Esame di Teoria dei Circuiti 25 Febbraio 2011 (Soluzione)

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1 Esame di Teoria dei Circuiti 25 Febbraio 20 Soluzione) Esercizio I I R R I R2 R 2 V 3 I 3 V V 2 αi R βi R2 V I Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: R = kω, R 2 = kω, = 2 kω, = kω, α = 3/, β = 3, V 3 = V, V = 3 V, I 3 = I = 0.5 ma. Determinare: ) la descrizione del due porte in figura tramite matrice ibrida, definita come ) V ; il circuito equivalente di Thevenin alla porta 2 del due porte calcolato al punto precedente, quando alla porta vengono collegati i generatori ideali V 3 ed I 3 e la resistenza, come mostrato in figura; la potenza P e P 2 dissipata dai due porte, quando alla porta vengono collegati V 3, I 3 e come nel caso precedente) e alla porta 2 una seconda identica a quella calcolata sopra, V e I, come mostrato in figura. Indicare inoltre quali tra i generatori V 3, V, I 3 e I cedono potenza al circuito e quali invece assorbono potenza. I V 2 = Soluzione Per determinare la descrizione tramite matrice ibrida del circuito in esame si supponga di collegare al due porte i due generatori ideali V e, e quindi di calcolarne la corrente I e la tensione V 2 ai loro capi. Si definisca inoltre un verso arbitrario per le correnti I R3. I R R I R2 R 2 I R3 I V V 2 αi R βi R2 a) Osservando che I R3 =, e imponendo il bilancio delle correnti ai nodi e, si può ricavare I : : I R3 = I R2 βi R2, I R2 = β I R3 = β : I R2 αi R = I R, I R = α I R2 = I = I R = α) β) }{{} 2 = α) β)

2 25 Febbraio 20 Esame di Teoria dei Circuiti con = 0. La tensione V 2 si può ricavare dal bilancio delle tensioni alla maglia a) a) : V R I R R 2 I R2 I R3 = V 2 V 2 = V }{{} R α) β) R 2 β R 3 }{{} 2 = 22 = kω Per il secondo punto dell esercizio, si connetta al due porte calcolato in precedenza il circuito formato da V 3, I 3 e. Si calcoli l equivalente di Thevenin del circuito complessivo collegando alla porta 2 di un generatore ideale di corrente I per calcolarne la tensione V ai suoi capi. I R I I V 3 I 3 I V V V Si indichino con V e I tensione e corrente alla porta 2, con V la tensione e la corrente alla porta di, e con V e I = V e I = I. Dalla seconda delle equazioni costitutive di si ha V = V = 2V 22I = 2V V. Si consideri I R = V 3 V 22I. Si determini quindi che sostituito nell equazione di bilancio delle tensioni al nodo permette di trovare V e quindi anche V. : I R = I 3 I, V 3 V = I 3 V R 2I V = V 3 I 3 2 I V = 2 V V 3 I 3 22I = 2 }{{ } V eq) = 0.5 V I }{{ } R eq) = 5 kω 2

3 Esame di Teoria dei Circuiti 25 Febbraio 20 Il punto successivo dell esercizio chiede di calcolare la potenza dei due doppi bipoli quando, nello stesso circuito del punto precedente, alla porta 2 viene collegato il circuito formato da V, I ed una secondo doppio bipolo descritto dalla stessa matrice trovata precedentemente. Per fini di chiarezza, si indichi con il doppio bipolo proveniente dai punti precedenti dell esercizio, e con 2 quello appena aggiunto. Il circuito da considerare è il seguente. I V3 =I R I I 2 V 3 V I I3 3 I V V I V I V V V 2 V 2 dove si sono indicati con V, V, I e I tensioni e correnti di, e con V 2, V 2, I 2 e tensioni e correnti di 2. Si ricordi che la potenza dissipata da è definita come P = V I V I. Per quanto riguarda la determinazione di P 2 è immediato determinare I 2 e V 2 = V I: I 2 = V 2 2I 2 = V 2 I = 0.5 ma V 2 = 2V 2 22I 2 = 2V 22 I = 5 V da cui P 2 = mw. Per quanto riguarda P è invece necessario considerare la seconda equazione costitutiva di V = V = 2V 22I, I = V 2 V assieme a, come nel caso precedente, il bilancio delle correnti al nodo : I R = I 3 I, V 3 V = I 3 V R 2 V = V 3 I V = V V ) 2 V da cui I = 0.5 ma e I = 0.5 ma. La potenza cercata è dunque P = mw. La determinazione delle grandezze di sopra eprmette anche di rispondere immediatamente all ultimo quesito riguardante la regione di funzionamento dei generatori ideali. P V 3 = V 3 I V 3 = V 3 I R = V 3 V 3 V R = 0, V 3 : equilibrio energetico P I3 = V I3 I 3 = V I 3 < 0, I 3 : utilizzatore P V = V I V = V I ) = 0, V : equilibrio energetico P I = V I I = V 2 I > 0, I 3 : generatore dove per determinare I V si e utilizzato il bilancio delle correnti al nodo. 3

4 25 Febbraio 20 Esame di Teoria dei Circuiti Esercizio 2 I R I R5 V 2 R 5 I R3 I R6 R 6 I 0 I I G V G I G I 3 V 3 3) I Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti ) valori: 2/5 m /5 m R = R 2 =... = R 6 = 2 kω, G = Ω /5 m 2/5 m, = 2.5 V, I 0 = 2.5 ma, I = 3.75 ma. Si supponga inoltre che gli amplificatori operazionali siano ideali e che lavorino sempre nella zona ad alto guadagno. Calcolare le tensioni V, V2 e V3 e le correnti I, I2 e I3 di uscita degli amplificatori operazionali. Soluzione Si considerino i versi delle correnti come indicati in figura. Si consideri per tutti gli amplificatori operazionale che la corrente sugli ingressi sia nulla. Per il corto circuito virtuale agli ingressi dell operazionale, si ha da cui V = V = 0 V = V I R3 = I 0 = 5 V I = I R3 I G = I 0 G V G 2 V3 Considerando il corto circuito virtuale agli ingressi dell operazionale 2 e quello agli ingressi dell operazionale 3 è possibile ricavare I R5 da cui V 2 = V 2 = V 3 = V 3 = 0 I R5 = V 2 V 3 = R 5 R 5 V2 = V2 I R = I R5 = R ) = 5 V R 5 I 2 = I R = I R5 =.25 ma V 3 = V 3 R 6I R6 = R 6 I I R5 ) = 5 V I 3 = I R6 G 2 V G 22 V 3 = I I R5 G 2 V G 22 V 3 = 3.5 ma da cui si ricava anche I = 3.5 ma.

5 Esame di Teoria dei Circuiti 25 Febbraio 20 Esercizio 3 αi R I R I R2 R R 2 T C V C ri R2 Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: R = 3 kω R 2 = 2 kω, = 5 kω, r = 3 kω, C = 00 µf, α = 3 2, = V. Per t < t 0 = 0 s l interruttore T è aperto ed il circuito è a regime; all istante t = t 0 l interruttore T si chiude. Determinare l andamento della tensione V C t) ai capi del condensatore. Soluzione Per t < 0 l interruttore T è chiuso ed il circuito a regime, ovvero I C = 0; il circuito in esame è dunque equivalente ad un circuito in cui la capacità è sostituita da un circuito aperto. Il circuito si semplifica come segue: αi R I R I R2 R R 2 V C0 ri R2 a) b) Per determinare la tensione iniziale V C0 si può osservare che dalla maglia b) si ha b) : ri R2 R 2 I R2 = V C0 Si determini quindi I R2. Dal bilancio delle correnti al nodo si ha αi R I R2 = 0, cioè I R = α I R2. Dal bilancio delle tensioni alla maglia a) si ha a) : = R I R ri R2 = R α I R2 ri R2, I R2 = α αr R da cui V C0 = α r R 2 αr R = 5 V All istante t = t 0 = 0 sec l interruttore T si chiude e comincia il transitorio di carica/scarica di C. Per il calcolo di tale transitorio, si ricorra all equivalente di Thevenin del circuito connesso alla capacità. Si supponga quindi di sostituire alla capacità stessa un generatore ideale di corrente I e di calcolare la tensione V ai suoi capi. Il circuito da esaminare diventa il seguente: 5

6 25 Febbraio 20 Esame di Teoria dei Circuiti αi R I R I R2 I R3 R R 2 I V ri R2 a) b) Come nel caso precedente, si può considerare il bilancio delle tensioni alla maglia b), da cui V = r R 2 )I R2 e quindi I R2 = V. La corrente I R3 è data da I R3 = V, mentre per r R 2 determinare la corrente I R si può considerare il bilancio delle tensioni alla maglia a) a) : = R I R ri R2, I R = r I R2 = r R R R R r R 2 ) V A questo punto per determinare V è sufficiente considerare il bilancio delle correnti al nodo : I = I R3 I R2 αi R I = V V α r α r R 2 R R r R 2 ) V α R V = r α I r α r R 2 R r R 2 ) r R 2 R r R 2 ) }{{}}{{} V eq) = 5 V R eq) = 0 kω La tensione V c t) è quindi data da V C0 = 5 V, t < t 0 = 0 s V c t) = V V C0 V eq)) e t τ = 5 0e t τ V, t t 0 = 0 s con τ = R eq) C = s. L andamento della tensione nel tempo è quello dato dalla figura seguente V c [V] t [s] 6