12. Funzioni differenziabili
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- Giacinta Carlucci
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1 . Funzioni irnziabili L unzioni continu in un punto si possono rossolanamnt inir com qull unzioni c assumono vicino al punto valori prossimi al valor assunto proprio in. Siamo cioè al livllo più lmntar i approssimazion: vicino al punto consirato la unzion si può approssimar con una tant, più prcisamnt il valor. Il trmin approssimar qui vuol ir c avvicinanosi a la irnza tra il valor lla unzion il valor lla tant tn a il valor è l unica tant pr cui qusto capita. E ciaro c qusto livllo banal i approssimazion non ci prmtt i ir molto sul comportamnto lla unzion stssa vicino a, a smpio non ci ic con qual rapiità i valori i si istano al valor. Tuttavia è vint c in nr la rtta orizzontal, corrisponnt al valor lla unzion nl punto, non è la rtta c ornisc la milior approssimazion: qusta è ornita alla rtta tannt. Lo scopo i qusto pararao sarà scrivr qull unzioni c si possono bn approssimar localmnt a una rtta, la rtta tannt. Il punto i partnza è la nozion i rivata. Dinizion. Sia una unzion inita in un intrvallo I un punto appartnnt a I. Dirmo c è rivabil o irnziabil nl punto s sist inito il it l rapporto incrmntal Tal valor prn il nom i rivata prima i nl punto. Molti tsti anno istinzion tra il trmin rivabil in cui è ricista solo l sistnza, inita o no, l it l rapporto incrmntal irnziabil il it v ssr inito. Noi prriamo non oprar qusta istinzion consirar smpr il it inito. A volt inoltr si utilizza il simbolo o o o, invc i.. Un immiata ossrvazion ci convincrà c la nozion appna prsntata è lata alla nozion i rtta tannt. Dati u punti in I, la rtta passant pr i u punti,, a unzion quazion scant pr scant pr tannt in unzion rtta tannt. S si a tnr vrso, il coicint anolar lla rtta scant tn naturalmnt vrso la rivata, c, omtricamnt è il coicint anolar lla rtta tannt. Analiticamnt, il atto c il rapporto anolar tna alla rivata, iica c il rapporto anolar è la rivata più quala c tn a, cioè ω con ω 4
2 ovvro, posto ε ω - - ε o, quivalntmnt D - ε ε ov. Nlla prcnt sprssion il primo mmbro è occupato alla unzion, i primi u ani a scono mmbro rapprsntano il polinomio approssimant i primo rao - è l quazion lla rtta tannt ε rapprsnta il trmin rror. Dunqu l uualianza D è vuota i iicato, ino a c non si prcisa con c rapiità l rror tn a. Dalla D iscn immiatamnt il sunt atto: Una unzion irnziabil in un punto è anc continua in qul punto. Inatti - ε - ε 3. Calcolo ll rivat Drivat ll unzioni lmntari. s > Inicrmo, a ora in avanti, con il punto in cui si calcola la rivata con il punto variato. Sia apprima >; la inizion i it prmtt i scrivr, mttno in vinza, ciamo ora t cioè t,, poicé s tn a anc t tn a, t t t t t t pr uno l ultimo i iti visti. S invc s > s s < 4
3 a a Inatti: lo a, mttno in vinza a, a a a lo a In particolar lo a a lo lo lo lo lo lo posto t cioè t, poicé s tn a anc t tn a, t lo t t lo lo Com abituin S si tratta l bn noto it. Altrimnti, con l ormul i prostarsi, t Il primo attor tn a, il scono, s si pon t non è altro c t t In moo analoo si imostra c 43
4 4. L oprazioni la rivazion In qusto pararao ornirmo l principali rol pr il calcolo ll rivat. Somma. La rivata lla somma è la somma ll rivat, cioè s sono u unzioni rivabili in un punto, anc la loro somma è rivabil. La imostrazion è assolutamnt ovvia. Prootto pr una tant. La rivata l prootto i una unzion pr una tant è il prootto lla tant pr la rivata lla unzion, cioè s è una unzion rivabil in un punto è una tant, anc è rivabil. Anc qusta imostrazion è ovvia. Anc s l u prcnti armazioni rano l tutto ovvi la loro consunza è strmamnt important. Dat u unzioni si ciama combinazion linar ll u unzioni oni sprssion l tipo β con β tanti. Mttno assim i u prcnti risultati si può armar c la rivata i una combinazion linar è la combinazion linar ll rivat, cioè β β. Qusto atto può ssr riassunto icno c l oprazion i rivazion è un oprazion linar, cioè c il trasormato i una combinazion linar è la combinazion i trasormati. Prootto. S sono u unzioni rivabili in un punto, anc il loro prootto è rivabil. Dimostrazion. Bisona smplicmnt scrivr il rapporto incrmntal l prootto, aiunno tolino al numrator la quantità Ma allora pr inizion i rivata prcé la unzion, ssno rivabil è anc continua. Rciproca. S è una unzion rivabil in un punto è ivrsa a in un intorno l punto anc la rciproca è rivabil. 44 Dimostrazion. Anc in qusto caso il srto consist nllo scrivr il rapporto incrmntal
5 Ma allora smpr pr inizion i rivata prcé la consunt continuità i. Quozint. S sono u unzioni rivabili in un punto è ivrsa a in un intorno l punto anc il quozint è rivabil. Dimostrazion. Basta applicar i u prcnti tormi L prcnti rol prmttono i rivar un ran numro i unzioni. A smpio oppur t t o anc unzioni più complicat 3 Ma non siamo ancora in rao i rivar unzioni com o arct. In tti lo strumnto più potnt pr truir nuov unzioni è la composizion. Torma i rivazion lla unzion composta. Sia una unzion inita in un intrvallo I rivabil nl punto I una unzion inita in un intrvallo J, c contin I, rivabil nl punto. Allora la unzion composta è rivabil nl punto la sua rivata val Dimostrazion. Dimostrrmo il torma nl caso particolar in cui in un intorno i la unzion assuma il valor solo nl punto. Il caso nral rici solo alcuni accorimnti tcnici. 45
6 Poniamo nl primo i u attori a scono mmbro, ricorano c la rivabilità i in, implica la continuità unqu s allora anc : Com smpio i applicazion si consiri la unzion ϕ c è composta alla unzion alla unzion. Pr calcolar la sua rivata in un nrico punto bisonrà quini calcolar la rivata i c è la unzion sponnzial, la cui rivata coinci con la unzion i partnza nl punto moltiplicar il risultato ì ottnuto pr la rivata i c è ; in initiva il risultato è Com scono smpio calcoliamo la rivata lla unzion ni punti in cui >. Bisona riscrivr ; quini la unzion è ancora l sponnzial, mntr lo, quini lo lo lo lo lo lo lo In particolar lo lo Lo stsso mtoo può ssr applicato alla composizion i più i u unzioni, com a smpio lo ; bisona innanzitutto rivar il loaritmo, la cui rivata è uno iviso l aromnto, moltiplicata pr la rivata ll aromnto, c è mno il sno, pr la rivata i ; in simboli t lo Prima i nunciar il torma i rivazion lla unzion invrsa, è opportuno ornir qualc inicazion su com l proprità ll rivat si rilttano su proprità l raico ll unzioni. Sia una unzion sia A un insim su cui è inita. Dirmo c il punto A è un punto i massimo minimo rlativo pr in A s sist un intorno U i tal c pr oni A U si abbia risp.. È opportuno ossrvar c la nozion i massimo o i minimo rlativo è solo local, cioè intrssa solo i valori c la unzion assum in A vicino a c un punto i massimo o i minimo assoluto è ncssariamnt anc i massimo o i minimo rlativo. Si ossrvi inoltr c alla unzion non è ricista né la continuità né la rivabilità. Tuttavia pr l unzioni rivabili vi è un comoo mtoo pr ricrcar i punti i massimo i minimo intrni. Proposizion. Sia una unzion, I un intrvallo in cui è inita rivabil un punto intrno a I cioè non ali strmi c sia i massimo o i minimo rlativo pr. Allora. 46 Dimostrazion. Supponiamo c il punto sia i massimo. Poicé il punto è intrno sist un intorno i, tutto contnuto in I, in cui. Allora il rapporto incrmntal
7 s è s lo stsso val pr il it, c è la rivata. Ma allora, a una part ovrbb ssr all altra. Poicé la rivata sist in, l unica possibilità c mtt in accoro qust u conclusioni è. In moo l tutto analoo si può provar c: s la unzion è rivabil crscnt crscnt su un intrvallo I allora risp. pr oni intrno all intrvallo I. Attnzion: la proposizion sui massimi minimi ornisc solo una conizion ncssaria, cioè s siamo in prsnza i un massimo o i un minimo intrno, la rivata v ssr nulla, ma non 3 suicint, cioè può capitar c la rivata si annulli anc in punti c non sono né i massimo né i minimo rlativo, com a,5 smpio nl caso i 3, c è strttamnt crscnt su tutto l ass ral, ma a la rivata c si annulla nll oriin. Divrso è il iscorso sulla monotonia; inatti una consunza - molto important lla conizion ncssaria pr l sistnza i punti i massimo minimo intrni è il sunt -,5 Torma i Laran. Sia una unzion continua sull intrvallo ciuso [a,b] rivabil sull intrvallo aprto a,b. Allora sist un punto c [a,b] tal c: b a c. b a, Qusto torma a un immiata intrprtazion omtrica: poicé la rivata ornisc il coicint anolar lla rtta tannt, mntr il primo mmbro ll uualianza appna scritta,8 rapprsnta il coicint anolar lla scant passant pr a,a b,b, il torma arma c, nll ipotsi inicat,,4 sist un punto intrno all intrvallo, in corrisponnza l qual la rtta tannt al raico lla unzion è parallla alla coniunnt i punti strmi. Una consunza important è la sunt: a c b s la unzion è rivabil in un intrvallo I con pr oni intrno all intrvallo I, allora è crscnt risp. -,4 crscnt nll intrvallo. La imostrazion i qusto atto è molto smplic: s sclo u punti in I con <, pr il torma i Laran applicato all intrvallo [, ] sist un punto c tal c - c -. S ora, il scono mmbro lla prcnt isuualianza è quini < implica, cioè è crscnt. In moo l tutto analoo si raiona s, pr imostrar la crscnza i. Trminiamo con il caso lla rivata lla unzion invrsa. Poicé non armo la imostrazion l torma, anticipiamo qualc ossrvazion c rnrà l nunciato strmamnt natural. Ricoriamo c :IJ è invrtibil s ralizza una corrisponnza biunivoca tra I J. La unzion invrsa è la unzion c aisc all incontrario lla unzion, cioè qulla unzion :JI tal c s solo s. In altr parol pr oni I pr oni I. S è continua su un intrvallo I, allora è invrtibil s solo s è strttamnt monotona crscnt o crscnt. Quini, s è rivabil su un intrvallo la sua rivata v avr sno tant. In qust ipotsi si può imostrar c s la rivata i è ivrsa a, anc la unzion invrsa è rivabil. A qusto punto è acil calcolar la rivata i utilizzano il torma i rivazion lla unzion composta. Inatti rivano i u mmbri lla rlazion - 47
8 si ottin ivino pr c è ivrsa a Si prsti attnzion al atto c la variabil lla rivata i è calcolata in un punto il punto ivrso a qullo in cui è calcolata la rivata i il punto. Torma i rivazion lla unzion invrsa. Sia una unzion inita in un intrvallo I a valori in J invrtibil sia :JI la sua unzion invrsa. S è rivabil nl punto I con rivata ivrsa a, allora è rivabil nl punto val Appliciamo il prcnt torma pr calcolar l rivat ll u unzioni arct arc. Nl primo caso, ricoriamo c t:-π/, π/-, è invrtibil la sua unzion invrsa è arct: -, -π/, π/. Pr il torma i rivazion lla unzion invrsa: arct con t t Ma allora arct t il atto c qui compaia la lttra non v causar traumi: la prcnt ormula ic smplicmnt c la rivata lla unzion arcotannt non è altro c iviso pr la variabil ; c poi io ciami qusta variabil, o Filippo non a alcuna importanza. Nl scono caso :[-π/, π/][-,] è invrtibil la sua unzion invrsa è la unzion arc: [-,] [-π/, π/]. Pr il torma i rivazion lla unzion invrsa s -,: arc con Ma allora arc qui si è sruttato il atto c la unzion no è positiva nll intrvallo -π/, π/ c quini snza problmi i o. 48
9 5. Il torma i l Hôpital. Supponiamo c siano u unzioni init in un intorno l punto, ntramb null ntramb rivabili in tal punto. S obbiamo calcolar ci troviamo in prsnza i una orma i incision lla orma, ma, tnno conto l atto c possiamo scrivr la sunt catna i uualianz Qusta ossrvazion ci prmtt i calcolar immiatamnt com rapporto ll corrisponnti rivat nl punto,. In moo l tutto analoo si possono trattar altri a lo iti notvoli com,,. Qusta ossrvazion ornisc un caso particolar l itto torma i l Hôpital. Torma i l Hôpital. Siano u unzioni init in un intornoanc parzial U i supponiamo c i oppur ± ii siano rivabili in tutto U trann al più nl punto S sist, allora sist anc i u iti sono uali. Attnzion! La tsi non è, bnsì consist nll armazion c s il scono it sist allora sist anc il scono it i u iti sono uali. Applicazioni.. Calcoliamo il it l quozint ll rivat 3, ma avno ià 3 visto c, si a c il it l quozint ll rivat è qusto è il 6 it crcato. Analoamnt si volia calcolar. Una prima applicazion nl torma rici i calcolar, c è ancora una orma i incision, ma una scona applicazion porta al it quini procno a ritroso. 49
DERIVATE. h Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante congiungente i punti della curva di ascissa x. y = in un punto x.
DERIVATE OBIETTIVI MINIMI: Conoscr la dinizion di drivata d il suo siniicato omtrico Sapr calcolar smplici drivat applicando la dinizion Conoscr l drivat dll unzioni lmntari Conoscr l rol di drivazion
Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica 1
LA ERVATA UNA FUNZONE Toria l problma dlla tangnt Uno di problmi classici c portano al conctto di drivata è qullo dlla dtrminazion dlla rtta tangnt a una curva in un punto. La tangnt ad una circonfrnza
Studio di funzione. R.Argiolas
Studio di unzion R.Argiolas Introduzion Prsntiamo lo studio dl graico di alcun unzioni svolt durant l srcitazioni dl corso di analisi matmatica I assgnat nll prov scritt. Ringrazio anticipatamnt tutti
CONOSCENZE. 1. La derivata di una funzione y = f (x)
ESAME D STATO ESEMP D QUEST D MATEMATCA PER LA TERZA PROVA CONOSCENZE. La drivata di una funzion y f (), in un punto intrno al suo dominio, : il it, s sist d è finito, dl rapporto incrmntal pr h, f ( h)
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INDICE. Studio di funzione. Scaricabile su: TEORIA. Campo di esistenza. Intersezione con gli assi
P r o f. Gu i d of r a n c h i n i Antprima Antprima Antprima www. l z i o n i. j i md o. c o m Scaricabil su: http://lzioni.jimdo.com/ Studio di funzion INDICE TEORIA Campo di sistnza Intrszion con gli
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Appunti di Misur Elttric Distribuion gaussiana Funion dnsità di probabilità di Gauss... Calcolo dlla distribuion cumulativa pr una variabil di Gauss... Funion dnsità di probabilità congiunta...6 Funion
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PROBLEMA SESSIONE ORDINARIA 0 CORSI SPERIMENTALI Sia ( x) ln ( x) ln x sia ( x) ln ( x) ln x.. Si dtrmino i domini di di.. Si disnino, nl mdsimo sistma di assi cartsiani ortoonali Oxy, i raici di di..
Svolgimento di alcuni esercizi
Svolgimnto di alcuni srcizi Si ha ch dal momnto ch / tnd a pr ch tnd a (la frazion formata da un numro, in qusto caso il numro, fratto una quantità ch tnd a ±, in qusto caso, tnd smpr a ) S facciamo tndr
Ulteriori esercizi svolti
Ultriori srcizi svolti Effttuar uno studio qualitativo dll sgunti funzioni ) 4 f ( ) ) ( + ) f ( ) + 3) f ( ) con particolar rifrimnto ai sgunti asptti: a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli
= l. x 0. In realtà può aversi una casistica più amplia potendo sia x che f ( x) tendere ad un elemento dell insieme
LIMITI DI FUNZINI. CNCETT DI LIMITE Esula dallo scopo di qusto libro la trattazion dlla toria sui iti. Tuttavia, pnsando di far cosa gradita allo studnt, ch dv possdr qusta nozion com background, ritniamo
Soluzioni. a) Il dominio è dato da tutti i numeri reali tranne quelli che annullano il denominatore di (x+1)/x. Quindi D = R {0} = (-,0) (0,+ ).
Soluzioni Data la unzion a trova il dominio di b indica quali sono gli intrvalli in cui risulta positiva qulli in cui risulta ngativa c dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d studia il comportamnto
x 1 x 2 Studiare e disegnare il grafico delle seguenti funzioni Esercizio no.1 Soluzione a pag.2 Esercizio no.2 Soluzione a pag.4
Edutcnica.it Studio di funzioni Studiar disgnar il grafico dll sgunti funzioni Esrcizio no. Soluzion a pag. Esrcizio no. Soluzion a pag. y 5 y Esrcizio no. Soluzion a pag.6 Esrcizio no. Soluzion a pag.8
Teorema (seconda condizione sufficiente per i campi conservativi piani): Sia F ( x, y)
Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part Torma (sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi piani): Sia F (, y) un campo vttorial piano dfinito in un aprto A di R, si supponga ultriormnt = y ;
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0.1. CIRCONFERENZA 1. La 0.1.1, espressa mediante la formula per la distanza tra due punti, diviene:
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0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y.
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