative 1, 2 e 3 ; i risultati sono i seguenti:

5 The regression equation is = Predictor Coef SE Coef T P Constant S = R-Sq = 98.9% R-Sq(adj) = 98.9% Residual Residuals Versus the Fitted Values (response is ) Fitted Value Sulla base di tutte le informazioni precedenti si può dedurre che il modello scelto è buono? Perché? Il grafico dei residui, non certo simmetrico rispetto all asse x, suggerisce che tale modello non sia un buon modello. Il valore di R 2 vicino a 1 potrebbe far pensare a una buona correlazione lineare, ma il grafico dei residui suggerisce che non sia così. Inserisco qui di seguito le risposte date da 5 studenti con le mie eventuali osservazioni in rosso Esercizi della scheda 5 Matteo Peluffo Esercizio numero 1 A Il grafico della distribuzione congiunta delle variabili x e y è il seguente: Scatterplot of vs

6 B La media di è,0, quella di 651,4,mentre la varianza di è 5,878 e la covarianza fra e 97,0667. C La retta di regressione ha equazione = ,5 Scatterplot of vs D L indice R 2 ha valore 75,8%. E Il valore di y, calcolato con l equazione dell esercizio C è e il residuo è 5,. F Il grafico dei residui è il seguente. Il modello è abbastanza buono, visto anche R 2 è quasi 75 % e che la distribuzione è abbastanza omogenea a parte una coppia di dati che appare un po fuori dalla nuvola delle altre coppie. Residuals Versus the Fitted Values (response is ) Residual Fitted Value Esercizio numero 2 Nel grafico dei residui a sinistra la dipendenza fra le variabili non appare certamente lineare perché la nuvola dai dati è disposta in modo da assomigliare molto più a una parabola e a una distribuzione omogenea (volevi dire e non a una distribuzione omogenea?); in quello a destra invece la dipendenza fra le variabili può essere di tipo lineare perché la nuvola dei dati è abbastanza omogenea e i residui abbastanza vicini allo 0, anche se non vicinissimi; per questo non escludo che esista fra le variabili una altro tipo di relazione, diversa da quella lineare, che meglio approssimi i dati.

7 Esercizio numero 3 A mio avviso le informazioni sono contraddittorie perché viene dato un valore di R 2 molto alto (98,9%), il che farebbe pensare a una reale dipendenza lineare (come ipotizzato nella consegna dell esercizio), visto che nella scheda vi è scritto se R 2 è alto i residui sono bassi (pagina 3 della scheda 5) e dunque a una effettiva correttezza del modello (il grafico dei residui mi aspetterei che fosse una nuvola omogenea con i dati vicini a 0); invece nel grafico dei residui si nota una fortissima dipendenza quadratica fra le variabili, il che presupporrebbe un valore di R 2 piuttosto basso, visto che è stata fatta l ipotesi di un modello lineare. Esercizi scheda 5 (Regressione lineare) Luigi Mandraccio 1) Il diagramma di dispersione bidimensionale, o scatterplot, è il seguente Scatterplot of vs La funzione di regressione è = ,5 come da output di Minitab. La media di è,1 e la sua varianza vale 5,878; mentre la media di è 651,4 (varianza=2115,6). Cov(,)=97,0667. Il grafico dei residui

8 Residuals Versus the Fitted Values (response is ) Residual Fitted Value Residuals Versus the Order of the Data (response is ) Residual Observation Order Il modello usato è lineare, e in genere questo viene considerato il peggiore dei modelli possibili, ma in questo caso non c'è da sfoderare grande fantasia, la retta sembra approssimare bene i dati in nostro possesso come evidenzia anche il grafico dei residui. Certamente è migliore rispetto a un modello quadratico (attento, perché stai contraddicendo quanto detto prima: se davvero il modello lineare dovesse essere sempre considerato il modello peggiore, e sono d accordo con l uso delle virgolette, allora un

9 qualunque altro modello, per esempio quello quadratico, dovrebbe essere meno peggio!). Probabilmente una funzione complessa potrebbe avvicinarsi ancora maggiormente, ma forse si perderebbe la comprensione; inoltre, in mancanza di maggiori informazioni sui dati, non possiamo nemmeno determinare a priori un modello teorico adattabile. Accontentiamoci di una bella (e semplice) retta. Mancano le risposte alle domande d) e) f). Vedi quelle di Matteo e le mie. 2) In questo caso, senza dati, la valutazione non è immediata. Nel grafico di sinistra possiamo osservare che i punti, rappresentanti dei vari dati, non sono posizionati in modo simmetrico rispetto alla linea orizzontale in 0; a dire il vero non accadrà mai, o quasi, di trovare dai completamente simmetrici, ma noi sappiamo che più lo sono e maggiore è la bontà del modello. È per questo che nel primo caso direi che non ci può essere una correlazione tra le variabili espresse dal testo. Passando al caso di destra, una funzione lineare che leghi peso, lunghezza, larghezza e altezza è già più fattibile, perché sono rispettate, seppur a grandi linee, le condizioni di cui sopra; gli stacchi dei dati sono pochissime, ne conto due o al massimo tre. 3) Non sono affatto sicuro della mia valutazione, e vorrei parlarne un attimo a voce per alcune precisazioni. A parte questo, i rilevamenti R-Sq=98,9% e R-Sq(adj)=98,9% e la forma del grafico dei residui, meglio la posizione dei pallini, mi portano a dire che il modello scelto sembra funzionare. Guarda la risposta di Matteo e la mia; poi ne possiamo parlare anche a voce. Esercizi scheda 5 Marco Lentini PRIMO (C1=, C2=) a) Scatterplot of C1 vs C2 C1 C2 b) : Mean Variance : Covariances: ;

10 c) 47 Scatterplot of C1 vs C2 C1 39 C2 d)mancano le risposte a d), e) f). Vedi quelle di Matteo e le mie. e) f) SECONDO Etrambi i grafici mi sembrano non omogenei : nel primo si può vedere come la nuvola di punti e concentrata tra 0 e -0 ; nel secondo invece vi e una situazione più omogenea rispetto al primo ma non uniforme (sempre rispetto a Res=0). A mio avviso nel primo e possibile stabilire una funzione lineare mentre nel secondo grafico no. O ti sei confuso, oppure non hai capito le informazioni che offrono i residui. Ti consiglio di leggere le risposte di Matteo e le mie e di riguardare la parte della scheda 5 relativa ai residui. TERZO Il modello scelto sembra corretto per ciò che riguarda il grafico dei residui. Si può notare una concentrazione di dati nell intervallo , Questa risposta sembra confermare che tu non abbia capito la parte della scheda 5 relativa alle informazioni fornite dal grafico dei residui. Scheda 5 Luca Nucifora Es. 1 Distribuzione congiunta di y e x

11 Scatterplot of y vs x y x Mean of x =,1 Mean of y = 651,4 Variance = 5,878 Covariance = 97,0667 Fitted Line Plot y = - 60,4 + 16,51 x S 24,01 R-Sq 75,8% R-Sq(adj) 72,7% y x x y y approx residui ,06 -, ,04 5,96 613,00 13, ,51 13,49

12 ,55-3,55 577,00-23, ,55 35, 6 649,53-7, ,51-4, ,06 17,94 Residuals Versus the Fitted Values (response is y) Residual Fitted Value Es. 2 In nessuno dei due: nel primo l approssimazione possibile è di secondo grado nella seconda il comportamento non può avere nessuna approssimazione Ne sei così sicuro? Guarda la mia rispsta, quella di Matteo e la parte della scheda 5 relativa alle informazioni che offrono i residui. Es. 3 Sì Perché il coefficiente R-sq è vicino al 0% Ne sei così sicuro? Guarda la mia rispsta, quella di Matteo e la parte della scheda 5 relativa alle informazioni che offrono i residui. 1) IVD SCHEDA 5 Andrea Martinelli

13 Scatterplot of y vs x y x a) b) 1 n 1 1 Si ricorda che x = xi, perciò avremo che: x = (1) =,1 e y = ( 6514) = 651, 4. n i = 1 Poiché la varianza può anche essere espressa come differenza fra la media dei dati al quadrato e la n media al quadrato, avremo: σ = xi x 1857,61 5,29 n = =. i= 1 Allo stesso modo è possibile scrivere la covarianza come la differenza fra la media del prodotto dei n dati ed il prodotto delle medie: Cov (, ) = xiyi xy ( 651, 4,1) 87,36 n = = i = 1 c) Retta di regressione di y rispetto a x. Poiché Cov(, ) 87,36 = 2 ( x) + y = ( x,1) + 651, 4 = 16.51x σ x 5, 29 d)

14 Scatterplot of y vs x y x d-e-f) Regression Analysis: y versus x The regression equation is y = ,5 x Predictor Coef SE Coef T P Constant -60,4 1,5-0, 0,683 x 16,514 3,302 5,00 0,001 S = 24,01 R-Sq = 75,8% R-Sq(adj) = 72,7% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,02 0,001 Residual Error Total Obs x y Fit SE Fit Residual St Resid 1,0 654,00 699,29 12,22 -,29-2,19R 2,0 672,00 666,26 8,15 5,74 0,25 3,0 613,00,21 12,75 12,79 0,63 4,0 630,00 616,72,28 13,28 0,61 5,0 679,00 682,78 9,85-3,78-0,17 6,0 577,00,21 12,75-23,21-1,14 7,0 718,00 682,78 9,85 35,22 1,61 8,0 6,00 649,75 7,60-7,75-0,34 9,0 612,00 616,72,28-4,72-0,22,0 717,00 699,29 12,22 17,71 0,86 R denotes an observation with a large standardized residual.

15 NB: Per calcolare il valore di R 2 manualmente avrei potuto calcolare il quadrato del 2 Cov(, y) 2 coefficiente di correlazione, cioè: = R. σσ x y Per determinare invece il residuo sarebbe stato sufficiente fare: (16.51* () )- 672=residuo dove e 672 è la coppia di valori in questione. Residuals Versus the Fitted Values (response is y) Residual Fitted Value Il grafico dei residui è piuttosto omogeneo: la regressione lineare è quindi un buon modello per lo studio di queste due variabili. 2) Dai grafici dei residui si evince chiaramente che solo per la seconda specie di pesci (quella rappresentata nel grafico di destra) la regressione lineare è un modello utile allo studio del peso in funzione delle altre variabili: infatti il grafico dei residui della regressione lineare è più omogeneo. 3) Secondo me il modello proposto è buono perché, pur non avendo un grafico dei residui omogeneo, il coefficiente R 2 è molto prossimo al 0% (e quindi a 1). Infatti, più il coefficiente R 2 è prossimo a 1 migliore è l approssimazione del modello lineare. A mio avviso bisogna fare attenzione: potrei pensare a una funzione sulla quale stanno tutti i dati non lineare e nemmeno polinomiale tale che R 2 sia molto, molto vicino a 1, ma il grafico dei residui risulti piuttosto disomogeneo. Ciò dovrebbe far dubitare della bontà del modello. Magari chiediamo lumi anche agli esperti che ci seguono.

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