Strumenti informatici I test post-hoc nell ANOVA per campioni dipendenti e la realizzazione delle analisi in SPSS

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1 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici 3.3 Strumenti informatici 3.3 I test post-hoc nell ANOVA per campioni dipendenti e la realizzazione delle analisi in SPSS Per realizzare i test post-hoc nel caso dell analisi della varianza per misure ripetute si utilizza la distribuzione q, che tiene conto del numero di confronti da eseguire, per cui non dobbiamo preoccuparci di aggiustare il livello di significatività per ogni confronto in modo da controllare l inflazione dell errore di I tipo. La formula per il calcolo di q è: M M q = MS residua n dove M e M sono le medie dei gruppi inclusi nell'analisi, MS residua è la varianza residua e n è il numero di soggetti. Come nel caso dei test post-hoc per l'anova per campioni indipendenti (si veda Strumenti Informatici 6.5), la formula può essere generalizzata al caso di confronti fra gruppi di medie utilizzando opportuni coefficienti c: Le ipotesi sono: q = k j= c MS j n M j Within H 0 : µ = µ i campioni di osservazioni provengono da popolazioni con lo stesso punteggio medio H : µ µ i campioni di osservazioni non provengono da popolazioni con lo stesso punteggio medio Il valore di q critico viene determinato in base a: livello di significatività: in questo caso α =,05, direzionalità ipotesi alternativa: in questo caso bidirezionale gradi di libertà della varianza residua: in questo caso 0 numero di trattamenti k: in questo caso 3 In base a queste informazioni troviamo che il valore di q critico è 3,877 (vedi in Appendice a questo materiale). La regola di decisione sarà: se q calcolato > q critico è troppo improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la rifiutiamo la media della popolazione è diversa dalla media della popolazione se q calcolato < q critico non è così improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto che H 0 è vera, per cui la accettiamo la media della popolazione è uguale alla media della popolazione In base ai dati riportati nel manuale, le medie delle tre condizioni sono M inizio = T inizio / 6 = / 6 = 36,83; M 3mesi = T 3mesi / 6 = 3 / 6 = 35,50; M 6mesi = T 6mesi / 6 = 49 / 6 = 4,83. Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

2 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici 3.3 M M 36,83 35,50 Inizio vs 3 mesi: q = = =, 5 < 3,877 Accettiamo H 0 MS residua,9 n 6 M M 36,83 4,83 Inizio vs 6 mesi: q = = = 9, 4 > 3,877 Rifiutiamo H 0 MS residua,9 n 6 M M 35,50 4,83 3 mesi vs 6 mesi: q = = = 7, 7 > 3,877 Rifiutiamo H 0 MS residua,9 n 6 Conclusione: poiché q calcolato > q critico nei confronti Inizio vs 6 mesi e 3 mesi vs 6 mesi, ma non Inizio vs 3 mesi, possiamo concludere che il cambiamento dovuto alla psicoterapia comincia ad essere evidente dopo 3 mesi. La Figura offre una rappresentazione grafica dei dati Figura Grafico delle medie dei punteggi alla scala SPS in tre diversi momenti della psicoterapia (n = 6) Si noti come nel caso della Figura si sia aggiunta anche una linea che unisce i punti che rappresentano le medie dei punteggi al test SPS, in modo da evidenziare l andamento o tendenza in funzione del tempo. Per quanto riguarda la dimensione dell'effetto dei confronti post-hoc, possiamo ricorrere alla trasformazione di q in t mediante la formula t = q / e quindi, analogamente al caso dei confronti post-hoc per l ANOVA per campioni indipendenti, di t in r mediante la formula: r = t t + gdl = ( q / ( q / ) residui gdl residui + ) Nel caso dei tre confronti eseguiti in precedenza, avremo: Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

3 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici (,5 / ) Inizio vs 3 mesi: r = = 0, 43 Effetto moderato (,5 / ) + 0 (9,4 / ) Inizio vs 6 mesi: r = = 0, 97 Effetto grande (9,4 / ) + 0 (7,7 / ) 3 mesi vs 6 mesi: r = = 0, 97 Effetto grande (7,7 / ) + 0 Realizzare l'anova per campioni dipendenti (o misure ripetute) in SPSS Per realizzare l'anova per campioni dipendenti in SPSS occorre inserire i dati relativi ad ogni misurazione come variabili distinte, coi dati appaiati soggetto per soggetto (in pratica, come riportato nella tabella sul manuale e qui in Figura ), in modo che ciascuna colonna contenga le informazioni relative ad una delle misure ripetute. Il percorso da seguire è Analyze General Linear Model Repeated Measures (Figura ) Figura Percorso da seguire per realizzare un analisi della varianza per misure ripetute in SPSS A questo punto si apre la finestra di Figura 3, dove va indicato il nome del fattore o variabile indipendente. Occorre inserire il nome della variabile indipendente nel campo Within-Subject Factor Name, il numero di livelli nel campo Number of Levels, e poi clickare su Add. Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

4 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici Figura 3 Finestra di SPSS che permette di comunicare al software nome e numero di livelli della variabile indipendente in un ANOVA per misure ripetute Il campo Measure name viene utilizzato quando più di una variabile dipendente viene misurata per ogni rilevazione. Nel caso che stiamo considerando non ci interessa, dato che abbiamo una sola variabile dipendente (il punteggio alla scala SPS). Dopo aver clickato su Define si apre la finestra di Figura 4. Figura 4 Impostazione di un ANOVA per misure ripetute in SPSS In questa finestra vanno innanzitutto specificate quale variabili corrispondono ai livelli del fattore entro i soggetti (Within-Subjects Variables). Per farlo, basta selezionare con un click del tasto sinistro del mouse le variabili che costituiscono le misure ripetute e spostarle col tasto nel campo Within-Subjects Variables. La dicitura iniziale _?_() sarà sostituita dal nome della variabile (ad esempio, inizio()) come in Figura 4. Poiché la procedura General Linear Model serve per realizzare i casi più complessi di modelli lineari generali, sono disponibili un ampia gamma di opzioni. Al momento vediamo solo quelle utili al caso dell ANOVA per misure ripetute. Il tasto Model al momento non ci interessa, poiché è utile solo nel caso in cui le variabili indipendenti siano più di una. Clickando su Contrast si ottiene la finestra per la realizzazione dei contrasti, i cui coefficienti, però, non possono essere Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

5 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici specificati come nel caso dell ANOVA ad una via, a meno di intervenire sulla sintassi di SPSS (a questo proposito, si veda Barbaranelli, 006) (Figura 5). Figura 5 Impostazione dei contrasti per un ANOVA per misure ripetute Il contrasto di default è il Polynomial, che verifica che le medie seguano un andamento di tipo lineare (crescente o decrescente). Tuttavia, è possibile impostare un contrasto diverso, clickando sul pulsante del campo Contrast nel riquadro Change Contrast. I contrasti disponibili sono vari. Oltre a Polyomial vi è Deviation (ogni categoria della variabile indipendente, tranne quella di riferimento [Reference Category, che può essere solo la prima, First, o l ultima, Last], viene confrontata con la media totale), Simple (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la categoria di riferimento), Difference (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la media delle categorie precedenti nell ordine di inserimento: ad esempio, Livello vs Livello, Livello 3 vs [Livello + Livello ], Livello 4 vs [Livello + Livello + Livello 3], etc.), Helmert (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la media delle categorie successive nell ordine di inserimento: ad esempio, Livello vs [Livello + Livello 3 + Livello 4], Livello vs [Livello 3 + Livello 4], Livello 3 vs Livello 4), Repeated (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la categoria che la precede). Per cambiare il tipo di contrasto, occorre selezionarlo dal menu a discesa e clickare su Change, così che nel campo Factors la dicitura di tempo(polynomial) cambi in, ad esempio, tempo(difference), dove tempo è il nome assegnato in precedenza alla variabile indipendente. In generale, comunque, questo tipo di contrasti viene utilizzato quando si vogliano verificare ipotesi di ricerca specifiche e stabilite in anticipo rispetto all esecuzione delle analisi dei dati. Se si vogliono eseguire i confronti post-hoc nel modo illustrato precedentemente, occorre clickare su Options, poiché il tasto Post-Hoc consente questo tipo di analisi solo su variabili indipendenti between subjects, ossia per campioni indipendenti. Nella finestra Options occorre selezionare il nome della variabile indipendente (nella Figura 6 è tempo), e spostarlo nel campo Display Means for: col tasto. A questo punto va spuntato Compare main effects, e nel menu Confidence interval adjustment occorre scegliere l aggiustamento del livello di significatività per ogni confronto per evitare l inflazione dell errore di I tipo. Le opzioni sono solo due: Bonferroni o Sidak, e non ci sono particolari differenze nell uso dell una o dell altra per quanto il Sidak sia un po' meno conservativo del Bonferroni, per cui, per evitare di gonfiare l'errore di II tipo, forse vale la pena scegliere questo. Barbaranelli, C. (006). Analisi dei dati con SPSS. II. Le analisi multivariate. Milano: LED. Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

6 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici Figura 6 La finestra Options della procedure General Linear Model di SPSS Una volta impostati i post-hoc in questa finestra è possibile anche richiedere, fra le altre opzioni, che vengano visualizzate le statistiche descrittive (Descriptive Statistics) e la stima della dimensione dell effetto (Estimates of effect size). In questo caso, però, la stima della dimensione dell effetto è il valore di eta-quadro parziale (η ), che non può essere interpretato come ω, in quanto non tiene conto del contributo alla varianza spiegata dato dal fatto che i soggetti siano diversi fra loro. Il valore di η SS prove SS prove infatti è calcolato come, e non come. SS + SS SS + SS + SS prove Occorre quindi molta cautela nell interpretare questo indice di dimensione dell effetto, perché tende a sovrastimare quello reale. Purtroppo un interpretazione errata di questo tipo è un errore molto frequente, anche sulle pubblicazioni scientifiche (si veda a questo proposito Pierce, Block & Aguinis, 004). L opzione Save consente di salvare in nuove variabili i valori predetti, i residui e alcune diagnostiche per gli outliers. Questi indici sono utili soprattutto nel caso della regressione multipla, per cui si rimanda il lettore al materiale supplementare relativo a questo argomento per una spiegazione più dettagliata. L opzione Plots consente di ottenere il grafico con le medie inserendo il nome della variabile indipendente nel campo Horizontal Axis, e clickando su Add, ma anche in questo caso non vengono riportati i baffi per gli intervalli di fiducia delle medie. L output è particolarmente ricco, e non tutte le tabelle sono rilevanti ai fini di questa esposizione. Nella Figura 7 viene riportato l output per un analisi in cui nelle Options si sono impostati i test post-hoc con la correzione Bonferroni e si è chiesto di mostrare le statistiche descrittive e la stima della dimensione dell effetto. residuo prove residuo between Pierce, C. A., Block, R. A., & Aguinis, H. (004). Cautionary note on reporting eta-squared values from multifactor ANOVA designs. Educational and Psychological Measurement, 64(6), Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

7 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici Within-Subjects Factors Measure: MEASURE_ tempo 3 Dependent Variable inizio tre_mesi sei_mesi inizio tre_mesi sei_mesi Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 36,8333 4, ,5000 3, ,8333,044 6 Effect tempo Pillai's Trace Wilks' Lambda Hotelling's Trace Roy's Largest Root a. Exact statistic b. Design: Intercept Within Subjects Design: tempo Multivariate Tests b Partial Eta Value F Hypothesis df Error df Sig. Squared,978 90,74 a,000 4,000,000,978,0 90,74 a,000 4,000,000,978 45,37 90,74 a,000 4,000,000,978 45,37 90,74 a,000 4,000,000,978 Measure: MEASURE_ Within Subjects Effect tempo Mauchly's Test of Sphericity b Epsilon a Approx. Greenhous Mauchly's W Chi-Square df Sig. e-geisser Huynh-Feldt Lower-bound,564,90,38,696,88,500 Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables is proportional to an identity matrix. a. May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-Subjects Effects table. b. Design: Intercept Within Subjects Design: tempo Tests of Within-Subjects Effects Measure: MEASURE_ Source tempo Error(tempo) Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Type III Sum Partial Eta of Squares df Mean Square F Sig. Squared 59, 59,556 3,398,000,958 59,,393 37,684 3,398,000,958 59,,76 94,537 3,398,000,958 59,,000 59, 3,398,000,958,889 0,89,889 6,964 3,87,889 8,8,597,889 5,000 4,578 Tests of Within-Subjects Contrasts Measure: MEASURE_ Source tempo Error(tempo) tempo Linear Quadratic Linear Quadratic Type III Sum Partial Eta of Squares df Mean Square F Sig. Squared 43,000 43,000 3,684,000,958 87, 87,,000,000,957 9, ,800 3,889 5,778 Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

8 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici Measure: MEASURE_ Transformed Variable: Average Source Intercept Error Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum Partial Eta of Squares df Mean Square F Sig. Squared 888,7 888,7 636,735,000,99 48,78 5 9,656 Measure: MEASURE_ tempo 3 Estimates 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 36,833,797 3,5 4,45 35,500,335 3,067 38,933 4,833,833,69 6,975 Measure: MEASURE_ (I) tempo 3 (J) tempo 3 3 Mean Difference Pairwise Comparisons Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the,05 level. 95% Confidence Interval for Difference a (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound,333,75,364 -,93 3,860,000*,5,000 8,0 5,978 -,333,75,364-3,860,93 0,667*,75,000 8,40 3,93 -,000*,5,000-5,978-8,0 a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. -0,667*,75,000-3,93-8,40 Pillai's trace Wilks' lambda Hotelling's trace Roy's largest root Multivariate Tests Partial Eta Value F Hypothesis df Error df Sig. Squared,978 90,74 a,000 4,000,000,978,0 90,74 a,000 4,000,000,978 45,37 90,74 a,000 4,000,000,978 45,37 90,74 a,000 4,000,000,978 Each F tests the multivariate effect of tempo. These tests are based on the linearly independent pairwise comparisons among the estimated marginal means. a. Exact statistic Figura 7 Output di SPSS per un ANOVA per misure ripetute Le prime due tabelle (Within-Subjects Factors e Descriptive Statistics) riportano le etichette dei livelli della variabile indipendente e le statistiche descrittive delle tre rilevazioni, rispettivamente. Occorre prestare attenzione alla tabella Multivariate Tests, perché non è quella che contiene gli effetti da considerare, ma un analisi multivariata della varianza (vedi oltre) che al momento non ci interessa. La tabella Mauchly s Test of Sphericity invece è molto importante, in quanto permette di verificare se l assunzione di sfericità (o circolarità) delle varianze delle varie misurazioni è soddisfatta o meno. In questo caso, poiché Sig. >, 05, non possiamo rifiutare l ipotesi nulla che le Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

9 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici varianze siano omogenee. Se il valore fosse stato inferiore a,05, nella tabella seguente, Test of Within-Subjects Effects, avremmo dovuto consultare la riga Greenhouse-Geisser e non quella recante la dicitura Sphericity Assumed, come è invece questo il caso. Nella riga Greenhouse- Geisser, infatti, vengono riportate le statistiche dell effetto della variabile indipendente (in questo caso, tempo) con la correzione per la mancanza di sfericità. Si noti come il valore di η parziale sia SS prove 59, calcolato come = = 0, 96, e come questo non corrisponda al valore SS SS 59, +,89 prove + residuo di η SS prove 59, da interpretare = = 0, 75. SS between è SS SS + SS 59, +, ,8 prove + residuo between reperibile alla voce Error nella tabella Test of Between-Subjects Effects che si trova subito dopo Test of Within-Subjects Contrasts, che contiene i risultati del contrasto di default (Polynomial). La differenza fra considerare un contrasto lineare e uno quadratico è che nel lineare si assume che la tendenza segua una linea retta (incrementi/diminuzioni costanti da un livello all altro della variabile indipendente) mentre nel quadratico che segua una traiettoria a parabola (incrementi/diminuzioni non costanti da un livello all altro della variabile indipendente). La tabella Estimates contiene le medie delle tre rilevazioni con l errore standard e l intervallo di fiducia, mentre la tabella Pairwise Comparisons mostra i risultati dei test post-hoc. Il problema, in questo caso, è che non viene mantenuto il nome della variabile, ma viene utilizzata l etichetta numerica del livello della variabile indipendente come mostrato nella prima tabella dell output. L interpretazione degli effetti comunque, è molto semplice, considerando che è stato operato l aggiustamento Bonferroni del livello di probabilità, e dunque ogni livello di significatività è confrontabile direttamente con il livello di significatività prescelto (ad esempio,,05). Per ottenere i valori di t basta dividere il valore di Mean Difference (I J) per il suo errore standard Std. Error. Avremo quindi che il t per Tempo vs Tempo è,33/0,7 =,85, per Tempo vs Tempo 3 /,3 =0,6, per Tempo vs Tempo 3 0,67/0,7 = 4,9. Tale valore è distribuito come t con gradi di libertà uguali a quelli della varianza di errore between (in questo caso, 5, vedi tabella Tests fo Between-Subjects Effects). Il valore di probabilità associato viene poi moltiplicato per il numero di confronti (in questo caso, 3).L ultima tabella Multivariate Tests nel caso dell ANOVA per misure ripetute è una replica della tabella Multivariate Tests vista in precedenza, e viene prodotta insieme ai post-hoc. Per realizzare il grafico con SPSS, seguiamo Graph Error Bar (o nelle versioni più recenti Graph Legacy Dialogs Error Bar), scegliere Summaries of separate variables e nella nuova finestra inserire le variabili Inizio, tre_mesi e sei_mesi nel campo Error Bars, lasciando il resto invariato. Il risultato sarà quello di Figura senza la linea che unisce i punti. Per inserirla, fare doppio click con tasto sinistro del mouse sul grafico nella finestra di output di SPSS. Si aprirà una nuova finestra Chart Editor (Figura 8). A quel punto selezionare con un click del tasto sinistro del mouse uno dei punti che rappresentano le medie, e, sempre mantenendo il puntatore del mouse su questo punto, fare click col tasto destro del mouse. Si aprirà un menu nel quale sceglieremo Add Interpolation Line (Figura 8). Si aprirà una finestra, Properties, dove l'opzione di defaul è proprio quella che ci serve, Straight (Figura 8). Clickare su Apply e il grafico apparirà come in Figura. Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

10 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici Figura 8 Inserire una linea di tendenza in un grafico di SPSS nel caso di ANOVA per misure ripetute Riportare i risultati In un articolo scientifico o in una tesi di laurea riporteremo la tabella con le statistiche descrittive alla quale aggiungeremo ad apice dei nomi delle categorie numeri o lettere per evidenziare le medie statisticamente diverse (vedi Strumenti Informatici.3, Tabella ), il grafico in Figura e scriveremo: E stata eseguita un analisi della varianza per misure ripetute per verificare se vi erano differenze nei punteggi medi al test Social Phobia Scale per un gruppo di pazienti in tre diversi momenti della psicoterapia (Inizio, dopo 3 mesi, dopo 6 mesi). Il test si è rivelato significativo, F(, 0) = 3,34,, p <,00, ) ω = 0,73. I successivi test posthoc, eseguiti con correzione Bonferroni del livello di significatività, hanno mostrato come non vi fossero differenze significative fra i punteggi medi di SPS all inizio e dopo 3 mesi, mentre i punteggi erano significativamente più bassi dopo 6 mesi rispetto ad entrambi i momenti precedenti. Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

11 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici 3.3 Valori critici di q per α a due code =,0 (α ad una coda,05) Appendice Valori critici di q Numero di gruppi gdl ,99 3,437 6,358 8,488 0,50,504,64 3,6 4,477 5,37 5,98 6,536 7,00 7,68 8,097 8,54 8,958 9,347 9,73 4,9 5,733 6,77 7,538 8,39 8,633 9,049 9,409 9,75 0,006 0,59 0,488 0,698 0,89,070,37,39,538, ,38 4,467 5,99 5,738 6,6 6,5 6,806 7,06 7,87 7,487 7,667 7,83 7,98 8,0 8,48 8,368 8,479 8,584 8, ,05 3,976 4,586 5,035 5,388 5,679 5,96 6,39 6,37 6,494 6,645 6,783 6,909 7,05 7,3 7,33 7,36 7,44 7,497 5,850 3,77 4,64 4,664 4,979 5,38 5,458 5,648 5,86 5,965 6,00 6,3 6,336 6,439 6,536 6,66 6,70 6,788 6,863 6,748 3,558 4,065 4,435 4,76 4,966 5,68 5,344 5,499 5,637 5,76 5,875 5,979 6,075 6,64 6,47 6,35 6,398 6,466 7,679 3,45 3,93 4,80 4,555 4,780 4,97 5,37 5,83 5,43 5,530 5,637 5,735 5,86 5,90 5,988 6,06 6,30 6,95 8,630 3,374 3,834 4,69 4,43 4,646 4,89 4,987 5,6 5,50 5,36 5,464 5,558 5,644 5,74 5,799 5,869 5,935 5,997 9,59 3,36 3,76 4,084 4,337 4,545 4,7 4,873 5,007 5,6 5,34 5,333 5,43 5,506 5,583 5,655 5,7 5,786 5,845 0,563 3,70 3,704 4,08 4,64 4,465 4,636 4,783 4,93 5,09 5,34 5,9 5,36 5,397 5,47 5,54 5,607 5,668 5,76,540 3,34 3,658 3,965 4,05 4,40 4,567 4,7 4,838 4,95 5,053 5,45 5,3 5,309 5,38 5,450 5,54 5,573 5,630,5 3,04 3,6 3,9 4,56 4,349 4,5 4,65 4,776 4,886 4,986 5,076 5,60 5,36 5,308 5,374 5,436 5,495 5,550 3,504 3,79 3,589 3,885 4,6 4,304 4,464 4,60 4,74 4,83 4,930 5,09 5,00 5,75 5,45 5,30 5,37 5,49 5,483 4,49 3,58 3,563 3,854 4,08 4,67 4,44 4,560 4,679 4,786 4,88 4,969 5,050 5,4 5,9 5,56 5,36 5,37 5,46 5,479 3,40 3,540 3,88 4,05 4,35 4,390 4,54 4,64 4,746 4,84 4,97 5,006 5,079 5,46 5,09 5,68 5,34 5,376 6,469 3,4 3,50 3,804 4,06 4,07 4,360 4,49 4,608 4,7 4,805 4,890 4,968 5,040 5,06 5,69 5,7 5,8 5,333 7,460 3,0 3,503 3,784 4,003 4,8 4,334 4,464 4,579 4,68 4,774 4,857 4,934 5,005 5,07 5,33 5,90 5,44 5,95 8,45 3,098 3,487 3,766 3,984 4,6 4,30 4,440 4,553 4,654 4,746 4,89 4,905 4,975 5,040 5,0 5,58 5, 5,6 9,445 3,087 3,474 3,75 3,966 4,4 4,90 4,48 4,530 4,630 4,7 4,803 4,878 4,948 5,0 5,07 5,9 5,8 5,3 0,439 3,077 3,46 3,736 3,950 4,4 4,7 4,398 4,50 4,609 4,699 4,780 4,855 4,93 4,987 5,047 5,03 5,55 5,05,433 3,069 3,45 3,74 3,936 4,09 4,55 4,380 4,49 4,590 4,678 4,759 4,833 4,90 4,965 5,04 5,079 5,3 5,80,48 3,06 3,44 3,7 3,93 4,095 4,39 4,364 4,474 4,57 4,660 4,740 4,84 4,88 4,944 5,003 5,058 5,09 5,58 3,44 3,054 3,43 3,70 3,9 4,08 4,6 4,350 4,459 4,556 4,644 4,73 4,796 4,863 4,96 4,984 5,038 5,089 5,38 4,40 3,047 3,43 3,69 3,900 4,070 4,3 4,336 4,445 4,54 4,68 4,707 4,780 4,847 4,909 4,966 5,00 5,07 5,9 5,46 3,04 3,46 3,683 3,890 4,059 4,0 4,34 4,43 4,58 4,64 4,693 4,765 4,83 4,893 4,950 5,004 5,055 5,0 6,4 3,036 3,409 3,675 3,88 4,049 4,9 4,33 4,40 4,55 4,60 4,680 4,75 4,87 4,878 4,936 4,989 5,039 5,086 7,409 3,030 3,40 3,667 3,873 4,040 4,8 4,30 4,409 4,504 4,590 4,667 4,739 4,804 4,865 4,9 4,975 5,05 5,07 8,406 3,06 3,396 3,660 3,865 4,03 4,7 4,93 4,399 4,493 4,579 4,656 4,77 4,79 4,853 4,909 4,96 5,0 5,058 9,403 3,0 3,39 3,654 3,858 4,04 4,63 4,84 4,389 4,484 4,568 4,645 4,76 4,78 4,84 4,897 4,950 4,999 5,046 30,400 3,07 3,386 3,648 3,85 4,06 4,55 4,75 4,38 4,474 4,559 4,635 4,706 4,770 4,830 4,886 4,939 4,988 5,034 3,398 3,03 3,38 3,64 3,845 4,009 4,48 4,68 4,37 4,466 4,550 4,66 4,696 4,760 4,80 4,876 4,98 4,977 5,03 3,396 3,00 3,376 3,637 3,839 4,003 4,4 4,60 4,365 4,458 4,54 4,67 4,687 4,75 4,8 4,866 4,98 4,967 5,03 33,393 3,006 3,37 3,63 3,833 3,997 4,35 4,53 4,357 4,450 4,533 4,609 4,679 4,743 4,80 4,857 4,909 4,957 5,003 34,39 3,003 3,368 3,67 3,88 3,99 4,9 4,47 4,35 4,443 4,56 4,60 4,67 4,734 4,794 4,849 4,900 4,949 4,994 35,389 3,000 3,364 3,63 3,83 3,986 4,3 4,4 4,344 4,436 4,59 4,594 4,663 4,77 4,786 4,84 4,89 4,940 4,986 36,388,998 3,36 3,69 3,89 3,98 4,7 4,35 4,338 4,430 4,5 4,588 4,656 4,70 4,778 4,833 4,884 4,93 4,978 37,386,995 3,357 3,65 3,84 3,976 4, 4,30 4,33 4,44 4,506 4,58 4,650 4,73 4,77 4,86 4,877 4,95 4,970 38,384,99 3,354 3,6 3,80 3,97 4,07 4,4 4,37 4,48 4,500 4,575 4,643 4,706 4,765 4,89 4,870 4,98 4,963 39,383,990 3,35 3,608 3,806 3,967 4,03 4,0 4,3 4,43 4,495 4,569 4,637 4,700 4,758 4,8 4,863 4,9 4,956 40,38,988 3,348 3,605 3,80 3,963 4,099 4,5 4,37 4,408 4,490 4,564 4,63 4,694 4,75 4,806 4,857 4,904 4,949 50,37,973 3,330 3,583 3,778 3,937 4,070 4,85 4,85 4,375 4,455 4,58 4,595 4,656 4,73 4,766 4,86 4,863 4,907 60,363,959 3,3 3,56 3,755 3,9 4,04 4,55 4,54 4,34 4,4 4,493 4,558 4,69 4,675 4,77 4,775 4,8 4,864 80,353,945 3,94 3,54 3,73 3,885 4,04 4,5 4,3 4,309 4,387 4,457 4,5 4,58 4,636 4,687 4,735 4,780 4,8 0,344,930 3,76 3,50 3,707 3,859 3,986 4,096 4,9 4,76 4,353 4,4 4,485 4,543 4,597 4,647 4,694 4,738 4,779 40,335,96 3,58 3,499 3,684 3,834 3,959 4,066 4,60 4,44 4,39 4,386 4,448 4,505 4,558 4,607 4,653 4,696 4,737 Inf,36,90 3,40 3,478 3,66 3,808 3,93 4,037 4,9 4, 4,85 4,35 4,4 4,468 4,59 4,568 4,6 4,654 4,694 Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

12 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici 3.3 Valori critici di q per α a due code =,05 (α ad una coda,05) (continua) Numero di gruppi gdl ,969 6,976 3,89 37,08 40,408 43,9 45,397 47,357 49,07 50,59 5,957 53,94 54,33 55,36 56,30 57, 58,044 58,84 59,558 6,085 8,33 9,798 0,88,734,435 3,07 3,539 3,988 4,389 4,749 5,076 5,375 5,650 5,905 6,43 6,365 6,573 6, ,50 5,90 6,85 7,50 8,037 8,478 8,85 9,77 9,46 9,77 9,946 0,55 0,346 0,5 0,686 0,838 0,980,4,40 4 3,96 5,040 5,757 6,87 6,706 7,053 7,347 7,60 7,86 8,07 8,08 8,373 8,54 8,664 8,793 8,94 9,07 9,33 9,33 5 3,635 4,60 5,8 5,673 6,033 6,330 6,58 6,80 6,995 7,67 7,33 7,466 7,596 7,76 7,88 7,93 8,030 8, 8,08 6 3,460 4,339 4,896 5,305 5,68 5,895 6, 6,39 6,493 6,649 6,789 6,97 7,034 7,43 7,44 7,338 7,46 7,508 7, ,344 4,65 4,68 5,060 5,359 5,606 5,85 5,997 6,58 6,30 6,43 6,550 6,658 6,759 6,85 6,939 7,00 7,097 7,69 8 3,6 4,04 4,59 4,886 5,67 5,399 5,596 5,767 5,98 6,053 6,75 6,87 6,389 6,483 6,57 6,653 6,79 6,80 6, ,99 3,948 4,45 4,755 5,04 5,44 5,43 5,595 5,738 5,867 5,983 6,089 6,86 6,76 6,359 6,437 6,50 6,579 6, ,5 3,877 4,37 4,654 4,9 5,4 5,304 5,460 5,598 5,7 5,833 5,935 6,08 6,4 6,94 6,69 6,339 6,405 6,467 3,3 3,80 4,56 4,574 4,83 5,08 5,0 5,353 5,486 5,605 5,73 5,8 5,90 5,984 6,06 6,34 6,0 6,65 6,35 3,08 3,773 4,99 4,508 4,750 4,950 5,9 5,65 5,395 5,50 5,65 5,70 5,797 5,878 5,953 6,03 6,089 6,5 6,09 3 3,055 3,734 4,5 4,453 4,690 4,884 5,049 5,9 5,38 5,43 5,533 5,65 5,7 5,789 5,86 5,93 5,995 6,055 6, 4 3,033 3,70 4, 4,407 4,639 4,89 4,990 5,30 5,53 5,364 5,463 5,554 5,637 5,74 5,785 5,85 5,95 5,973 6,09 5 3,04 3,673 4,076 4,367 4,595 4,78 4,940 5,077 5,98 5,306 5,403 5,49 5,574 5,649 5,79 5,785 5,846 5,904 5,958 6,998 3,649 4,046 4,333 4,557 4,74 4,896 5,03 5,50 5,56 5,35 5,439 5,59 5,593 5,66 5,76 5,786 5,843 5,896 7,984 3,68 4,00 4,303 4,54 4,705 4,858 4,99 5,08 5, 5,306 5,39 5,47 5,544 5,6 5,675 5,734 5,790 5,84 8,97 3,609 3,997 4,76 4,494 4,673 4,84 4,955 5,07 5,73 5,66 5,35 5,49 5,50 5,567 5,69 5,688 5,743 5,794 9,960 3,593 3,977 4,53 4,468 4,645 4,794 4,94 5,037 5,39 5,3 5,34 5,39 5,46 5,58 5,589 5,647 5,70 5,75 0,950 3,578 3,958 4,3 4,445 4,60 4,768 4,895 5,008 5,08 5,99 5,8 5,357 5,47 5,49 5,553 5,60 5,663 5,74,94 3,565 3,94 4,3 4,44 4,597 4,743 4,870 4,98 5,08 5,70 5,5 5,37 5,396 5,460 5,50 5,576 5,69 5,679,933 3,553 3,97 4,96 4,405 4,577 4,7 4,847 4,957 5,056 5,44 5,5 5,99 5,368 5,43 5,49 5,546 5,599 5,648 3,96 3,54 3,94 4,80 4,388 4,558 4,70 4,86 4,935 5,033 5, 5,0 5,74 5,34 5,405 5,464 5,59 5,57 5,60 4,99 3,53 3,90 4,66 4,373 4,54 4,684 4,807 4,95 5,0 5,099 5,79 5,5 5,39 5,38 5,439 5,494 5,545 5,594 5,93 3,53 3,890 4,53 4,358 4,56 4,667 4,789 4,897 4,993 5,079 5,58 5,30 5,97 5,359 5,47 5,47 5,5 5,570 6,907 3,54 3,880 4,4 4,345 4,5 4,65 4,773 4,880 4,975 5,06 5,39 5, 5,77 5,339 5,396 5,450 5,500 5,548 7,90 3,506 3,870 4,30 4,333 4,498 4,638 4,758 4,864 4,959 5,044 5, 5,93 5,59 5,30 5,377 5,430 5,480 5,58 8,897 3,499 3,86 4,0 4,3 4,486 4,65 4,745 4,850 4,944 5,09 5,06 5,77 5,4 5,30 5,359 5,4 5,46 5,509 9,89 3,493 3,853 4, 4,3 4,475 4,63 4,73 4,837 4,930 5,04 5,09 5,6 5,6 5,86 5,34 5,395 5,445 5,49 30,888 3,486 3,845 4,0 4,30 4,464 4,60 4,70 4,84 4,97 5,00 5,077 5,47 5, 5,7 5,37 5,379 5,49 5,475 3,884 3,48 3,838 4,094 4,9 4,454 4,59 4,709 4,8 4,905 4,988 5,064 5,34 5,98 5,57 5,33 5,365 5,44 5,460 3,88 3,475 3,83 4,086 4,84 4,445 4,58 4,698 4,80 4,894 4,976 5,05 5, 5,85 5,44 5,99 5,35 5,400 5,445 33,877 3,470 3,85 4,079 4,76 4,436 4,57 4,689 4,79 4,883 4,965 5,040 5,09 5,73 5,3 5,87 5,338 5,386 5,43 34,874 3,465 3,80 4,07 4,68 4,48 4,563 4,680 4,78 4,873 4,955 5,030 5,098 5,6 5,0 5,75 5,36 5,374 5,40 35,87 3,46 3,84 4,066 4,6 4,4 4,555 4,67 4,773 4,863 4,945 5,00 5,088 5,5 5,09 5,64 5,35 5,36 5,408 36,868 3,457 3,809 4,060 4,55 4,44 4,547 4,663 4,764 4,855 4,936 5,00 5,078 5,4 5,99 5,53 5,304 5,35 5,397 37,865 3,453 3,804 4,054 4,49 4,407 4,540 4,655 4,756 4,846 4,97 5,00 5,069 5,3 5,89 5,43 5,94 5,34 5,386 38,863 3,449 3,799 4,049 4,43 4,400 4,533 4,648 4,749 4,838 4,99 4,993 5,060 5, 5,80 5,34 5,84 5,33 5,376 39,86 3,445 3,795 4,044 4,37 4,394 4,57 4,64 4,74 4,83 4,9 4,985 5,05 5,4 5,7 5,5 5,75 5,3 5,367 40,858 3,44 3,79 4,039 4,3 4,388 4,5 4,634 4,735 4,84 4,904 4,977 5,044 5,06 5,63 5,6 5,66 5,33 5,358 50,843 3,40 3,764 4,008 4,97 4,35 4,48 4,59 4,690 4,777 4,856 4,97 4,993 5,053 5,09 5,6 5,0 5,56 5,99 60,89 3,399 3,737 3,977 4,63 4,34 4,44 4,550 4,646 4,73 4,808 4,878 4,94 5,00 5,056 5,07 5,54 5,99 5,4 80,84 3,377 3,7 3,947 4,9 4,77 4,40 4,509 4,603 4,686 4,76 4,89 4,89 4,949 5,003 5,05 5,099 5,4 5,83 0,800 3,356 3,685 3,97 4,096 4,4 4,363 4,468 4,560 4,64 4,74 4,78 4,84 4,898 4,950 4,998 5,043 5,086 5,6 40,786 3,335 3,659 3,887 4,063 4,05 4,34 4,47 4,57 4,596 4,668 4,733 4,79 4,847 4,897 4,944 4,988 5,030 5,069 Inf,77 3,34 3,633 3,858 4,030 4,70 4,86 4,387 4,474 4,55 4,6 4,685 4,743 4,796 4,845 4,89 4,934 4,974 5,0 Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

13 Chiorri, C. (04). Fondamenti di psicometria - Strumenti Informatici 3.3 Valori critici di q per α a due code =,0 (α ad una coda,005) (continua) Numero di gruppi gdl ,04 35,04 64,58 85,575 0,0 5,769 7,66 36,966 45,54 53,5 59,979 66,65 7,8 77,003 8,803 86,63 90,46 94,38 97,997 4,036 9,09,94 4,77 6,69 8,0 9,530 30,679 3,689 3,589 33,398 34,34 34,806 35,46 36,000 36,534 37,034 37,50 37, ,60 0,69,70 3,34 4,4 4,998 5,64 6,99 6,69 7,30 7,56 7,887 8,7 8,5 8,805 9,068 9,35 9,546 9, ,5 8,0 9,73 9,958 0,583,0,54,95,64,567,840 3,090 3,38 3,530 3,76 3,909 4,08 4,4 4, ,70 6,976 7,804 8,4 8,93 9,3 9,669 9,97 0,39 0,479 0,696 0,894,076,44,400,545,68,8,93 6 5,43 6,33 7,033 7,556 7,97 8,38 8,6 8,869 9,097 9,300 9,485 9,653 9,808 9,95 0,084 0,08 0,35 0,434 0, ,949 5,99 6,54 7,005 7,373 7,678 7,939 8,66 8,367 8,548 8,7 8,860 8,997 9,4 9,4 9,353 9,456 9,553 9, ,745 5,635 6,04 6,65 6,959 7,37 7,474 7,680 7,863 8,07 8,76 8,3 8,436 8,55 8,659 8,760 8,854 8,943 9,07 9 4,596 5,48 5,957 6,347 6,657 6,95 7,34 7,35 7,494 7,646 7,784 7,90 8,05 8,3 8,3 8,35 8,4 8,495 8, ,48 5,70 5,769 6,36 6,48 6,669 6,875 7,054 7,3 7,356 7,485 7,603 7,7 7,8 7,906 7,993 8,075 8,53 8,6 4,39 5,46 5,6 5,970 6,47 6,476 6,67 6,84 6,99 7,7 7,50 7,36 7,464 7,560 7,648 7,73 7,809 7,883 7,95 4,30 5,046 5,50 5,836 6,0 6,30 6,507 6,670 6,84 6,943 7,060 7,66 7,65 7,356 7,44 7,50 7,594 7,664 7, ,60 4,964 5,404 5,76 5,98 6,9 6,37 6,58 6,666 6,79 6,903 7,006 7,00 7,88 7,69 7,345 7,47 7,484 7, ,0 4,895 5,3 5,634 5,88 6,085 6,58 6,409 6,543 6,663 6,77 6,87 6,96 7,047 7,5 7,99 7,68 7,333 7, ,67 4,836 5,5 5,556 5,796 5,994 6,6 6,309 6,438 6,555 6,660 6,756 6,845 6,97 7,003 7,074 7,4 7,04 7,64 6 4,3 4,786 5,9 5,489 5,7 5,95 6,079 6, 6,348 6,46 6,564 6,658 6,744 6,83 6,897 6,967 7,03 7,093 7,5 7 4,099 4,74 5,40 5,430 5,659 5,847 6,007 6,47 6,70 6,380 6,480 6,57 6,656 6,733 6,806 6,873 6,937 6,997 7, ,07 4,703 5,094 5,379 5,603 5,787 5,944 6,08 6,0 6,309 6,407 6,496 6,579 6,655 6,75 6,79 6,854 6,9 6, ,046 4,669 5,054 5,334 5,553 5,735 5,889 6,0 6,4 6,46 6,34 6,430 6,50 6,585 6,654 6,79 6,780 6,837 6,89 0 4,04 4,639 5,08 5,93 5,50 5,688 5,839 5,970 6,086 6,90 6,85 6,370 6,449 6,53 6,59 6,654 6,74 6,770 6,83 4,004 4,6 4,986 5,57 5,470 5,646 5,794 5,94 6,038 6,40 6,33 6,37 6,395 6,467 6,534 6,596 6,655 6,70 6,76 3,986 4,588 4,957 5,5 5,435 5,608 5,754 5,88 5,994 6,095 6,86 6,69 6,346 6,47 6,48 6,544 6,60 6,656 6, ,970 4,566 4,93 5,95 5,403 5,573 5,78 5,844 5,955 6,054 6,44 6,6 6,30 6,37 6,436 6,497 6,553 6,607 6, ,955 4,546 4,907 5,68 5,373 5,54 5,685 5,809 5,99 6,07 6,05 6,86 6,6 6,330 6,394 6,453 6,50 6,56 6,6 5 3,94 4,57 4,885 5,44 5,347 5,53 5,655 5,778 5,886 5,983 6,070 6,50 6,4 6,9 6,355 6,44 6,469 6,5 6,57 6 3,930 4,50 4,865 5, 5,3 5,487 5,67 5,749 5,856 5,95 6,038 6,7 6,90 6,57 6,39 6,378 6,43 6,484 6, ,98 4,495 4,847 5,0 5,300 5,463 5,60 5,7 5,88 5,93 6,008 6,087 6,58 6,5 6,87 6,344 6,399 6,450 6, ,908 4,48 4,830 5,08 5,79 5,44 5,578 5,697 5,80 5,896 5,98 6,058 6,9 6,95 6,56 6,34 6,367 6,48 6, ,898 4,467 4,84 5,064 5,60 5,40 5,556 5,674 5,778 5,87 5,955 6,03 6,03 6,68 6,8 6,85 6,338 6,388 6, ,889 4,455 4,799 5,048 5,4 5,40 5,536 5,653 5,756 5,848 5,93 6,008 6,078 6,4 6,0 6,58 6,3 6,36 6, ,88 4,443 4,786 5,03 5,5 5,383 5,57 5,633 5,736 5,87 5,90 5,985 6,055 6,9 6,78 6,34 6,86 6,335 6,38 3 3,873 4,433 4,773 5,08 5,0 5,367 5,500 5,65 5,76 5,807 5,889 5,964 6,033 6,096 6,55 6, 6,6 6,3 6, ,865 4,43 4,76 5,005 5,95 5,35 5,483 5,598 5,698 5,789 5,870 5,944 6,03 6,076 6,34 6,89 6,40 6,89 6, ,859 4,43 4,750 4,99 5,8 5,336 5,468 5,58 5,68 5,77 5,85 5,96 5,994 6,056 6,4 6,69 6,0 6,68 6, ,85 4,404 4,739 4,980 5,69 5,33 5,453 5,566 5,666 5,755 5,835 5,908 5,976 6,038 6,096 6,50 6,00 6,48 6, ,846 4,396 4,79 4,969 5,56 5,30 5,439 5,55 5,65 5,739 5,89 5,89 5,959 6,0 6,078 6,3 6,8 6,9 6, ,840 4,388 4,70 4,959 5,45 5,98 5,47 5,538 5,637 5,75 5,804 5,876 5,943 6,004 6,06 6,5 6,65 6, 6, ,835 4,38 4,7 4,949 5,34 5,86 5,44 5,56 5,63 5,7 5,790 5,86 5,98 5,989 6,046 6,099 6,48 6,95 6, ,830 4,374 4,703 4,940 5,4 5,75 5,403 5,53 5,6 5,698 5,776 5,848 5,94 5,974 6,03 6,084 6,33 6,79 6,3 40 3,85 4,367 4,695 4,93 5,4 5,65 5,39 5,50 5,599 5,685 5,764 5,835 5,900 5,96 6,07 6,069 6,8 6,65 6, ,793 4,34 4,644 4,874 5,05 5,98 5,3 5,48 5,5 5,606 5,68 5,750 5,84 5,87 5,96 5,977 6,04 6,069 6, 60 3,76 4,8 4,594 4,88 4,99 5,33 5,53 5,356 5,447 5,58 5,60 5,667 5,78 5,784 5,837 5,886 5,93 5,974 6, ,73 4,4 4,545 4,763 4,93 5,069 5,85 5,84 5,37 5,45 5,5 5,585 5,644 5,698 5,749 5,796 5,840 5,88 5,90 0 3,70 4,00 4,497 4,709 4,87 5,005 5,8 5,4 5,99 5,375 5,443 5,505 5,56 5,64 5,66 5,708 5,750 5,790 5, ,67 4,60 4,450 4,655 4,84 4,943 5,05 5,45 5,7 5,300 5,366 5,46 5,480 5,530 5,577 5,6 5,66 5,699 5,735 Inf 3,643 4,0 4,403 4,603 4,757 4,88 4,987 5,078 5,57 5,7 5,90 5,348 5,400 5,448 5,493 5,535 5,574 5,6 5,645 3 Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

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