UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE, ECONOMICHE, FINANZIARIE E AZIENDALI TESI DI LAUREA SPECIALISTICA CLUSTERING DI FONDI COMUNI D INVESTIMENTO ED EFFETTI SULLA VALUTAZIONE DELLA PERFORMANCE RELATORE: CH.MO PROF. MASSIMILIANO CAPORIN LAUREANDA: KLODIANA NUSHI MARTICOLA: _SEA ANNO ACCADEMICO 2007/2008

2 INDICE Introduzione Caitolo 1 Fondi Comuni d Investimento e Rendimenti Il Risarmio Gestito I Fondi Comuni d Investimento Classificazione dei fondi comuni d investimento Struttura dei fondi comuni e costi Nozioni sui Mercati Finanziari Strumenti finanziari e indici di mercato Alcuni concetti sui Rendimenti Risk-free e extrarendimenti Caitolo 2 CML,CAPM e Indici di Performance CML, Modello di Markowitz Costruzione della CML e FE CAPM: Regressioni in Serie Storica Strategie di Gestione del Portafoglio Definizione della Performance Scelta del benchmark Misure di Performance sui Rendimenti Misure di erformance basate su modelli econometrici Misura Alha di Jensen Misura Beta del ortafoglio Misure di RAP Risk Adjusted Performance Indice di Share. 59 1

3 Caitolo Indice di Treynor Information Ratio Indice di Sortino Cluster Analysis Prossimità e Distanze Distanza Euclidea Indice di Similarità Metodo del Multidimensional Scaling Analisi di Raggruamento Metodi gerarchici di classificazione Valutazione della classificazione del metodo gerarchico Metodi non gerarchici di classificazione Aroccio di Share, Brown e Goetzman Caitolo 4 Analisi dei fondi comuni d investimento USA I Fondi Comuni Statunitensi Caratteristiche del dataset Analisi rezzi e rendimenti Performance del ortafoglio Cluster analysis dei fondi comuni USA Effetti sulla erformance doo il clustering Valutazioni dal Clustering sugli indici. 132 Conclusioni Aendice Bibliografia. 143 Webgrafia Mutual Fund Clustering and its Effects on Performance Evaluation. 2

4 INTRODUZIONE Dataset di grandi dimensioni sui dati finanziari sono stati resi disonibili agli investitori soltanto recentemente. L insieme delle informazioni grezze contenute in questi dataset è un modo abbastanza comlesso e lento, er caire e valutare gli strumenti finanziari a cui si è interessati, in quanto non informativi dal unto di vista economico-finanziario. Di conseguenza, si ha la necessita di elaborare l informazione grezza mediante una corretta analisi modellistica er oter ottenere il massimo delle informazioni senza errori grossolani. Prorio la ricchezza delle informazioni contenute in dataset a dimensioni mutevoli, hanno motivato e continuano tutt ora le ricerche in analisi quantitativa finanziaria, di conseguenza hanno ortato a individuare strumenti nuovi er la loro analisi, cosa che è semre in continuo rogresso. Su queste basi trovano sostegno la teoria statistica classica e software sofisticati, che uniti agli algoritmi genetici e reti neurali artificiali tendono a raresentare un nuovo modo di conceire e affrontare l analisi finanziaria, sia da ersone altamente qualificate e sia da tutti coloro che sono semlicemente aassionati dell analisi finanziaria. Alla luce delle varie ricerche e scoerte in camo finanziario, uno degli obiettivi di questa tesi è quello di ricavare informazioni realistiche, raresentative ed emiricamente verificate er i fondi comuni d investimento statunitensi. Le informazioni ottenute devono essere bene interretate e sufficienti er valutare la erformance dei fondi durante l intera ermanenza nel mercato statunitense e er guidare l investitore nelle sue valutazioni e scelte di investimento. Infatti, i fondi verranno classificati e raggruati in modo da estrarre maggiore informazione ossibile er avere valutazioni iù accurate della erformance e imarare a interretare il loro comortamento risetto al mercato. In quanto, sia nelle fasi roizie dei mercati e sia in quelle avverse, in ambito finanziario non bisogna smettere di raggruare e selezionare, in quanto il mercato è in continuo movimento e molto sesso è soggetto a forti ribassi o rialzi. I cambiamenti 3

5 inasettati del mercato sono molto sesso dovuti, ad effetti della olitica redominante di un aese oure conseguenza delle decisioni rese dalla Commissione Euroea. I fondi comuni raresentano un ortafoglio finanziario manovrabile da investitori rofessionisti e da tutti gli aassionati dell analisi finanziaria. Se nel assato le banche offrivano revalentemente fondi monomarca agli investitori, oramai tutto questo è cambiato, in quanto i romotori finanziari sono semre iù cometitivi e le loro scelte sono legate alla qualità dei fondi, fattore rinciale questo ultimo er oter ottenere massimo rofitto. I clienti nella maggior arte dei casi non cercano di conoscere a fondo ciò che acquistano ma, su affidamento delle informazioni date dalla banca 1, che collocano il loro denaro su alcuni fondi comrando arte delle quote e acconsentono all investimento, come deciso dal contratto recedentemente concordato con il romotore finanziario. Solo una volta decisa la riartizione del ortafoglio tra azionario, obbligazionario e liquidità in modo coerente con i rori bisogni finanziari e in base alla roria tolleranza al rischio, l investitore con l aiuto del romotore uò rocedere alla scelta dei fondi con cui realizzare concretamente l asset allocation. Lo stile d investimento del romotore finanziario è molto imortante, in quanto generalmente valuta dove il fondo deve essere imiegato e verifica che tio di strategia d investimento seguire. In articolare, gli strumenti azionari sono molto difficili da valutare (bisogna conoscere il rofilo della società e avere informazioni riguardanti i reali valori economici), di conseguenza, affidarsi a rofessionisti uò effettivamente creare notevoli differenze sotto il rofilo rischio/rendimento. Questi rodotti si distinguono anche er la maggiore esosizione alle avversità dei mercati risetto ad altre categorie di investimento. Con i fondi bilanciati è cruciale la caacità del gestore di imostare un asset allocation vincente tra azioni e obbligazioni. Per i fondi obbligazionari sono, invece imortanti il osizionamento del gestore sulla curva dei tassi e la scelta tra bond societari e governativi. La comlessità di gestione diminuisce con i fondi di liquidità, che hanno un raggio di azione molto ridotto, dal momento che i gestori ossono diversificare il atrimonio solo in obbligazioni di breve termine. Una volta definito il ortafoglio iniziale di fondi occorre semre monitorare i rori investimenti. Periodicamente 1 Le quali devono essere veritiere, secondo Basilea 2; 4

6 l investitore dovrebbe accertarsi che i rorio rodotti scelti siano in linea con le rorie esigenze, che nel temo ossono mutare. Tali modifiche ossono riguardare anche le caratteristiche e la qualità del fondo stesso, nonché l eventualità di un ossibile cambio del gestore. L elevato rating di un fondo è dovuto all abilità del money manager, o del team di gestione, che nell arco della vita lavorativa uò cambiare. Per avere investitori rearati sul mercato dei fondi comuni, analisti secializzati rilasciano eriodicamente classificazioni sui fondi esistenti a seconda degli obiettivi d investimento refissati dai managers. Negli Stati Uniti nel 1984 è stata fondata Morningstar, società indiendente, leader nell analisi e nella valutazione dei fondi comuni e dei rodotti di risarmio gestito (non solo fondi, ma anche hedge fund, ETF, fondi chiusi ecc.). Dal 18 arile 2001 è resente anche in Italia e offre dati e analisi su circa fondi e servizi informativi a tutte le rimarie istituzioni finanziarie. Secondo Morningstar Rating, er valutare un fondo non basata guardare i rendimenti assati, ma bisogna tenere in considerazione il rischio assunto dal gestore e i costi sostenuti dall investitore. In Italia, cosi come in tutti gli altri aesi Euroei, l associazione nazionale dei managers sui fondi comuni, Assogestioni dal 1984, ubblica la roria classificazione basata su osservazioni eriodiche dei fondi di ortafolio holdings. Ogni classe di Assogestioni è definita da limitazioni secifiche er ogni asset allocation e queste devono essere soddisfate da tutti i fondi, con almeno tre anni di vita, che lo comongono. La classificazione si articola innanzitutto in cinque macro categorie: Azionario, Bilanciati, Obbligazionario, Liquidità e Flessibili, che meglio definiremo in seguito. Ogni macro categoria si suddivide a sua volta in diverse categorie definite sulla base dei fattori di rischio che le caratterizzano e i managers dichiarano la classe che vogliono attribuire ai loro fondi, senza violare lo stato delle limitazioni dell asset allocation, secificate da una regolamentazione interna all associazione. Per la regolamentazione interna si ha anche il controllo del comortamento dei managers, cosa che si effettua eriodicamente e in caso di violazioni, il manager è obbligato a rivedere la comosizione del ortafoglio oure a scegliere diverse classi er i fondi. Nel caso in cui i managers non obbediscano allora si ha una altra classificazione obbligatoria da arte della stessa Assogestioni. 5

7 Le società estere o italiane che siano, er valutare delle classificazioni statistiche si basano sui rendimenti assati dei fondi e sorattutto sono soluzioni a basso costo. Le serie storiche dei rendimenti sono facili e meno costosi anche er la loro reeribilità, si riferiscono a osservazioni giornaliere derivate da risorse ubbliche e sono variabili nel lungo eriodo. Alla luce di questo, l obiettivo della tesi è quello di confrontare la classificazione a riori sui rendimenti mensili dei 50 (cinquanta) fondi comuni d investimento definita in base alla caitalizzazione, agli stili di gestione e al Morningstar Rating, risetto agli risultati ottenibili dal clustering. Infatti, la nuova classificazione che ci rooniamo di ottenere è generata dall elaborazione dell informazione contenuta nei rendimenti e negli indici di erformance ricavati er i fondi, cioè mediante una cluster analysis. Il ortafoglio in analisi è abbastanza diversificato, in quanto è comosto da 50 fondi comuni d investimento statunitensi e valutati in un arco temorale di 5 (cinque) anni, dal 01 Gennaio 2002 fino al 31 Dicembre del I fondi comuni d investimento azionari sono stati scaricati dal ortale e aartengono a sette (7) diverse categorie Morningstar, sia er caitalizzazione e sia er stile di gestione, e quindi hanno anche a diverse misure di Morningstar Rating. In articolare sono: 11 fondi comuni Small Growth ; 9 fondi Small Value ; 10 fondi Small Blend ; 5 fondi Large Growth ; 5 fondi Large Value ; 5 fondi Large Blend ; e 5 fondi Mid-Ca-Growth. La scelta di strutturare in questo modo il ortafoglio non è casuale, l intenzione è quella di analizzare grui di origine abbastanza eterogenea (classificazione questa definita a riori, nota) e in base al clustering verificare come muta l informazione attorno alla erformance del ortafoglio. Le classificazioni che si ottengono dal clustering (classificazione a osteriori) saranno chiave di analisi e di una serie di confronti tra le informazioni a riori e a osteriori che si hanno sulla erformance dei fondi. Lo scoo è quello di valutare se alla luce dei risultati ottenuti con la cluster analysis sugli indici di erformance, otteniamo grui maggiormente 6

8 informativi. Quindi, le classificazioni a riori e quelle a osteriori in cosa differiscono, il clustering è stato utile er la valutazione della erformance dei fondi comuni oure no? Il lavoro è organizzato nel seguente modo: nel caitolo 1 vengono definiti gli strumenti base er l analisi finanziaria e alcune conoscenze generali legate al mercato finanziario; in seguito, nel caitolo 2 si considerano definizioni imortanti legate al CML (Caital o Security Market Line), al CAPM (Caital Asset Pricing Model) e agli indici di erformance di tio RAP (Risk Adjusted Performance); nel caitolo 3 verranno affrontate definizioni e rorietà legate alla Classificazione e alla Cluster analysis; infine, nel caitolo 4 verrà resentata l analisi di clustering del dataset, costituito dai rendimenti mensili dei 50 fondi comuni d investimento statunitensi. L analisi, oltre a valutare la erformance in base ai risultati ottenuti dal CAPM, mira a considerare le oortunità di guadagno e a rivalutare la classificazione dei fondi comuni mediante l alicazione di un clustering sui rendimenti mensili dei 50 fondi comuni d investimento statunitensi in analisi e sugli indici di erformance calcolati a riori 2. Vedremo che a osteriori si otterranno classificazioni analizzabili mediante confronti grafici e tabulari er i risettivi clusters (grui) e in seguito verranno considerati gli effetti sulla valutazione della erformance del ortafoglio dei fondi comuni, confrontandoli con le informazioni risalenti alla classificazione a riori. 2 rima dell alicazione del clustering; 7

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10 CAPITOLO 1 FONDI COMUNI D INVESTIMENTO E RENDIMENTI Nel corso degli anni il mercato finanziario è cambiato, si è trasformato diventando iù trasarente, meno rigido e a misura del risarmiatore. Oggi esiste l oortunità di investimento er ogni tio d investitore, in base al grado di rischio a cui si vuole esorre e al caitale iniziale in ossesso, quindi si riesce a trovare il iù adeguato strumento d investimento ersonalizzandolo. In articolare, negli ultimi decenni il risarmiatore, a causa anche della olitica economica regnante in Italia, non si è mai fermato nella ricerca della migliore fonte alternativa, risetto a un reddito fisso, di guadagno. Infatti, sono tanti coloro che decidono di investire i loro risarmi in strumenti finanziari (asset classes) efficaci ed efficienti, cioè tali da garantire massimo rendimento a fronte di un rischio minimo. Ovviamente, bisogna tenere resente che ogni risarmiatore ha una quota di investimento diversa, il grado di rischio da soortare è diverso e le conoscenze su come funziona, veramente, il mondo dei mercati finanziari sono differenti. Di recente, l interesse dei risarmiatori si è untato su organismi d investimento collettivo, quindi il risarmiatore non gestisce direttamente il rorio caitale, ma lo affida alla gestione di oeratori qualificati er oter ottenere una razionale diversificazione del ortafoglio investito, difficilmente relicata dall investitore stesso. Vedremo in questo caitolo, il erché intrarendere tale scelta e come i fondi comuni si distinguono risetto agli altri strumenti finanziari resenti nel mercato finanziario. 9

11 1.1 IL RISPARMIO GESTITO Investire i rori risarmi, a caitale iniziale variabile, fa arte della cultura di molti aesi, in quanto è visto come una necessità er garantire rofitti, utilizzabili er i rogetti che si vogliono intrarendere nel futuro e non solo. A tale scoo, i mercati finanziari roongono molti strumenti, i quali sono diversi l uno dall altro in base alle loro caratteristiche er ogni tiologia (vedremo queste differenze in modo arofondito nei aragrafi che seguono) e alla luce di due elementi, rischio e rendimento, vengono studiati da gestori altamente qualificati. Ultimamente sono molti i risarmiatori che scelgono di investire arte dei loro risarmi in strumenti finanziari sicuri e a facile reeribilità, arliamo infatti dei fondi comuni d investimento. I fondi comuni sono vantaggiosi rorio er la loro accessibilità, in quanto sono disonibili anche ai risarmiatori con caitale iniziale di oche migliaia di euro. I rimi investimenti di questa tiologia sono originari negli Stati Uniti, oi si sono diffusi in Euroa centrale, er oi arrivare anche in Italia verso i rimi anni 90. Da semre, i risarmiatori si distinguono l uno dall altro er la loro avversione al rischio e la quota di risarmio da investire quindi, anche gli strumenti finanziari a cui fare d aoggio sono variabili. Di recente l arma vincente er molti risarmiatori (quota di investimento mediobassa e medio-alta) sono rorio i fondi comuni d investimento. In generale, si uò definire come risarmio gestito la quota di accantonamento che ogni risarmiatore detiene e affida ad uno o iù gestori rofessionali, i quali rovvedono ad amministrarlo. Oggi giorno quando si arla del risarmio gestito si fa riferimento alle seguenti attività: i) attività di gestione rofessionale del risarmio oerate dai fondi comuni di investimento mobiliare e dalle SICAV, distinte er la raccolta di deositi e l'erogazione di imieghi; ii) attività di gestione di atrimoni mobiliari individuali (GPM) effettuata da banche e da società d'intermediazione mobiliare (SIM), cioè in tal caso si ha una comleta traslazione sugli investitori del rischio roveniente dalle oscillazioni del valore dei titoli detenuti in ortafoglio; 10

12 iii) attività d investimento er conto dei risarmiatori oerate dai fondi ensione e dalle comagnie di assicurazione nell'ambito della cosiddetta revidenza comlementare. Invece, nelle statistiche internazionali il risarmio gestito comrende: le gestioni di atrimoni individuali, gli OICR (fondi comuni di investimento e SICAV), le assicurazioni sulla vita e i fondi ensione. Molto sesso erò, ci si richiama ad una nozione iù significativa er il mercato italiano comrendente le sole gestioni di ortafogli: 1. collettivi: sono da intendersi le gestioni di fondi comuni di investimento immobiliare e le SICAV, 2. individuali: ci si riferisce alla gestione mobiliare e del atrimonio. Princialmente, gli investitori qualificati sono raresentati delle seguenti categorie di soggetti: I) le imrese di investimento comrendenti le SIM e imrese di investimento estere, le banche, gli agenti di cambio, le società di gestione del risarmio, le SICAV e i fondi ensione, le imrese di assicurazione, le società finanziarie caogruo di grui bancari; II) i soggetti esteri autorizzati a svolgere, in forza della normativa in vigore nel rorio Paese d'origine, le medesime attività; III) le fondazioni bancarie; IV) le ersone fisiche e giuridiche e gli altri enti in ossesso di secifica cometenza ed eserienza. Segue che, la rilevanza economico-sociale attribuita a questi soggetti fa riferimento al ruolo da essi svolto nell'ambito del mercato finanziario, quindi le rinciali funzioni sono: a) funzione di intermediazione: collegamento tra soggetti in surlus e quelli in deficit finanziario; b) funzione di investimento: il risarmio raccolto viene investito selezionando le oortunità di investimento iù adeguate alle necessità del soggetto finanziato, nel risetto di determinati livelli di rischio e di rendimento; c) funzione di gestione collettiva delle risorse: i cui vantaggi consistono rincialmente nella ossibilità di realizzare, una iù amia diversificazione 11

13 degli investimenti con un minor grado di rischio ed un iù contenuto costo di gestione del risarmio; d) funzione di consulenza: sia nei confronti dei risarmiatori e anche a favore dei soggetti finanziati, bisogna quindi avere le caacità di incoraggiarne i iani di investimento in relazione alle loro secifiche necessità. Attualmente, dal unto di vista normativo, il risarmio gestito è discilinato dal TUIF (Testo Unico delle disosizioni in materia di Intermediazione Finanziaria) e dai relativi regolamenti emanati dalla Consob e dalla Banca d'italia. 1.2 I FONDI COMUNI D INVESTIMENTO Negli ultimi anni i fondi comuni di investimento sono stati definiti anche come, atrimonio autonomo, in quanto suddiviso in quote di aartenenza di una luralità di risarmiatori e viene gestito dagli OICR. I fondi vengono definiti "comuni", erché la somma versata dal singolo risarmiatore cessa di essere direttamente riferibile ad esso in quanto, diventa arte di un atrimonio unico gestito a monte e sul quale ciascun risarmiatore vanta i medesimi diritti (roorzionalmente all'entità del caitale sborsato). Ma oltre a questo, sono definiti d investimento", erché le somme raccolte devono necessariamente essere investite con le modalità stabilite dalla legge e dal regolamento del fondo. Un fondo comune di investimento uò essere visto come un organismo che, mediante la sottoscrizione di aosite quote di arteciazione, raccoglie risorse finanziarie resso i risarmiatori al fine di gestirle in modo collettivo attraverso il loro investimento in valori mobiliari o altri beni, con lo scoo di realizzare, nel temo, un incremento del valore dei caitali investiti. In articolare, i fondi comuni sono suddivisi in quote e in base a chi sottoscrive tale investimento, acquista un numero di quote in roorzione all imorto versato. Uno dei rinciali vantaggi offerti dai fondi comuni (accanto alla cometenza rofessionale del gestore ed alla riduzione dei costi di transazione, grazie agli elevati volumi di titoli scambiati) è la ossibilità, anche er il risarmiatore con 12

14 disonibilità finanziarie iuttosto limitate, di orientarsi verso quella tiologia di strumenti finanziari che maggiormente referisce e di diversificare il rorio investimento tra i vari mercati: nel monetario; nell obbligazionario (MOT): titoli di credito, cioè restiti contratti dallo Stato, da banche, da società. In questo caso, tranne nei casi di insolvenza, il ossessore ha diritto alla restituzione, a scadenza, del valore nominale nonché al agamento degli interessi; nell azionario (MAT): titoli che raresentano quote di arteciazione al caitale di un'azienda e il ossessore ha diritto ai dividendi (se revisti). In caso di liquidazione non è garantito il valore nominale e si uò anche erdere tutta la somma investita. Le scelte e le decisioni non si basano sull'influenza esercitata dalle scelte del gestore, ma semlicemente scegliendo o riartendo le disonibilità da investire tra i vari rodotti, investendo ingenti atrimoni su una vastissima gamma di titoli, riuscendo così a ridurre al minimo il rischio di erdite finanziarie. Un altro vantaggio legato all investimento in fondi è raresentato dalla gestione rofessionale, o meglio i fondi sono gestiti da oeratori qualificati che quotidianamente analizzano mercati e settori, selezionando i titoli migliori da inserire nel ortafoglio. Inoltre, si ossono elencare altri vantaggi, quali: I Trasarenza: il valore della quota dei fondi è ubblicato giornalmente sui rinciali quotidiani nazionali e sui siti finanziari; II Affidabilità: i fondi comuni d investimento oerano in base alle leggi imoste da numerosi organismi istituzionali cioè, in riferimento a un quadro legislativo rigoroso e nello stesso temo trasarente; III Flessibilità: questo consente di oter trasferire l investimento da un fondo a un altro in temi molto raidi e con costi contenuti; IV Infine, liquidità: le quote dei fondi ossono essere vendute facilmente in qualsiasi momento attraverso il riscatto, senza oi l alicazione di nessuna enalità. La valutazione dei fondi comuni deve essere molto accurata, in quanto sono molti gli elementi da considerare. Prima di tutto è estremamente utile confrontare la erformance, o meglio l andamento del fondo in un determinato arco di temo, 13

15 con il rorio benchmark di riferimento, utile questo in quanto si uò dedurre lo stile di gestione del fondo. In Italia la Consob definisce il benchmark come: un arametro oggettivo di riferimento costruito facendo riferimento a indicatori finanziari elaborati da soggetti terzi e di comune utilizzo, e sorattutto coerente con i rischi connessi alla gestione del fondo, con il quale confrontare il rendimento del fondo stesso CLASSIFICAZIONE DEI FONDI COMUNI Gli elementi di secializzazione, considerando il ciclo vitale del fondo comune d investimento, tendono ad accrescersi nel temo. Quando entra nel mercato un rodotto è oco o er nulla conosciuto da otenziali acquirenti e lo sforzo delle società di gestione è quello di romuoverlo roonendolo alle fasce di utenza interessate che, in questa fase, sono di solito abbastanza ristrette. In seguito, si assa ad ulteriori suddivisioni in funzione di determinate secializzazioni assunte dai fondi di investimento. Il concetto di fondo comune è molto amio e comrende una serie di tiologie, le quali sono definite in funzione alle differenti forme tecniche e in base alla secializzazione. 1) Un rimo criterio di classificazione uò essere raresentato dal grado di diversificazione del ortafoglio e si hanno: i) fondi diversificati: investono in titoli di società che aartengono a settori economici diversi e/o a Paesi diversi; ii) fondi secializzati: investono in titoli di società aartenenti ad un solo settore (secializzazione economica) o ad un solo Paese o ad un'unica area geografica (secializzazione geografica). 2) Sulla base della natura dell'investimento referenziale, oerato dalla società di gestione e quindi del tio di valore mobiliare revalente in ortafoglio, è ossibile distinguere: a) Fondi comuni azionari: sono caratterizzati da un revalente investimento in titoli azionari. La continuità legata alla comravendita di azioni, 14

16 consente elevati rendimenti uniti a un elevato rischio, in questo modo si soddisfano anche le esigenze di crescita atrimoniale iù raide esonendo l'investitore ad un maggior livello di rischio. b) Fondi comuni bilanciati: sono definiti dalla ricerca di un tendenziale equilibrio tra investimenti in titoli a reddito fisso e quelli a rendimento variabile. L'investimento riguarda sia i titoli azionari che i titoli obbligazionari, la revalenza dell'una o dell'altra forma di investimento è in funzione delle olitiche di gestione erseguite e dell'andamento congiunturale dei risettivi mercati. Inoltre, questi fondi devono avere una quota d investimenti azionari non sueriori al 70% e non inferiori al 20% risetto al totale. c) Fondi comuni obbligazionari: sono distinti da un orizzonte d'investimento a medio e lungo termine, da minori livelli di volatilità e di rischio er il arteciante, in quanto si investe in titoli obbligazionari. Ad esemio: Buoni del Tesoro, titoli di debito emessi da imrese, ecc. d) Fondi monetari e di liquidità: orientati ad investimenti nel breve termine. Ad esemio: BOT, ronti contro termine, certificati di deosito, ecc. Sono adatti a convogliare disonibilità in attesa di un imiego iù duraturo, caratterizzati da un livello di rischio molto basso. e) Fondi flessibili: distinti dall'assenza di vincoli sia sull'asset allocation di base (azioni/obbligazioni), sia all'interno di ciascuna categoria (durata dei titoli obbligazionari e/o del mercato monetario, area geografica o settore er le azioni). f) Fondi ensione: le fonti costitutive ossono avere la forma di contratti e accordi collettivi, ovvero di accordi fra gli stessi lavoratori, o ancora di regolamenti di enti o aziende. Sono utilizzate revalentemente da istituzioni finanziarie aositamente costituite er garantire, sia a lavoratori diendenti sia a lavoratori autonomi, un adeguato trattamento revidenziale al raggiungimento dell età ensionabile. La finalità rinciale è l erogazione di un trattamento ensionistico, comlementare risetto a quello ubblico che è obbligatorio. g) Fondi di Fondi: si investe il atrimonio degli investitori in quote di altri fondi e/o Sicav. Una Sicav funziona in modo simile a un fondo comune 15

17 d investimento dal unto di vista ratico dell investitore. La differenza tra questi due rodotti finanziari è giuridica, o meglio il sottoscrittore di una Sicav non comra quote ma azioni acquisendo anche i diritti tiici di un azionista. In generale, la gran arte dei rodotti distribuiti in Italia dai grandi grui stranieri sono Sicav. 3) A seconda delle modalità di sottoscrizione avremo: I) Versamento in unica soluzione, che comunque otrà essere integrato mediante eventuali versamenti successivi (Piano di investimento in contanti, Pic); II) Piano d'accumulo: sistema di investimento mediante il quale il sottoscrittore entra nel fondo comune con una cifra iniziale molto bassa e rogramma contemoraneamente di versare eriodicamente una certa cifra (fissa o variabile a seconda dei casi) er un certo eriodo di temo. Raresenta una forma di risarmio molto flessibile oiché è ossibile, secondo modalità e condizioni che variano da società a società, variare l'imorto delle rate, effettuare versamenti aggiuntivi o rolungare il iano, sosendere o interromere i versamenti in qualsiasi momento. Il Piano di accumulazione del caitale (Pac) revede il versamento di un refissato ammontare mensile er un certo eriodo di temo, sviluando in maniera automatica il cost averaging 3. Un Piano ad accumulazione variabile (Pav) è simile ad un Pac, con la differenza che l'ammontare del versamento mensile uò variare, sviluando il value averaging 4. Il valore della quota del rorio investimento indiendentemente dalla modalità di sottoscrizione del fondo, vedremo in seguito che è molto semlice da ottenere STRUTTURA DEI FONDI COMUNI E COSTI La struttura organizzativa (vedi Figura 1.2.1) dei fondi comuni d investimento si articola in: società di gestione del risarmio (SGR), banca deositaria e l'insieme 3 Costi medi in riferimento al Pac; 4 valore medio aggiunto revisti dal Pav; 16

18 dei artecianti (gli investitori). Sul comlesso delle attività che svolgono questi tre soggetti è revisto il controllo da arte della Banca d'italia e della Consob. I caitali versati dai sottoscrittori formano il comendio atrimoniale autonomo (fondo comune) sul quale la SGR esercita le funzioni di amministrazione e la banca deositaria quelle, di custodia e di controllo sull'attività svolta dalla società di gestione del risarmio, assumendosene le relative resonsabilità. Figura 1.2.1: Schema della struttura organizzativa e gestione dei fondi (Fonte: La SGR ha il Funzione di Banca SGR Banca Funzione di Investit Funzione di comito di imiegare i caitali dei sottoscrittori e di farli rendere nel miglior modo ossibile, ossia decide la olitica di investimento e segue l evoluzione del ortafoglio in modo da mantenerlo a un livello qualitativo ottimale. Il rischio di insolvenza delle SGR è molto basso, in quanto il atrimonio gestito è slegato da quello della società e quindi essere rimborsato in ogni caso dagli investitori. I sottoscrittori non hanno diritto a influire sull'attività di gestione del atrimonio del fondo, si limitano solo ad aderire ad una roosta contrattuale redefinita comrendendo così anche una fonte di tutela nel controllo amministrativo dell'organo di vigilanza sul contenuto (e sul risetto) del regolamento contrattuale. I fondi comuni d investimento vengono quindi, gestiti direttamente dalle società di gestione del risarmio (SGR), costituite su iniziativa di banche, comagnie di assicurazione oure grandi società finanziarie. Tali società sono autorizzate dal Ministero del Tesoro e controllate continuamente dalla Consob, mentre l arovazione del quadro informativo, che riguarda gli asetti gestionali del fondo e delle società stesse, è arovato dalla Banca d Italia. 17

19 L'adozione di tale modello organizzativo offre una maggiore tutela ai artecianti in quanto la netta searazione delle diverse funzioni consente una alta rofessionalità tecnica nell'ambito della società di gestione del risarmio e una recisa individuazione della sua attività. Dal unto di vista strutturale si osserva che, i fondi comuni in base alla forma del caitale detenuta si distinguono in tre rinciali classi: 1.) Il fondo aerto o meglio definito a caitale variabile, raresenta la forma iù comunemente utilizzata nel camo dei fondi comuni di investimento. Il suo atrimonio varia continuamente (sia nella comosizione e sia nel valore) in relazione agli acquisti e alle vendite realizzate sul mercato a oera dei gestori del fondo, e all'andamento del saldo netto tra nuova raccolta e riscatti chiesti dai artecianti. Il atrimonio è suddiviso in "quote" e il valore (o rezzo) di ciascuna quota si determina come: Totale attività nette del fondo V q = (1.2.1) Numero delle quote circolanti I artecianti al fondo aerto hanno diritto di chiedere, in qualsiasi temo, il rimborso delle quote secondo le modalità reviste dalle regole di funzionamento del fondo. Inoltre, in ogni momento il sottoscrittore uò verificare l andamento del rezzo della quota ubblicato quotidianamente sui rinciali quotidiani, Televideo e siti Internet. Molto sesso si arla del fondo comune d'investimento mobiliare aerto, il quale raresenta un atrimonio destinato all'investimento, generato dalle assegnazioni di una massa di risarmiatori. Il fondo è "mobiliare" oiché, il suo atrimonio è imiegato esclusivamente in strumenti e rodotti finanziari ed è "aerto" in quanto il sottoscrittore è libero di entrare ed uscire dal fondo in qualsiasi momento, fondi che non risettano uno o iù di tali vincoli si dicono "non armonizzati". Investendo in tali fondi, un risarmiatore affida una determinata somma di denaro a società che svolgono rofessionalmente la gestione (in forma collettiva) di attività finanziarie, o meglio alle SGR. 2.) Il fondo chiuso, è uno strumento finanziario che raccoglie caitali resso investitori istituzionali (quali banche, fondazioni, comagnie assicurative, fondi ensione) e resso rivati, vincolandoli a medio-lungo termine er investirli in imrese non quotate ad alto otenziale di sviluo. Essi sono gestiti da società secializzate nell investimento istituzionale nel caitale di rischio e raresentano 18

20 uno strumento che, ermette di allargare enormemente il otenziale oerativo di questa attività. L istituzione di fondi chiusi è consentita alle società di gestione del risarmio e ciascun fondo chiuso deve disorre di un rorio regolamento (ad esemio: in Italia è arovato dalla Banca d'italia) che individua le caratteristiche del fondo e stabilisce le modalità attraverso le quali la società di gestione è abilitata ad oerare. La caratteristica di chiusura si basa sul fatto che non sia ossibile, a differenza dei fondi aerti, né entrare, né uscire, in qualsiasi momento e si ossono suddividere in: a) fondi mobiliari chiusi: nel caso in cui la società di gestione intenda aumentare il volume della massa di mezzi finanziari a disosizione del fondo, dovrà stabilire il collocamento di nuove quote, secondo una rocedura in un certo modo aragonabile a quella revista er gli aumenti di caitale delle società er azioni; b) fondi immobiliari chiusi: la loro gestione è affidata ad una società di gestione del risarmio e il atrimonio del fondo deve essere raccolto mediante un'unica emissione di quote, di eguale valore unitario, che devono essere sottoscritte entro il termine massimo di un anno a decorrere dalla data del nulla osta da arte della Consob alla ubblicazione del rosetto informativo. La durata del fondo non uò essere inferiore a dieci anni e sueriore a trenta. 3.) I fondi seculativi o hedge funds: sono revisti dal regolamento del Ministero del Tesoro e hanno una struttura diversa risetto sia alla tradizionale dicotomia fondi aerti/chiusi sia all'oggetto di investimento. Si tratta di fondi non armonizzati con soglia minima di sottoscrizione ari ad un milione di euro, il cui gestore, in deroga alle norme rudenziali sul contenimento del rischio reviste dalla normativa. Tra questi fondi rientrano numerosi rodotti esteri e, da qualche temo, i non armonizzati di diritto italiano, cioè i fondi riservati. I fondi non armonizzati ossono essere aerti o chiusi, anch'essi discilinati da recenti disosizioni e alla cui sottoscrizione ossono accedere unicamente investitori qualificati, che derogano alle norme rudenziali di limitazione e frazionamento del rischio. Lo scoo è l ottenimento dei risultati ositivi indiendentemente dall'andamento dei mercati in cui si oera utilizzando sofisticate tecniche di investimento, cercando di migliorare le erformance e roteggendo il ortafoglio 19

21 da eventuali ribassi del mercato ricorrendo all'aertura di osizioni seculative mediante vendite allo scoerto. In generale, i fondi offrono ai risarmiatori la ossibilità di diversificare i rori investimenti in un ortafoglio iù amio, ottenendo una gestione rofessionale del risarmio, in cami di non facile accesso all'investitore individuale, ma sottoscrivendo un fondo comune non si devono dimenticare i costi che devono essere affrontati. I costi di commissione sono diversi, in quanto: I) Alcune sono a carico degli investitori: - Commissioni d ingresso: sono richieste nel momento in cui si acquistano le quote del fondo all atto del rimo versamento e di quelli successivi. Possono essere fisse o variabili, e se tali decrescono al crescere della somma investita. Sono definiti Fondi No Load quelli che non revedono commissioni d ingresso, erò i costi di gestione ossono essere iù elevati. - Commissioni di uscita: richieste al momento in cui si decide il disinvestimento delle quote ossedute. Molto sesso decrescono all aumentare degli anni di ermanenza nel fondo e in alcuni casi sono un alternativa alle commissioni d ingresso. - Commissioni di switch: reviste quando si effettua uno switch, o meglio si decide di sostare il rorio investimento da un fondo all altro. II) E altre a carico del fondo: - Commissione di gestione: non è altro che la remunerazione fissa del lavoro svolto dal gestore del fondo e vengono calcolati quotidianamente sul atrimonio netto del fondo. - Commissione di erformance: raresenta la remunerazione revista nel caso in cui il fondo riesca a battere il cosiddetto benchmark. - Costi d intermediazione: include le sese che il fondo sostiene er la comravendita, ad esemio dei valori mobiliari. Inoltre, esiste anche il trattamento fiscale riservato all investimento in fondi comuni, il quale differisce in base al tio di fondo. Per i fondi di diritto Italiano è revista una tassazione del 12,5% sul rendimento ositivo ottenuto ogni anno. In 20

22 tal caso l investitore non deve rovvedere ad alcun ademimento fiscale erché le imoste sono relevate direttamente dal fondo, cioè la quota viene in seguito calcolata al netto dell imosta. Per quanto riguarda, i fondi di diritto estero comunitari è revista una tassazione a carico dell investitore, a viene alicata una ritenuta a titolo d imosta del 12,5% al momento dell incasso del rovento erogato del fondo entro 12 mesi dall investimento. 1.3 NOZIONI SUI MERCATI FINANZIARI Il mercato finanziario è definito come l'insieme delle negoziazioni di strumenti finanziari ed oera come collegamento tra settori in surlus (caratterizzati dagli oeratori che resentano un rimanenza finanziaria) e settori in deficit (cioè, evidenziano un disavanzo finanziario) canalizzando in questo modo le risorse disonibili verso forme adeguate di imiego. In generale, il mercato deve essere in grado di offrire ai risarmiatori ed agli utilizzatori finali risorse finanziarie in grado di risondere alle loro esigenze future in termini contrattuali (scadenza) e di un adeguato raorto di rendimento/rischio. Possibili classificazioni dei mercati si basano sul tio e durata di vita dell attività finanziaria scambiata, er data di consegna e er struttura organizzativa. Un attività finanziaria è definita come un contratto stiulato tra due controarti, risettivamente il venditore e l acquirente, che stabilisce er ciascuna data futura e stato del mondo, la quantità di moneta o contratto finanziario che il venditore deve trasferire al comratore. In articolare, in base alla struttura organizzativa si determina la tiologia di informazione disonibile sulle transazioni, infatti i mercati si distinguono in: I) Mercati regolamentati: sono fondati e gestiti da società er azioni (dette anche società di gestione), resonsabili dell organizzazione e del controllo delle transazioni, dell ammissione degli strumenti da negoziare e degli oeratori. In Italia l esercizio dei mercati regolamentati è autorizzato dalla Consob. Infatti, i mercati Italiani autorizzati sono iscritti in un elenco tenuto 21

23 dalla Consob 5, invece i mercati esteri sono riconosciuti ai sensi dell ordinamento comunitario e sono iscritti in un aosita sezione 6 e altri non inclusi nell elenco sono riconosciuti dalla Consob sulla base di accordi stiulati con le corrisondenti autorità 7. Sia i mercati esteri e sia i mercati italiani funzionano di continuo, le transazioni avvengono in qualsiasi momento durante l aertura e il rezzo varia in base agli ordini oure alle grida, gli ordini vengono raggruati ed eseguiti contemoraneamente nel corso di un asta che si svolge una o iù volte al giorno. II) Mercati over the counter (OTC): ci si riferisce a oeratori collegati da reti telematiche che negoziano titoli in maniera essenzialmente non regolamentata, o meglio raresenta tutte quelle oerazioni di comravendita di titoli che non figurano nel listino di borsa. Le negoziazioni, si svolgono al di fuori dei circuiti Borsistici Ufficiali e di un mercato organizzato come lo è la Borsa Valori, e sono effettuate tra intermediari ed investitori. I dati usati dagli analisti finanziari ossono essere, serie storiche di rezzi, cioè camione di osservazioni relative allo stesso soggetto e a date diverse, mentre quando le osservazioni si riferiscono alla stessa data er diversi soggetti si ha un camione in cross-section. Nei mercati in cui esiste un intermediario incaricato di comiti market maker (resonsabile della determinazione del rezzo di equilibrio di un titolo attraverso l offerta e la domanda), i rezzi quotati sono diversi se si riferiscono all acquisto o alla vendita del titolo, di solito come rezzo di riferimento si usa quello di chiusura aggiornato. Prorietà imortante dei rezzi è la liquidità del mercato da cui rovengono. Inoltre, l amiezza del margine definito dalla differenza tra il rezzo effettivamente venduto e quello richiesto, cioè denaro-lettera (bid-ask sread) è una misura della liquidità di un titolo finanziario. Se è bassa, l intermediario alica un margine amio come remunerazione del rischio legato all essere in ossesso di un titolo er il quale sarà difficile trovare un acquirente. Ma dall altra arte, non si deve dimenticare che tale sread è un segnale del otere di mercato degli intermediari. Le quotazioni 5 secondo l art. 63, comma 2, D.Lgs. n.58/1998; 6 dell elenco secondo l art.67, comma 1, D.Lgs. n.58/ 98; 7 secondo l art.67, comma 2, D.Lgs. n.58/ 98; 22

24 disonibili non corrisondono semre ai rezzi ai quali avvengono le transazioni, in quanto esistono anche i costi di transazione, commissioni e imoste STRUMENTI FINANZIARI E INDICI DI MERCATO Negli ultimi temi ossedere un iccolo risarmio e avere la voglia di incrementarlo, sono la sinta iù frequente er conoscere le varie oortunità offerte dal mercato finanziario. La chiave del successo (creare guadagno), come vedremo, stà nell individuare la riartizione del ortafoglio ottimale fra i diversi strumenti finanziari (assets classes) quali azioni, obbligazioni e aree di investimento quindi, individuare l asset allocation ottimale che significa, raggiungere la diversificazione nei rori investimenti in relazione al grado di rischio che si vuole soortare. Le rime attenzioni vanno a focalizzarsi sul significato economico e finanziario che hanno i vari strumenti finanziari, artendo dai contratti finanziari (o attività finanziarie) finalizzati al trasferimento di moneta o merci a diverse date di esigibilità (o scadenze) subordiante alla realizzazione di diversi stati del mondo. Di conseguenza si ha che, la gestione di assets classes lo si uò anche descrivere come una serie di attività svolte al fine di costruire un ortafoglio finanziario tale da massimizzare i rendimenti e minimizzando la differenza tra i risultati attesi e quelli effettivi. Rieilogando ossiamo dire che, il unto di artenza rima di effettuare un investimento è quello di scegliere l asset allocation, cioè la riartizione del ortafoglio. In finanza è molto imortante fare riferimento a un indice (arametro oggettivo) oure a una comosizione di indici di mercato calcolati da soggetti terzi risetto alla società di gestione romotrice del fondo, utile er ogni tio di analisi. Un indice è il rezzo di un ortafoglio di titoli e ossono essere tutti quelli quotati su un mercato oure essere scelti fra i iù raresentativi di un articolare segmento. La comosizione del ortafoglio uò variare nel temo in seguito al declino economico di alcune società (o all emergere di altre). Il valore dell indice è sesso normalizzato fissandone il livello (molto imortante er la valutazione 23

25 dell indice nel futuro, rezzo base) a una data di riferimento e con rezzi dei titoli che vengono sommati in modo onderato con la caitalizzazione della società, ossia il numero delle azioni emesse er il loro rezzo. Per ogni arametro oggettivo comosto da due o iù indici di mercato, il eriodo di ribilanciamento dei esi delle singole comonenti del arametro è stabilito dalla società di gestione e non uò eccedere i tre mesi. La eriodicità del ribilanciamento deve essere eslicitata nel rosetto e il sistema iù adeguato è ritenuto quello a roorzioni costanti, secondo il quale i esi degli indici che comongono il arametro di riferimento vengono eriodicamente ribilanciati al fine di mantenere costante la roorzione di ogni comonente ad inizio eriodo. In caso di interruzione del calcolo o della ubblicazione di uno o iù indici indicati nel arametro oggettivo di riferimento, la società di gestione otrà fare automaticamente riferimento ad un arametro sostitutivo. Ad esemio: Assogestioni ne definisce uno er ogni categoria del sistema di classificazione in dotazione. Segue che, la qualità di gestione non è misurata esclusivamente dalle caacità di offrire un extrarendimento risetto al benchmark (indice utilizzato er misurare il rischio sistematico dei ortafogli assivi) ma anche dalla caacità di sceglierlo in modo aroriato. Le scelte iù corrette sono quelle che si riferiscono a degli indici che hanno la caacità di riassumere in un unico numero l evoluzione di tutto il mercato. Gli Indici Ufficiali delle rinciali Borse sono definiti dalla Banca Centrale e Istituti Governativi a cui i mercati fanno riferimento. La costruzione degli indici e la diffusione dei dati relativi al loro andamento vengono effettuate da società chiamate Index Provider e generalmente aartengono a grui finanziari o a società di gestione di mercati regolamentati, o ancora anche da grui editoriali (Reuters, Bloomberg, ecc.) e si riferiscono a metodologie indiendenti che erò, tuttavia resentano tratti comuni. Gli indici che caratterizzano il mercato finanziario globale sono definiti er aerea di origine e sviluo. In Italia il MibTel raresenta l'indice generale della Borsa di Milano e sintetizza l'andamento di tutti i titoli quotati a Piazza Affari. L'attuale valore di riferimento è unti, fissato il 3 gennaio '94. Gli altri indici Italiani sono: S&P/Mib, MIBTEL, MIDEX, MIB, All Stars, MEX (Exandi) e D.J.Eurostoxx 24

26 50, distinti er tiologia di caitalizzazione e altre caratteristiche delle società di riferimento. In Euroa e all estero, gli indici rinciali 8 sono: il CAC40 (Parigi), il Ftse 100 (Londra), Dax Xetra (Francoforte), Bel30 (Bruxelles), Aex (Amsterdam), Ibex 35 (Madrid), Smi (Zurigo), Hang Seng (Hong Kong), AllOrd (Sydney) e Nikkei (Tokio). Mentre, negli Stati Uniti gli indici iù imortanti sono il Dow Jones (New York), lo Standard & Poor's 500 (raresenta le rime 500 società a media caitalizzazione) e Nasdaq (raresenta le società tecnologiche della cosiddetta new economy ). Il Dow Jones è anche definito l'indice di Borsa iù antico del mondo, in quanto risale al Il aniere che lo comone è raresentato da 30 società americane a grande caitalizzazione che sono leader di mercato nei risettivi settori. Una articolarità del Dow Jones è quella di essere una semlice media aritmetica dei rezzi delle 30 azioni che lo comongono, senza onderare il eso dei singoli titoli a seconda della loro caitalizzazione. La conseguenza è che, nel calcolo dell'indice, una variazione dei titoli a rezzo iù alto ha un imatto sueriore a quella dei titoli a rezzi iù bassi. Gli indici iù noti sono robabilmente quelli del mercato azionario, ma non di meno sono imortanti gli indici obbligazionari. Infatti, da recenti indagini si ha che, oltre l'80% del atrimonio dei fondi italiani armonizzati e riservati è gestito con riferimento agli indici di quattro index rovider: J.P. Morgan, MSCI, MTS SPA e Merrill Lynch. Si nota che, er i fondi azionari risulta ancora iù evidente l'elevato grado di concentrazione, oltre il 62% del loro atrimonio è gestito in riferimento agli indici del rovider. Nel comarto obbligazionario invece, il mercato aare iù diversificato, nonostante la revalenza degli indici J.P. Morgan, diversi rovider concorrono a definire i benchmark. Oltre tutto, gli indici di Borsa sono un riferimento base er le obbligazioni indicizzate e er i contratti derivati, come: futures, ozioni e warrant. A volte nell analisi finanziaria, così come anche er i fondi comuni che sono oggetto di studio e analisi di questa tesi, si fa riferimento ai fondi comuni d investimento USA, quindi ai rendimenti che resentano nel temo. In modo naturale ci si chiede, cos è il rendimento e che rorietà deve avere erché sia ben definito? 8 simili al MibTel italiano; 25

27 1.4 ALCUNI CONCETTI SUI RENDIMENTI I rendimenti misurano la variazione ercentuale dei rezzi in un certo intervallo. Esistono due modi leggermente diversi di calcolare i rendimenti, in entrambi i casi si fa riferimento ai rezzi del titolo, erò l utilizzo è diverso. I) Caitalizzazione semlice: (o ercentuali) il rendimento di un titolo fra due date (t-1) e t è definito come: t + d t r t = 1 (1.4.1) t 1 t rt + 1 = se d t = t 1 0 (1.4.2) dove (t) e (t-1) sono i rezzi del titolo alle date t e t-1, invece d(t) si riferisce al cash flow generato dal titolo fra le due date. La somma 1+r(t) è definito come fattore di caitalizzazione. Per costruzione r(t) -1, quindi i rendimenti semlici non ossono essere generati da una distribuzione normale. Due rendimenti che si riferiscono a intervalli di lunghezza diversa ossono essere confrontati doo essere stati trasformati in modo da corrisondere allo stesso intervallo, di solito annuale, chiamato anche normalizzazione. Con la caitalizzazione semlice è facile ricavare la relazione fra rendimenti dei titoli e quello di un ortafoglio. Dati I- titoli, i = 1,2,,I; i rezzi alle date t-1 e t di un ortafoglio comosto da una quantità di q i di ciascuno di essi sono ari a: 1 qi it 1 e t = I = t i= 1 I i= 1 q i it (1.4.3) se il costo del ortafoglio è diverso da 0, ossiamo dividere er t 1 : t = i= 1 t 1 t 1 I q i it (1.4.4) ottenendo i rendimenti: r t = I i = 1 w i r it (1.4.5) e la quota di ricchezza investita nel titolo i è: q i it 1 w = (1.4.6) i t 1 26

28 inoltre si nota che, er costruzione le quote sommano a 1. Il tutto uò essere raresentato anche matricialmente e il vincolo di somma unitaria delle quote ossono essere riformulate come segue: r = w' (1.4.7) t r t e oi: ι w = 1 (1.4.8) II) La definizione alternativa del rendimento è basato sulla caitalizzazione continua, secondo la quale i rendimenti sono dati da: * t + d t r t = ln( t + d t ) ln( t 1) = ln( ) = ln(1 + rt ) (1.4.9) a differenza del caso recedente, tale rendimento non è limitato inferiormente, ed è quindi comatibile con l iotesi di distribuzione normale. In assenza di dividendi, questa regola semlifica notevolmente l aggregazione nel temo dei rendimenti e er annualizzarlo è sufficiente dividerlo er i eriodi su cui è osservato. Tuttavia l'iotesi di assenza di flussi in entrata e in uscita nel eriodo considerato ai fini del calcolo del rendimento è del tutto irrealistica. Se si rende in considerazione il atrimonio comlessivo del fondo, questo è continuamente soggetto alla movimentazione legata alla sottoscrizione e al rimborso di quote, al relievo fiscale, all'eventuale distribuzione di roventi; nell'ottica del singolo investitore. Inoltre, è ossibile che la somma inizialmente versata sia stata integrata da ulteriori conferimenti, che siano stati effettuati dis_investimenti arziali, che siano stati erceiti roventi. Da notare è il fatto che, il rendimento continuo di un ortafoglio t 1 non è dato dalla media onderata dei rendimenti dei titoli. Le definizioni recedenti sul rendimento conducono in realtà a risultati molto simili. Tale rorietà è verificata esandendo il logaritmo dei rezzi in serie di Taylor al secondo ordine risetto a (t) in un intorno di (t-1). Si uò notare inoltre che: r r * t t e che la differenza tra le due definizioni è in generale iccola, data l unità di misura dei rendimenti. Le rorietà valide er i rendimenti semlici sono arossimativamente valide anche er i rendimenti continui, e viceversa. Di conseguenza la scelta di quale tio di rendimento utilizzare diende strettamente dalla tiologia dell analisi condotta. Se l attenzione è concentrata su una serie storica, la caitalizzazione continua tende a essere referita er la facilità con la quale è ossibile aggregare rendimenti consecutivi. Se invece, il camione in 27

29 analisi è di cross-section, allora è iù referibile utilizzare i rendimenti semlici. Da notare è soltanto la differenza che: i rendimenti ercentuali (o semlici) ci ortano ad avere i rendimenti di un ortafoglio come somma onderata dei rendimenti dei singoli titoli, invece er i rendimenti logaritmici (o continui) questo non è valido, in quanto il logaritmo di una sommatoria non è ari alla sommatoria dei logaritmi e la somma di log-normali non è log_normale. L evoluzione del rezzo di un azione nel temo è raresentato da un rocesso stocastico, cioè successione di variabili casuali indicizzate, chiamato Random Walk. ln µ + u (1.4.10) t = + ln t 1 E si verifica che: E u,...) 0 (1.4.11) ( t t 1 t 2 = Si nota che il rezzo è somma di tre comonenti: una deterministico (la costante µ), il rezzo recedente e infine il termine casuale u(t), indiendente dai valori assati dei rezzi. L analisi statistica di una serie storica generata da un rocesso random walk è comlicata, in quanto i rezzi non risultano stazionari in senso debole, cioè il valore atteso condizionato è noto, in quanto uguale a quello in (t-1) e anche la varianza condizionata è nota. Quello che cambia nel RW sono il valore atteso e la varianza non condizionate, così come la covarianza non condizionata che diendono dal temo t, questo fa si che la varianza diventi molto grande. La stazionarietà del rocesso che ha generato la serie storica uò essere verificata mediante vari test di stazionarietà, che vedremo in seguito. Tale rorietà è tiica delle quotazioni ed è gestibile soltanto se si considerano i rendimenti, i quali aiutano a caire cos è avvenuto e a valutare la erformance del ortafoglio a cui si è interessati. Come vedremo nel aragrafo successivo, sono i rendimenti lo strumento migliore er ogni analisi che si voglia fare sui titoli o ortafogli, in quanto verificano tutte le rorietà necessarie, come la stazionarietà. Il roblema della misurazione del rendimento di un investimento finanziario è un roblema di scelta e di calcolo di una media. In generale, una media viene definita come utile "riassunto", o "caratteristica sintetica" di qualcosa di iù comlesso, in una logica funzionale, e di "risondere a un dato scoo". Quindi, non si uò dire (in assoluto) se una media è migliore di un'altra, se non nel senso che risonde meglio dell'altra allo scoo dichiarato. Per la definizione dell'indice t 28

30 di rendimento vale la stessa logica (come visto rima), quindi non è ossibile definire un indice come il migliore in tutti i sensi, a rescindere dalle finalità secifiche. In articolare l'indice di rendimento time-weighted (dei rendimenti giornalieri, o delle quote) è adeguato al fine di confrontare il rendimento di un fondo con il rendimento del benchmark, rescindendo dall'effetto dei volumi investiti (abilità del gestore); l'indice money-weighted lineare consente invece, di misurare aroriatamente il rendimento di eriodo, tenendo conto delle movimentazioni, nella logica del tasso interno RISK-FREE E EXTRARENDIMENTI Per le analisi che vogliamo condurre è necessario un titolo non rischioso oltre a quelli rischiosi. Il rendimento risk-free è definito dalla data di acquisto, anche se in realtà tale titolo viene di solito identificato mediante un deosito bancario o un obbligazione a breve termine. Un risarmiatore, ovviamente, uò decidere di scegliere ad investire una arte della roria ricchezza nel titolo non rischioso, tenendo resente le quote di ricchezza investite nel titolo risk-free e quelle nei titoli rischiosi, allora ossiamo scrivere: r = w r + w' r (1.4.12) dove, la somma di tutte le quote deve sommare a 1: + i' w = 1. Mediante alcuni assaggi semlici ossiamo ottenere la relazione esistente tra il rendimento del ortafoglio e il risk-free, inoltre riconosciamo la arte dei rendimenti in eccesso risetto al titolo non rischioso: z o o r1 ro = r ro =... = w' z (1.4.13) ri r o Sottraendo il risk-free a entrambe le arti si ottengono gli extrarendimenti, li indicheremmo con z, del ortafoglio in funzione degli extrarendimenti dei titoli rischiosi. Il valore atteso dell extrarendimento di un titolo rischioso è chiamato remio al rischio in quanto raresenta il comenso atteso er il rischio incorso w o 29

31 detenendolo al osto di un titolo non rischioso. Dato che il risk-free, r o, non è stocastico, il suo valore atteso e la varianza degli extrarendimenti sono dati da: e µ = E( z ) = µ r r i' (1.4.14) r o Σ = Var( z) = Σ (1.4.15) Si nota che: a causa delle fluttuazioni del risk-free nel corso del temo, le varianze e covarianze camionarie degli extrarendimenti non coincidono con quelle dei rendimenti, quindi è facile verificare che la differenza è molto iccola se la variabilità nel temo del titolo rivo di rischio è iccola risetto al rendimento dei titoli rischiosi. Segue che, la differenza fra i momenti secondi emirici di r e z non è significativa. I rendimenti e gli extrarendimenti devono verificare alcune iotesi er oter avere validità sulle analisi che si vogliamo svolgere, alcune di queste sono: I) entrambi devono essere realizzazioni indiendenti rovenienti dalla stessa distribuzione normale multivariata; II) il valore atteso dei dati varia nel temo e questo ci orta ad avere un immagine distorta della redditività attesa dei titoli, una soluzione a questo roblema è interretare i rendimenti attesi come somma del rendimento riskfree e del remio al rischio, quindi la variabilità è dovuta interamente alle oscillazioni del risk-free; III) i rendimenti calcolati con la caitalizzazione continua corrisondono, a meno di una costante additiva, agli errori. Iotesi diverse sulla distribuzione e sul grado della diendenza dei rendimenti consecutivi equivalgono a considerare versioni alternative del random walk. Bisogna conservare erò, l iotesi di rendimenti IID e asintoticamente normali. IV) alla fine, ma non meno imortante, è l analisi di correlazione tra i rendimenti contemoranei di titoli diversi. Infatti la correlazione fra titoli uò essere iù o meno forte, i rendimenti delle azioni di due società che oerano nello stesso settore, ad esemio, tendono a essere iù correlate di quelle di società che oerano in settori diversi, con correlazioni che evolvono durante il ciclo macroeconomico. 30

32 CAPITOLO 2 CML, CAPM E INDICI DI PERFORMANCE In assato, cioè circa fino agli anni '50 l'asetto del rischio di un investimento finanziario non veniva eslicitamente considerato, e anche se questo veniva fatto, lo si affrontava solo dal unto di vista qualitativo. Soltanto doo alcuni anni, si ha la nascita della Moderna Teoria del Portafoglio, che fa riferimento essenzialmente al contributo di H. M. Markowitz. Infatti, è rorio Markowitz a dare inizio all analisi quantitativa a artire dai modelli media-varianza. I modelli successivi sono stati sviluati er misurare e dare un rezzo al rischio e quello iù noto è il Caital Asset Pricing Model (CAPM) di Share, di cui arofondiremo le conoscenze in questo caitolo. Vedremo inoltre, quanto sia imortante analizzare un fondo in un ottica bidimensionale dato che, tra rendimento e rischio esiste una relazione diretta. Questo significa che, il gestore uò ottenere rendimenti semre iù elevati incrementando in modo rogressivo il livello di rischiosità del ortafoglio gestito, ma d'altra arte aumenta anche la ossibilità di andare incontro a erdite semre iù consistenti. Ultimamente invece, si discute molto sulla relazione di trade-off esistente tra rendimento e rischio, cioè se il rendimento identifica quella misura che il risarmiatore cerca di massimizzare, il rischio all'oosto è una misura che i gestori cercano di minimizzare. Il confronto tra i vari strumenti finanziari e quindi tra diversi fondi comuni, vedremo che viene semlificato con la nascita delle misure Risk-Adjusted Performance Measures (RAPM) oggetto, anche queste misure, di arofondimento in questo caitolo. 2.1 CML, MODELLO DI MARKOWITZ 31

33 Sono gli anni cinquanta, quando Harry Markowitz diede origine alla teoria del ortafoglio, che diventerà nota, in seguito, come la teoria moderna del ortafoglio. L obiettivo dell analisi era la valutazione delle attività finanziarie, la quale si doveva basare su due arametri: rendimento e rischio. Da allora, anche se sono assati molti anni, iù di mezzo secolo, l obiettivo dell analisi non è cambiato erò, dall altra arte le analisi di valutazione delle attività finanziarie, come ad esemio: er i fondi, si sono modificate, migliorandosi (come vedremo nei aragrafi che seguono), anche se i concetti base sono semre quelli di Markowitz. Il modello roosto da Markowitz è caratterizzato da un orizzonte temorale monoeriodale e fa riferimento ai modelli statistici media-varianza, assumendo come variabili il rendimento atteso del ortafoglio E(r) o media dei rendimenti dei singoli sottoeriodi e la rischiosità legata al ortafoglio, assunta ari alla varianza del rendimento del ortafoglio Var(r). Il rocesso di selezione del ortafoglio ottimale P* roosto da Markowitz uò essere riassunto in tre fasi: i ) Searazione dei ortafogli efficienti dai ortafogli inefficienti in base al criterio del rendimento medio e della varianza, o meglio sono definiti ortafogli efficienti l insieme di tutti i ortafogli che er ogni livello di rendimento atteso minimizzano il rischio, misurato dalla varianza del rendimento e definendo una "frontiera efficiente". La curva raresentata da tali unti è identificata da tutte le scelte ottimali di investimento. ii ) L individuazione delle curve di "isoutilità", o meglio della secifica funzione di utilità dell'investitore risetto ai ortafogli, tenendo resente il suo grado di avversione al rischio. iii ) Infine, si ha la determinazione del ortafoglio iù adeguato, che deve soddisfare la combinazione rescelta dall'investitore ed è definita graficamente dal unto di tangenza tra frontiera efficiente e sistema delle curve di isoutilità. La resenza del ortafoglio r f, il cosi detto Risk-free, definito da James Tobin nel La novità che accomagna l introduzione del ortafoglio risk-free, stà nell aggiungere al modello media-varianza un'attività_f, dal rendimento certo e rischio nullo, Var( rf ) = 0. Di conseguenza, si ha che il ortafoglio ottimale viene individuato dal unto di tangenza tra la curva della frontiera efficiente e la r f 32

34 "caital market line", cioè la retta che interseca l'asse delle ordinate in corrisondenza del tasso r f e la cui inclinazione ositiva raresenta il "remio er il rischio". Arofondiremo questo argomento nei aragrafi successivi tenendo resente che, l'esistenza di un titolo risk-free è una delle affermazioni fondamentali alla base del CAPM e basandosi anche sull'iotesi di asettative omogenee da arte degli investitori, elimina l'asetto soggettivo nella determinazione del ortafoglio ottimo. La ricerca ha fato veramente tanto negli ultimi anni, introducendo metodi e strumenti nuovi er la valutazione delle attività finanziarie, anche se i rincii base da cui hanno origine sono semre quelli, e tutto questo lo si deve rorio alla teoria di Markowitz. Oramai, è ossibile avere un ordinamento totale nella classificazione dei ortafogli rischiosi, evidenziando l'esistenza di un raorto di correlazione tra un determinato titolo e le variazioni dell'indice di mercato, nel senso che: mentre una arte del rendimento è da attribuire esclusivamente allo secifico titolo, la arte restante del rendimento comlessivo dello stesso è siegabile attraverso la relazione con il mercato. La ossibilità di classificare i ortafogli ci ermetterà anche di valutare la erformance delle attività finanziarie COSTRUZIONE DELLA CML E FE L analisi della valutazione del ortafoglio è diventata recentemente uno degli argomenti iù studiati nell econometria dei mercati finanziari. In questo aragrafo analizzeremo alcuni dei fattori rilevanti legati alla costruzione della frontiera efficiente. Suoniamo che, un risarmiatore decida in data 0 come investire la roria ricchezza W(0) fino a data 1, scegliendo fra un titolo non rischioso e I titoli rischiosi. La sua ricchezza alla data 1 sarà ari a: ' ' W = W (1 + w r + w r) = W (1 + r + w ) (2.1.1) z 33

35 dove: r 0 w w = vettore quote (I 1)titoli rischiosi r = vettore rendimenti (I 1)titoli rischiosi z = (r r w 0 0 = rendimento = quota 0 titolo titolo non ) = vettore ' = (1 ι w) = quota non rischioso extrarendi menti (I 1) dei titoli investita rischioso nel nel rotafogli o titolo nel ortafogli o non rischioso rischiosi Alla data 0, si decide ovviamente la quota da investire (w) invece la ricchezza che avremo a data 1, è incerta (W(1)). Assumiamo, lo si ha er definizione, che i mercati siano erfetti, nel senso che: non esistono imoste; non esistono costi di transazione; non esistono vincoli alla vendita allo scoerto o al frazionamento dei titoli. La referenza dell investitore sulla ricchezza futura sono descritte dalla sua funzione utilità U(W(1)). Il roblema dell investitore consiste nel determinare w in modo da rendere massima l utilità attesa E[U(W(1))]. Markowitz ha fornito una soluzione eslicita, basata sull iotesi che l utilità attesa sia una funzione dei rimi due momenti della distribuzione di W(1): E[ U( W1 )] = E( W1 ) η Var( W1 ) (2.1.2) dove η raresenta un arametro ositivo che riflette l avversione al rischio. Questa esressione non è altro che l utilità attesa, funzione crescente del valore atteso della ricchezza futura e decrescente della varianza futura. L iotesi di utilità attesa media-varianza vale se la funzione di utilità è quadratica: 2 U ( W1) = W1 η W1 (2.1.3) La formulazione, sora scritta, viene considerata imlausibile in quanto imlica avversione assoluta al rischio crescente. Tale roblema erò, trova un rimedio da Chamberlain nel Infatti, lui mostrò che l analisi media-varianza è valida er qualsiasi funzione di utilità se la sua distribuzione dei rendimenti è di tio ellittico, o meglio dirsi: si assume la normalità er i rendimenti e si uò dimostrare che la distribuzione normale multivariata è un caso articolare della distribuzione ellittica. Un'altra affermazione si riferisce all utilità attesa media-varianza che raresenta un arossimazione della vera utilità attesa, qualunque essa sia e lo si 34

36 dimostra utilizzando lo sviluo in serie di Taylor al secondo ordine risetto a W 1 in un intorno di W 0. ha: In base alla ricchezza futura e alla funzione di utilità attesa media-varianza si ' E W ) η Var( W ) = W (1 r ) + W [ E( w z) ηw Var( w )] (2.1.4) ( z La soluzione di questo roblema diende dalla variazione di ηw 0 σ² e µ, livelli obiettivi di varianza ed extrarendimento atteso: w = arg max[ E( w z)] * s. v. Var( w z) =σ w e 2 = κ e anche di w * = arg min[ Var ( w z)] w (2.1.5) s. v. E( w z) = µ matricialmente: w * = arg s. v. w µ = µ min [ w Σw] w (2.1.6) La soluzione dell ottimizzazione vincolata deriva dalla costruzione della funzione lagrangiana: Si ottiene che: da cui si ha: L w, λ) = 1 w Σw λ( w µ µ ) (2.1.7) ( 2 w w * 0* = λσ 1 µ = 1 ι w * (2.1.8) µ = (2.1.9) µ ' Σ µ λ * 1 Qualunque sia l extrarendimento atteso obiettivo,µ, le quote dei titoli rischiosi nei ortafogli ottimali sono roorzionali a Σ-¹*µ. Al variare di µ e quindi di λ*, viene definita la frontiera dei ortafogli efficienti, cioè l insieme di tutti i ortafogli che er ogni livello di rendimento atteso minimizzano il rischio, misurato questo dalla varianza del rendimento. Si ha: µ σ = ± (2.1.10) 1 / 2 ) 1 ( µ Σ µ L asse orizzontale misura lo scarto quadratico medio σ dell extrarendimento e quello verticale misura il valore atteso µ, cioè si ha una coia di rette che si intersecano nell origine. Ovviamente solo quella individuata dal segno ositivo raresenta ortafogli scelti da un investitore razionale, (σ,µ) è una semiretta, chiamata Caital Market Line (CML): µ = s * σ (2.1.11) 35

37 Tale risultato raresenta la relazione tra rischio e extrarendimento atteso, valido er i ortafogli e i titoli efficienti in senso media-varianza. La endenza è definita come erformance di Share (1966) dei ortafogli efficienti data da: 1 2 µ = ( µ Σ µ 1/ = σ s (2.1.12) * ) Tutti i ortafogli aartenenti alla frontiera efficiente hanno erformance di Share s* e osso ottenerli combinando fra loro due ortafogli efficienti: 1.) il ortafoglio che contiene solo il titolo non rischioso (To); 2.) e il ortafoglio che contiene solo titoli rischiosi (M). Risultato questo noto come, teorema di searazione di due fondi (Tobin, 58). La semiretta che arte da To e assa er M è la frontiera dei ortafogli efficienti in resenza di un titolo non rischioso, To nullo (vedi Figura 2.2.1). Figura 2.2.1: Caital Market Line senza risk-free, To nullo (Fonte: Pastorello. S., Rischio e Rendimento, ca.2, ag.55) I ortafogli aartenenti alla frontiera efficiente comresi fra To e M investono una quota ositiva di Wo in entrambi, mentre quelli a destra investono una quota negativa di Wo nel titolo non rischioso, o meglio si indebitano al tasso ro e investono il ricavato e la ricchezza iniziale in M. I due ortafogli sono comosti: T o : w 0T = 1, w 0, µ 0, σ 0 0 T = 0 T = 0 T = (2.1.13) / 2 w* µ Σ µ ( µ Σ µ ) M : w 0 M = 0, w M =, µ M =, σ = 1 M 1 (2.1.14) ι w ι Σ µ ι Σ µ * Titoli e ortafogli non efficienti sono raresentati da unti situati al di sotto della CML. La osizione della frontiera efficiente o la comosizione teorica dei ortafogli efficienti sono funzioni non lineari dei rimi due momenti della 36

38 distribuzione degli extrarendimenti e sono erciò ignoti. Il modo iù conveniente e naturale è quello di sostituire i momenti emirici stimati sulla base di una serie storica con quelli teorici. Dato che i momenti camionari sono stimatori consistenti dei momenti teorici e che sono trasformazioni continue dei momenti teorici di z, il teorema di Mann e Wald garantisce che le stime ottenute sostituendo i momenti emirici a quelli teorici sono anche esse consistenti. In questa analisi, non tutte le combinazioni di attività rischiose sono ossibili, ma esistono sotto alcuni vincoli: i = 1 I i.) vincolo di ammissibilità: w = 1 (2.1.15) ii.) alcune combinazioni sono dominate risetto ad altre, hanno lo stesso rendimento ma varianze inferiori; iii.) infine, l insieme dei ortafogli efficienti (non dominati) si ottiene come soluzione del roblema di ottimo: min w w Σ w s. v. w ι = 1 w µ = µ i (2.1.16) Si minimizza il rischio (che si accetta di soortare) e in modo equivalente si massimizza il rendimento atteso, er un fissato livello di rischio. Un risultato imortante è il seguente: al variare del rendimento atteso del ortafoglio, la varianza è figurata da una arabola nel iano (µ,σ²) e da un ierbole nel iano (µ,σ); anche se, in generale la frontiera efficiente è raresentata nel iano (σ,µ) ed è quella maggiormente utilizzata. In resenza di titolo non rischio, si suone che il rendimento r f = risk_free (To è diverso da zero), abbia le rorietà elencate sora. La resenza del titolo riskfree risulta articolarmente imortante er il ortafoglio di tangenza (P*) e il roblema di ottimo diventa (non esiste il vincolo di ammissibilità, Figura 2.2.1): min w s. v. _ w Σ w w µ + w ( µ ι r f ) + (1 w ι ) r r f = µ P f = µ P (2.1.17) All aumentare del numero I di titoli rischiosi la frontiera efficiente si allarga rendendo ammissibili nuove combinazioni di rischio e rendimento, ma queste diendono dalle varianze e dalle correlazioni esistenti tra i vari asset. 37

39 Figura : Caital Market Line con titolo non rischioso (Fonte: Pastorello. S., Rischio e Rendimento, ca.2) All aumentare del numero degli asset si hanno maggiori ossibilità di diversificazione che ermetteno di oter raggiungere combinazioni di rischio e rendimento in recedenza non efficienti. 2.2 CAPM: REGRESSIONI IN SERIE STORICA Quanto visto nel aragrafo recedente è considerato come il unto di artenza er la costruzione del CAPM, infatti l analisi media-varianza di un titolo non rischioso insieme ai seguenti resuosti ci ermettono di definire il CAPM: a) a data 0 i risarmiatori decidono come investire la loro ricchezza fino a data 1; b) si ha a disosizione un titolo non rischioso e I titoli rischiosi, con vettore di extrarendimenti z di valore atteso µ e matrice di varianza ; c) i mercati sono erfetti; d) ogni individuo uò investire o indebitarsi senza vincoli nel r f ; e) ogni agente ha come utilità attesa media-varianza (con avversioni al rischio diverse), e esiste un numero elevato di investitori rice-taker, cioè le loro azioni non hanno effetto sulle quotazioni; 9 creato in Immagine-Paint; 38

40 f) infine, gli investitori hanno le stesse asettative er µ e. Tutte queste iotesi sono sufficienti er assicurare l esistenza di una frontiera dei ortafogli efficienti in senso media-varianza, uguale er tutti i risarmiatori. Suoniamo che e, sia un ortafoglio aartenente alla frontiera efficiente teorica, la sua comosizione risetto al titolo non rischio è data da: w e con = k Σ : k = dove k è un coefficiente di roorzionalità. Con alcuni assaggi si ha che: 1 µ σ µ 2 e e (2.2.1) µ = 1 k Σw e (2.2.2) quindi, gli extrarendimenti attesi dei titoli rischiosi sono roorzionali alla covarianza fra z e l extrarendimento z(e) del ortafoglio e: Cov( z, z ) = Cov( z, w z) = Var( z) w = Σ w (2.2.3) e e Gli extrarendimenti attesi di tutti i titoli sono roorzionali alla risettiva covarianza con qualsiasi ortafoglio sulla frontiera efficiente teorica. Se è un ortafoglio qualsiasi comosto da un titolo non rischioso e titoli rischiosi allora w() indica la sua comosizione risetto ai titoli che lo comongono. Con alcuni calcoli e assaggi si ha che il ortafoglio e è caratterizzato da: 1 2 µ e = σ e k con β e = dove 1 σ 2 e Σ w e e µ = β e µ e e (2.2.4) Valutando il titolo i_esimo e er un qualsiasi ortafoglio a cui si è interessati si ha: σ = (2.2.5) σ e e µ i β µ e dove β i = Questa è una relazione lineare, senza intercetta, fra l extrarendimento atteso di qualsiasi titolo o ortafoglio e il risettivo β risetto a un ortafoglio efficiente qualsiasi; o meglio dicasi, misura il rischio di un titolo con la sua covarianza risetto a un ortafoglio sulla frontiera efficiente teorica. Il tutto si uò verificare emiricamente, anche se ci si trova molto sesso a dover affrontare due rinciali ostacoli: la relazione tra momenti teorici e il ortafoglio e deve aartenere alla ie 2 e 39

41 frontiera efficiente teorica. Quindi, er verificare la relazione (2.2.5) usiamo i momenti emirici e un ortafoglio sulla frontiera efficiente emirica, l iotesi di una relazione di roorzionalità fra extrarendimenti attesi e beta viene automaticamente accettata. La validità emirica si ha soltanto mediante una teoria economica, basata su iotesi sulementari, in modo che venga individuato a riori un ortafoglio sulla frontiera efficiente teorica a artire dalle condizioni di equilibrio tra domanda e offerta sul mercato dei titoli. Punto di artenza è la determinazione delle domande di titoli da arte dei singoli investitori, risetto alle loro referenze descritte da una funzione utilità attesa quadratica (media-varianza) nel iano (σ,µ), dove le curve di indifferenza associate a un livello di utilità data, sono raresentate da un fascio di arabole. Al crescere dell utilità attesa, le arabole si sostano verso l alto evidenziando combinazioni di extrarendimento atteso e rischio che garantiscono un livello di utilità attesa sueriore. Essendo l obiettivo dell investitore nel massimizzare la roria utilità attesa, la soluzione è data geometricamente dal unto di tangenza tra la frontiera efficiente in resenza di un titolo non rischioso e la curva di indifferenza iù alta ossibile. L offerta aggregata di titoli rischiosi è costituita dalle quantità di titoli fisicamente disonibili sul mercato, mentre il titolo non rischioso ha offerta netta nulla, cioè il suo rendimento si aggiusta er uguagliare domanda e offerta di restiti. La condizione di equilibrio tra domanda e offerta di titoli rischiosi imlica che il ortafoglio di mercato (con le sue quote) coincida con il ortafoglio di tangenza M, situato sulla frontiera efficiente teorica. Con una semlice sostituzione delle notazioni si ha: σ µ i = β i µ M dove β i = (2.2.6) σ Quanto ricavato va sotto il nome di Security Market Line (SML) ed è la rinciale formula del CAPM. β(i) misura il rischio sistematico di un titolo, non diversificabile erché legato alle fluttuazioni del mercato ed è remunerato con un extrarendimento atteso ositivo. La formula (2.2.5) si verificata emiricamente solo se si identifica a riori un ortafoglio aartenente alla FE. L unica imlicazione verificata del CAPM è che il ortafoglio di mercato sia efficiente in senso media-varianza, quindi la verifica emirica richiede necessariamente la conoscenza della comosizione del ortafoglio di mercato, o di una serie storica im 2 M 40

42 dei suoi extrarendimenti. Infatti, Roll nel 1977 osservò che: il ortafoglio di mercato contiene tutti i titoli rischiosi accessibili agli investitori (azioni, obbligazioni, oere d arte, immobili, ecc) e er questo motivo al suo osto viene di solito utilizzato un ortafoglio m, iù limitato, costituito normalmente da un indice azionario. Il ortafoglio m, non è altro che una roxy del vero ortafoglio di mercato e non consente di trarre alcuna conclusione sulla sua efficienza in senso media-varianza. Secondo Roll, qualsiasi roxy ben costruita è con ogni robabilità altamente correlata sia con il vero ortafoglio di mercato M e anche con un ortafoglio sulla FE emirica. L efficienza di m è dunque confermata: a) dalla validità del CAPM; b) oure da una elevata correlazione con il ortafoglio sulla FE. Invece, un motivo di rifiuto dell iotesi di efficienza di m otrebbe essere data da: i) una bassa correlazione con M; ii) oure la non validità del CAPM. Di conseguenza si ha che, la critica di Roll raresenti un grande ostacolo alla verifica emirica del CAPM ed è uno strumento estremamente interessante nei casi in cui sia necessaria una misura della relazione tra rischio e rendimento atteso di un titolo o un investimento. La verifica del CAPM emiricamente è stato originariamente suggerito da Black, Jensen e Scholes (1972). Si considera un titolo i qualsiasi e er questo lo si valuta un modello di regressione lineare semlice: dove: E[ u i i it β = z σ σ im 2 m i mt ] = 0 α = µ β µ i m z = α + β z + u (2.2.7) it e Var [ u i it z mt i mt ] = w con t = 1,,T (indice temorale) e in forma matriciale si ha: t 2 i it (2.2.8) α + z mt u t (2.2.9) z = β + ( Ix1 ) ( Ix1 ) (Ix1) ( 1x1 ) ( Ix1 ) Mentre, β è dato dal suo vero valore, α er il CAPM scritto sora imlica che sia nullo. Gli stimatori MQO di questi arametri sono dati da: 41

43 αˆ βˆ i i = z = i σˆ σˆ βˆ im 2 m i z m (2.2.10) I valori trovati non sono altro che i corrisondenti emirici dei valori teorici dei arametri. In articolare il rimo è l alha di Jensen (di cui arleremo in seguito) e raresenta una stima della remunerazione attesa del titolo i non giustificata dalla sua esosizione al rischio di mercato, questa è anche definita come una misura della erformance di ortafogli gestiti, oggetto di studio nei aragrafi successivi. Le rorietà dei due arametri ricavati vengono di solito derivate assumendo extrarendimenti ( it mt z, z )' realizzazioni indiendenti e identicamente distribuite (IID) tratte da una distribuzione normale bivariata. Su queste basi la distribuzione degli stimatori è: ˆ α i z ˆ β i m α i ~ N ; β i w T 2 i 2 z m ˆ σ m 2 z m 2 ˆ σ m 2 z m 2 ˆ σ m 1 ˆ σ 2 m (2.2.11) dove la matrice di varianza si riferisce al caso con errori omoschedastici. Per verificare l iotesi nulla Ho: α = 0 associata alla validità del CAPM, o altre i iotesi lineari su questi arametri, ossiamo utilizzare la statistica test t: t ˆ α i ~ t (0,1) 2 2 1/ 2 T 2 N wˆ [(1 + z / ˆ σ ) /( T 2)] = i m m (2.2.12) e er T grande, la statistica test è arossimata ad una normale standard. Se gli extrarendimenti z, z )' sono IID ma non normali, la distribuzione dei due ( it mt arametri e la statistica test recedentemente scritta valgono soltanto come arossimazioni er T sufficientemente grande. In riferimento a quanto visto è da notare che le rorietà di extrarendimenti IID normali uò essere valida er osservazioni di frequenza mensile, ma con osservazioni a frequenza iù elevata è difficilmente accettabile. Le violazioni di queste iotesi ossono essere accertati utilizzando statistiche test diagnostiche come: i) in caso di eteroschedasticità, uò essere utile calcolare la varianza degli stimatori dei MQO con la formula di White, oure ricorrere a uno stimatore robusto risetto a violazioni degli assunti sugli errori come GMM di Hansen; 42

44 ii) in caso di autocorrelazione, si valuta il test di Ljung-Box er valutare l iotesi nulla di assenza di autocorrelazione seriale dei rendimenti e degli extrarendimenti; iii) in caso di medie nulle, iotesi interessante er lo studio effettuato, si fa riferimento alla statistica test t ; iv) infine, in caso di normalità dei rendimenti e extrarendimenti, l iotesi nulla è verificata mediante il test di Jarque-Bera. Per limitare la variabilità dei arametri nel temo è consuetudine stimare i arametri su camioni da 5 a 7 anni. Infine, sottolineiamo l imortanza che assume il coefficiente di determinazione R², che misura il grado al quale la erformance di un fondo sia correlato ad un benchmark esterno. Per la rorietà dei MQO la varianza camionaria totale degli extrarendimenti è scomosta da: I ) rischio sistematico, legato alle oscillazioni di z(m) del titolo i; II ) rischio secifico, che uò essere limitato er diversificazione. In base a tali comonenti l indice di determinazione R² uò essere scritto come: R ˆ 2 2 w = 1 i 2 σˆ i βˆ = σˆ 2 2 i m 2 σˆ i (2.2.13) Questo indice è interretabile come, la stima della ercentuale di rischio sistematico sul rischio comlessivo del titolo i_esimo. Ad esemio: se un fondo di azioni ordinarie resenta un R² = 0.79 in relazione ad un indice S&P1500, questo significa che il 79% del comortamento storico del fondo è attribuibile ai movimenti dell indice S&P STRATEGIE DI GESTIONE DEL PORTAFOGLIO La crescita esonenziale del risarmio gestito è stata accomagnata da un notevole interesse anche verso tutte le roblematiche ad esso connesse, sia da arte della letteratura finanziaria e sia dal mondo dell'informazione. Attualmente dati e 43

45 ricerche, con frequenza quotidiana vengono resi noti da stame secializzate e da soggetti istituzionali qualificati er lo studio della gestione collettiva delle attività finanziarie. Negli ultimi anni, una quota rilevante della ricchezza dei aesi economicamente sviluati (e non) non è investita solo in titoli altamente rischiosi, ma affidata a investitori istituzionali che amministrano Sicav, fondi ensione, fondi comuni d'investimento (rotagonisti indiscussi della mutata comosizione del atrimonio mobiliare delle famiglie americane e non solo) hedge fund, ecc. Mediante la valutazione della erformance si cerca di cogliere, insieme agli studi recedenti sul tema della gestione dei ortafogli, il contributo delle innumerevoli analisi emiriche condotte da società di rating, organismi di vigilanza e media. Le analisi si svolgono semre con l'ottica della tutela dell'investitore, con articolare riguardo al rofilo della trasarenza. Inoltre, risulta fondamentale la scelta del benchmark di riferimento er la valutazione della erformance, in quanto er caire l andamento del fondo e lo stile di gestione in un determinato arco di temo questo deve essere confrontato con un determinato benchmark. Il benchmark, non è altro che un indice o un insieme di indici che sintetizza l andamento e le oortunità dei mercati in cui investe il fondo, in altre arole costituisce un arametro di confronto dell andamento del fondo comune. Semre il gestore è obbligato ad indicare 10 il benchmark che è stato usato er ciascun fondo gestito. La strategia di gestione di un ortafoglio uò essere classificata come: a) Gestione assiva: in tal caso la comosizione del ortafoglio viene scelta sulla base di un obiettivo già restabilito, come la relicazione di un indice, limitando al minimo il numero e il volume delle transazioni. L obiettivo del gestore è quello di relicare esattamente il benchmark e l extrarendimento di tale ortafoglio è determinato unicamente dalla sua esosizione al rischio sistematico. b) Gestione attiva: in questo secondo caso, la comosizione del ortafoglio ha come obiettivo, quello di avere un rendimento medio sueriore a quello di un indice definito dal gestore. Quindi, lo scoo è quello di battere il benchmark mediante un accurata selezione dei titoli oure anticiando le oscillazioni del loro valore. I maggiori costi (di analisi e di transizione) di 10 all interno del rosetto informativo; 44

46 questa gestione sono giustificabili solo se l intermediario è in ossesso di informazioni non comletamente riflesse nei rezzi e che li consentono di realizzare un extrarendimento atteso sueriore a quello associato all esosizione al rischio sistematico. L extrarendimento atteso addizionale è la erformance del ortafoglio attivo, ed è vista a volte come la differenza fra il suo remio al rischio e quello del ortafoglio assivo a lui iù simile. Tale olitica di gestione mira a una concentrazione del gestore nell attività di stock selection e nell attività temistica degli interventi sul mercato, market timing. L investitore si reoccua revalentemente delle reali caacità del money manager di creare extraerformance: solo se il gestore è in grado di trarre dalle informazioni in suo ossesso, come elementi di revisione sull'andamento dei mercati tali da garantire al ortafoglio da lui gestito una erformance sueriore a quella del benchmark (al netto dei maggiori costi che la gestione attiva comorta), aare sensato delegare l'amministrazione del rorio atrimonio mobiliare. Gli studi di Eugene Fama hanno evidenziato come il tentativo di sfruttare le informazioni alla ricerca di "miss-ricing" sia essenzialmente un tentativo vano. In quanto, i mercati finanziari, almeno quelli iù evoluti, sono sostanzialmente efficienti nel senso che "rezzano" i vari titoli resenti sul mercato in modo da riflettere tutte le informazioni disonibili. Una versione meno "integralista" della teoria, riconducibile a Jensen sostiene che, anche qualora vi fossero "nicchie" (aree di inefficienza) nel mercato, la gestione attiva sarebbe comunque incaace di suerare, in termini di erformance, il mercato a causa dei costi di transazione. Diverse ricerche emiriche sembrano confermare tali affermazioni, le cui rinciali imlicazioni sono: la netta revalenza dell'asset allocation strategica quale fattore determinante della erformance di lungo eriodo dei ortafogli e la sueriorità della gestione assiva su quella attiva, legata ai maggiori costi della seconda. L individuazione del ortafoglio assivo diende essenzialmente dal fatto che sia nota la comosizione del ortafoglio attivo, altrimenti l analisi viene condotta sulla base degli extrarendimenti secondo l aroccio di Jensen. L aroccio di Jensen fornisce evidenze emiriche a sostegno della tesi secondo cui: i gestori non disongono di informazioni riservate che consentano loro di ottenere extraerformance. Infatti, Iolito nel 1988 riesce a dimostrare la 45

47 caacità dei fondi di battere il benchmark, ma non al netto dei costi di transazione e delle management fees (onorario). Risultati del tutto analoghi a questi ultimi sono ottenuti da Cesari e Panetta, anche se loro tendono a sottolineare come ulteriormente contro le resunte "suerior skills" (coloro che hanno abilità sueriori) dei money manager vi siano: la ossibile scelta di benchmark inefficienti con cui confrontare i ortafogli ed il fenomeno noto come "survivorshi bias" (selezione derivata dalla soravvivenza a certi fenomeni). I fondi con le eggiori erformance, vengono abbandonati dagli investitori, scomaiono (vengono liquidati o incororati) e inevitabilmente dei loro risultati negativi non si uò tenere conto ai fini statistici. Inoltre, Cesari e Panetta considerano un ulteriore asetto, cioè la scarsa ersistenza dei risultati. Non solo gli studi recedentemente citati e altri ancora iù emirici dimostrano come nella maggior arte dei casi i fondi gestiti attivamente abbiano rendimenti inferiori risetto al benchmark ed agli index funds. Inoltre, anche se vengono individuati i gestori che "battono" il mercato, tale evidenza sarebbe di scarsa utilità, dal momento che "i rendimenti assati non sono indicativi di quelli futuri" e alla luce del fatto che, con semre maggiore frequenza, i "money manager" si trasferiscono da una S.g.r. all'altra. Di conseguenza ossiamo affermare che, un'arofondita analisi della erformance non deve limitarsi a quantificare i livelli di rischio e rendimento, ma deve singersi fino all'individuazione delle comonenti dei risultati conseguiti e dell'aroccio all'investimento del money manager. In articolare, focalizziamo l attenzione sulla erformance attribution (o return attribution), la quale è definita come una metodologia emirica che consente di scomorre il rendimento comlessivo di un fondo in singole comonenti autonomamente identificabili nel rocesso di gestione di un ortafoglio. Tale rocesso si articola rincialmente in tre attività rinciali: i) Asset Allocation Strategica: tale attività ermette al gestore di definire il grado di secializzazione/diversificazione del ortafoglio. Il livello strutturale di rischio/liquidità e le aree in cui il fondo dovrà investire, suddividendo il atrimonio fra tiologie di titoli (azioni, obbligazioni, liquidità), aree geografiche e settori merceologici sulla base dell'orizzonte temorale rescelto, dei rendimenti attesi, del livello di rischio e delle correlazioni tra le 46

48 diverse tiologie di strumenti finanziari. In ratica, dalla combinazione di asset class elementari (viste nel rimo caitolo) è ossibile costruire infinite asset classes comosite (vedi Tabella 2.3.1). Dalla tabella riortata, si nota che l asset class Azionaria, one come obiettivo finale l incremento del caitale, cioè si attendono rendimenti alti a scaito di un rischio alto, calcolato secondo DS (deviazione standard o scarto quadratico medio) ari a 5.04, inoltre il temo dell investimento rientra tra quelli a lungo termine. Invece, l asset class Monetaria è definita la iù elementare in modo assoluto, in quanto fa riferimento ai cash flow velocemente liquidabili con un rischio bassissimo, intorno al 0.15 ed è soggetto ad un orizzonte temorale d investimento breve, infatti non suera l anno. Tabella 2.3.1: Caratteristiche della comosizione delle asset class elementari ASSET CLASS ORIZZONTE TEMPORALE IN MESI LIVELLO DI RISCHIO IN DS Monetaria Fino a 12 0,15 Obbligazionaria ,94 Bilanciata ,11 ESIGENZE D INVESTIMENTO fondo di scorta raidamente liquidabile, a breve termine fonte eriodica di reddito integrativo incremento del caitale con relievi occasionali Azionaria Oltre 60 5,04 Fonte: AreaBanca, incremento del caitale come unico obiettivo ii) Asset allocation tattica (market timing): in questo caso le classi di attività in analisi vengono sovraesate o sottoesate risetto ai esi normali, definiti nella fase recedente, al fine di migliorare il rofilo di rischio-rendimento del ortafoglio gestito. In altre arole, si cerca di anticiare i cambiamenti nelle variabili macroeconomiche. iii) Stock icking o security selection: tale attività anche se l ultima non è meno imortante risetto alle recedenti. Infatti, in questa attività sono favoriti alcuni titoli a discaito di altri, nell'ambito del eso comlessivo del ortafoglio destinato ad un certo mercato, attraverso vari modelli di analisi tecnica ed un analisi fondamentale sui singoli titoli. 47

49 Gli indirizzi strategici visti sora, cioè gli assets allocation strategici sono descritti in base alle norme del Regolamento del Fondo, che ne definiscono sia la tiologia e sia gli obiettivi generali del fondo stesso. Seguono inoltre, una serie di divieti e di limiti massimi che devono essere risettati negli investimenti. Se invece, consideriamo le scelte che vanno ad influenzare la comonente attiva, allora si ossono valutare due classi di strategie di gestione dei ortafogli e sono: I.) Aroccio To-Down: analisi che ci ermette di definire un ortafoglio in base alle analisi di tio macro, e hanno come obiettivo quello di fornire indicazioni legate all evoluzione dei mercati e dei settori o di analizzare i rischi che si ossono incontrare. In tal caso le varie aree in analisi sono tra loro correlate e contribuiscono alla definizione delle scelte strategiche d investimento. Ovvero, la selezione delle roorzioni d investimento nelle diverse aree geografiche viene effettuata artendo dall analisi delle variabili macroeconomiche che otrebbero influenzare gli andamenti dei mercati finanziari internazionali nel medio e lungo eriodo. II.) Aroccio Bottom-U: è invece, un analisi basata su singole imrese con l obiettivo di evidenziare le oortunità di rofitto. In generale, gli analisti che seguono tali strategie sono degli secialisti in un singolo settore, area o aese. Gli strumenti di analisi artono molto sesso dallo studio del bilancio (quindi da tutti gli indici economici), del osizionamento strategico delle imrese e anche del mercato nel quale oera (ad esemio: l imresa in esame). Quindi, vengono selezionati i titoli azionari che danno buone oortunità di rofitto sulla base dell analisi sia delle singole aziende e sia dei settori roduttivi a cui aartengono. La valutazione della erformance, nella sua comlessità, da sola non basta erché si basa su informazioni assate e saiamo che non esiste nessuna garanzia che questo si ossa rietere nel futuro, anche se le revisioni aiutano. Risulta molto imortante confrontare la erformance con i costi che si sostengono e sorattutto con il tio di rischio affrontato nello stile di gestione. Vedremo che, il modo iù semlice er la valutazione del rischio è misurare la volatilità, cioè l oscillazione della variazione ercentuale del valore della quota del fondo nel 48

50 temo. Il fondo migliore non è quello che ha conseguito elevati rendimenti medi, ma quello che ha conseguito elevati rendimenti medi in relazione al rischio. Mediante l uso delle misure RAPM, il confronto tra i vari assets classes risulta semlificato dato che l'informazione necessaria a valutare il fondo si basa sul trade-off rendimento/rischio. Nei aragrafi successivi vedremo che il fondo con la misura RAPM iù elevata risulta anche essere quello che ha ottenuto la erformance migliore nell'ambito della relazione esistente tra rendimento e rischio. Inoltre, anche se gli Stati Uniti hanno cominciato a studiare il roblema della valutazione della erformance verso la fine del 1960, sono erò tutt ora aerte le olemiche su quale sia la misura di erformance in grado di raresentare iù correttamente la distribuzione storica o rosettica dei rendimenti di un investimento. In effetti, nell imossibilità di individuare gli indicatori iù validi in assoluto, è almeno imortante che l'investitore selezioni gli strumenti che risultino il iù conformi ossibile all'obiettivo che si desidera raggiungere. Vedremo in seguito, cosa significa questo er i fondi comuni in analisi e quali indici sono maggiormente informativi. 2.4 DEFINIZIONE DELLA PERFORMANCE La erformance di Share er un ortafoglio lo abbiamo definito come: s µ = (2.4.1) σ e tale misurazione er la sua semlicità è definito come uno degli strumenti di valutazione della erformance iù utilizzati nella stama finanziaria. Il difetto rinciale è quello di correggere l extrarendimento atteso usando il rischio totale, questo lo rende una misura di erformance aroriata er un risarmiatore che investe tutta la roria ricchezza in un unico ortafoglio. Grinblatt e Titman (1989) considerano le origini della erformance di un ortafoglio attivo e le sue comonenti rinciali. I risultati ottenibili fanno 49

51 riferimento a due tiologie: una richiede la conoscenza della comosizione del ortafoglio, e l altra che non la richiede, ma che si basano sull esistenza di una relazione fra rischio e rendimento atteso er i ortafogli assivi. Sia z, vettore casuale degli extrarendimenti di I titoli rischiosi e suoniamo che l investitore decide da sé la comosizione dei esi (w) del rorio ortafoglio. Un investitore non informato non uò revedere z, la comosizione ottimale del suo ortafoglio diende dai momenti della distribuzione non condizionale di z. Suoniamo inoltre che, sia il ortafoglio di comosizione w, con extrarendimento e valore atteso di z dato da: z µ = = I i= 1 I w i z i I E ( w z ) = E ( w ) µ + i i i i i= 1 i = 1 i = 1 I Cov ( w, z ) i i (2.4.2) ( 1 ) ( 2 ) Come si uò vedere il valore atteso del ortafoglio è comosto da due arti: la rima: è definito come extrarendimento atteso del ortafoglio in corrisondenza della sua comosizione media; la seconda: è l extrarendimento atteso sulementare generato dalla relazione fra le quote w e gli extrarendimenti z. Per un ortafoglio assivo w (le quote) non sono aleatorie e solo il rimo addendo è diverso da 0. Mentre, in un ortafoglio attivo è visto come un tentativo di anticiare le fluttuazioni dei titoli e di modificare w in modo da generare extrarendimento atteso sulementare, o meglio dicasi la erformance di. La Formula raresenta la definizione generale della erformance di un ortafoglio e uò essere utilizzata solo se si conosce l evoluzione nel temo della comosizione di. Lo studio della erformance in questi casi arte rorio dalla relazione esistente tra rendimento e rischio, viste in recedenza. In seguito vedremo che, la erformance di un ortafoglio attivo uò essere identificata mediante la differenza fra il suo extrarendimento atteso e quello di un ortafoglio assivo con lo stesso rischio sistematico, dove il remio er il rischio dei ortafogli assivi è determinato solo dalla loro esosizione al rischio sistematico. In questo lavoro analizzeremo indici di erformance costruiti senza la necessità di conoscere la comosizione dei esi (w) e in base ad essi (a osteriori) 50

52 valuteremo una cluster analysis er i 50 fondi comuni d investimento statunitensi, ma rima definiremo il benchmark e le critiche che da semre accomagnano la scelta di tale indice, il quale è essenziale nella valutazione della erformance del ortafoglio SCELTA DEL BENCHMARK Quanto visto nei aragrafi recedenti, formule e sottolineano che, il rischio sistematico di un ortafoglio è misurato dai coefficienti della regressione lineare sugli extrarendimenti con variabili che arossimano le fonti di rischio non idiosincratiche. Per la valutazione della erformance nei ortafogli assivi vedremo che viene utilizzato come indice del rischio sistematico il benchmark. Il benchmark è un indice di mercato, riferito ad un determinato anierecamione e di solito utile a definire la olitica di gestione di un fondo comune er quanto riguarda: il tio di titoli acquistabili, la quota del atrimonio investita in ogni classe, il grado di rischio, il tio di gestione (attiva o assiva), ecc. In generale, affinché un indice (o una combinazione di indici) ossa essere validamente imiegato come benchmark, è ausicabile che ossieda le seguenti caratteristiche: Trasarenza: in quanto, gli indici devono essere calcolati con regole relicabili autonomamente dall'investitore. Raresentatività: è quindi imortante che le classi, nonché i titoli inclusi negli indici debbano riflettere le oortunità di investimento disonibili. Relicabilità: in teoria e così come anche in ratica, gli indici dovrebbero essere comletamente relicabili con attività acquistabili direttamente sul mercato. In seguito a un ragionamento simile, si che il confronto tra un ortafoglio costruito teoricamente e un ortafoglio in cui si ossa effettivamente investire, comorta una serie di roblematiche legate alla onderazione dei costi di gestione e alla tassazione. Ovviamente che, se il benchmark è costruito con attività realmente disonibili allora è ben raresentativo di una realistica misura di erformance. 51

53 Negli Stati Uniti, il benchmark è nato come uno strumento di confronto tra il risultato della gestione ed un arametro di riferimento del mercato (scelto ad hoc, cioè assets classes scelti in modo scruoloso), il tutto è svolto con la massima trasarenza attorno all informazione finanziaria. In Italia, non diversamente dal resto dei mercati finanziari mondiali, il benchmark a cui si fa riferimento detiene le stesse funzioni ed è definito in modo iù accurato dal Testo Unico. Molto sesso è necessario descrivere sinteticamente il benchmark adottato er ciascun fondo (o asset class)che si analizza e sorattutto si deve tenere resente che il arametro dove essere conforme ai rincii revisti dal Regolamento Consob. Le funzioni svolte dal benchmark sono diverse, ma tutte diendono dall obiettivo finale del gestore. Nel caso in cui non è ossibile er uno o iù fondi individuare un benchmark (ad esemio, er i fondi flessibili), occorre indicare le ragioni di tale imossibilità. Inoltre, nel descrivere lo stile gestionale, va indicata la relazione esistente tra arametro di riferimento rescelto come benchmark e l obiettivi del fondo. Infine, il benchmark uò essere utilizzato anche a fini di valutazione della qualità dei rodotti di investimento ed è corretto se e solo se si tiene resente il Regolamento della Consob. In articolare, in questo lavoro si farà riferimento alla definizione secondo la quale: il benchmark è un indice risetto al quale esiste una relazione esatta fra rischio ed extrarendimento atteso er tutti i ortafogli assivi, o meglio dicasi attribuisce erformance nulla a tutti i ortafogli assivi, quindi ogni ortafoglio collocato sulla FE teorica uò essere un benchmark. Se suoniamo che, b sia un ortafoglio aartenente alla FE, allora lo si considera come benchmark e er le rorietà dei ortafogli efficienti si ha: z i = β z i b + u Cov ( z i, z b ) β i = Var ( z ) b i (2.4.3) dove, i titoli sono semre i=1,,i e le media dell errore è nulla. In generale, l extrarendimento del ortafoglio è dato da: z β = β z = I b + u w β e u = i i i= 1 i= 1 I w u i i (2.4.4) 52

54 si nota che er un ortafoglio assivo β è costante e la media dell errore è nulla e in base al valore atteso degli extrarendimenti del ortafoglio si ha: µ = E β z ) + E( u ) = E( β ) µ + Cov ( β, z ) + E( u ) (2.4.5) ( b b b il tutto valutato senza la necessità di conoscere la comosizione di w. Il rimo addendo della formula è l extrarendimento atteso del ortafoglio in corrisondenza della sua esosizione media al rischio sistematico, mentre il secondo e il terzo raresentano l extrarendimento atteso sulementare generato risettivamente dalla relazione fra β e z b,e ure dal fatto che er certi titoli l extrarendimento atteso uò non coincidere con quello individuato dal risettivo rischio sistematico. In un ortafoglio assivo (er iotesi) il rimo addendo è diverso da 0 e tutto il resto è nullo, mentre in quello attivo la erformance generata dalla disonibilità di informazione rivata è generata dalla somma degli altri due termini, che sono: 1.) timing: che raresenta la caacità da arte del gestore di anticiare le oscillazioni del benchmark e di arofittarne modificando β(); 2.) selectivity: invece, raresenta la caacità di individuare i titoli collocati al di sora della relazione rischio e rendimento atteso definita da b. La erformance del ortafoglio attivo in comlessivo uò essere interretata come la differenza fra il suo extrarendimento atteso e quello di un ortafoglio assivo che ha in media la stessa esosizione al rischio sistematico. Come enunciato rima il ortafoglio b è collocato sulla FE dei ortafogli assivi, er questo motivo è considerato come un benchmark. Sotto iotesi di equilibrio sul mercato delle attività rischiose il ortafoglio di mercato M è un benchmark valido, ma come evidenziato da Roll (1977), M non è direttamente osservabile, quindi usiamo come roxy un ortafoglio m che uò non essere efficiente. Roll nel 1978 riuscì a dimostrare che, la graduatoria di un gruo di fondi sulla base della loro erformance uò essere comletamente sovvertita assando da un benchmark efficiente a uno inefficiente (e viceversa). Dalla evidenza emirica si è verificato che il benchmark raresenta il assaggio decisivo nella valutazione della erformance, come vedremo anche er i fondi comuni in analisi. Molto sesso si fa riferimento a un benchmark multivariato (comosto di extrarendimenti), il quale lascia sostanzialmente inalterata la validità della 53

55 erformance del ortafoglio a condizione di modificare leggermente le definizioni di timing e selectivity. In generale, si definisce con timing la caacità di revedere le comonenti sistematiche del rendimento (ortafoglio aartenente alla FE) e invece con selectivity la caacità di revedere la comonente idiosincratica degli extrarendimenti. Nelle analisi successive si farà riferimento a misure di erformance che richiedono la conoscenza di una serie storica di rendimenti, quindi anche degli extrarendimenti del ortafoglio attivo e del benchmark b. In base alle informazioni ottenibili dai rendimenti/extrarendimenti (a riori) e dal benchmark univariato, svolgeremmo un analisi sulla erformance dei fondi comuni d investimento statunitensi, ricordando che le abilità del gestore influenzano solo la selectivity e non il timing, er questa ragione valuteremo cosa avviene in assenza del timing. 2.5 MISURE DI PERFORMANCE SUI RENDIEMNTI Il calcolo dei rendimenti è solo una delle fasi della rocedura di valutazione della erformance degli investimenti. Nella rassi gestionale, il rocesso di valutazione è rofondamente cambiato negli ultimi decenni, rifondato sulla moderna teoria del ortafoglio, da un semlice calcolo di rendimento si è assati a una comlessa "misurazione congiunta" di rischio e di rendimento. Alla luce di quanto visto nei aragrafi recedenti assumiamo di esaminare un ortafoglio attivo con timing nullo, quindi come unto di artenza naturale er valutare la erformance è la regressione: z = α + β z + u (2.5.1) t er t = 1,,T ed errori er i quali valgono tutte le rorietà che rendono efficienti i MQO, e questa osservazione è verificata se le osservazioni di ( z, ) sono IID, t bt t t z bt cioè, realizzazioni indiendenti tratte dalla stessa distribuzione normale. Nella 54

56 formula 2.5.1, la selectivity coincide con la erformance ed è misurata da α cui vero valore è: [ µ β ], o meglio l extrarendimento atteso non giustificato µ b dall esosizione al rischio sistematico. Come abbiamo visto nella formula se il ortafoglio b è efficiente allora l alha di tutti i ortafogli assivi deve essere nullo, a condizione di misurare i rendimenti al lordo delle imoste, costi di transazione e commissioni varie. Invece, nel ortafoglio attivo α, il, l alha di Jensen, è diverso da zero se si hanno informazioni su come selezionare i titoli aventi un remio er il rischio sueriore a quello associato all esosizione al rischio non diversificabile. Nei aragrafi successivi valuteremo misure di erformance ricavabili dai modelli econometrici (regressioni lineari in base alla formula 2.5.1), con l iotesi di assenza del timing, e misure definite Ra (risk-adjusted erformance) MISURE DI PERFORMANCE BASATE SU MODELLI ECONOMETRICI Gli indici rinciali, informativi della erformance dei fondi, che si basano su modelli econometrici, cioè ricavabili mediante le regressioni lineari degli extrarendimenti costruiti in riferimento a un determinato risk-free e benchmark, sono due: l α di Jensen e il β di un fondo o ortafoglio di fondi. Vediamo in articolare come sono definite queste due misure di erformance e come ossiamo verificare la loro significatività, alla luce dei risultati del CAPM MISURA ALPHA DI JENSEN Nel 1968 l'economista Michael Jensen sviluò una misura di erformance basata su modelli econometrici al fine di analizzare l'abilità del gestore di un fondo d investimento. L idea di fondo è di revedere i rezzi futuri delle attività finanziarie in modo da determinare la caacità del gestore di selezionare i titoli 55

57 sottovalutati. Tale misura, comunemente è denominata come alfa di Jensen (α) ed è definita come: il rendimento incrementale o extrarendimento che un fondo di investimento ha rodotto risetto alla redditività che avrebbe dovuto offrire sulla base del suo livello di rischio sistematico, misurato dal β. Analiticamente l indice alha di Jensen è ottenibile mediante le regressioni lineari sui fondi: α r CAPM = r = r f r CAPM + β ( rb r f ) (2.5.2) Dove, r CAPM raresenta il rendimento che il fondo avrebbe dovuto offrire in base al rorio livello di rischio di mercato, nell'ambito del CAPM. Ricordiamo che secondo il CAPM, u(i) è indiendente da z(m) e la media degli errori è nulla. Quindi, un gestore qualificato dovrebbe scegliere fondi (o titoli) da inserire in ortafoglio in modo tale che: z = α + β z + u (2.5.3) ovviamente, α deve essere significativamente diverso da 0. I rodotti gestiti che resentano valori significativamente ositivi nel temo dell'alfa di Jensen (che uò essere esresso in termini ercentuali, risultando quindi di facile comrensione) significa che sono riusciti "a battere il mercato", cioè hanno rodotto un rendimento sueriore a quello atteso in base al rischio sistematico assunto. Segue in questo modo un certo extrarendimento determinato dalla caacità del money manager di osizionarsi con maggior eso sui titoli sottovalutati che comongono il benchmark da un lato, e dall'altro di ridurre l'esosizione verso le attività soravvalutate. Ma si ha un discorso oosto er i fondi di investimento caratterizzati da valori significativamente negativi nel temo dell'alfa, i cui gestori non si sono dimostrati articolarmente abili nelle scelte relative alla comosizione del ortafoglio. Si uò valutare la significatività di tale indice in base alla statistica test T confrontata con la t-student a (I-2) gradi di libertà. Il test va a verificare che l intercetta della regressione sia significativamente diversa da 0, cioè: αˆ Tα = 2 I 2 I 2 u i x i i= 1 i= 1 I 2 ( I 2 ) I ( x i x ) i= 1 m i t _ Student( I ) N( 01, ) er I > 30 (2.5.4) 56

58 Lo stesso test, lo ossiamo alicare anche er la verifica della significatività dell indice β, cioè ossiamo verificare se significativamente β è diverso da zero e oi se significativamente diverso da uno MISURA BETA DEL PORTAFOGLIO La moderna teoria del ortafoglio sostiene che il rischio maggiormente rilevante da considerare e er il quale l'investitore viene comensato non è quello comlessivo, misurato tramite la standard deviation, ma quello sistematico o di mercato, raresentato dal coefficiente denominato β (evidenzia la sensibilità del fondo risetto ai movimenti di mercato). Il rischio sistematico, β, costituisce la arte di rischio non diversificabile di un ortafoglio e raresenta la comonente di rischiosità che un otenziale sottoscrittore di un fondo comune dovrebbe maggiormente considerare. Uno dei fattori che rendono referibile un fondo risetto ad altre attività finanziarie è la riduzione del rischio ottenibile attraverso la diversificazione e il β viene utilizzato er misurare la sensibilità dei rendimenti di un asset (titolo o fondo) in relazione al mercato (indicato con m oure da un benchmark, b) e viene esresso dalla seguente formula oure ricavato dalla regressione lineare (vedi Formula 2.5.3): r i f β i (2.5.5) b r f = µ µ In funzione degli extrarendimenti ossiamo calcolare il β, come in funzione anche del ortafoglio di benchmark, b: ( zi zb ) ( z ) Cov, β i = (2.5.6) Var β è un indice non diversificabile, erché legato alle fluttuazioni del mercato, ma ci consente di oter classificare i fondi in base al suo valore soglia. I) β ~ 1: tiico dei titoli neutrali; II) β < 1: definisce i titoli difensivi; III) β > 1: caratteristico dei titoli aggressivi. I titoli che resentano un valore del beta sueriore a 1 tenderanno a salire, in condizioni favorevoli, e a scendere, in fasi avverse, iù raidamente risetto alle b 57

59 variazioni dell indice di mercato; un comortamento oosto caratterizzerà i titoli con beta inferiore a 1. Un ortafoglio di titoli con un beta elevato è dunque iù rischioso di un ortafoglio che contiene titoli con beta basso MISURE DI RAP - RISK ADJUSTED PERFORMANCE Il rischio degli investimenti, come visto anche sora, è distinto in rischio globale e in rischio sistematico non diversificabile, il noto β. Il rischio globale viene misurato con la deviazione standard dei rendimenti, Var( r i ), invece il rischio non diversificabile dal coefficiente "beta" della regressione dei rendimenti del ortafoglio sui rendimenti di un benchmark o del mercato. Analiticamente si ha: r i = r f i, b 2 Var ( r ) = β i + β ( r i, b b r f Var ( r b ) + e 2 ) + σ ( e i i i ) (2.5.7) La misura di erformance, in generale, è definita come raorto tra una misura di rendimento e una misura di rischio ed è quindi imossibile dal unto di vista logico scegliere una misura di erformance come standard unico, oiché ciascuna misura è adeguata a uno scoo articolare e orientata da un articolare unto di vista. Un aiuto rilevante arriva da una serie di indici denominati misure di riskadjusted erformance (RAP), indici questi che consentono l analisi dei risultati realizzati dai fondi (o titoli) considerando nello stesso temo sia il rendimento ottenuto e sia il livello di rischio assunto er raggiungere tale rendimento. La articolarità di queste misure è quella di dare una misura di rendimento rettificata er il livello di rischio che è stato assunto er ottenere tale risultato. La rettifica avviene raortando il rendimento del fondo alla sua rischiosità. Mediante queste misure il confronto tra i vari rodotti risulta semlificato, in quanto tutta l'informazione necessaria a valutare (in base al trade-off rendimento-rischio) il fondo di investimento è basato sul valore assunto dall indice. Il fondo con la misura RAP iù elevata risulta il migliore, siegabile questo dal fato che si è collocato sulla migliore osizione nell'ambito della relazione esistente tra rendimento e rischio. 58

60 In articolare, l'indice Ra elaborato dall'economista Modigliani, va a valutare lo stesso fenomeno considerato dall'indice di Share raresentandolo erò, in modo diverso: nell'indice di Share l'inclinazione della retta è identifica dalla relazione rendimento/rischio del fondo, mentre l'indice Ra raresenta la misura del rendimento che ogni fondo dovrebbe garantire er un livello di rischio analogo a quello del mercato, cioè è una trasformazione lineare dell indice di Share (S). Analiticamente si ha: M 2 σ = b σ σ b = σ r ( r σ + b 1 σ r ) + r f r f f = σ S + r b f (2.5.8) Dalla Formula 2.5.8, notiamo che se il livello di rischio del fondo è maggiore risetto a quello del mercato, allora occorrerà vendere una arte delle risorse investite e dirottarle verso l'attività riva di rischio e viceversa, se il rischio del fondo è inferiore a quello del mercato. Oltre all indice di Modiglioni ci sono altri indici che fanno arte nelle misure RAP e questi saranno oggetto di studio nei aragrafi successivi. In generale, il rinciio guida delle RAPM è basato sull assunzione che, la valutazione di fondi non uò avvenire su basi assolute, ma deve essere effettuata su basi relative, in quanto si considerano in modo congiunto tutti quei elementi che hanno influenzato la erformance ottenuta INDICE DI SHARPE Il famoso indice di Share fu roosto originariamente nel 1966 ed è attualmente una delle misure RAP iù imortanti, anche se nel temo è stato oggetto di studi e di alcune modifiche, in questa tesi si farà riferimento alla versione originale. Attraverso l indice di Share, è ossibile confrontare e classificare fondi omogenei er benchmark. Infatti, essendo la misura basata sulla relazione esistente tra rischio e rendimento, risulta che il fondo con il iù alto indice di Share è anche quello che ha rodotto il rendimento iù alto in base al rorio livello di 59

61 volatilità. E' inoltre ossibile determinare l'indice di Share del benchmark, con cui confrontare quello dei fondi che hanno scelto quel arametro di riferimento: S b r b f = (2.5.9) σ b r dove: rb : rendimento medio del benchmark r : rendimento medio del risk free f σ b : deviazione standard del benchmark Figura 2.5.1: Interretazione grafica dell indice di Share (Fonte: La valutazione finanziaria di un ortafoglio gestito) Graficamente (vedi Figura 2.5.1), se nello sazio rischio-rendimento collochiamo i fondi e l'attività riva di rischio, ed in seguito uniamo tramite una semiretta ogni unto indicante il fondo con l'attività risk-free, il fondo migliore risulterà quello sulla linea con maggiore endenza, o meglio iù alto valore del indice di Share. Ad esemio, si ha che il fondo contrassegnato dalla lettera B, ur avendo fatto registrare risultati inferiori in termini di rendimento assoluto essendo r < r, risulta essere sueriore nell'ottica bidimensionale rischio/rendimento, la cui misura è fornita dalla endenza della semiretta R di B. Prorio er le informazioni f reziose che l indice ( vedi Formula 2.5.4) ci fornisce e er la sua semlicità nel calcolarlo, lo si valuterà anche er i 50 fondi comuni di investimento statunitensi, argomento questo del caitolo 4. B C 60

62 INDICE DI TREYNOR L'indice di Treynor, detto anche "reward to volatility ratio", o meglio remio er unità di rischio. Graficamente è definito (vedi Figura 2.5) dalla endenza o inclinazione della security market line assante er P. Analiticamente si ha: tr r r f µ = = (2.5.10) β β Dove: µ β : extra rendimento atteso del ortafoglio(o del : raresenta il β del ortafoglio(o del fondo) fondo) Figura 2.5.2: Interretazione grafica dell indice di Treynor 11 Mediante l indice di Treynor si misura la erformance dei ortafogli attivi con, rendimenti in eccesso er unità di rischio non diversificabile dove, il β di riferimento è stimato (er i fondi) mediante regressioni lineari (endenza della SML, metodo MQO). Tale indice è un'altra misura RAP e se questo valore risulta grande allora significa che l inclinazione della SML è grande, o meglio il rendimento in eccesso oure gli extrarendimenti attesi er unità di rischio sono elevati. Se gli investitori diversificano il rischio, l indice di Treynor è definito come l indicatore RAP iù corretto, in quanto il mercato aga, in tale caso, solo i rischi non diversificabili. Invece, in un mercato in equilibrio tutti i fondi devono avere un valore dell indice identico (o uguale) tra di loro. I confronti che ossiamo fare mediante l indice di Treynor sono revalentemente due: confronti tra fondi diversi oure tra fondi e un benchmark. 11 creato in Immagine-Paint; 61

63 L indice di Treynor si differenzia dall'indice di Share in quanto, viene calcolata la rischiosità del ortafoglio considerando l'andamento di mercato. Al denominatore del raorto troviamo β, assumendo imlicitamente che l'investitore detenga quote del ortafoglio di mercato, analiticamente: z = β zm + u con β = wi βi e u = wi ui (2.5.11) Dove, il fondo è formato da i_titoli e la varianza totale è definita come: σ = β σ + σ ( u ) (2.5.12) i Se si ha un fondo ben diversificato allora, σ 2 ( ) 0 e σ = β σ b quindi: u S z z tr = = = (2.5.13) σ β σ σ b b In generale, questo erò non vale, cioè il CAPM non è semre valido in quanto i gestori dei fondi non diversificano comletamente. Oltre a questa relazione, tra indice di Treynor e quello di Share, ne esiste un'altra tra tr e α anche questa è iuttosto stretta ed imortante. Molto sesso tr = µ dato che er costruzione b b β b = 1, quindi: α tr = + β tr b (2.5.14) Quindi, questo indice misura l'oortunità di usare, come leva finanziaria, l'indebitamento al tasso risk-free er sovra investire nel ortafoglio che ha il maggior remio er il rischio a arità di rischiosità (definita dal β del ortafoglio) INFORMATION RATIO L Information Ratio è un indice derivato dalla generalizzazione dell indice di Share, dove il tasso risk-free è sostituito dal benchmark. Analiticamente si ha: S z E(r r f ) = = sotituisco il tasso risk free con (2.5.15) σ σ(r r ) f E(r r ) il benchmark e otteniamo IR = E(TE) b = (2.5.16) σ(r rb ) σ TE 62

64 Dalla Formula notiamo che, la differenza tra il valore atteso del fondo e rendimento del benchmark è detta Tracking Error. Il benchmark ha er definizione IR nullo, inoltre nel caso in cui TE medio è negativo diventa molto difficile interretare IR. Molto sesso è di interesse trovare le quote di un ortafoglio rischioso e di solito questo studio è effettuato sulla base di un benchmark e una funzione obiettivo che massimizza lo scostamento dal benchmark fissando una soglia massima di rischio. Nel condurre questa analisi si valuta l indice di tracking error, il quale assume diverse definizioni a seconda degli obiettivi fissati degli analisti. Analiticamente si hanno due metodi di calcolo del TE: Il rimo: serve a confrontare un insieme di fondi caratterizzati da obiettivi d investimento differenti, quindi da benchmark e livelli di rischio diversi, è ossibile calcolare la differenza tra il rendimento del ortafoglio e quella del benchmark: TE 1 = r r b (2.5.17) Il secondo: è definito come la radice del rischio massimo che l investitore uò assumere ed è ottenuta in base all allocazione ottima risetto al benchmark, ricavata mediante: max w µ w µ = OP w s. v. ( w w w ι = 1 (2.5.18) b b ) Σ( w w b ) = σ 2 D = TE Dove: OP: è la over-erformance (extrarendimento atteso) risetto al benchmark, con livello massimo di rischio ammissibile, definito sugli scostamenti tra i esi del ortafoglio che si vuole costruire ed i esi degli asset rischiosi nel ortafoglio benchmark; TE: raresenta il rischio massimo che uò essere soortato, il tracking error. I esi che vengono determinati da tale funzione obiettivo sono anche definiti come esi ottimi e definiscono una nuova frontiera efficiente. In resenza del risk-free si uò anche determinare il nuovo ortafoglio di tangenza risetto alla frontiera efficiente basata sul TE. 2 63

65 Nel caso in cui OP = 0, allora l obiettivo è quello di relicare il benchmark, cioè si vuole fare gestione assiva. Nell analisi dei 50 fondi comuni d investimento statunitensi si utilizzerà l indice IR calcolato come nella formula Ad esemio: nel caso in cui vogliamo identificare un ortafoglio efficiente 12, cioè quando voglio avere la minima varianza er gli extrarendimenti (er ogni asset) risetto a un dato ortafoglio target (quello inserito nel rogramma er il calcolo della FE ha un benchmark dato dallo S&P ), con lo scoo di ottenere gli extrarendimenti. La media e la deviazione standard degli extrarendimenti sono sesso chiamati rendimenti attivi (Active Return) e rischio attivo (Active Risk). Il rischio attivo è a volte definito come il Tracking Error e quando l obiettivo è quello di determinare un ortafoglio target ristretto all analisi allora il ortafoglio a cui si fa riferimento è rorio quello determinato della frontiera efficiente (FE). In secifico, assumo er l analisi che il ortafoglio target sia esresso da un vettore di esi indicizzato (index), quindi i rendimenti di questa serie sono esressi come una combinazione lineare degli 50 assets disonibili Otimal Overall Portfolio Otimal Risky Portfolio Tracking Error Efficient Frontier M 1 SML n t) e e rc (P rn R etu e v A cti Active Portfolio Efficient Frontier 0.2 Tracking Error EF Active Risk (Standard Deviation in Percent) Figura 2.5.3: Costruzione della frontiera che minimizza il Tracking Error 12 esemio costruito in base al ortafoglio in analisi comosto dai 50 fondi comuni d investimento statunitensi; 13 osservato dal gennaio 2002 al dicembre 2006; 64

66 I risultati ottenuti dalla costruzione della FE che minimizza l Active Risk, quindi il tracking error, sono raresentati graficamente mediante la Figura 2.5.3, il tutto avviene er un certo valore degli extrarendimenti. Segue inoltre che, lo zerorisk/zero-return ortafoglio ha un ratico significato economico, cioè raresenta tutti i fondi che ienamente sono riferiti al ortafoglio INDEX stesso. Inoltre, ogni tracking error del ortafoglio efficiente (cioè, ogni riga di ActiveWeights) soddisfano il budget attivo e raresenta l allocazione del ortafoglio dei fondi risetto a quello INDEX. Di conseguenza l obiettivo di identificare oortunità di investimento va a buon fine, in quanto la gestione attiva ci orta a un raorto tra rendimento/rischio che è iù efficiente risetto al benchmark, o meglio dicasi, si hanno oortunità di ottenere extrarendimenti. Dalla frontiera del Tracking Error, la arte iniziale e la arte finale, si ha la conferma sui valori di α(i) calcolati mediante le regressioni lineari (vedi Tabella 4.2.1). Infatti, i rimi assets non hanno α(i) significativo e tanto meno gli ultimi 10, queste sono anche le arti che si trovano al di sotto della SML messa a confronto con il Tracking Error della FE (vedi Figura 2.5.3). Tutta la arte centrale degli assets, riferiti agli Small Value - S.Blend - Large Growth - L.Value, ci ortano ad avere degli extrarendimenti ( αˆ i ), leggermente significativi, quindi sono le due categorie (Small e Large) sora citate, che di nuovo si distinguono er il loro comortamento efficiente INDICE DI SORTINO L indice di Sortino è una della misure RAP iù recenti, infatti risale al 1991 ed è definita come una misura di rendimento corretto er il rischio, basato erò sul concetto di rendimento minimo accettabile (minimum accetable return, MAP) er un determinato investitore. Cosi come, l indice di Share e anche quello di Sortino seguono la stessa logica, si differenziano soltanto er il fatto che quest ultimo fa riferimento a un rischio asimmetrico, cioè al downside risk, che valuta solo le deviazioni negative risetto a un rendimento obiettivo minimo che uò essere 65

67 benissimo raresentato dal tasso rivo di rischio ( r f ). Analiticamente l indice è definito come: Dove: r r f : rendimento mensile del SO : rendimento obiettivo minimo DD : downside deviation, deviazione DD r ortafoglio (o r DD f = (2.5.19) fondo); dell' investitore, oureil risk - free; standard degli scostamenti negativi [ r I( r < )] 2 2 = σ ( D ) = Var P. t P, t 0 (2.5.20) Quindi, è definito come differenza tra il rendimento del ortafoglio (o del fondo) e il rendimento minimo accettabile dal risarmiatore, molto sesso coincidente con il tasso risk-free, il tutto diviso dalla deviazione standard degli scostamenti negativi dei rendimenti del ortafoglio, nonché misura gli extrarendimenti er unità di rischio di erdita (downside deviation). La somiglianza dell indice di Sortino con quello di Share ermette di oter arofondire l analisi sui fondi, selezionando come i iù oortuni e i migliori. O meglio, tra tutti quelli che hanno indice di Share uguale ( a arità di tale indice) soltanto quelli che resentano una minore volatilità verso il basso (downside deviation), sono i iù aetibili, cioè tra diversi ortafogli alternativi si sceglierebbe di certo il ortafoglio che garantisce indice SO iù elevato. In conclusione, si uò dire che gli investitori non devono temere tutto il rischio a cui il ortafoglio è soggetto, ma in articolare devono cercare di evitare rorio il downside risk. Inoltre, i vari indici non sono necessariamente concordi in quanto, l aggiustamento er il rischio è differente, ed è ovvio erché, si considerano diverse fonti di rischio er ogni indice. Nell analisi strumentale vedremo in articolare come questi indici sono definiti er i fondi comuni d investimento statunitensi e come ci aiutano a riconoscere i fondi migliori sia ad ex-ante e sia a ex-ost, cioè doo avere effettuato la cluster analysis, basata sia sulle serie storiche e anche sugli indici di erformance. Tale argomento sarà oggetto di studio e di arofondimento nel caitolo quattro. 66

68 CAPITOLO 3 CLUSTER ANALYSIS I metodi di classificazione, noti come metodi di cluster analysis o clustering, hanno lo scoo di classificare le unità statistiche attraverso l uso di rocedure che, di solito, sono alicabili quando su ogni unità statistica sono state rilevate le modalità dei arametri oure si utilizzano direttamente le informazioni derivate dalle serie dei rendimenti. Fu K. Pearson che affrontò er rimo lo studio della classificazione dal unto di vista statistico verso la fine del XIX secolo. Da allora ai giorni nostri gli algoritmi di clustering si sono moltilicati e differenziati nei diversi ambiti alicativi. In articolare dalla seconda metà degli anni 50 alcune delle tecniche di raggruamento hanno ricevuto una iù amia trattazione teorico-metodologica grazie alla corrisondenza con la teoria dei grafi 14. Le tecniche di analisi dei grui, si sono largamente usate nei iù svariati cami di ricerca come: fisica, scienze sociali, economia, medicina e di recente anche in finanza, dove la classificazione dei dati disonibili è un momento essenziale nella ricerca dei modelli interretativi della realtà. Successivamente, di ari asso agli svilui delle tecnologie di calcolo, si è osta maggiore attenzione agli asetti algoritmici delle tecniche di raggruamento, argomento questo che sarà arofondito nei aragrafi successivi. L evoluzione degli strumenti da calcolo automatico ha consentito di affrontare senza difficoltà la comlessità comutazionale che è insita in molti dei metodi di classificazione e che in recedenza aveva sinto i ricercatori ad orientarsi verso tecniche di analisi dei grui che erano iù facilmente alicabili. Si è resa cosi 14 Mignani e Montanari, 1994; 67

69 ossibile la roduzione di diversi algoritmi di classificazione, semre iù comlessi dal unto di vista comutazionale, ma anche semre iù efficienti nel trarre informazioni dai dati attraverso una loro oortuna classificazione. Prima di valutare le tecniche sora citate cominciamo a introdurre i concetti di rossimità e distanza fra le unità statistiche, in quanto sono la base di quasi tutte le metodologie. 3.1 PROSSIMITA E DISTANZA Lo scoo rinciale dei vari metodi che analizzeremo sono utili a classificare e raggruare le unità statistiche in grui omogenei. In concreto sarà di interesse valutare la relazione fra le righe della matrice dei dati, corrisondenti alle unità statistiche. Misurare la vicinanza tra le unità statistiche, o equivalentemente la loro lontananza non è tanto facile, anzi il modo in cui questo viene effettuato è fondamentale. Le ossibili scelte er come quantificare, oter confrontarle, questa vicinanza sono tantissime, e variano sia con la natura delle variabili in gioco, sia con gli obiettivi da raggiungere. Risulta di conseguenza necessario introdurre la nozione di rossimità er la vicinanza e si usa il termine generico dissimilarità er riferirci alle misure di lontananza. Gli indici di rossimità tra coie di unità statistiche forniscono le informazioni reliminari indisensabili er oter individuare grui di unità omogenee. Un indice di rossimità tra due generiche unità statistiche x(i) e x(j) è definito come una funzione dei risettivi vettori riga nella matrice dei dati: IP = f x, x ) (3.1.1) ij ( i j Altrimenti, considerando che er l unità statistica i_esima si hanno a disosizione variabili, x 1,..., x di cui arte ossono essere quantitative e altre i i qualitative. L obiettivo è quello di allocare ad un stesso gruo quelle unità che sono tra loro iù simili. Per quanto riguarda invece, la dissimilarità d(i,j) tra le unità statistiche (righe diverse) i e j, questa si basa sulla comosizione delle 68

70 dissimilarità valutata er ciascuna delle variabili osservate, diciamo d x, x ) s ( is js er s = 1,, oure valutata er fondi diversi. Molto sesso ci si trova ad affrontare roblemi abbastanza comlessi, cioè si ha un dataset di grandi dimensioni er questo motivo è molto sesso conveniente sintetizzare rima l informazione contenuta nei dati e oi analizzarlo con i metodi iù aroriati. Sia er il dataset di questa tesi anche er altri lavori conviene utilizzare gli indici di rossimità, in quanto aggregano i rendimenti iù simili mediante la distanza iù oortuna, ovviamente arliamo di dati quantitativi. In generale, in riferimento a come si resentano le variabili si utilizzano anche vari criteri secifici er la loro analisi, in articolare: i) er caratteri (o variabili) di tio quantitativo gli indici di rossimità vengono definiti come distanze 15 ; ii) se invece, le variabili sono di tio qualitativo, allora si usano gli indici di similarità; iii) er i dati contenuti in una tabella di contingenza, uò essere imiegata anche la distanza chi-quadrato; iv) infine, er variabili miste, o meglio alcune quantitative e altre qualitative, si usano aroriati indici di rossimità DISTANZA EUCLIDEA La misura iù comunemente usata è la distanza Euclidea e in base ad essa consideriamo una matrice di dati contenete solo variabili quantitativi (o dicotomiche). Suoniamo che x e y siano le righe della matrice dei dati allora si dice che d(x,y) è una distanza tra due osservazioni se soddisfa le seguenti rorietà, x, R, x, y z : Identità: d j ( x, x) = 0 (3.1.2) Non negatività: d j ( x, x ) 0 (3.1.3) 15 di largo uso è quella Euclidea; 69

71 Simmetria: d ( x, x ) = d ( x, x) (3.1.4) j j Disuguaglianza triangolare: d ( x, y) + d ( y, z) d ( x, z) (3.1.5) Per oter raggruare le unità statistiche, solitamente si considera la distanza tra tutte le unità resenti nella matrice dei dati. L insieme di tali distanze viene raresentata in una matrice di distanze. Una generica matrice delle distanze è strutturata nel seguente modo: 0... d1 i... d1n = d i d j1... d ni...0 j j j (3.1.6) dove il d(ij) misura la distanza tra i vettori riga x(i) e x(j). La distanza Euclidea è la misura di rossimità iù utilizzata ed è definita er ogni coia di indici i e j come, la radice quadrata della differenza tra i risettivi vettori, nello sazio euclideo -dimensionale: 1/ 2 d (, ) [ ( ) 2 ij = d xi x j = xis x js ] (3.1.7) s= 1 Questa distanza si distingue dalle altre er il fatto di essere fortemente influenzata da una singola differenza elevata tra i valori in una dimensione, dovuta al fatto che il quadrato amlifica molto tale differenza. Le dimensioni caratterizzate da una scala di misura differente sono sesso la fonte di differenze eccessive. Per suerare tale limitazione, la distanza Euclidea viene calcolata, non sulle variabili originarie, bensì su oortune trasformazioni di queste. La scelta iù comune consiste nella standardizzazione delle variabili, e a seguito di questo, ogni variabile statistica contribuisce al calcolo della distanza con uguale eso e invariante risetto a trasformazioni lineari.se le variabili sono standardizzate 16 risulta: d r 2 ij ij = 2( 1 r = 1 d 2 ij ij / 2 ) con i, j = 1,..., (3.1.8) Dove: r ij indica il coefficiente di correlazione fra le osservazioni x(i) e x(j), cha raresentano due fondi diversi, di conseguenza si ottiene la distanza euclidea tra 16 in senso statistico: media nulla e varianza unitaria; 70

72 due osservazioni e una funzione del coefficiente di correlazione tra le stesse. La distanza iù semlice e la iù accurata quando i dati sono multi-dimensionali è rorio la distanza Euclidea. Se siamo in R² oure in R³ questa misura non è altro che la distanza geometrica tra le unità (o le variabili). Molto sesso quando si valutano degli algoritmi (ad esemio: in MatLab) bisogna fare attenzione al tio di distanza che si roone er le unità in analisi, in quanto si otrebbe valutare una distanza non corretta e l algoritmo non lo tiene resente, ortandoci a delle distanze lontane da quelle reali. Altri algoritmi roongono in automatico la misura di distanza iù oortuna a seconda del tio di analisi che si vuole svolgere in base all analisi selezionata. Ad esemio: er ricerca tecnico-scientifica, si usa la distanza di Minkowsky. In base alla tiologia delle variabili in analisi, si hanno altre misure di distanza, non meno imortanti, le quali sono: a) Per variabili quantitative, di solito trovano uso: Distanza di Mahalanobis: è una misura basata sulla matrice di covarianza (Σ) semlice delle unità statistiche in analisi ed è definita come: d ij = T { x x ) Σ 1 ( x x )} 1/ 2 ( i j i j Distanza di Minkowsky: è una misura di distanza calcolata come: λ d ij 1 / λ (3.1.9) = [ w ( x x ) ] con λ 1 (3.1.10) s= 1 s is Alcuni casi articolari sono conseguenza del valore assunto dal arametro λ: se λ = 1, city-block; js λ λ d ij definisce la distanza media assoluta, cioè la misura di se λ = 2, λ d ij caso articolare in cui definisce la distanza Euclidea; se λ > 3, raramente assunto (ad esemio: in lavori tecnicoscientifici 17 ). Distanza di Manhattan (city-block): tale distanza è definita come semlice differenza media tra i dati. In molti casi questa misura si equivale a quella Euclidea semlice, erò bisogna fare attenzione agli outliers erché basta che una singola differenza sia elevata e tutto salta. La distanza city-block è calcolata come: 17 analisi non emirica; 71

73 M d ij = s= 1 w s x is x js (3.1.11) Metrica di Canberra: questa è una misura basata sulla differenza in valore assoluto delle due osservazioni, normalizzata er la somma in valore assoluto delle singole osservazioni ed è calcolata come: c d ij = x is s = 1 x is + x x js js (3.1.12) Distanza di Chebychev: tale misura è aroriata nei casi in cui si definiscono due unità come differenti tra loro. Se la distanza massima er riga delle unità in analisi è diversa ed è definita come: d x, y) = Max x i y (3.1.13) ( i b) Per variabili qualitative e tabelle di contingenza, si usano le seguenti distanze: Distanza Percent disagreement : questa misura è articolarmente utilizza se il dataset comrende variabili di natura qualitative ed è calcolata come: d( x, y ) = ( Number of x y i (3.1.14) i i ) Distanza del chi-quadrato: la seguente distanza è molto utilizzata er valutare il grado di diversità fra le righe (o colonne) di una tabella di contingenza ed esrime una reciroca distanza tra grui di unità statistiche che hanno in comunella stessa modalità di riga (o colonna). Bisogna notare che tale misura non è di rossimità fra le unità in analisi, ma er due modalità h e k di una variabile di una tabella a doia entrata, significa che è ossibile calcolare la distribuzione di frequenza subordinata tra la variabile h e k. In questo modo ho le due distribuzioni subordinate, o meglio i rofili riga di h e k (analisi delle corrisondenze). La distanza del chi-quadrato tra le due modalità note, corrisonde alla distanza Euclidea onderata tra le relative distribuzioni subordinate, dove h=1,, H e k=1,,k con h k, calcolata come indicato nella formula (3.1.15). Il tutto è moltilicato er (n/n.j), che misura l imortanza della modalità j-esima della variabile in colonna risetto al comlesso delle modalità. K 2 d h, k = [ ( nhj / nh. ) ( nkj / nk. )] * [ n / n. j ] (3.1.15) j= 1 1/ 2 72

74 Doo aver visto la luralità delle distanze esistenti, ci si accorge che è imortante non sbagliare nel definire in modo corretto il tio di distanza tra le unità statistiche in analisi. Le scelte iniziale molto sesso ossono ortarci a dei risultati errati e er questo motivo che la maggior arte delle distanze sora citate non vengono utilizzate, si fa quasi semre riferimento alle distanze tradizionali come quella Euclidea. A volte le variabili qualitative vengono codificate in modo numerico rorio er il motivo sora citato. Ovvio che, le distanze sono tante rorio er fare fronte alla vasta gamma dei studi scientifici e non, tiiche del XXI _esimo secolo INDICE DI SIMILARITA Valutiamo un insieme finito di osservazioni u(i) U, si dice indice di similarità un alicazione S ( u, u ) = S R che soddisfa le seguenti rorietà: i j ij Non negatività: Normalizzazione: Simmetria: S S S ij ii ij 0 u, u U (3.1.16) i j =1 u U (3.1.17) i = S u, u U (3.1.18) ij i j Gli indici di similarità a differenza delle distanze, ossono essere alicati a variabili qualitative qualunque, in quanto non sono definiti dai vettori riga, ma definiti con riferimento agli elementi di un insieme. Tali indici assumono valori nell intervallo [0,1], anziché un qualunque valore non negativo. Il comlemento a un indice di similarità è detto indice di dissimilarità e raresenta una classe di indici di rossimità iù amia delle distanze. Così come un una distanza, un indice di dissimilarità soddisfa le rorietà (3.1.3) e (3.1.4), tuttavia la rorietà di normalizzazione corrisonde solo a una delle due imlicazioni della rorietà di identità delle distanze e inoltre devono soddisfare la (3.1.5). In linea teorica questo indice uò essere calcolato anche er le variabili quantitative, anche se sarebbe di scarsa utilità, in quanto distinguerebbe qualcosa soltanto se le due unità statistiche 73

75 avessero valori osservati uguali o diversi, ma senza riferimento alla misura di tale diversità. Dal unto di vista oerativo i rinciali indici di similarità fanno riferimento a matrici dei dati contenenti variabili dicotomiche, ad esemio con variabili a iù modalità qualitative. Le frequenze a cui di solito si fa riferimento er il calcolo degli indici sono: i) CP: Co-Presenze, definita come frequenza assoluta di fenomeni contemoraneamente resenti nelle due unità (ositive matches); ii) PA: Presenza-Assenza ; iii) AP: Assenza-Presenza ; iv) CA: Co-Assenza, fenomeno trascurabile er l assenza di imortanza nella determinazione della rassomiglianza tra due unità. Gli indici di similarità sviluati differiscono con riferimento alla considerazione della CA, in articolare si ha: I) Indice di similarità di Russel e Rao: CP S ij = (3.1.19) l indice è in funzione delle CP ed è dato dal raorto del numero delle co-resenze e del numero totale di variabili binarie ; II) Indice di similarità di Jaccard: S CP = ij CP + PA + (3.1.20) AP valuta il raorto del numero delle co-resenze e il numero dei caratteri a esclusione di quelli co-assenze. III) Indice di similarità di Sokal e Michener: CP + CA S ij = (3.1.21) in questo caso l indice è detto anche simle matching coefficient e il suo comlemento a uno corrisonde alla media del quadrato della distanza euclidea fra i due vettori associati alle unità statistiche: 1 S = d (3.1.22) 2 1 ij ij 74

76 Tale indice è uno degli indici di similarità iù usati, definito anche come binary distance. In generale, er le variabili dicotomiche, diversamente da quanto visto sora, sesso è molto iù conveniente fare riferimento a indici di dissomiglianza anche se il concetto di fondo è molto simile al caso recedente, basato sulla similarità. Suoniamo di avere variabili x ih che ossono assumere valori 0 o 1, er i=1,,n e h=1,,k. Parlando in termini di dissomiglianza tra le due osservazioni Xi e Xj allora si uò raresentare la seguente tabella: X i X j a b 0 c d Dove: - a: numero di variabili che valgono 1 er ambedue le osservazioni; - b: numero di variabili che valgono 1 er la i-esima e 0 er la j-esima osservazione; - c: numero di variabili che valgono 0 er la i-esima e 1 er la j-esima osservazione; - d: numero di variabili che valgono 0 er ambedue le osservazioni. In totale: a+b+c+d= k e da cui gli indici di dissomiglianza calcolabili sono: Il coefficiente di dissomiglianza semlice è basato sul raorto delle variabili che risultano discordanti: b + c d ij = (3.1.23) k Il coefficiente di Jaccard è utilizzato er le variabili dicotomiche asimmetriche, che indicano la resenza di una certa caratteristica. L assenza della caratteristica da ambedue le osservazioni non dovrebbe contribuire ad aumentare il grado di somiglianza: b + c d ij = (3.1.24) a + b + c Entrambi i metodi sora citati, sulle variabili dicotomiche, hanno la loro imortanza, in quanto semre rima di alicare un clustering è necessario valutare le tiologie delle variabili in analisi e in un secondo momento si va a 75

77 scegliere lo strumento iù consono er la loro analisi. Inoltre, bisogna anche saere l obiettivo del clustering, in modo da selezionare quel indice che è maggiormente in linea con lo scoo dell analisi METODO DEL MULTIDIMENSIONAL SCALING Se fin adesso si sono valutati i casi in cui si mostrava come calcolare le distanze tra le osservazioni in base a una data matrice dei dati o tabella, adesso studiamo il caso in cui si hanno a disosizione solo le distanze tra le osservazioni (in termini di distanze) e si desidera ricostruire i valori delle osservazioni che si trovano dietro di esse. Molto sesso le distanze sono calcolate secondo una misura di dissimilarità e si desidera rirodurle in termini di distanza Euclidea, cosi da ottenere una raresentazione delle osservazioni in un iano bidimensionale. I metodi di multidimensional scaling hanno come obiettivo quello di raresentare le osservazioni, i cui valori osservati sono ignoti (o non esressi in valori numerici) in uno sazio euclideo di iccola dimensione (R²). La raresentazione viene effettuata mediante reservando il iù ossibile le distanze originarie. Questo metodo è una raresentazione euclidea er osservazioni di iccole dimensioni, in modo tale che minimizzi un aroriata distanza tra le distanze originarie e le nuove distanze euclidee. I metodi multidimensional scaling differiscono er le modalità in cui l ultima distanza è stata definita. La scelta iù comune è la funzione stress definita da: fs = n n i= 1 j= 1 2 (δ ) (3.1.25) ij d ij dove: δ ij sono le distanze originarie (o dissimilarità) tra ogni coia di osservazioni, e d ij sono le corrisondenti distanze tra le coordinate rirodotte. I metodi multidimensional scaling metrici cercano k_vettori n-dimensionali a valori R, ognuno dei quali raresenta una coordinata delle n osservazioni, esressa da d ij, minimizzi la funzione stress al quadrato. Il caso iù comune è k=2, erciò il risultato della rocedura uò essere convenientemente raresentato 76

78 in un grafico di disersione e la soluzione ottenibile è definita come least square scaling. Una variante di questa distanza è il Sammon maing che: min d n n i= 1 j= 1 ( δ d ij δ ij ij ) 2 (3.1.26) ossiamo osservare che: quando le distanze tra gli oggetti sono esresse da una distanza euclidea si uò mostrare che la soluzione del roblema recedente corrisonde al unteggio delle comonenti rinciali che si otterrebbe se la matrice dei dati fosse disonibile. E ossibile definire metodi multidimensional scaling non metrici, er cui la relazione da reservare tra le distanze originarie e quelle rirodotte non è necessariamente di tio Euclideo. 3.2 ANALISI DI RAGGRUPPAMENTO L analisi dei grui, o cluster analysis, un insieme di tecniche atte a ridurre il numero dei dati, unendo vari dati in un solo gruo (cluster 18 ) in base a una qualche "somiglianza" o "vicinanza". Si cerca cioè, di ridurre il numero delle righe della matrice dei dati, sostituendo a tutte le righe che contengono i dati confluiti in un singolo cluster, un dato (eventualmente fittizio) raresentativo di tutto il cluster stesso. Questa rocedura ermette di formare dei grui "omogenei", secondo un certo criterio, a cui oi attribuire un certo numero di caratteristiche rorie di tutti i comonenti del gruo, e solo di questi (almeno una caratteristica deve differire da gruo a gruo). Le tecniche della cluster analysis consentono di individuare dei raggruamenti statisticamente significativi, sia all'interno di un gruo di oggetti sia tra varie unità statistiche. La struttura dei grui omogenei di unità statistiche uò essere interretata come una riduzione delle dimensioni dello sazio R², tuttavia comletamente differente da quanto accade, ad esemio: con il metodo delle 18 Gordon, 1988; 77

79 comonenti rinciali. Infatti, nei metodi di raggruamento le n unità vengono riunite in g sottoinsiemi (g<n), mentre nell aroccio delle comenti rinciali le variabili statistiche vengono trasformante in k nuove variabili (k<). Per quanto riguarda la costruzione dei cluster si uò effettuare in molti modi, sia in funzione della scelta del criterio di "misura della somiglianza" (o della "dissomiglianza") tra i dati, sia delle diverse strategie di raggruamento. Prima di arofondire qualsiasi ercorso, bisogna effettuare delle scelte che riguardano i seguenti unti: 1.) Scelta delle variabili da utilizzare: er oter effettuare questa scelta bisogna tener conto di tutti gli asetti rilevanti er il conseguimento degli obiettivi refissati e di tutte le variabili necessarie a tale fine, tenendo resente che l uso di variabili oco significative orta inevitabilmente a un eggioramento dei risultati, influenzando così il risultato finale. Nell analisi che vedremo nel caitolo 4, le unità statistiche sono definite dai rendimenti, i quali sono normali e er il clustering utilizzeremo le serie storiche dei rendimenti di 50 fondi comuni d investimento e alcuni indici che valutano la erformance dei fondi comuni di investimento. Di conseguenza assiamo dai rendimenti a degli indici, dove ogni riga contiene valori di indici diversi e ogni colonna raresenta il valore assunto dall indice er ogni fondo. In generale una classificazione uò considerarsi soddisfacente quando non mostra un eccessiva sensibilità a iccoli cambiamenti dell insieme di variabili utilizzate, quindi è necessario rima di effettuare una cluster analysis effettuare indagini eslorative accurate (che ossano suggerire ossibili configurazioni finali er la classificazione). Molto sesso, al fine di oter visualizzare e interretare il risultato della cluster analysis è oortuno ridurre la dimensionalità della matrice dei dati, ad esemio mediante il metodo delle comonenti rinciali (non analizzato). 2.) Il metodo di formazione dei grui: si distinguono metodi gerarchici e metodi non gerarchici. I rimi consentono di ottenere una successione di raggruamenti (artizioni) con numero di grui da n a 1, artendo dalla iù semlice in cui tutte le unità sono distinte, fino a quella in cui tutti gli elementi aartengono a un unico gruo. I secondi invece, ermettono di 78

80 raggruare le n unità statistiche in un numero di grui fissato (soggettivamente) a riori. Metodi non gerarchici -Metodi di raggruamento Metodi gerarchici M. divisivi agglomerativi 3.) L indice di rossimità da utilizzare: viene definito in base alle variabili a disosizione, cioè fra le unità statistiche er calcolare la matrice delle distanze fra di esse: se le variabili sono revalentemente quantitative si ricorre alla distanza Euclidea; se sono revalentemente qualitative si utilizza l indice di similarità; se i dati sono aggregati in tabelle di contingenza si ricorre alla distanza del chi-quadrato fra le modalità. Sottolineiamo di nuovo l imortanza di standardizzare le variabili er evitare che alcune esino iù di altre nella determinazione dei risultati finali, oi è necessario stabilire come verrà calcolata la rossimità fra i grui ottenuti nelle diverse fasi della rocedura e stabilire quali unità statistiche sono quelle maggiormente significative e raresentative er il gruo. In base a quest ultima scelta vedremo come si differenzia la classificazione gerarchica. 4.) La determinazione dei criteri di valutazione dei grui ottenuti: si basa sulla valutazione dei risultati di raggruamento ottenuti significa, quindi bisogna verificare che i grui siano coerenti con l obiettivo rimario della cluster analysis e che, ovviamente soddisfano le condizioni di coesione interna e searazione esterna. Vi è rorio un trade-off fra l ottenimento di grui omogenei, caratteristica che è tiicamente funzione crescente del numero dei grui scelti, e la necessità di ottenere una raresentazione arsimoniosa che richiede, al contrario, un numero ridotto di grui. Ogni scelta tra questi criteri orta, in genere, a classificazioni differenti, ciò significa che, in una classificazione due dati aarterranno allo stesso gruo mentre aarterranno a grui diversi er un altra classificazione. 79

81 3.2.1 METODI GERARCHICI DI CLASSIFICAZIONE I metodi di classificazione gerarchica ermettono, con numerosi assaggi, di riartire gli individui in classi mediante un rocesso che viene rietuto a diversi livelli e che è raresentato graficamente er mezzo un diagramma ad albero, o dendrogramma. In base alla strategia che viene imiegata nell'effettuare l'analisi, i metodi di classificazione gerarchica ossono essere di tio: i) "aggregativo" (o "agglomerativo"): attraverso una serie di successive unioni (o fusioni) dei singoli individui in grui semre iù ami, finché tutti gli individui risultano inseriti in un unico gruo (costruzione ascendente delle gerarchie). ii) "divisivo" (o "scissorio"): suddividono il comlesso delle unità di rilevazione da classificare in sottoinsiemi semre iù ristretti, finché si giunge a ottenere i singoli individui (costruzione discendente delle gerarchie). Consideriamo un esemio 19, graficamente ha come albero quello raresentato dalla Figura 3.2.1, dove (er semlicità) si considerano solo 7 unità statistiche. I rami descrivono classificazioni successive delle unità, o meglio individuano divisioni successive delle unità in cluster e alla radice tutte le unità statistiche sono contenute in una sola classe. In verde si indica il metodo gerarchico agglomerativo e in blu il metodo scissorio, in articolare il rocedimento a cui si fa riferimento è il seguente: In verde (direzione del metodo agglomerativo), si arte dai rami con n=7, e si misura la distanza Euclidea er 7 unità. Le rime due unità iù vicine sono (1,2), rietiamo la misura della distanza e di nuovo troviamo le due unità iù vicine, cioè (3,4). Si continua con tale rocedimento fino a quando non si riesce ad avere un unico gruo raresentato dalla radice (1,2,3,4,5,6,7). In blu (direzione del metodo scissorio), s arte dalla radice comrendente tutte le unità statistiche e si valuta la distanza iù breve che mi ermette di dividere la radice in due rami (1,2) e (3,4,5,6,7). Procedo nello stesso modo fino a quando, ogni unità non raresenti un ramo. 19 Data Mining, McGraw-Hill, esemio valutato er 7 unità; 80

82 Le successive artizioni individuate da un dendrogramma sono nidificate, ciò significa che nei metodi gerarchici gli elementi che vengono uniti (o divisi) a un certo asso resteranno uniti (o divisi) fino alla fine del rocesso di classificazione. Figura 3.2.1: La struttura del dendrogramma er 7(sette) unità statistiche Tabella 3.2.1: Partizioni corrisondenti al dendrogramma in Figura Numero Cluster Cluster 7 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6 (1,2) (3) (4) (5) (6) (7) 5 (1,2) (3,4) (5) (6) (7) 4 (1,2) (3,4) (5) (6,7) 3 (1,2) (3,4) (5,6,7) 2 (1,2) (3,4,5,6,7) 1 (1,2,3,4,5,6,7) Fonte: Data Mining, McGraw-Hill Secondo il rimo metodo si ha il vantaggio di ridurre il numero di artizioni da confrontare, rendendo le rocedure comutazionale iù efficiente, ma anche lo svantaggio di non correggere errori di classificazione commessi nei assi recedenti (vedi Tabella 3.2.1). In generale, la rocedura statistica utilizzata è la seguente ( rocedimento valido anche er la Figura 3.2.1): i. Inizializzazione: si arte dalle n unità statistiche da classificare, ogni elemento raresenta un cluster ; 81

83 ii. Selezione: si selezionano i due cluster iù simili (o vicini) risetto alla misura di rossimità refissata (ad esemio: la distanza Euclidea dato che i dati sono quantitativi); iii. Aggiornamento: del numero dei clusters (n-1), e della matrice delle distanze; iv. Rietizione: si rietono i assi definiti in (ii) e (iii) er n-1 di volte; v. Arresto: tutti gli elementi vengono definiti da un unico cluster (er il dendogramma riortato nell esemio ho (1,2,3,4,5,6,7)). Esistono vari tii di rocedure, fra i metodi di tio aggregativo, derivate da una diversa stima delle misure di similarità o di distanza fra gli individui o i grui di individui e bisogna distinguere tra, i metodi che richiedono come inut la matrice delle distanze e quelli che richiedono i dati. La distanza tra due cluster diende dalla distanza scelta tra i singoli dati, ma anche da una definizione "globale" che coinvolge tutti i dati dei due diversi cluster, cioè dal tio di misura adottata della distanza tra cluster. Le ossibili misure baste sulla tiologia della distanza sono sei e si dividono in "misure untuali" e "misure globali". a) Misure untuali 1. Criterio del legame singolo o del "vicino iù vicino" (Minimum or Nearest-Neighbour Method): la misura di distanza tra due grui è la minima distanza tra tutte le coie di unti di cui il rimo elemento è nel rimo gruo e il secondo nel secondo. Si ha che: d( C = rs s C (3.2.1) 1, C2) min( d ) r C1, 2. Criterio del legame comleto o del "vicino iù lontano" (Maximum b) Misure globali or Furthest Neighbour Method): la misura di distanza tra due grui è la massima distanza tra tutte le coie di unti di cui il rimo elemento è nel rimo gruo e il secondo nel secondo: d( C = rs s C (3.2.2) 1, C2) max( d ) r C1, 1. Criterio del legame medio o legame medio fra grui (Within Grous Clustering Method ): si considerano tutte le distanze ( n 1n2 ) tra le coie di unti di cui il rimo elemento è nel rimo gruo e

84 il secondo nel secondo, e si rende la media, non onderata, di tutte queste distanze. Si uniscono i grui iù vicini con questa distanza: n1 n2 1 d ( C1, C 2 ) = d rs (3.2.3) n n 1 2 r = 1 s= 1 2. Criterio della media o legame medio nei grui (Unweighted Pair- Grous Method Average): si definisce la distanza tra due grui come la media delle distanze tra le coie di unti che aartengono all unione dei due grui. Si uniscono i grui in modo che la distanza media fra tutti le coie di unti del gruo risultante sia la minore ossibile; 3. Criterio del centroide o baricentro: er ogni gruo si calcola il baricentro dei dati, o meglio il unto con coordinate ari alla media delle coordinate dei unti e si usa come distanza tra due grui la distanza tra i due baricentri: d C, C ) = d ( x, ) (3.2.4) ( x2 4. Il criterio di Ward: si aggregano i grui in modo che l incremento di varianza nei nuovi grui sia il minimo ossibile, tutte le volte che si aggiunge un unità statistica a un gruo la varianza aumenta e lo scoo è quello di minimizzare tale aumento. Precisamente la devianza totale (T) delle variabili, corrisonde a n volte la traccia della matrice dei dati, viene scomosta in due arti: la Devianza nei grui (W: Within grous) e la Devianza fra i grui (B: Between grous). In termini formali, data una artizione in g grui: La devianza totale delle variabili (T) corrisonde alla somma delle devianze delle singole variabili risetto alla corrisondente media generale n s= 1 i= 1 x s : 2 T = x is x s ) (3.2.5) ( La devianza nei grui ( W ) è data dalla somma delle devianze di gruo: W = g W k k = 1 (3.2.6) 83

85 dove: W k raresenta la devianza delle variabili nel gruo k_esimo ( di numerosità n k ) descritta da: nk s= 1 i= 1 2 W = x x ) (3.3.7) K ( E oi, la devianza fra i grui, B, è data dalla somma (calcolata su tutte le variabili) delle devianze onderate delle medie di gruo risetto alla corrisondente media generale: g s= 1 k = 1 is sk 2 B = x sk x s ) (3.2.8) ( Nel metodo di Ward a ogni asso della rocedura si aggregano tra loro i grui che comortano il minor incremento della devianza nei grui, cioè W (significa maggiore incremento in B) questo significa che si ha la maggiore coesione ossibile intera. Tra tutti gli altri metodi recedentemente visti si nota che, il metodo alla Ward non richiede il calcolo delle distanze, il suo inut uò essere la matrice dei dati originari e nel nostro caso saranno utilizzati i rendimenti mensili dei fondi comuni oure indici di erformance. Inoltre, lo ossiamo vedere anche come una variante del metodo del centroide che invece richiede le distanze VALUTAZIONE DELLA CLASSIFICAZIONE DEL METODO GERARCHICO Un algoritmo gerarchico è utilizzato er ottenere una famiglia di artizioni della n unità statistiche di artenza, o meglio un successione di n classificazioni delle suddette unità, con grui semre in decrescenza (da n a 1). I grui sono caratterizzati da, minimo W, coesione interna e searazione esterna, massimo B. A ogni asso che si va avanti si calcola la bontà della corrisondente artizione ottenuta, in modo da scegliere quale sia iù consona al raggiungimento degli obiettivi dell analisi. 84

86 Un rimo criterio di classificazione è quello derivato dalla misurazione della rossimità tra i grui uniti a ogni asso, che uò suggerire di arrestare il rocesso quando tale misura sale bruscamente. Invece, un criterio di giudizio iù frequentemente utilizzato è quello basato sulla scomosizione della devianza totale delle variabili, con riferimento al metodo Ward (T=W+B): er tale criterio si definisce valida una classificazione caratterizzata da una bassa devianza entro i grui (W) e da un elevato valore della devianza fra i grui (B). Alcuni indici che si riferiscono alla devianza sono: Indice R²: assume valori nell intervallo [0,1] ed è esresso come: 2 W R = 1 = T B T (3.2.9) Se circa 1, allora la artizione corrisondente è ottimale, in quanto unità aartenenti allo stesso gruo sono simili tra loro e i grui sono searati tra loro. Invece, se circa 0 allora la bontà dell analisi di classificazione diminuisce. Al crescere dei numeri dei grui cresce l omogeneità e allo stesso modo cresce R². Indice seudo-f: è un indice che si basa sulla versione inferenziale del criterio di Ward e misura il raorto tra la varianza tra i grui e quella nei grui. Sia c un certo livello della rocedure, corrisondente a un numero di grui ari a c, e sia n il numero di osservazioni in esame, allora l indice è definito come: F c B /( c 1) = (3.2.10) W /( n c) Al diminuire di c diminuisce anche l indice, in quanto la varianza tra grui dovrebbe diminuire e quella all interno dei grui dovrebbe aumentare. Se c è una caduta brusca significa che si sono uniti grui molto diversi tra loro. Indice di RMSSTD: (Root Mean Square Standard Deviation) è una variante del indice R² e considera solamente la arte della devianza nei grui aggiuntiva, che si forma al corrisondente asso della rocedura di classificazione gerarchica: W RMSSTD = (3.2.11) ( 1) n h 85

87 Dove, se consideriamo il asso h-esimo (h = 2,,n-1) e mostriamo che se si ha un forte incremento di tale indice allora i due grui che si sono uniti sono fortemente eterogenei ed è oortuno arrestare la rocedura al asso recedente. Indice di SPRSQ: è simile al recedente soltanto che misura il contributo aggiuntivo del asso h_esimo della rocedura, il cosiddetto R² semiarziale definito come: ( Wh Wr Ws ) SPRSQ = (3.2.12) T dove, h è il nuovo gruo derivato dalla fusione dei grui r e s. Tale indice misura l incremento della devianza all interno del gruo ottenuto unendo i grui r e s. Un bruscolo innalzamento indica che si stano unendo grui eterogenei ed è oortuno arrestarsi al asso recedente. Nell analisi che si svolgerà sul dataset dei fondi comuni d investimento USA, er valutare la bontà della cluster analysis considereremo due criteri 20 simili in arte a quelli recedentemente visti erò nuovi, er quanto riguarda la tiologia dei dati a cui fanno riferimento, cioè a degli indici finanziari: trace( B) /( g 1) I) Variance Ratio Criterrion: VRC = (3.2.12) trace( W ) /( n g) La artizione migliore è quella che ha VRC massimo, cioè minima traccia di W. Dove, (n-g) sono i gradi di libertà della matrice W e (g-1) sono i gradi di libertà della matrice B, con n indicatore dei numeri delle osservazioni in esame. Tale indice è simile a quello seudo-f. 2 det( W ) II) Marriott s Criterion: MC = g (3.2.13) det( T ) La artizione ottimale, in questo caso, si ha se l indice MC è minimo ed è un indice invariante risetto alle trasformazioni lineari e delle matrici non singolari. Entrambi gli indici diendo dal numero del gruo g e sono ottimizzati risetto ad esso. Inoltre, sono identificati in base al numero dei grui e i valore dell indice VRC (MC) aumenta (diminuisce) monoticamente al variare di g, numero dei grui. 20 in riferimento alla matrice delle devianze T, B e W; 86

88 3.2.2 METODI NON GERARCHICI DI CLASSIFICAZIONE I metodi di classificazione non gerarchico (Raghanvan e Birchand, 1979) ci ermettono di ottenere n unità statistiche in g grui (g<n) il cui numero viene definito a riori da colui che svolge la classificazione. Tali algoritmi sono di solito aggregativi e roducono una sola artizione dove ad ogni asso dell algoritmo si rimette in discussione la artizione ottenuta. Le classi ottenute ad ogni iterazione intermedia vengono infatti cancellate e il rocesso di aggregazione ricomincia a artire dai nuovi centri. L inizializzazione del rocesso di classificazione è necessariamente data da una qualche scelta di un insieme di g centri iniziali. Alcune differenze cruciali tra i due rocedimenti er ottenere dei clusters sono: gli algoritmi gerarchici risultano sesso eccessivamente onerosi in termini di calcoli che richiedono e un modo er ridurre la quantità dei calcoli, è di scegliere a riori il numero dei cluster, l algoritmo non è iù gerarchico e genera un'unica artizione delle n unità in g clusters. Nel caso gerarchico l algoritmo cerca ad ogni asso la migliore scissione o aggregazione tra cluster, invece nel caso dei metodi non gerarchici l algoritmo artiziona le unità in un numero redefinito di grui basandosi sulla ottimizzazione di un qualche criterio (redefinito). Il unto cruciale er iniziare il tutto è indicare il numero dei g centri di artenza intorno a cui aggregare le unità statistiche. Inoltre, a differenza dei metodi gerarchici l assegnazione di un oggetto ad un cluster non è irrevocabile, o meglio le unità vengono riassegnate ad un diverso cluster se l allocazione iniziale risulta inaroriata. In algoritmi di classificazione non gerarchica la rocedura d analisi si uò schematizzare come: i. Scelta del numero dei grui (g) e consegue scelta di una classificazione iniziale delle n unità statistiche in tali grui; ii. Valutazione del trasferimento di ciascuna unità dal gruo di aartenenza a un altro gruo. Si massimizza la coesione interna dei grui e viene calcolata la funzione obiettivo causata dallo sostamento, solo se rilevante il trasferimento è ermanente; iii. Rietizione del unto recedente fino a quando non viene soddisfatta la regola di arresto. 87

89 Come si uò intuire tale metodo: è molto iù veloce, in quanto non richiede nemmeno il calcolo della matrice delle distanze; è costruito a artire da un algoritmo molto iù stabile risetto a quello gerarchico; gli algoritmi non gerarchici si rivelano (er le diverse ragioni elencate sora) molto iù adatti er dataset di grandi dimensioni, er i quali i metodi gerarchici sarebbero oi, anche troo lenti. Tuttavia, il numero dei modi in cui è ossibile suddividere n elementi in g grui non sovraosti è molto amio, secie er i dati reali, ed è imossibile ottenere e confrontare tutte queste combinazioni. Di conseguenza, risulta difficile massimizzare globalmente la funzione obiettivo e quindi gli algoritmi di classificazione non gerarchica ci ortano a soluzioni vincolate, sesso corrisondenti a massimi locali. Alcuni asetti critici di questo metodo consistono sorattutto nella necessità di definire a riori il numero dei grui, ma il criterio maggiormente utilizzato er rendere tale decisione consiste nella rietuta conduzione dell analisi con differenti valori di g e nella determinazione della soluzione migliore confrontando aroriati indici della bontà della classificazione (come R² e seudo-f). Fra i metodi di classificazione non-gerarchica (definiti anche come tecniche di ottimizzazione, Otimization Techniques) iù noti abbiamo la K-means Cluster Analysis, nota come c-means. I metodi "c-means" oerano direttamente sulla matrice dei dati e suddividono gli elementi in grui i cui centri, inizialmente valori medi di ciascun arametro, vengono rogressivamente modificati attraverso un rocesso iterativo che minimizza una funzione della distanza cartesiana (MQG, minimi quadrati generalizzati) quindi gli elementi dei vari grui hanno dei risettivi centri. Questi metodi non sono gerarchici e occuano iccoli sazi nel calcolatore. Risetto ai metodi "c-means", il fuzzy c-means 21 (FCM) di J. C. Bezdek, ci consente in iù di definire l'aartenenza ai grui in modo non definitivo ma "elastico" mediante una funzione continua i cui valori vanno da 0 a 1, indice del grado di aartenenza di ciascun elemento (o sito) ai vari grui. Ogni elemento 21 altro metodo di clustring non gerarchico; 88

90 ha quindi un "grado di aartenenza" in ciascun gruo, i valori iù rossimi ad 1 indicano un grado maggiore di aartenenza, cioè una maggiore "similarità" o somiglianza dei arametri di un artizione con quelli degli altri elementi del gruo. Il numero dei grui uò essere variante a iacere, di conseguenza variano anche i numeri dei grui, di conseguenza è ossibile che varino ure i valori della funzione di aartenenza dei singoli elementi ai vari grui. Per ottimizzare il numero dei grui esistono test di validità: I) alcuni test consentano di scegliere il numero dei grui sulla base del grado della loro "definizione" (artition), cioè della differenziazione l'uno dall'altro; II) altri sono metodi di ottimizzazione matematica, ad esemio l'fcm offre la ossibilità di valutare il livello di adeguatezza o le scelte alternative di riartizione in un certo numero di grui e del trasferimento di uno o iù elementi da un gruo all altro sulla base dei riferimenti assati. Si ha in questo modo la ossibilità di interazione tra le scelte della macchina e quelle dell'eserto che inserisce i dati (all'occorrenza) in base ai nuovi criteri. 3.4 L APPROCCIO DI SHARPE, BROWN E GOETZMAN Le analisi concentrate sugli strumenti finanziari, richiedono molta attenzione e accuratezza, in quanto le analisi che ossiamo svolgere sono tantissime, si uò artire a volte da semlici analisi matematico-econometriche e saziare oi in analisi di tio statistico-economico, cioè valutare i rendimenti, calcolare i vari indici di erformance, ecc. A volte l obiettivo non è soltanto il modo statistico mediante il quale vengono selezionati i fondi (tutto quello che vale er gli individui è alicabile a dei fondi comuni d investimento), ma sorattutto come questi vengono in seguito analizzati. 89

91 La ricerca iù attuale sui fondi comuni di investimento trova sostegno da arte di tre grandi scienziati, Share (1992), Brown e Goetzman (1997). Il rimo roone di valutare le regressioni lineari alla Share, ma il roblema è quello i trovarsi con rendimenti molto correlati serialmente e non si riesce ad arrivare a un buon modello, cioè raresentativo er il mercato. Mentre i secondi, considerano il metodo del k-means er i rendimenti delle serie storiche mensili, in quanto secondo gli studi converge in modo efficace a un valore ottimo, e si arriva a risultati raresentativi solo doo avere svolto molte rove. In riferimento sia ai risulti ottenuti da Share e anche da Brown e Goetzman, si arriva a un conceire un nuovo metodo di analisi dei fondi comuni, considerando i rendimenti assati. Questo metodo è basato su un analisi eslorativa iù accurata dei rendimenti e in base alle informazioni globali che si hanno a riori, si valuta un analisi di raggruamento (mediante clustering) che consente di oter confrontare le informazioni a riori con i risultati ottenuti a osteriori. Solo quindi in un secondo momento si introduce la arte di analisi finanziaria e tutte le rooste o controrooste, sostenute dagli analista. In questa tesi si fa riferimento rorio all aroccio sora citato, nonché noto come l aroccio di Share, Brown e Goetzman, si valuta una classificazione basata su metodi statistici a artire da un analisi eslorativa accurata e oi si rosegue con l analisi finanziaria dei fondi. Il rocedimento logico er l analisi del dataset, cioè delle serie storiche dei rezzi dei 50 fondi comuni statunitensi, è il seguente: 1.) si esegue un analisi eslorativa dei rezzi e dei rendimenti, calcolando gli indici iù oortuni er la valutazione della erformance; 2.) in base sia ai rendimenti e sia agli indici di erformance risultanti er i fondi comuni, svolgo una cluster analysis; 3.) in seguito si valutano le regressioni alla Share dei grui ottenuti a osteriori e li confrontiamo con i grui a riori. Questa analisi ci ermette di identificare, non solo le classi dei fondi iù simili tra loro a riori e a osteriori, ma anche a valutare le caratteristiche dei grui ottenuti a osteriori mediante la cluster analysis, legate al comortamento dei fondi risetto al mercato. L analisi è resentata nel caitolo successivo. 90

92 CAPITOLO 4 CLUSTERING DEI FONDI COMUNI D INVESIMENTO USA 4.1 I FONDI COMUNI STATUNITENSI Fondata nel 1984 negli Stati Uniti, Morningstar è una società indiendente, leader nell analisi e nella valutazione dei fondi e dei rodotti di risarmio gestito (non solo fondi, ma anche hedge fund, ETF, fondi chiusi, ecc.). È resente in 20 aesi e nei suoi database sono archiviati dati su oltre strumenti di investimento, con l obiettivo di fornire un informazione semre chiara, oggettiva e aggiornata ai risarmiatori. Nei mercati Italiani è resente dal 18 arile del 2001 ed offre dati ed analisi su circa fondi e servizi informativi a tutte le rimarie istituzioni finanziarie. Morningstar ha sviluato un sistema di rating basato su una misura denominata "risk-adjusted" rating (RAR). Per valutare un fondo non basta guardare il rendimento assato, ma bisogna tenere in considerazione il rischio assunto dal gestore e i costi sostenuti dall investitore. Ogni fondo di investimento viene collocato e valutato all'interno di una categoria e svolge la funzione di arametro di riferimento costruita non sulla base dei benchmark generici come quelli dichiarati nei rosetti informativi, ma della secifica comosizione dei ortafogli gestiti. Il rating Morningstar è una misura quantitativo-statistica di sintesi dei tre fattori e viene definita mediante le stelle: si arte da 5 er i migliori dei fondi e 1 er i eggiori (vedi Figura 4.1.1). Gli elementi chiave o i fattori di sintesi della metodologia di valutazione sono: la categoria, il rendimento corretto er il rischio 91

93 (risk-adjusted return) e i costi. Ma vediamo in articolare come queste quantità influenzano tale misura: LE CATEGORIE: il sistema di classificazione di Morningstar raggrua i fondi in modo omogeneo, tenendo conto delle olitiche di investimento dichiarate, ma verificandone l attendibilità e la coerenza ratica attraverso l analisi dei ortafogli e dei singoli titoli che li comongono. Morningstar chiede alle società di inviare i dati comleti sul ortafoglio e fa un analisi dettagliata rima di rocedere all inserimento di un fondo in una determinata categoria, erché sesso le olitiche d investimento non sono sufficienti er una corretta assegnazione. I arametri rivelanti er la classificazione non sono solo le aree geografiche o i settori, ma er i fondi azionari 22 : - la caitalizzazione delle società è: large, small, mid-ca - e le rosettive di crescita sono: value, blend, growth. er i fondi obbligazionari: - la durata finanziaria (duration) è: long, medium, short - e l affidabilità dell emittente. IL RENDIMENTO CORRETTO PER IL RISCHIO: er il calcolo del rating vengono resi in considerazione i rendimenti mensili di un fondo negli ultimi 5 anni e la erformance è corretta er il rischio, ossia tiene conto della volatilità dei risultati nell orizzonte temorale considerato. Il resuosto, in generale, è che l investitore referisca ottenere rendimenti regolari nel temo iuttosto che grandi guadagni e erdite clamorose, cioè che sia avverso al rischio. I COSTI: anche se sesso non viene reso in considerazione dall investitore, è una variabile imortante nella determinazione del rendimento. Il rating di Morningstar considera i costi di commissione che gravano sul fondo, in articolare quelle di gestione, di sottoscrizione e di riscatto. Molti rodotti, sorattutto comarti di SICAV estere, hanno iù classi, che condividono lo stesso ortafoglio, ma rofili commissionali differenti; er questo motivo la valutazione è data searatamente. 22 In base ad essi, si è scelto anche il dataset in analisi; 92

94 LE STELLE: (vedi Figura 4.1.1) di rating sono assegnate, su base mensile, all interno di ciascuna categoria, tenendo resente quanto enunciato sora si fa riferimento al seguente schema: al rimo 10% dei fondi vengono assegnate 5 stelle, al successivo 22.5% quattro stelle e all ulteriore 35% tre stelle. All ultimo 10% è assegnata una stella e al rimanente 22.5% due stelle. Figura 4.1.1: I criteri di assegnazione delle stelle di Morningstar rating (Fonte: www. MORNINGSTAR..com) FONDI SENZA RATING: non semre è ossibile attribuire il rating 23 a un fondo. I casi iù comuni di mancata assegnazione sono: il fondo ha meno di 3 anni di vita; le informazioni sono troo scarse er cui il fondo non uò essere assegnato a nessuna categoria; il fondo ha effettuato continui cambi di categoria a seguito da variazioni nell asset allocation, così che i rendimenti storici non sono iù rilevanti; la categoria ha un numero troo esiguo di fondi erché l attribuzione del rating sia significativa. L utilizzo del rating risale al 1985 (USA) ed è un unto di artenza nella valutazione di un fondo a non va considerato come un indicazione di acquisto o vendita. Nelle decisioni di investimento, il risarmiatore deve semre tenere in considerazione la roria asset allocation, valutare la roria tolleranza al rischio e le esigenze di reddito e liquidità. Non esiste un fondo migliore in assoluto, ma fondi che meglio si adattano ai rori obiettivi e alle rorie necessità. Morningstar classifica i fondi venduti facendo riferimento a delle analisi, fondamentali queste er valutare ogni singolo titolo che costituisce il ortafoglio. 23 come ad esemio avviene er un fondo incluso nel ortafoglio in analisi, lo SSRCX; 93

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