Moto in tre dimensioni. Legge oraria.

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1 Moto in te dimensioni. Legge oaia. Pe studiae il moto di un punto mateiale, muniamoci di un sistema di ifeimento, una tena catesiana, e di un oologio. La cuva descitta dal punto mateiale duante il moto si chiama taiettoia. Il geneico punto sulla taiettoia è individuato dal vettoe posizione. Come è mostato in figua, le componenti catesiane del vettoe posizione, sono popio le coodinate catesiane del punto P. Se si mette in elazione la posizione del punto sulla taiettoia,, con l'istante di tempo, t, in cui tale posizione viene assunta, si ottiene la legge oaia del moto. = (t) vettoiale, che equivale a te funzioni scalai: (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k x = x(t) y = y(t) z = z(t) Descivee quindi il moto del punto mateiale significa specificae come vaia il vettoe in funzione del tempo, cioè specificae la funzione (t). Questa funzione è una funzione che sono anche dette equazioni paametiche della taiettoia (il paameto è, ovviamente, il tempo t). Si ossevi che mente il punto mateiale P si muove sulla sua taiettoia, le sue poiezioni sugli assi, P x, P y e P z descivono delle taiettoie ettilinee. Il moto di un punto mateiale nello spazio (3 dimensioni), può essee pensato come la sovapposizione di te moti ettilinei (unidimensionali), che avvengono sui te assi del sistema di ifeimento. Moto in te dimensioni: definizione del vettoe velocità. Supponiamo che duante il suo moto, il punto mateiale P passi pe la posizione P(t), individuata dal vettoe posizione ( t), all'istante di tempo t 1 =t, e pe la posizione P(t+Δt), individuata dal vettoe posizione ( t + Δt), al tempo t =t+δt. Lo spostamento subito dal punto mateiale P nell'intevallo di tempo Δt = t - t 1 è Δ = ( t + Δt) - ( t). Si definisce velocità media del punto mateiale P nell'intevallo di 66

2 tempo Δt = t - t 1 il appoto ta lo spostamento subito nel tempo Δt e l'intevallo di tempo medesimo: ( ) ( t) v m = Δ Δt = t + Δt Δt v m è un vettoe peché podotto di un vettoe Δ pe uno scalae 1/Δt. Le sue dimensioni sono quelle di una lunghezza diviso un tempo, [LT -1 ], e le unità di misua nel S.I. sono meti al secondo, m/s. Se nell'intevallo di tempo Δt, il punto mateiale si fosse mosso con una velocità costante pai a v m, alloa si saebbe mosso da P 1 a P lungo il vettoe Δ = ( t + Δt) - ( t). La conoscenza della velocità media nell'intevallo Δt non dà una buona descizione del moto: la taiettoia ettilinea ta P 1 a P diffeisce dalla taiettoia eale in tutti i punti eccetto che negli estemi. Si può pensae di suddividee l'intevallo di tempo Δt = t - t 1 in intevalli più piccoli e in ciascuno di questi calcolae la velocità media v m. Si osseva che più piccoli sono gli intevalli, miglioe è la descizione del moto: infatti la linea spezzata ta P 1 a P appossima sempe meglio la taiettoia eale quanto più piccoli sono gli intevalli in cui viene diviso l'intevallo Δt = t - t 1. Si può assegnae un valoe del vettoe velocità in ogni punto della taiettoia? C'è un poblema logico: abbiamo definito la velocità come il appoto ta uno spostamento, Δ, e l'intevallo di tempo Δt in cui lo spostamento è avvenuto. Ovviamente in un punto, che coisponde a un ben peciso istante di tempo, sia lo spostamento che l'intevallo di tempo non possono essee definiti Pe definie la velocità in ciascun punto della taiettoia, dobbiamo fa icoso al concetto di limite. Si pocede nel seguente modo: sia P la posizione occupata dal punto mateiale all'istante di tempo t, individuata dal vettoe posizione (t). Dopo un intevallo di tempo Δt, il punto mateiale si tova in una nuova posizione individuata dal vettoe (t+δt). La velocità media nell'intevallo di tempo Δt è data da: v m t + Δt t = Δt ( ) ( ) Questo appoto, e quindi la velocità media, è definito pe tutti i valoi di Δt divesi da zeo. Si definisce velocità istantanea del punto mateiale nel punto P il limite di tale appoto pe Δt che tende a 0. v = lim Δ t 0 ( t + Δt) ( t) d = Δt t La velocità istantanea è la deivata di ispetto al tempo calcolata all'istante di tempo t. 67

3 La velocità istantanea v come limite di un vettoe, è un vettoe. Si noti che al tendee di Δt a 0, v m, o Δ, tendono a disposi secondo la tangente alla taiettoia nel punto consideato. Petanto possiamo concludee che la velocità istantanea v nel geneico punto P della taiettoia è dietta secondo la tangente alla taiettoia in quel punto, mente il suo veso è quello del moto (*). Calcolando il limite del appoto incementale ad ogni istante di tempo, o in ogni punto lungo la taiettoia, t + Δt t Δt ( ) ( ) possiamo deteminae il valoe della velocità istantanea ad ogni punto della taiettoia, il che equivale a deteminae la velocità istantanea v in funzione del tempo, v = v (t). Questo si appesenta scivendo v (t) = d (*) In maniea leggemente più fomale, se indichiamo con Δs il pecoso effettuato lungo la taiettoia, il appoto incementale si può anche scivee come: v m = Δ Δt = Δs Δ Δt Δs Osseviamo che pe Δt che tende a 0, anche Δs tende a 0. Sappiamo che il limite pe Δt che tende a 0 di Δs/Δt è popio il modulo della velocità: v = lim Δt 0 Δs Δt Osseviamo che, pe Δt che tende a 0 s, Δ lim Δt 0 Δs = lim lunghezza_ della _ coda Δt 0 = 1 Lunghezza_dell' aco Ricodando l'ossevazione già fatta: pe Δt che tende a 0, Δ tende a disposi secondo la tangente alla taiettoia, potemo poe: dove lim Δt 0 Δ Δs = u t u t è il vesoe tangente alla taiettoia dietto nel veso del moto. La velocità istantanea nel punto P può quindi essee espessa come: v = v u t 68

4 e dicendo che la velocità v è la deivata del vettoe posizione fatta ispetto al tempo. Rappesentazione catesiana della velocità. Accanto a questa equazione vettoiale, si possono scivee le te equazioni scalai, elative alle componenti di v : v = v x i + v y j + v z k = d = d x(t) i + y(t) j + z(t) k ( ) Applicando la popietà distibutiva della deivata ispetto alla somma: = d ( x(t) i ) + d ( y(t) j ) + d ( z(t) k ) = Applicando poi la egola della deivata di un podotto ed ossevando che i vesoi costanti nel sistema di ifeimento in cui ci siamo messi, otteniamo: Da questo otteniamo: v x = dx(t) v y = dy(t) v z = dz(t) = dx(t) i + x(t) d i + dy(t) j + y(t) d j + dz(t) k + z(t) d k = = dx(t) i + dy(t) j + dz(t) k i, j e k sono Si vede che la componente x della velocità dipende soltanto dalla componente x dello spostamento, e lo stesso accade pe le componenti y e z. Nel calcolo della velocità le componenti non si mischiano. 69

5 Moto in te dimensioni; definizione del vettoe acceleazione. Pocediamo in maniea analoga a quanto è stato fatto pe la velocità. Osseviamo dalla figua che la velocità del punto mateiale P vaia mente P si muove sulla sua taiettoia. La velocità è in ogni punto tangente alla taiettoia e, pe lo meno pe quanto iguada la diezione, il vettoe velocità v cambia mente il punto mateiale si sposta sulla taiettoia disegnata in figua. Il vettoe acceleazione da una misua della apidità con cui il vettoe velocità cambia nel tempo. Sia v ( t) la velocità del punto mateiale al tempo t 1 =t, quando cioè si tova nella posizione P(t), e v ( t + Δt) la velocità al tempo t =t+δt quando si tova nella posizione P(t+Δt). Si definisce acceleazione media del punto mateiale P nell'intevallo di tempo Δt la quantità: ( ) v ( t) a m = Δ v Δt = v t + Δt Δt a m è un vettoe peché podotto di uno scalae, 1/Δt, pe un vettoe, Δ v. Ovviamente se si vuole una descizione più accuata di come vaia la velocità nell'intevallo t -t 1, si può suddividee l'intevallo Δt in intevalli sempe più piccoli ed in ciascuno di questi calcolae l'acceleazione media. Ma, così come abbiamo fatto pe la velocità, possiamo anche definie l'acceleazione istantanea, cioè l'acceleazione che il punto mateiale P subisce punto pe punto nel pecoee la taiettoia. Si definisce acceleazione istantanea a al tempo t 1, il limite pe Δt che tende a 0 del appoto incementale, cioè: Δ v a = lim Δt 0 Δt = lim v ( t + Δt) v ( t) Δt 0 Δt = d v t= t1 Come si intuisce dalla figua l'acceleazione a, come Δ v, è dietta veso la concavità della taiettoia. Ripetendo l'opeazione di limite pe tutti punti della taiettoia o, equivalentemente, pe ogni istante di tempo t, si ottiene la funzione acceleazione istantanea. a = d v Tenendo conto dell'espessione della velocità in funzione del vettoe posizione, si può anche scivee: a = d v = d d = d Questa equazione vettoiale, è equivalente a te equazioni scalai. Ricodando che sia la posizione, che la velocità e l'acceleazione possono essee scitte in temini delle loo componenti: = x i + y j + z k v = v x i + v y j + v z k a = a x i + a y j + a z k 70

6 applicando le egole di deivazione della somma di funzioni pima e del podotto di funzioni successivamente, e tenendo pesente che i vesoi sono costanti nel sistema di ifeimento usato pe descivee il moto, si ottiene: v = d v x = dx v y = dy v z = dz Da cui segue: a = dv = d a x = dv x a y = dv y a z = dv z = d x = d y = d z La componente x dell'acceleazione è uguale alla deivata pima fatta ispetto al tempo della componente x della velocità, ed è anche uguale alla deivata seconda fatta ispetto al tempo della coodinata x. Anche in questo caso possiamo ossevae che le componenti non si sono mescolate, i moti delle poiezioni del punto P sui te assi catesiani sono indipendenti ta loo. Possiamo peciò affemae che un moto qualunque nello spazio è equivalente alla sovapposizione di te moti ettilinei indipendenti sugli assi coodinati. Da questo viene fuoi l'impotanza dello studio dei moti ettilinei. Moto in te dimensioni: il poblema del moto. Supponiamo oa di conoscee l'acceleazione subita dal punto mateiale P duante il suo moto, siamo in gado di isalie da questo alla equazione oaia del moto? Se isciviamo la definizione dell'acceleazione avendo cua di mettee a sinista le quantità incognite e a desta le quantità note, otteniamo: e poi passando allo spostamento: dv = a dv x dv y dv z = a x = a y = a z d = v dx = v x dy = v y dz = v z Combinando le due, otteniamo la elazione ta l'acceleazione e lo spostamento. 71

7 d = a d x = a x d y = a y d z = a z Alloa isolvee il poblema del moto significa isolvee le pecedenti equazioni: l'equazione vettoiale o, equivalentemente, le te equazioni scalai. Poiché in esse compaiono le deivate, queste equazioni si dicono diffeenziali. In paticolae sono diffeenziali del second'odine peché vi compaiono le deivate seconde. Cosa significa isolvee queste equazioni? Significa tovae le funzioni x(t) y(t) z(t) che deivate due volte ispetto al tempo diano le funzioni: a x (t) a y (t) a z (t) 7

8 Il moto cicolae unifome. In natua ci sono divesi esempi di moto cicolae o quasi cicolae: il moto dei satelliti intono alla tea, il moto della tea intono al sole, il moto di paticelle caiche in un campo magnetico unifome. Ovviamente ci sono tantissimi esempi di moti che avvengono su taiettoie cuve: lo studio del moto cicolae unifome ci aiuta a compendee quel che succede in questo tipo di moti. Il moto cicolae sebbene sia un moto piano, in cui cioè pe individuae la posizione del punto mateiale sono ichieste due distinte coodinate, può essee descitto utilizzando una sola vaiabile, pe esempio l angolo fomato dal vettoe posizione con l asse delle x (vedi figua). (t+ Δt) O Asse y Δs Δ (t) Θ(t) Δ = spostamento in Δt Δs = aco pecoso in Δt Asse x Utilizzando la definizione, la velocità scalae v s all'istante di tempo t, che come abbiamo già ossevato coincide con il modulo v della velocità all istante di tempo t, saà data da: v s = v = lim Δt 0 Δs Δt Nel moto cicolae unifome il modulo della velocità, così come la velocità scalae è costante. La velocità vettoiale invece dovendo essee in ogni istante tangente alla taiettoia, cambia con il passae del tempo. Nella figua sono disegnati i due vettoi della velocità ispettivamente agli istanti di tempo t e t+δt. Poiché il modulo della velocità è pe ipotesi costante, i due vettoi hanno la stessa lunghezza. Se dunque la velocità (vettoiale) cambia, possiamo calcolaci la vaiazione di velocità nell intevallo di tempo Δt. Quindi la vaiazione di velocità Δ v saà data da Δ v = v ( t + Δt) v ( t) e saà appesentato dal vettoe Δ v della figua. L acceleazione media nell intevallo di tempo Δt saà data da: a m = Δ v Δt L acceleazione media ha lo stesso veso di Δ v e cioè è dietta veso l inteno della taiettoia cicolae. Pe calcolae l acceleazione istantanea all istante di tempo t, occoe fae il limite pe Δt che tende a zeo. Δv a = lim Δt 0 Δt 73

9 Valutiamo tale limite sepaatamente pe quanto iguada la diezione ed il veso e pe quanto iguada il modulo. La diezione ed il veso di a saanno ispettivamente il limite della diezione e del veso di Δ v quando Δt tende a zeo. Osseviamo che pe Δt che tende a zeo anche l angolo Δθ tende a zeo. Poiché la somma degli angoli inteni di un tiangolo è sempe 180, poiché il tiangolo di lati v ( t), v ( t + Δt) e Δ v è isoscele con angolo al vetice Δθ, ne isulta che gli angoli alla base tendono a 90 quando Δt tende a zeo. v(t+δt) (t+ Δt) O Asse y ΔΘ (t) v(t) Δv Sono uguali v(t+δt) Asse x v(t) ΔΘ L acceleazione all istante di tempo t foma una angolo di 90 con la velocità all istante di tempo t. Dato che la velocità è tangente alla taiettoia cicolae, l acceleazione è dietta adialmente veso il cento della taiettoia cicolae. Pe questo motivo si chiama acceleazione centipeta. Calcoliamo oa il modulo dell acceleazione centipeta. Facendo ifeimento alla figua si nota che i due tiangoli, il pimo di lati (t), (t + Δt) e Δ, ed il secondo di lati v ( t), v ( t + Δt) e Δ v, sono entambi isosceli con lo stesso angolo al vetice: essi sono Asse y Δv v(t) (t+ Δt) Δs Δ ΔΘ (t) v(t+δt) ΔΘ O Asse x 74

10 quindi simili. Si può scivee alloa che: Petanto a = lim Δt 0 Δ v Δt Δ = Δ v v = lim Δt 0 Δ v 1 Δt = lim v Δt 0 Ma quando Δt tende a zeo, Δ tende a Δs il pecoso effettuato. Alloa: v a = lim Δt 0 v = lim Δt 0 = v lim Δt 0 Δ Δt Δs Δt = = Δs Δt = v Possiamo concludee che il moto cicolae unifome è un moto acceleato, l acceleazione è dietta adialmente veso cento della ciconfeenza, e la sua intensità è popio uguale a v, il modulo della velocità al quadato diviso il aggio della taiettoia cicolae. Ossevazione. Nel caso del moto cicolae unifome, quando cioè il modulo della velocità è costante, l acceleazione è pependicolae alla velocità, si pala di acceleazione centipeta o nomale a n. Nel caso invece di un moto ettilineo, quando cioè la diezione della velocità è costante, la vaiazione del suo modulo è attibuibile ad una acceleazione avente la stessa diezione della velocità: il modulo della velocità aumenta se l acceleazione è concode con la velocità, diminuisce se discode. Semba, in base a questa ossevazione, che in geneale l acceleazione possa avee due componenti: la pima, paallela alla velocità, che povoca la vaiazione del modulo; l alta, pependicolae alla velocità, che povoca un cambiamento della sua diezione. Quindi, in base a questa ossevazione, ci aspettiamo che in un moto cicolae non unifome l acceleazione abbia una componente tangente paallela alla velocità uguale alla deivata del modulo della velocità: a t = dv ed una pependicolae alla velocità, l acceleazione centipeta o nomale, la cui intensità è uguale al quadato del modulo della velocità nell istante consideato diviso pe il aggio della taiettoia cicolae. a n = v Si può veificae che in effetti è popio così, anzi pe qualunque taiettoia sia nel piano che nello spazio, l acceleazione può essee sempe scomposta in due componenti 1 : l acceleazione tangenziale, Δ Δt 1 Sappiamo che la velocità è sempe tangente alla taiettoia: v = vu t dove u t è il vettoe tangente. L acceleazione si ottiene deivando la velocità: a = d v = d ( v u t ) = dv u t + v d Il pimo temine ci da l acceleazione tangente a t = dv. u t 75

11 pai alla deivata del modulo della velocità, e la componente nomale, pependicolae alla velocità, dietta veso il cento di cuvatua della taiettoia, di intensità pai al modulo della velocità al quadato diviso il aggio di cuvatua della taiettoia. Pe cento di cuvatua e aggio di cuvatua della taiettoia si intendono il cento ed il aggio della ciconfeenza che meglio appossima nel punto consideato la taiettoia data. Se la taiettoia è ettilinea, il aggio di cuvatua è infinito e petanto l acceleazione centipeta è uguale a zeo, se invece la taiettoia è cicolae il cento di cuvatua ed il aggio di cuvatua sono ispettivamente il cento ed il aggio della taiettoia cicolae. Nei casi intemedi il cento di cuvatua si toveà dalla pate della concavità della cuva, quindi anche l acceleazione centipeta saà dietta veso la concavità della taiettoia. In conclusione, ogni qualvolta noi osseviamo un moto su una taiettoia non ettilinea, possiamo immediatamente concludee che il moto è acceleato in quanto esiste almeno la componente nomale dell acceleazione (pependicolae alla taiettoia) dietta veso la concavità della taiettoia stessa, la cui intensità è pai al modulo della velocità al quadato diviso il aggio di cuvatua. A questa si potà aggiungee anche una componente tangenziale se il modulo della velocità non è costante. Moto amonico L'acceleazione nel moto cicolae unifome è dietta in veso opposto al vettoe posizione. Se indichiamo con u il vesoe del vettoe posizione, alloa l acceleazione centipeta si può scivee come a = v u Tenendo conto che il vettoe posizione può essee scitto come = u, l acceleazione diventa: a = v L'acceleazione nel moto cicolae unifome è quindi popozionale, attaveso il coefficiente costante ω = v, all'opposto della posizione,. L'equazione diffeenziale caatteistica del moto del punto P sulla taiettoia cicolae con velocità di modulo costante, saà data da: d = ω Cechiamo di capie cos è la costante ω = v. Sappiamo che il modulo della velocità è costante tattandosi di un moto cicolae unifome, la lunghezza di aco pecosa nell intevallo di tempo Δt saà Δs= v Δt. Questo aco sottendeà un angolo Δθ pai a Δθ = vδt. Dividendo pe Δt possiamo calcolae la velocità angolae ω, cioè la apidità con cui vaia l angolo fomato dal vettoe posizione con l asse x: Il secondo temine deve da luogo all acceleazione centipeta a n = v. Impaiamo quindi che: du t = v u n = ω u n e cioè: la deivata del vesoe u t è pependicolae ad u t, dietta veso la concavità della taiettoia secondo u n, popozionale al modulo della velocità con cui cambia l oientazione del vesoe tangente. 76

12 ω = Δθ vδt Δt = Δt = v Si noti che la apidità con cui cambia l angolo fomato dal vettoe posizione con l asse x è costante, vengono pecosi angoli uguali in intevalli di tempo uguali: questa è una conseguenza del fatto che il modulo della velocità è costante. L'equazione pecedente è una equazione vettoiale che, tattandosi di un moto piano, è equivalente a due equazioni scalai: vettoiale a = ω d = ω asse x ax x d x = ω x asse y ay y d y = ω y Tali equazioni appesentano le due equazioni diffeenziali cui obbediscono i moti ettilinei, ispettivamente sugli assi x e y, dei punti poiezione, P x e P y, del punto P mente esso si muove di moto cicolae unifome sulla taiettoia cicolae. Le acceleazioni dei punti poiezione P x e P y sono opposte alle ispettive posizioni. y Py ( t) θ(t) v( t) P(t) θ(t)=ωt+ϕo moto cicolae unifome ω= costante Le leggi oaie che descivono il moto dei punti poiezione P x e P y costituiscono dunque due soluzioni delle equazioni diffeenziali del moto amonico. Noi possiamo deteminae tali leggi oaie poiettando sugli assi catesiani il punto P mente si muove con velocità costante in modulo sulla taiettoia cicolae. O Px x x = R cosθ(t) = Rcos(ωt + ϕ o ) y = Rsen θ(t) = Rsen(ωt + ϕ o ) in cui ϕ o appesenta l'angolo fomato dal vettoe posizione con l'asse x all'istante di tempo t=0 s. Queste equazioni mostano che il moto sull'asse delle x, così come quello sull'asse delle y, è un moto peiodico: infatti il punto poiezione P x ipassa pe la stessa posizione dopo un intevallo di tempo Δt tale che θ(t+δt) - θ(t) = π. Δt è dunque uguale al tempo impiegato dal punto P a pecoee un gio sulla ciconfeenza, e quindi coincide col peiodo T del moto cicolae unifome. 77

13 Dalla definizione di velocità angolae icaviamo la elazione ta il peiodo T e ω. Infatti poiché la velocità angolae è costante x (m) 10 ω = Δθ Δt pe qualunque valoe dell intevallo di tempo Δt. 5 In paticolae se scegliamo l intevallo di tempo Δt pai al peiodo T, l angolo pecoso in questo intevallo di tempo è pai all angolo gio (il punto P sulla 0 taiettoia cicolae itona nella stessa posizione dopo ave fatto un gio). Petanto: θ (ad) ω = Δθ Δt = π T T = π ω L'andamento dello spostamento del punto poiezione P x sull'asse delle x, in funzione dell'angolo fomato dal vettoe posizione con l'asse delle x, è ipotato nel gafico mostato al lato ( si è supposto che l'angolo fomato dal vettoe posizione con l'asse delle x all'istante t=0 s sia uguale ad 1 adiante). Poiché l'angolo è una funzione lineae del tempo, l'andamento della posizione del punto Px in funzione del tempo saà del tutto simile a quello mostato nel gafico al lato. Richiamiamo ancoa una volta l'attenzione sul fatto che le espessioni della velocità e dell acceleazione pe il moto cicolae, che abbiamo testé deivato, sono stettamente dipendenti dal fatto di ave scelto l'oigine del sistema di ifeimento nel cento della taiettoia: infatti pe una scelta divesa, non saebbe stato costante, la velocità avebbe avuto entambe le componenti v e v θ, etc. Consideazioni conclusive. L ave identificato che i punti poiezione P x e P y del punto P che si muove di moto cicolae unifome obbediscono all equazione diffeenziale del moto amonico (acceleazione popozionale all opposto della posizione) ci fonisce un metodo pe la deteminazione delle soluzioni dell'equazione diffeenziale del moto amonico. Se quindi noi ci imbattiamo in un moto in cui l acceleazione è popozionale all opposto della posizione: la legge oaia coispondente saà del tipo: dove a x = ω p x d x = ω px x( t) = Acos( ω p t + ϕ o ) A ω p ω p t+ϕ o ϕ o = ampiezza del moto amonico (costante positiva) = pulsazione angolae del moto amonico (costante positiva, ha le dimensioni di una velocità angolae) = fase del moto amonico (è un angolo, l agomento della funzione coseno) = fase iniziale (valoe della fase all istante di tempo t=0). La costante ω p compae nell equazione diffeenziale. Le alte due costanti A e ϕ o vanno deteminate sulla base delle condizioni iniziali. La legge oaia x( t) = Acos( ω p t + ϕ o ) appesenta un moto che avviene sull asse delle x ta il 78

14 punto di coodinata A e il punto di coodinata +A. Il punto mateiale si toveà nella posizione x=-a quando la fase (ω p t+ϕ o ) è uguale a π: infatti cos(π)=-1. Si toveà nella posizione x=a quando la fase (ω p t+ϕ o ) è uguale a 0, infatti cos(0)=1. Si toveà nella posizione x=0 quando la fase (ω p t+ϕ o ) è uguale a π/ oppue 3π/. Infatti pe questi angoli il coseno è nullo. La fase assumeà il valoe π/ quando il punto mateiale passa pe l oigine andando nella diezione negativa dell asse x, assumeà il valoe 3π/ quando passa pe l oigine muovendosi nella diezione positiva dell asse x. Calcolo dell ampiezza e della fase iniziale dalle condizioni iniziali. Supponiamo che all istante iniziale il moto amonico pata dalla posizione iniziale x o con velocità v xo. Vogliamo deteminae le costanti A e +ϕ o. Dalla legge oaia possiamo deteminae la velocità in funzione del tempo. Pe definizione sappiamo che: v x = dx( t) ( ( )) = d Acos ω pt + ϕ o Poniamo θ(t)= ω p t+ϕ o. Sostituendo si ottiene: v x = dx( t) = d( Acos( θ) ) = d( Acos( θ) ) dθ dθ = d Acos( θ) dθ = A d cosθ dθ ( ) dθ = d( ω p t + ϕ o ) = A( sen θ)ω p = Aω p sen( ω p t + ϕ o ) Noi vogliamo che all istante di tempo t=0 secondi siano veificate le seguenti condizioni iniziali: x o = Acos ϕ x o = Acosϕ o o v xo v xo = Aω p senϕ o = Asenϕ o Quadando e sommando membo a membo si ottiene: x o + v xo ω = A cos ϕ o + A sen ϕ o = A ( cos ϕ o + sen ϕ o ) = A p A = E infine dividendo la seconda pe la pima si ottiene: ω p x o + v xo ω p tan ϕ o = v xoωp ϕ x o = acotan - v xo o x o ω p Si ossevi infine che l ave scelto come soluzione dell equazione diffeenziale del moto amonico la legge oaia basata sul coseno, non ha niente di magico: anche quella con il seno va altettanto bene. Cioè le due soluzioni x( t) = Acos ω p t + ϕ o ( ) ' ( ) x( t) = Asen ω p t + ϕ o sono equivalenti. Le due soluzioni sono infatti identiche quando si sceglie oppotunamente l angolo iniziale ϕ o. Dalla tigonometia sappiamo infatti che: 79

15 α+π/ α cosα = sen α + π x = Acos ω p t + ϕ o ( ) = Asen ω p t + ϕ o + π ϕ' o = ϕ o + π 80

16 Moti elativi. Pe concludee lo studio della cinematica, affontiamo in questo paagafo il poblema della deteminazione delle leggi di tasfomazione ta sistemi di ifeimento divesi delle gandezze cinematiche: posizione, velocità ed acceleazione. Cechiamo cioè di ispondee alla seguente domanda: supponiamo di sape descivee il moto di un punto mateiale in un paticolae sistema di ifeimento, conosciamo cioè, come funzioni del tempo, la posizione, la velocità e l'acceleazione del punto mateiale ispetto ad un paticolae ossevatoe, in un paticolae sistema di ifeimento, possiamo deteminae con questi dati i valoi della posizione, velocità ed acceleazione del punto mateiale misuate da un diffeente ossevatoe, in un alto sistema di ifeimento? Supponiamo pe esempio di ave deteminato la posizione di Mate, la sua velocità e la sua acceleazione, ispetto alla Tea, è possibile con queste infomazioni deteminae la posizione, la velocità e l'acceleazione di Mate ispetto al Sole? Pe deteminae le leggi di tasfomazione consideiamo due sistemi di ifeimento catesiani, il pimo con l oigine in O e assi x,y,z, il secondo con oigine in O' e x',y',z' (leggi O-pimo, x-pimo, y-pimo, z-pimo). Indicheemo la pima tena di assi come la tena Oxyz (senza apostofo), la seconda la chiameemo O'x'y'z' (con gli apostofi). x z O O y posizione sempe del punto P nel sistema di ifeimento O'x'y'z'. Come appae dalla figua, la elazione ta ed ' è data da = ' +OO' P ' O z' O' y' x' Spesso alla pima tena ci si ifeisce come alla tena "assoluta", alla seconda tena come tena "elativa". Deve essee peò chiao che la tena assoluta non ha alcuna popietà in più ispetto a quella elativa, ed i uoli delle due tene possono essee scambiati. Indichiamo con la posizione del punto mateiale P nel sistema di ifeimento Oxyz e con ' la dove il vettoe OO' Oxyz. y è il vettoe posizione dell'oigine O' della tena O'x'y'z' nel sistema di ifeimento y' Il caso appesentato in figua è quello più geneale possibile, in cui con il passae del tempo cambia sia la posizione dell oigine O del secondo sistema ispetto al P pimo, ma anche le oientazioni degli assi del secondo sistema ispetto al pimo. O' x Noi non affonteemo il caso più geneale, ma ci limiteemo a consideae il caso di due sistemi di ifeimento in cui vaia solo la posizione dell oigine del secondo sistema ispetto al pimo, mente l oientazione degli assi imane costante. Tanto pe fissae le idee suppoemo che gli assi x, y e z siano costantemente paalleli ai coisponde y' nti assi x, y y P k ' della seconda tena coincidono i, j, k della pima tena. ' x' O z' z z,z del pimo sistema. In questa ipotesi, appesentata in figua, i vesoi i ', j ', con i coispettivi vesoi x' O' O z' x 81

17 y' y P O' x' O z' x z Si z ossevi peliminamente che se l oigine O della seconda tena subisce un ceto spostamento in un fissato intevallo di tempo, alloa tutti i punti dello spazio, supponendo che vengano tascinati dal moto della tena, subiscono lo stesso spostamento (questo non è più veo se noi pemettiamo dei cambiamenti nella oientazione degli assi, ossia se siamo in pesenza di otazioni). Un moto che avviene in questo modo, senza otazioni, si chiama di pua taslazione. Facendo ifeimento alla figua della pagina pecedente la posizione del punto mateiale = ' +OO' x = x' +x o' y = y' +y o' z = z' +z o' dove x o, y o, e z o sono le coodinate dell oigine O del secondo sistema di ifeimento come misuate dal pimo sistema. Si ossevi che: = x i + y j + zk ' = x' i ' +y' j ' +z' k ' = x' i + y' j + z' OO' = x O' i + y O' j + z O' k x = x' +x o' k y = y' +y o' z = z' +z o' Cechiamo oa di deteminae la elazione ta le velocità misuate nei due sistemi di ifeimento. Pe definizione noi sappiamo che v = d = d x ( i + y j + zk ) = dx i + dy j + dz k in cui l ultimo passaggio si giustifica pe il fatti che i vesoi i, j, k sono costanti nel sistema di ifeimento in cui stiamo calcolando la velocità, cioè nel sistema di ifeimento in cui stiamo eseguendo la deivata. Analogamente pe il secondo sistema si avà: v ' = d ' = d ( x' i ' +y' j ' +z' k ') = dx' i ' + dy' j ' + dz' k ' Anche in questo caso l ultimo passaggio è giustificato dal fatto che nel secondo sistema di ifeimento i vesoi i ', j ', k ' sono costanti. La velocità di O ispetto a O saà invece data da: v O' = doo' = d x O' i + y O' j + z O' k ( ) = dx O' i + dy O' dz j + O' In geneale un qualunque spostamento della tena O x y z può essee immaginato come la sovapposizione di una pua taslazione più una otazione. 8 k

18 Calcoliamo oa la velocità del punto P nel sistema di ifeimento Oxyz utilizzando la elazione ta i vettoi posizione nei due sistemi di ifeimento: v = d d ' +OO' = = d ' + d OO' = d ' + v O' La velocità v è data dalla velocità dell oigine del secondo sistema di ifeimentov O' più la deivata di ' fatta ispetto al tempo. Questa deivata, in geneale, può essee divesa dalla velocità v ', in quanto essa deve essee valutata nel sistema di ifeimento Oxyz e, in questo sistema, i vesoi i ', j ', k ' possono non essee costanti. Se così fosse, nel calcolae la deivata, olte a v ', compaiebbeo dei temini deivanti dalla deivata non nulla dei vesoi i ', j ', k '. Nel nosto caso, peò, stiamo supponendo che i vesoi i ', j ', k ' siano sempe costantemente paalleli ai vesoi i, j, k, petanto, in questa ipotesi (e solo in questa ipotesi), quando valutiamo la deivata di ' essa isulteà essee popio uguale a v '. In conclusione: v x = v' x' +v xo' v = v ' + v O' v y = v' y' +v yo' v z = v' z' +v zo' In maniea del tutto analoga possiamo pocedee nel calcolo dell acceleazione: ( ) a = d v = d v ' + v O' e con una analogo agionamento otteniamo che d v ' = d v ' + d v O' = d v ' + a O' = a ' è popio uguale all acceleazione del punto P misuata nel sistema di ifeimento O x y z. Quindi, quando i due sistemi si muovono in modo tale che gli assi della tena O x y z mantengono una oientazione fissa ispetto a quelli della tena Oxyz, pe esempio sono sempe paalleli ai coispondenti assi della tena Oxyz, l acceleazione misuata nel sistema Oxyz è la somma dell acceleazione dell oigine O del secondo sistema più l acceleazione misuata nel secondo sistema: a x = a' x' +a xo' a = a ' + a O' a y = a' y' +a yo' a z = a' z' +a zo' Come caso paticolae si deduce quindi che se l acceleazione dell oigine O della seconda tena è uguale a zeo, cioè quando il moto della tena con gli apostofi ispetto all'alta tena è taslatoio unifome, l'acceleazione del punto mateiale misuata dai due sistemi di ifeimento ha lo stesso valoe. a O' = 0 a = a ' Vicevesa se l'acceleazione dell'oigine O' della tena O x y z è divesa da zeo, ovveo se le oientazioni dei suoi assi cambiano ispetto a quelle della pima tena, l'acceleazione del punto mateiale misuata dai due sistemi di ifeimento è diffeente. Può succedee quindi che un punto mateiale abbia acceleazione nulla in un sistema di ifeimento ed acceleazione non nulla in un diveso sistema di ifeimento a causa delle popietà del secondo sistema di ifeimento. Se l oigine O del secondo sistema si muove mantenendosi sempe sull asse delle x, vedi figua, le leggi di tasfomazione diventano: 83

19 y O y' O' ' x x' = ' +OO' x = x' +x o' y = y' z = z' v x = v' x' +v xo' v = v ' + v O' v y = v' y' v z = v' z' z z z' a x = a' x' +a xo' a = a ' + a O' a y = a' y' a z = a' z' L ultima di queste, se la velocità dell oigine O è costante, diventa: a x = a' x' Le elazioni = v = v' ' +OO' + v O' a = a ' a y = a' y' a z = a' z' a = a' sono anche indicate con il nome di "tasfomazioni di Galilei". Moto di taslazione unifome lungo l'asse x. Supponiamo che all'istante di tempo t=0 la tena fissa, senza apostofi, e quella mobile coincidano. Supponiamo poi che l'oigine O' della tena mobile si muova con velocità costante lungo l'asse x. Poiché il moto della seconda tena è di pua taslazione gli assi x ed x', y ed y', z e z' isulteanno sempe paalleli ta loo, quindi ad ogni istante di tempo saanno veificate le seguenti elazioni: i = i ' j = j ' k = k ' Facendo ifeimento alla figua i vettoi posizione nei due sistemi di ifeimento sono dati da: = x i + y j + z k ' = x' i ' +y' j ' +z' k ' = x' i + y' j + z' k z OO' = xo' i Poiché deve essee: = x i + y j + z k = = ' +OO' = x' i x + y' j + z' k + x O' i Otteniamo le seguenti elazioni ta le componenti: x = x' +x O ' y = y' z = z' Osseviamo infine che x O' può essee espesso in temini della velocità di taslazione, v xo'. Tendo conto delle condizioni iniziali, le due tene coincidono all'istante t=0, la elazione cecata è: x O' =v xo' t 84

20 Questa ci pemette di iscivee le elazioni ta le componenti nel seguente modo: x = x' +v xo ' t y = y' z = z' Pe quanto iguada le velocità sappiamo che: v = v' + v O' v x i + v y j + v z k = v' x i + v' y j + v' z k + v xo' i Da cui si ottiene pe le componenti: v x = v' x +v xo ' v y = v' y Infine pe l'acceleazione a = a', e quindi: v z = v' z a x = a' x a y = a' y a z = a' z Esaminiamo oa alcuni moti e vediamo come appaiano dai due sistemi di ifeimento in moto elativo taslatoio unifome. Caso I: Il punto mateiale si muove con velocità costante v Px (v Py = v Pz =0)lungo l'asse x, la sua legge oaia è data da x P =x Po + v Px t (y P = z P = 0). Utilizzando le leggi di tasfomazione: x = x' +v t xo v ' x = v' x +v xo ' y = y' z = z' Otteniamo che: x' P = x Po + v xp t v t = x + v xo ' Po ( v xp xo' )t y' P = y P = 0 v y = v' y v z = v' z v' xp = v xp v xo ' v' yp = 0 z' P = z P = 0 v' zp = 0 Da cui possiamo dedue le seguenti infomazioni: il moto nella tena con gli apostofi è ancoa un moto ettilineo unifome che avviene lungo l'asse x'; la velocità del punto mateiale nel secondo sistema di ifeimento è v xp -v xo'. Se pe esempio abbiamo una automobile che pecoe una stada ettilinea con velocità v xp, essa ci appaià fema se ossevata da un'alta automobile che pocede nello stesso senso di macia con la stessa velocità. Sembeà che possieda una velocità doppia se ossevata da una automobile che pocede con la stessa velocità ma in veso opposto. Caso II: supponiamo oa che il punto mateiale si muova di moto ettilineo unifome nel piano xy; siano v xp e v yp le due componenti della velocità (v zp = 0), mente la legge oaia è: x P = x Po + v xp t y P = y Po + v yp t z P = 0 y La pendenza della taiettoia, che coisponde alla tangente dell'angolo fomato dalla velocità con l'asse delle x, è data da: v vyp tan θ = v yp v xp ypo xpo θ vxp x Si vede che la pendenza non dipende dal tempo, come appunto deve essee nel caso di una etta. Utilizzando le leggi di tasfomazione: 85

21 si ottiene: x = x' +v xo ' t y = y' z = z' x' P = x Po + v xp t v xo' t = x Po + ( v xp v xo' )t y' P = y Po + v yp t z' P = 0 v x = v' x +v xo ' v y = v' y v z = v' z v' xp = v xp v xo' v' yp = v yp v' zp = 0 La pendenza della taiettoia saà data da: tan θ' = v' yp v' xp = v yp v xp v xo' Come si vede la pendenza non dipende dal tempo, e questo ci dice che la taiettoia è ancoa ettilinea anche nel sistema di ifeimento con gli apostofi. Le pendenze della taiettoia nei due sistemi di ifeimento, cioè la tangente dell'angolo fomato ispettivamente con l'asse x ed x', sono divese. Applicazione. Una pesona fema sul maciapiede della stazione spaa un poiettile pependicolamente ai binai mente sta tansitando un teno alla velocità di 40km/h. La velocità di uscita del poiettile dalla canna della pistola è di 100 m/s. Il poiettile enta ed esce dal teno lasciando due foi nei finestini posti sui lati opposti del teno senza diminuie appezzabilmente la sua velocità. Qual è la distanza del foo di uscita del poiettile dal punto diettamente opposto al foo di ingesso se il teno è lago m? y y' Foo di uscita d -vt O vp vt x v'p vp Foo di ingesso In questo caso faemo coincidee la tena senza apostofi con quella legata al maciapiede della stazione con l'asse x paallelo ai binai. In questo sistema di ifeimento il teno ha velocità v T dietta lungo l'asse x, ed il poiettile viene spaato nella diezione dell'asse y con velocità v P. La tena con gli apostofi è invece legata al vagone feoviaio e quindi la velocità dell'oigine O' ispetto alla tena fissa coincide con la velocità del teno v T. In base alla legge di tasfomazione delle velocità O' v = v' + v O' θ x' si ottiene: v 'P = v P v T la velocità del poiettile nel sistema legato al teno è la somma vettoiale della velocità del poiettile ispetto al maciapiede della stazione ed il vettoe "meno velocità del teno". Tale somma vettoiale è appesentata nella seconda figua. Se ne deduce che tan gθ = v T v P = = 1 9 La distanza d ichiesta è: 86

22 d = l ag hezza _ teno tan gθ = 1 9 = 0.m Caso III: il punto mateiale si muove, nel sistema con gli apostofi, di moto ettilineo unifomemente acceleato, pe esempio lungo l'asse y'. La legge oaia nel sistema con gli apostofi, supponendo che il moto del punto mateiale inizi all'istante 0 con velocità nulla, è data da: y' P =y' Po +1/ a' yp t v' yp =a' yp t a' yp = cost Nel sistema senza apostofi, utilizzando le leggi di tasfomazione, si ha: x P = v xo' t y P = y' Po + 1 a yp t z P = 0 v xp = v xo ' v yp = a yp t v zp = 0 La pendenza della taiettoia nel sistema senza apostofi è data da: tan gθ = v yp v xp = a yp t v xo' La pendenza isulta essee dipendente dal tempo, e questo indica che la taiettoia nel sistema senza apostofi non è ettilinea. Natualmente l'acceleazione misuata dai due sistemi di ifeimento è la stessa. Come esempio si può fae ifeimento al moto di un gave che viene lasciato cadee dalla sommità dell'albeo di una nave. Pe un ossevatoe posto sulla nave il moto appae ettilineo unifomemente acceleato lungo l'asse veticale o, in alti temini, lungo l'albeo. Un ossevatoe posto sulla banchina del poto, ispetto al quale la nave si muove con velocità costante, osseveà un moto che è la composizione del moto di caduta nella diezione veticale con il moto unifome della nave nella diezione oizzontale: il moto del gave che cade dall'albeo della nave appaià dunque come il moto del poiettile (vedi il possimo capitolo) e la sua taiettoia saà paabolica. Si ossevi che entambi gli ossevatoi vedono giungee il copo nello stesso punto sulla tolda della nave, cioè ai piedi dell'albeo: non è possibile distinguee quale dei due ossevatoi sia in moto e quale in quiete. y' y O' x' O x 87

23 DINAMICA Pima legge di Newton o pincipio di inezia. Pe studiae coettamente un fenomeno fisico, bisogneebbe essee in gado di iconoscee e di mettee in evidenza gli elementi fondamentali, cioè quelli che intevengono in maniea deteminante nello svolgimento del pocesso, pe distingueli da quegli elementi che invece ne mascheano la vea natua petubando il pocesso stesso. Tutto questo, ovviamente, non è sempe possibile. Un esempio è appesentato dalle difficoltà incontate nella iceca delle cause che deteminano il moto. L'ossevazione dei moti teesti, pe esempio la fatica che occoe pe spostae il popio copo o alti oggetti, aveva potato alla conclusione che pe mantenee un oggetto in moto con velocità costante fosse necessaia un'azione estena. Infatti si ossevava che un copo in moto, abbandonato a sé stesso, non soggetto a nessuna appaente azione estena, pima o poi veniva idotto alla quiete. Fu Galilei il pimo a capie come stavano veamente le cose. Supponiamo di dispoe di un piano oizzontale, pe esempio il piano della catteda, e di un copo con una faccia piana che poggia sul piano stesso. Se diamo una spinta al copo, possiamo ossevae che il copo si mette in movimento, si muove, nella diezione della spinta, di moto ettilineo pe un ceto tatto e dopo un po' si fema. Se adesso ipetiamo l'espeimento avendo cua di levigae pe bene sia il piano che la supeficie di contatto del copo col piano, di intodue dei lubificanti ta il copo e il piano, osseviamo che, mano a mano che aumenta la levigatezza, la lubificazione, il moto dua più a lungo. Questi accogimenti, dunque, ci pemettono di idue quegli effetti indesideati che tendono a mascheae la vea natua del fenomeno. E' possibile attualmente costuie dispositivi in cui le petubazioni estene sono idotte al minimo. CO sol i da CO gas Si può pendee un disco somontato da un sebatoio contenente anidide cabonica allo stato solido (ghiaccio secco). Un sottile canale collega il sebatoio con la faccia infeioe del disco. Alla tempeatua ambiente, l'anidide cabonica sublima ed il gas pe sfuggie nell'atmosfea deve sollevae il disco. Il disco isulta così sospeso al di sopa di un cuscinetto d'aia. Siccome la causa maggioe delle petubazioni del moto deivano dal contatto del copo con il piano, il cuscinetto d'aia ta il disco ed il piano imuove tali petubazioni quasi completamente. Ed in effetti usando tale dispositivo si vede che il moto del copo, dopo la spinta iniziale, allenta molto lentamente. Si può pensae alloa che questo allentamento esiduo sia dovuto all'impossibilità di eliminae tutte le possibili petubazioni, pe esempio non è stata eliminata la esistenza dell'aia. Da ossevazioni di questo tipo, ma anche dalle ossevazioni astonomiche sul moto di oggetti lontani da tutti gli alti oggetti, si può concludee che: Un copo isolato (non sottoposto ad azioni estene) pesiste nel suo stato di quiete o di moto ettilineo unifome. Questo enunciato costituisce il pimo pincipio della dinamica. Esso fu stabilito da Galilei ed assunto da Newton come il pimo dei te pincipi fondamentali, le leggi di Newton, da cui poi si deiva tutta la meccanica classica. Nella ealtà non esiste un copo isolato e come tale non sottoposto ad azioni estene, potebbe esselo solo se fosse l'unico copo nell'univeso, ma sappiamo che non è così. Se si pensa poi al copo che si muove sul piano oizzontale, e che abbiamo usato pe fomulae il pimo pincipio della dinamica, è difficile cedee che non sia sottoposto ad alcuna azione estena quando è sicuamente soggetto alla foza di attazione della tea. (Daemo comunque più avanti una giustificazione del motivo pe cui il pimo pincipio della dinamica vale anche in questo caso). Deve essee chiao che il pimo pincipio, così come gli alti due che oa intoduemo, coispondono ad una idealizzazione del fenomeno, ad una astazione, anche se suggeita dall'espeimento. Essi vanno assunti come postulati e come tali non sono dimostabili. In fisica, molto spesso, è sufficiente intuie ciò che sta alla base di un fenomeno. Questa intuizione viene poi usata pe pedie l'evoluzione di alti fenomeni che possono essee contollati speimentalmente. L'intuizione iniziale, anche se non ea ben giustificata o dal punto di vista fomale o da quello speimentale, tova la confema della sua validità a posteioi, cioè al momento del confonto delle pedizioni da essa deivate con i isultati degli espeimenti. 88

24 Sulla base del pimo pincipio, contaiamente a quanto affemato dalla teoia aistotelica, l'azione estena non è necessaia pe mantenee un copo in moto con velocità costante, ma solo pe podue una vaiazione della sua velocità. Conseguenze del I pincipio della dinamica Massa ineziale La tendenza dei copi a pesistee nel loo stato di moto ettilineo unifome o di quiete viene descitta assegnando ai copi una popietà chiamata inezia. Il pimo pincipio viene peciò anche detto pincipio di inezia. La massa ineziale misua l inezia posseduta dai copi, cioè la loo capacità di opposi a vaiazioni del loo stato di moto ettilineo unifome o di quiete. È molto facile cambiae lo stato di moto (leggi la velocità) di un copo con piccola inezia (leggi piccola massa ineziale) mente è difficile fa cambiae la velocità ad un copo con gandi inezia. È sufficiente un colpo ben assestato di acchetta ad un palla di tennis pe modificae adicalmente il suo moto (pima dell uto con la acchetta si stava muovendo in un veso, dopo l uto si muove in veso opposto). Lo stesso colpo di acchetta poduce effetti meno visibili se assestato ad un pallone da calcio, e del tutto tascuabili se assestato ad una palla di cannone. Sistemi di ifeimento ineziali. Il pimo pincipio della dinamica detemina i sistemi di ifeimento che possono essee usati pe la descizione dinamica del moto di un copo. I sistemi di ifeimento individuati dal pimo pincipio della dinamica si chiamano sistemi di ifeimento ineziali. Si può fa vedee che i sistemi di ifeimento ineziali sono sistemi legati a punti mateiali isolati, (con l oigine coincidente con un punto mateiale isolato e gli assi oientati veso te diezioni fisse). Supponiamo infatti che esista un sistema di ifeimento in cui è valida con estema pecisione la pima legge della dinamica. Newton postulò l'esistenza di uno spazio assoluto, di un sistema di ifeimento in cui le leggi della meccanica eano pefettamente valide e pensò che questo sistema fosse legato alle stelle fisse. In questo sistema di ifeimento tutti i punti mateiali isolati hanno velocità nulla o costante. Pendiamo uno di questi punti mateiali e sia v la velocità costante con cui si muove nel sistema di ifeimento fissato. Il sistema di ifeimento legato a questo punto mateiale si muoveà quindi con una velocità elativa costante ispetto al pimo sistema. Sappiamo anche che le acceleazioni misuate in questi due sistemi di ifeimento sono le stesse, peché la velocità elativa è costante: poiché tutti i punti mateiali isolati avevano acceleazione nulla nel pimo dei due sistemi di ifeimento, continueanno ad avee acceleazione nulla anche nel secondo sistema di ifeimento: cioè nel nuovo sistema saanno femi o si muoveanno di moto ettilineo unifome. In conclusione anche il sistema legato ad un paticolae punto mateiale isolato è un sistema in cui vale il pimo pincipio della dinamica e quindi un sistema di ifeimento ineziale. La elatività galileiana mosta che non esiste un sistema di ifeimento assoluto come l aveva ipotizzato Newton, in quanto tutti i sistemi di ifeimento in moto taslatoio unifome ispetto ad esso hanno le sue stesse popietà e sono quindi indistinguibili da esso. Come si fa a tovae un sistema di ifeimento ineziale? E' chiao che quei sistemi di ifeimento che avevamo intodotto in cinematica, il sistema del laboatoio, il sistema con oigine nel cento della tea ed assi invaiabilmente oientati ispetto alle stelle fisse, il sistema con oigine al cento del sole e assi assi invaiabilmente oientati ispetto alle stelle fisse, non sono dei sistemi di ifeimento ineziali: infatti non sono sistemi di ifeimento legati a punti mateiali isolati. Il laboatoio è vincolato a uotae insieme con la tea attono all'asse di otazione teeste, la tea inteagisce con il sole e gli gia attono, il sole a sua volta inteagisce con il esto della galassia e si muove su di un'obita all'inteno della galassia etc. Ciononostante, pe moti di duata ed estensione limitata, tale che la velocità del sistema di ifeimento non sia vaiata di molto (*) duante il moto in ossevazione, tutti questi sistemi possono essee consideati una buona appossimazione di sistemi di ifeimento ineziali. Ma quanto deve duae il moto peché il sistema di ifeimento possa essee consideato ineziale? (*) Pe veificae che la velocità del sistema di ifeimento non è vaiata di molto bisogna specificae ispetto a che cosa la velocità del sistema di ifeimento deve essee deteminata. Possiamo utilizzae lo spazio assoluto intodotto da Newton: un sistema di ifeimento legato alle stelle fisse. 89

25 I sistemi di ifeimento a cui abbiamo fatto ifeimento hanno dei moti ciclici: il laboatoio uota attono all'asse teeste ogni 4 oe (86400 s), la tea uota attono al sole ogni 365 gioni, etc.: occoe confontae la duata del moto con il peiodo, se la duata del moto è molto più piccola del peiodo del ciclo alloa il sistema di ifeimento può essee consideato ineziale (peché si suppone che in tale intevallo di tempo la sua velocità non sia cambiata di molto). Cosicché pe lo studio del moto di caduta di un gave, che dua pochi secondi, può essee usato il sistema del laboatoio (peiodo del ciclo uguale a s), pe il moto dei satelliti o della luna attono alla tea può essee usato un sistema geocentico, mente il moto dei pianeti è ben descitto in un sistema eliocentico. Questi sistemi di ifeimenti appesentano una buona appossimazione del sistema di ifeimento ineziale e valgono pe moti di duata limitata. Pe moti la cui duata è tale che la velocità del sistema di ifeimento non può essee consideata costante, non possono più essee tascuati gli effetti deivanti dalla non inezialità del sistema. Pe questo motivo il sistema del laboatoio non è ineziale pe lo studio del moto di masse di aia (venti) o coenti maine. E' possibile tovae un sistema di ifeimento che sia la miglioe appossimazione di un sistema di ifeimento ineziale? Newton postulò l'esistenza di uno spazio assoluto, di un sistema di ifeimento in cui le leggi della meccanica eano pefettamente valide e pensò che questo sistema fosse legato alle stelle fisse. La elatività galileiana pima, e la elatività istetta poi, hanno mostato che non esiste un sistema di ifeimento assoluto, in quanto tutti i sistemi di ifeimento in moto taslatoio unifome ispetto ad esso hanno le sue stesse popietà e sono quindi indistinguibili da esso. Foza Nei sistemi di ifeimento ineziale i cambiamenti di velocità, le acceleazioni subite da un punto mateiale, dipendono dalle inteazioni del punto mateiale con l'ambiente cicostante: infatti quando il punto mateiale è isolato, e quindi le azioni estene sono assenti, non si hanno vaiazioni di velocità. Un punto mateiale non può cambiae autonomamente, da solo, il suo stato di moto ettilineo unifome o di quiete, non può cioè cambiae da solo la sua velocità. Chiameemo foza tutte le azioni esecitate dall ambiente cicostante sul copo di cui stiamo studiando il moto che poducono vaiazioni nello stato di moto ettilineo unifome o di quiete, o detta in alta maniea, tutte quelle azioni che poducono un acceleazione del copo sotto ossevazione. Definizione opeativa della massa ineziale. Il pimo pincipio della dinamica stabilisce l'esistenza di una popietà dei copi, che abbiamo chiamato inezia, che descive la tendenza dei copi a consevae il popio stato di moto. Qualitativamente potemmo die che è piuttosto difficile cambiae lo stato di moto in copi con una gande inezia, mente questo è elativamente più semplice in copi con una piccola inezia. Questa, comunque, è una affemazione qualitativa. In fisica dobbiamo dae una definizione opeativa della gandezza che espime la popietà dell'inezia dei copi, cioè definie delle pocedue di misua e fissae un campione. v 1 v molla Supponiamo di consideae due copi che inteagiscono solamente ta di essi. Possiamo pensae a due pendoli che si utano, oppue a due caelli che inizialmente vengono tenuti femi con una molla compessa ta di essi, poi vengono libeati e la molla fatta espandee. L'uto nel pimo caso e la molla nel secondo caso appesentano l'inteazione. Supponiamo pe il seguito di avee due caelli inizialmente femi con una molla compessa ta essi. Se si fa espandee la molla i due caelli, alla fine dell'inteazione, quando cioè è cessato il contatto della molla con uno dei due caelli, essi si muoveanno di moto unifome. Si osseva che i due copi si muovono sulla stessa etta ma uno in un veso l'alto in veso opposto. Non si veifica mai che i due caelli si muovano dalla stessa pate. Possiamo pensae di intodue sulla etta comune su cui si90

26 muovono i due caelli un sistema di ifeimento. Sia v 1f il modulo della velocità del pimo copo e v f il modulo della velocità del secondo copo quando è finita l'inteazione ta i due copi. Siccome i due copi inizialmente eano femi, (v 1i = v i = 0), Δv 1 = v 1f - v 1i = v 1f e Δv = v f -v i = v f appesentano le vaiazioni del modulo della velocità subite dai due caelli. Cambiando la compessione della molla possiamo vaiae il valoe delle velocità finali e quindi delle vaiazioni di velocità subite dai due copi. Si osseva peò che, se le velocità finali sono piccole confontate con la velocità della luce, il appoto Δv 1 Δv = costan te è sempe lo stesso indipendentemente dalla compessione della molla e quindi dai valoi delle velocità finali. Se i due copi subiscono una divesa vaiazione della velocità e quindi del loo stato di moto, questo può dipendee dalla divesa capacità dei due copi a pemanee nel popio stato di moto, e quindi da un diveso valoe di quella popietà che abbiamo chiamato inezia. Il copo con inezia maggioe subià una più piccola vaiazione del popio stato di moto. Avendo effettuato le vaie pove sempe con gli stessi due copi, caatteizzati sempe dagli stessi valoi dell'inezia, poiché il appoto ta le vaiazioni di velocità isulta indipendente dal valoe delle velocità finali, possiamo pensae che tale appoto sia legato al appoto inveso delle masse ineziali dei due copi. Possiamo usae quindi questo espeimento pe misuae l'inezia dei copi. Indichiamo con m 1 e m le masse ineziali dei copi 1 e, cioè i due numei che misuano l'inezia posseduta da ciascuno dei due copi, possiamo poe m m 1 = Δv 1 Δv A questo punto possiamo pendee una delle due masse come campione, assumee pe esempio che la massa m 1 è uguale a 1 Kg e deteminae il valoe in Kg della massa m. In questa maniea, utilizzando espeimenti di uto, o espeimenti di espansione di una molla, in cui uno dei due copi è il Kg campione, possiamo assegnae la massa a tutti gli alti copi. Δ m m v 1 Δv1 = 1 = ( 1kg) = Δv Δv Δv1 Δv kg Cosa ci imane da contollae? Pe pima cosa bisogna veificae come si sommano le masse. Supponiamo quindi che con l'espeimento, che abbiamo descitto, abbiamo misuato le masse dei copi,3,4,etc.: siano esse m,m 3,m 4, etc. La domanda che ci poniamo è: qual è la massa ineziale del copo ottenuto mettendo insieme i copi, 3, 4, etc.? Ripetiamo l'espeimento mettendo da un lato il chilogammo campione e dall'alto il copo ottenuto dall'unione dei copi,3,4, etc. L'espeienza mosta che la massa del copo ottenuto come unione dei copi,3,4, etc, è uguale alla somma delle masse. Le masse sono quindi degli scalai. L'ossevazione pecedente inolte pota al pincipio di consevazione della massa, che possiamo enunciae dicendo che in natua nulla si cea e nulla si distugge. In ealtà questo pincipio non è valido in geneale, lo è pe una gande quantità di fenomeni, paticamente la totalità di quelli che incontiamo nella nosta vita quotidiana. Tuttavia ve ne sono alcuni in cui non si ha consevazione della massa. La teoia della elatività istetta mosta infatti che esiste la possibilità di tasfomae massa in enegia e vicevesa. Così se mettiamo insieme dei potoni e dei neutoni pe fomae un nucleo più complesso, la massa del nucleo complesso non è uguale alla somma delle masse dei potoni e dei neutoni messi insieme, ma è più piccola: duante il pocesso di aggegazione una pate della massa viene tasfomata in enegia. Quindi nomalmente il pincipio di consevazione della massa può essee itenuto valido, puché non venga applicato a pocessi di tipo nucleae. Inolte, sempe la teoia della elatività istetta mosta che la massa dipende dalla velocità, anzi man mano che la velocità di un copo, di una paticella, si avvicina alla velocità della luce la sua massa tende all'infinito: 91

27 m = m o 1 v c in cui m o è la massa della paticella quando la sua velocità è uguale a zeo (massa a iposo). Questo effetto diventa ilevante quando la velocità della paticella si avvicina alla velocità della luce ( km/s): pe velocità di alcuni meti al secondo, che sono le velocità tipiche della meccanica newtoniana, potemo consideae costante la massa dei copi o delle paticelle e pai alla massa a iposo. Le leggi di Newton. La meccanica classica si fonda sui seguenti te postulati fondamentali (chiamati anche leggi di Newton, o leggi della dinamica 3 ): 1. Il pincipio di inezia: ogni copo non sottoposto ad azioni estene pesiste nel suo stato di quiete o di moto ettilineo unifome. Nei sistemi di ifeimento ineziali, quelli in cui valgono le leggi di Newton, i cambiamenti di moto sono dovuti alla inteazione con alti copi. Un copo non può da solo alteae il suo stato di moto. Chiameemo foze le azioni esecitate dagli alti copi pesenti attono al copo che stiamo ossevando in gado di cambiae lo stato di moto ( di povocae acceleazioni) del copo sotto ossevazione.. La seconda legge della dinamica stabilisce una coispondenza dietta ta le azioni esecitate sul copo dagli alti copi pesenti nell ambiente e l alteazione dello stato di moto podotto: in un sistema di ifeimento ineziale, l'acceleazione subita da un copo, è popozionale alla isultante delle foze applicate ed invesamente popozionale alla sua massa ineziale. F = ma Si ossevi che ciascuna azione dell ambiente esteno povoca vaiazioni nello stato di moto come se fosse l unica ad agie, vale cioè il pincipio di sovapposizione. L effetto podotto è lo stesso sia se l inteazione avviene in assenza oppue in pesenza di alte inteazioni. La seconda legge della dinamica contiene come caso paticolae la pima legge. Infatti se abbiamo a che fae con un punto mateiale isolato, non ci sono foze che agiscono su di esso, e quindi la isultante delle foze è nulla, F =0. Sulla base della seconda legge l'acceleazione subita è nulla, a =0, e quindi la velocità è costante, v =cost: il punto mateiale in assenza di azioni estene si muove di moto ettilineo unifome. La condizione F =0 tuttavia si può veificae non solo quando sul punto mateiale non agiscono foze (cosa che si veifica quando esso è sufficientemente distante da tutti gli alti copi), ma anche quando, pu essendo le singole foze agenti sul punto mateiale divese da zeo, esse hanno isultante nulla. In queste condizioni il punto mateiale si compota come un punto mateiale libeo: o è femo o si muove di moto ettilineo unifome. Le posizioni in cui la isultante delle foze applicate è nulla e in cui il punto mateiale è femo si dicono posizioni di equilibio. 3. Se in un sistema di ifeimento ineziale si osseva che lo stato di moto del copo sotto ossevazione cambia, pe esempio esso subisce un acceleazione iscontabile da cambiamenti del modulo o della diezione della velocità, alloa si può dedue che deve esistee nell ambiente cicostante almeno un alto copo che ha esecitato un azione sul copo sotto ossevazione. 3 Si usa indicae impopiamente questi te postulati come "leggi della dinamica" come se fosseo deivati da qualcos'alto. In ealtà noi abbiamo solo cecato di giustificale, non ceto dimostale. Esse petanto vanno consideate dei vei e popi postulati iniziali da cui deivae tutte le leggi della meccanica, ivi inclusa la consevazione dell'enegia, della quantità di moto e del momento della quantità di moto. Come vedemo in seguito queste leggi di consevazione veanno a loo volta chiamati impopiamente "pincipi". Questo peò è giustificato dal fatto che la loo validità si estende al di fuoi dell'ambito della meccanica newtoniana. 9

28 La teza legge di Newton ci dice che il copo che ha subito l azione, quello sotto ossevazione, eagisce esecitando a sua volta sul quel paticolae copo un azione uguale e contaia: In un sistema di ifeimento ineziale se sul copo A agisce una foza F AB dovuta alla inteazione con il copo B alloa il copo A esecita sul copo B una foza F BA uguale e contaia. F AB = F BA Le foze sono foze di inteazione. Ossevazioni sulla Teza legge di Newton. In un sistema di ifeimento ineziale, in cui valgono le leggi di Newton, le foze che agiscono su un copo sono oiginate dai copi che si tovano nell'ambiente cicostante. Cioè la foza che viene esecitata su un punto mateiale è soltanto un aspetto della mutua inteazione ta il copo e l'ambiente cicostante. In alte paole se su un punto mateiale A agisce una foza F, vuol die che esiste nell'ambiente cicostante un copo B che la oigina. Data una foza è sempe possibile deteminae qual è il copo che la subisce e qual è il copo che la genea. Il tezo pincipio della dinamica stabilisce che a sua volta il copo A, che sta subendo la foza oiginata dal copo B, esecita sul copo B una foza uguale ed opposta. Le due foze F AB (esecitata da B su A) e F BA (esecitata da A su B) hanno lo stesso modulo (intensità), la stessa diezione ma veso opposto. Queste due foze si chiamano foze di azione e eazione. Non ha impotanza quale delle due sia l'azione e quale la eazione, quello che si vuole sottolineae è che le foze sono di inteazione e quindi esistono a coppie. Il tezo pincipio della dinamica non deve essee inteso come un pincipio di causa ed effetto: le due foze di azione e eazione infatti agiscono simultaneamente, ovveo le foze di azione e eazione sono uguali e contaie allo stesso istante. Il fatto che l'eguaglianza ta le foze di azione e eazione possa ealizzasi quando i copi che inteagiscono sono a contatto non è del tutto sopendente, più difficile è capie come questa eguaglianza possa ealizzasi quando i copi inteagenti sono distanti, sopattutto alla luce dei ecenti itovamenti della fisica. Oggi infatti sappiamo che non è possibile fa viaggiae l'infomazione più velocemente della luce. Pe esempio la foza di inteazione Tea-Sole dipende dalla distanza della Tea dal Sole. Supponiamo che la Tea, nel suo moto, si sia avvicinata al Sole. Questo significa che il Sole dovebbe esecitae sulla Tea una foza più gande. Ma il Sole non può endesi conto immediatamente che la Tea gli si è avvicinata, saà aggiunto dall'infomazione solo dopo 8 minuti, il tempo impiegato dalla luce pe pecoee la distanza della Tea dal Sole. Pe tutto questo tempo il Sole continueà a pensae che la Tea si tovi ancoa nella posizione pecedente, più lontana, e continueà ad esecitae la foza coispondente a questa posizione. Tuttavia, poiché la velocità nel moto di ivoluzione teeste è molto piccola ispetto alla velocità della luce, lo spostamento della Tea in 8 minuti è, a tutti gli effetti, tascuabile ispetto alla distanza della Tea dal Sole, la foza cioè avebbe dovuto modificasi di una quantità tascuabile. In conclusione non si commettono gavi eoi se si suppone che l'infomazione sia aivata al Sole istantaneamente, che abbia cioè viaggiato dalla Tea al Sole con una velocità infinita. In meccanica classica, noi assumeemo valido il concetto "dell'azione a distanza" che ichiede appunto che l'infomazione viaggi con velocità infinita. Nella inteazione Tea-Sole dunque, se ad un ceto istante il Sole esecita sulla Tea una foza F TS, il concetto di "azione a distanza" ci pemette di die che nello stesso istante la Tea esecita sul Sole una foza, F ST, uguale e contaia. Comunque oggi l'inteazione ta i due copi distanti viene descitta non più in temini di "azione a distanza", che come abbiamo detto, ichiedeebbe una velocità infinita di popagazione dei segnali, ma in temini di campo. In questo tipo di descizione si affema che ogni punto dello spazio cicostante il sole possiede una popietà, detta "campo gavitazionale", che fissa l'acceleazione (o la foza pe unità di massa) che subisce un copo (pe esempio la tea) messo in tale posizione. Se ad un ceto istante il Sole si sposta dalla sua posizione, il campo gavitazionale nei vai punti dello spazio dovà modificasi pe tenee conto di tale spostamento. La vaiazione del campo peò non avviene istantaneamente in tutti i punti dello spazio, in quanto l'infomazione dello spostamento avvenuto viaggia dal Sole con una velocità pai alla velocità della luce. Solo quando essa aggiunge il geneico punto dello spazio, il campo gavitazionale in questo punto veà modificato pe tenee conto della nuova posizione occupata dal sole, la quale, nel fattempo, può essee ancoa cambiata. La foza esecitata ad un ceto istante93

29 su un copo mateiale, posto in un punto del campo gavitazionale, dipende esclusivamente dal valoe del campo nel punto all'istante consideato e non dalla posizione occupata dal sole in quell'istante. Un discoso analogo può essee ipetuto invetendo il uolo del Sole con quello della Tea. In conclusione il tezo pincipio della dinamica pesenta delle difficoltà nella applicazione, ma quando le velocità sono molto più piccole di quelle della luce può essee utilizzato senza poblemi. 94

30 Le leggi delle foze. La seconda legge della dinamica ci fonisce il mezzo pe mettee in elazione la isultante delle foze che agiscono su di un punto mateiale, dovute agli alti copi pesenti nell'ambiente cicostante, con l'acceleazione subita dal punto mateiale. F = m a Questa equazione appesenta un sistema di equazioni diffeenziali, infatti può essee iscitta come: d x Fx = m d F = d y Fy m = m d z Fz = m Se si iesce ad espimee la isultante delle foze agenti sul copo in funzione delle popietà del copo e di quelle dell'ambiente cicostante, cioè se si iesce ad espimee la foza come una funzione della posizione del punto, elativamente agli alti punti pesenti nell'ambiente cicostante, della sua velocità, delle sue popietà (massa caica elettica, etc.) e di quelle dell'ambiente cicostante ed, eventualmente, del tempo t, in alte paole si detemina la legge della foza, alloa è possibile isolvee il sistema di equazioni diffeenziali, e deteminae la legge oaia del moto. d F v m q t = (,,,,..., ) m d x Fx ( x, y, z, vx, vy, vz, m, q,..., t) = m d y Fy ( x, y, z, vx, vy, vz, m, q,..., t) = m d z Fz ( x, y, z, vx, vy, vz, m, q,..., t) = m In conclusione, la seconda legge della dinamica non è sufficiente da sola a isolvee il poblema del moto di un punto mateiale, ma è necessaio anche conoscee l'espessione della foza che agisce sul punto mateiale come funzione della posizione del punto, della sua velocità, delle sue popietà e di quelle dell'ambiente cicostante ed, eventualmente, anche del tempo t. Pe esempio se si vuole deteminae il moto di un pianeta intono al Sole, olte alla seconda legge della dinamica, bisogna conoscee l'espessione della legge di gavitazione univesale: F = G m m 1 u La legge di gavitazione univesale da una descizione della foza che agisce sul pianeta in funzione della posizione e delle caatteistiche del punto mateiale stesso e di quelle dell'ambiente cicostante: massa del pianeta, massa del Sole, distanza pianeta-sole, diezione adiale. Nel seguito esamineemo alcuni tipi di foza e cecheemo di espimele in funzione delle popietà del copo sul quale agiscono e di quelle dello spazio cicostante. Nella tabella seguente sono elencati alcuni tipi di foza insieme con le elative leggi della foza. E' bene ibadie in questa occasione che i divesi tipi di foza, elencati nella tabella, non sono alto che aspetti diffeenti di due delle inteazioni fondamentali esistenti in natua, l'inteazione gavitazionale e quella elettomagnetica. Esamineemo più in dettaglio i pimi quatto tipi di foza, mente imandeemo alla fine del pogamma di meccanica la discussione della legge di gavitazione univesale. La foza di Coulomb ta copi caichi eletticamente e la foza di Loentz, che agisce su una caica elettica in moto in un campo magnetico, saanno studiate in dettaglio nel coso di elettomagnetismo. E' impotante notae come tutte le foze elencate in questo specchietto siano state espesse in funzione delle popietà del copo, massa, posizione, etc, e delle 95

31 popietà dei copi cicostanti, massa dei copi cicostanti, caica elettica, campo magnetico, costante elastica, acceleazione di gavità etc. Foza peso P = m g Foza elastica F x = -kx Foza di attito F as µ s N, F ad = µ d N Resistenza passiva F = b v Foza gavitazionale F = G m m 1 u Foza Coulumbiana (elettostatica) Foza di Loentz F = 1 q 1 q u 4πε o F = qv B 96

32 Foza peso. Con peso di un copo si intende la foza con cui la Tea attia il copo quando questo è nelle immediate vicinanze della supeficie teeste. Nel caso della foza peso chi subisce la foza è il copo di cui stiamo ossevando il moto, l oigine della foza peso è la Tea. Pe la teza legge di Newton, il copo eseciteà sulla Tea una foza uguale e contaia. Ragioni di simmetia ci spingono ad immaginae che questa foza sia applicata al cento della tea. La seconda legge della dinamica ci dà gli stumenti pe pote valutae la foza peso. Sappiamo infatti che la foza che agisce su di un copo è legata all'acceleazione subita dal copo dalla elazione: F = m a D'alta pate sappiamo anche, dopo le ossevazioni di Galilei, che tutti i copi nelle immediate vicinanze della supeficie teeste cadono con una acceleazione pai a g, quindi il peso P saà dato da: P = m g Il peso P, come g, è dietto secondo la veticale passante pe la posizione in cui si tova il copo veso l'inteno della Tea. Mosteemo duante il coso che g dipende sia dalla distanza dalla supeficie teeste che dalla latitudine, anche il peso P di un copo dipendeà da questi due paameti. E' bene ossevae che massa e peso di un copo sono due cose divese: la massa è uno scalae, mente il peso è un vettoe. Inolte la massa è una popietà intinseca del copo, è sempe la stessa qualunque sia la posizione occupata nell'univeso. Vicevesa il peso appesenta l'inteazione ta il copo e la tea e quindi dipende dalle posizioni elative della Tea e del copo. A gandi distanze dalla Tea, pe esempio, il peso tende ad annullasi mente la massa di un copo, cioè la sua capacità ad opposi a vaiazioni dello stato di moto, imane sempe la stessa. Se sulla Tea poviamo a mettee in moto un mattone di piombo pe esempio tiandogli un calcio, sappiamo che ci faemo male, peché un mattone di piombo è molto più pesante di un pallone di cuoio. Ma non è il peso quello che ci deve tattenee dal tiae il calcio al mattone di piombo. Infatti nello spazio, lontano dalla tea, dove il mattone di piombo e il pallone pesano cica alla stessa maniea, cioè poco, se povassimo a tiae il calcio al mattone di piombo ci faemmo male lo stesso, poiché il mattone di piombo, anche nello spazio, ha consevato intatta la sua capacità ad opposi a vaiazioni del suo stato di moto. Una volta chiaito che il peso e la massa sono due cose diffeenti, si può ossevae che, fissata la posizione sulla supeficie teeste, la massa e il modulo del peso sono popozionali. Questo significa che si possono fae deteminazioni di massa confontando il peso di due copi. La bilancia con cui si fanno confonti di massa, si basa popio su questo pincipio. Foza elastica. La maggio pate dei copi solidi possiede delle popietà elastiche. Se un copo viene sottoposto all'azione di una foza estena, cioè ad una sollecitazione, subisce una defomazione. Tale defomazione da oigine ad una foza che contasta la defomazione stessa e quindi si oppone alla foza estena applicata. Più gande è la foza applicata, più gande è la defomazione podotta, più gande è la foza di eazione 4. Se imossa la sollecitazione estena, il copo itona nella configuazione indefomata, il copo è detto elastico e le foze geneate dalla defomazione sono dette foze elastiche. Un copo che non si compota in questa maniea si dice anelastico. Ovviamente i copi eali si compoteanno in maniea divesa a seconda della sollecitazione applicata 5. Si osseva infatti che pe piccole sollecitazioni, che povocano quindi piccole defomazioni, il compotamento dei copi solidi è di tipo elastico: esiste, infatti, una popozionalità ta la sollecitazione applicata e la defomazione podotta e quando la sollecitazione viene imossa il copo itona nella situazione oiginaia. Se l'intensità della sollecitazione viene aumentata si osseva che non esiste più una dietta popozionalità ta la defomazione podotta e la sollecitazione applicata, anche se continua ad esistee una dipendenza funzionale ta sollecitazione e defomazione podotta. Rimuovendo la sollecitazione il copo non 4 Il temine eazione in questo caso non ha niente a che vedee con la foza di azione e eazione pevista dalla teza legge. 5 Tanto pe fissae le idee supponiamo di ifeie il discoso successivo ad un filo di acciaio appeso al soffitto a cui vengono applicate, veso il basso, delle foze via via cescenti. Nel caso del filo la defomazione è un allungamento. 97

33 itona nella configuazione oiginaia. Se si aumenta ancoa la sollecitazione, si pede anche la dipendenza funzionale ta sollecitazione e defomazione: infatti una stessa sollecitazione può povocae diffeenti defomazioni. In quest'ultimo caso la defomazione podotta semba dipendee dalla stoia del campione in esame, cioè dalle sollecitazioni applicate in pecedenza, più che dalla sollecitazione applicata in quel momento. Questa fase va sotto il nome di snevamento. Se si aumenta ancoa la sollecitazione si povoca y la ottua del campione. Nel gafico è mostata la cuva tipica della sollecitazione applicata in funzione l'allungamento nel caso di un filo metallico. L'esempio più immediato di una foza elastica è quella geneata da una molla a spiale. Supponiamo che uno degli estemi della molla a spiale sia fissato ad un soffitto (o paete 6 oizzontale), mente l'alto estemo sia libeo. Si osseva che la molla si dispone con il popio asse lungo la veticale. Facciamo coincidee la posizione di iposo dell'estemo libeo della molla con l'oigine di un sistema di ifeimento avente l'asse y veticale, paallelo quindi all'asse della molla. Se appendiamo all'estemo libeo della molla un copo di massa m, si osseva che l'asse della molla continua a disposi lungo la veticale e che il copo, dopo un beve peiodo tansitoio in cui si veificano delle oscillazioni, si fema in una ceta posizione, individuata dalla coodinata y sull'asse y. Si osseva inolte che la molla si è allungata, l'allungamento è popio dato dal valoe assoluto della posizione y del punto mateiale. Applicando al punto mateiale la seconda legge della dinamica, ed ossevando che la sua acceleazione è nulla, peché femo, si può deteminae l'intensità della foza elastica F = P + F el = ma = 0 O y F el = P da cui F yel u y = ( mg u y ) F yel = mg O F el y la componente y della foza elastica, e nel caso consideato anche P = mg il modulo, è uguale alla intensità della foza peso. Se si cambia la massa del copo appeso, la posizione di equilibio si otteà in una divesa posizione del punto mateiale e quindi pe un diveso allungamento della molla. Vaiando la massa del punto mateiale si può studiae la dipendenza della foza elastica dall'allungamento della molla: Si tova infatti che l'intensità della foza elastica è popozionale all'allungamento della molla, cioè al valoe assoluto della coodinata y del punto mateiale: F el = k y dove k è una costante positiva denominata costante elastica della molla. Se vogliamo deteminae la componente y della foza elastica, si ossevi intanto che nel caso appesentato in figua la componente y della foza elastica è positiva e quindi coincidente con il modulo della foza elastica, petanto: In conclusione: F yel = ky. F yel = F el = k y = ky dato che y = y 6 Pe paete si intende un copo di massa così gande (paticamente infinita) che qualunque sia l'intensità della foza applicata, l'acceleazione subita è nulla. Se quindi inizialmente la paete ea fema continua a estae fema qualunque sia la foza applicata. 98

34 O F el F asse x asse x L'espessione pecedente, che noi con il dispositivo speimentale utilizzato potevamo povae soltanto pe gli allungamenti della molla, vale anche quando la defomazione podotta coisponde ad un accociamento della molla. Pe vedee questo fose è più comodo utilizzae una molla con uno dei capi attaccato ad una paete veticale e l'alto capo attaccato ad un punto mateiale libeo di muovesi su di un piano oizzontale. In questo caso si intoduce un sistema di ifeimento con l'asse x coincidente con l'asse della molla e l'oigine coincidente con la posizione del punto mateiale quando la molla isulta non defomata. Supponiamo oa di applicae al punto mateiale attaccato all'estemo libeo della molla una foza che lo sposta nel punto di coodinata x, maggioe di zeo. La molla ha cioè subito un allungamento pai ad x. A seguito di questa defomazione si genea nella molla una foza che tende a ipistinae la lunghezza iniziale, a ipotae cioè il punto mateiale nella posizione da esso occupata quando la molla ea indefomata: l'oigine del sistema di ifeimento fissato. Si dice infatti che si tatta di una foza di ichiamo. La foza è dietta, in questo caso, in veso opposto all'asse x. Se l'allungamento della molla è piccolo, cioè se non abbiamo O x supeato il limite elastico della molla, la foza è popozionale alla defomazione, cioè all'allungamento della molla, e si può scivee: F el = kx i F x F el O asse x dove k è la costante elastica della molla, mente il segno meno tiene conto del fatto che la foza è dietta in veso opposto all'asse delle x. Se invece di allungala, compimiamo la molla, la coodinata x del punto mateiale attaccato all'estemo libeo della molla è negativa. La foza, in questo caso, è dietta secondo l'asse delle x, infatti tende a ipotae l'estemo libeo nell'oigine. Quindi anche in questo caso si può scivee: F el = kx i In geneale si avà Fx = kx : la componente x della foza elastica è uguale all opposto del podotto della costante elastica della molla pe la posizione del punto mateiale misuata in un sistema di ifeimento avente l'oigine coincidente con la posizione del punto mateiale quando la molla non è defomata. La foza elastica è quindi sempe dietta veso l'oigine del sistema di ifeimento e tende a ipotae il punto mateiale popio in questa posizione. La foza elastica appesenta la eazione 7 con cui la molla si oppone alle defomazioni subite e, popio pe contastale, pe idule, tende a ipotae il punto mateiale nella posizione in cui la defomazione della molla è nulla. Una foza con queste popietà viene indicata con la denominazione di foza di ichiamo. Possiamo concludee che l espessione della foza elastica appena tovata, F el = kx i, o equivalentemente nella foma F elx =-kx, vale pe qualsiasi defomazione (compessione o allungamento). Questa legge della foza va sotto il nome di legge di Hooke, che pe pimo la deteminò empiicamente. 7 Anche in questo caso il temine eazione non ha niente a che vedee con le foze di azione e eazione peviste dalla teza legge di Newton. 99

35 Reazioni vincolai. Si chiamano eazioni 8 vincolai, quelle foze che si oiginano dalle limitazioni al movimento dei punti mateiali imposte dai copi cicostanti. Pe esempio, quando un oggetto è poggiato sul piano oizzontale di un tavolo, il tavolo impedisce all'oggetto di penetae all'inteno di esso. Il piano del tavolo appesenta quindi un vincolo pe l'oggetto, una limitazione al suo moto: infatti l'oggetto non può penetae nel piano del tavolo. Questa limitazione al moto del copo viene podotta attaveso una foza applicata dal piano del tavolo all'oggetto detta appunto "eazione vincolae". A sua volta il piano del tavolo subià una foza uguale e contaia da pate dell'oggetto come pevisto dalla teza legge di Newton. Al contaio delle alte foze incontate finoa, pe la eazione vincolae non è possibile fonie una espessione della foza: occoe deteminae il suo valoe caso pe caso applicando la seconda legge di Newton. Esistono comunque delle popietà che possono essee stabilite a pioi. La eazione vincolae si può scompoe in una componente pependicolae al vincolo, la componente nomale N, ed una componente paallela al vincolo, la foza di attito. 4. La nomale N è sempe dietta nello spazio in cui è consentito il moto del copo. La nomale N è quindi sempe epulsiva, mai attattiva. (Se nella isoluzione di un poblema si dovesse tovae che è ichiesta una nomale attattiva, vuol die semplicemente che è venuto meno il contatto ta il copo ed il vincolo. La condizione di pedita di contatto ta il copo ed il vincolo si ealizza quando N =0 ). 5. Se c è contatto ta il copo ed il vincolo alloa sicuamente c è la componente nomale della eazione vincolae. Vicevesa la componente paallela al vincolo potebbe anche essee assente. Componente nomale. Come esempio di componente nomale della eazione vincolae consideiamo un copo di massa m poggiato su un piano oizzontale, pe esempio un tavolo. Se il tavolo è sufficientemente obusto, esiste senza ompesi all azione esecitata su di esso del copo appoggiato e, come conseguenza, il copo esta femo. Affinché il copo sia femo, sulla base della seconda legge di Newton, è necessaio che la isultante delle foze che agiscono sul copo sia nulla. Quindi è necessaio che il tavolo eseciti sul copo una eazione vincolae R v tale che R v + mg = 0 R v = mg P = mg La eazione vincolae in questo caso è dietta veticalmente in veso opposto al peso del copo e la sua intensità è popio uguale ad mg. Poiché in questo caso essa è pependicolae alla supeficie del copo che l'ha geneata, il piano oizzontale, essa coincide con la componente nomale della eazione. In questo caso la componente paallela al vincolo della eazione vincolae è nulla. Qual è l'oigine di questa foza? Il copo poggiato sul tavolo povoca una piccola defomazione del piano che genea una foza elastica che si oppone alla defomazione. Foze di attito. E' stata popio la pesenza della eazione vincolae, in paticolae della sua componente nomale N che ci ha pemesso, come abbiamo già ossevato, di intodue il concetto di punto mateiale libeo e quindi di giungee alla fomulazione del pimo pincipio della dinamica. D'alto lato, nell'intodue il pimo pincipio della dinamica, abbiamo ossevato che se si mette in moto un copo su un piano oizzontale non pefettamente liscio, si muoveà di moto più o meno itadato, e pima o poi si femeà. La diminuzione di velocità subita dal copo, come abbiamo visto, è legata allo stato delle supefici di contatto ta copo e piano: infatti, agendo oppotunamente su queste supefici, si iesce a modificae l'acceleazione subita dal copo nel suo moto sul piano oizzontale. Poiché oa sappiamo che esponsabile dell'acceleazione è la foza, così come stabilisce la seconda legge della dinamica, ci endiamo conto che il piano oizzontale nell'inteagie col copo in moto su di esso, esecita olte alla N 8 Vedi la nota pecedente. 100

36 componente nomale N della eazione vincolae, anche una foza paallela al piano che si chiama foza di attito. In geneale possiamo affemae che ogni volta che una supeficie di un copo scivola sulla supeficie di un alto copo, sul copo agisce una foza di attito che si oppone al moto, e non lo favoisce mai. Ma le foze di attito sono pesenti anche in assenza di movimento. Consideiamo il seguente esempio. Supponiamo di avee un copo di massa m poggiato su di un piano oizzontale. Abbiamo già visto che, in queste condizioni, il piano oizzontale esecita sul copo una eazione vincolae che ha soltanto una componente pependicolae al piano. Infatti è necessaia solo la componente nomale al piano pe endee nulla la isultante delle foze applicate al copo. Supponiamo oa di applicae al copo poggiato sul piano oizzontale una foza avente sia una componente veticale che una componente oizzontale. Si osseva che, pe piccoli valoi della componente oizzontale della foza applicata, il P = mg copo imane femo sul piano. In base alla seconda legge della dinamica, questo implica che la isultante delle foze applicate al copo è nulla. Cioè si può scivee: Se intoduciamo un sistema di ifeimento con l'asse y veticale e l'asse x oientato secondo la componente oizzontale della foza estena applicata al copo, possiamo poiettae la pecedente equazione vettoiale nelle te equazioni scalai coispondenti. Nel sistema di ifeimento intodotto la foza estena ha soltanto le componenti secondo l'asse delle y ( f v ) e secondo l'asse delle x (f o ), il peso solo la componente y ( mg), mente le componenti della eazione vincolae offeta dal piano P + fv + fo + Rv = ma = 0 oizzontale saanno R x, R y e R z. La componente R y coincide con la componente nomale della eazione vincolae e, pe questo continueemo ad indicala con N. asse x R x + f o = 0 R x = - f o asse y N - mg - f v = 0 N = mg + f v asse z R z = 0 R z = 0 Si vede che la componente oizzontale della eazione vincolae è uguale ed opposta alla componente oizzontale della foza applicata. Se si aumenta l'intensità della componente oizzontale della foza applicata, si osseva che il copo imane femo fino a che la componente oizzontale della foza non supea un ceto valoe limite, cioè fin tanto che: f o f o max P = mg Questo significa che l'intensità della foza di attito, cioè della componente oizzontale della eazione vincolae, può essee al massimo uguale a: F as max = f o max Tale valoe limite dipende dalla componente veticale della foza applicata. Infatti più alta è l'intensità della componente veticale della foza applicata, più gande è il limite supeioe della componente oizzontale, in coispondenza del quale il copo imane ancoa femo. Si tova, infatti, che la foza di attito statico massima isulta essee popozionale alla componente nomale della eazione vincolae. Cioè: F F y P P = mg f v R v F as N fo F = mg F f v fo x 101

37 F as max = µ s N µ s viene detto coefficiente di attito statico e dipende dalle natua delle supefici a contatto (tipo di mateiale, stato di levigatezza, etc). L'indice s sta pe statico. In geneale, quindi, la foza di attito statico, cioè la componente paallela alla supeficie di contatto della eazione vincolae, può assumee tutti i valoi ta 0 ed il valoe massimo, pai a µ s N. Cioè: F as µ s N Il suo valoe è deteminato, caso pe caso, dalla dinamica del poblema. Nell esempio consideato dipendeva dall'intensità della componente paallela alla supeficie di contatto della foza applicata: possono esseci anche dei casi in cui la componente paallela al vincolo delle alte foze applicate è nulla, ma non lo è la foza di attito statico. Sempe facendo ifeimento all esempio, la foza di attito ha la stessa diezione, il veso opposto e lo stesso modulo della componente paallela alla supeficie di contatto della foza applicata, puché questa sia minoe di µ s N. Questo si può anche espimee dicendo che la eazione vincolae si tova sempe in un cono con vetice nel punto di contatto e di semiapetua θ, tale che: tan θ = µ s Questo cono si chiama cono di attito statico. Quando la componente oizzontale della foza applicata, f o, diventa maggioe di µ s N, il copo comincia a muovesi. Pe questo il valoe massimo della foza di attito, F as max = µ s N, viene anche indicato come "attito di pimo distacco" oppue "attito di moto incipiente". Una volta che il copo è stato messo in movimento, si osseva che, pe mantenelo in moto ettilineo unifome occoe applicae, nella diezione del moto, una foza oizzontale avente una intensità, f' o, che è più piccola di quella necessaia pe mettee in movimento il copo, che abbiamo visto essee pai a µ s N. Siccome anche nel caso di moto ettilineo unifome, la isultante di tutte le foze applicate al copo deve essee nulla, la foza di attito dinamico esecitata dal piano sul copo deve essee uguale ed opposta alla foza oizzontale applicata. La foza di attito dinamico è dunque dietta in veso opposto al moto del copo e si può espimee come F ad = µ d N Dove l'indice d indica l'attito dinamico. In un ampio intevallo di velocità, µ d è un coefficiente che dipende dalla natua delle supefici a contatto. Ovviamente, da quel che abbiamo detto, isulta che µ d è più piccolo di µ s. Le due elazioni: F as µ s N F ad = µ d N sono due elazioni empiiche che nella loo semplicità tengono conto di tutta una seie di compotamenti micoscopici complicatissimi. I coefficienti µ s e µ d non dipendono dalla estensione della supeficie di appoggio. Dipendono invece: dallo stato delle supefici di contatto. dai mateiali che costituiscono le supefici di contatto. dalla tempeatua. dalla pesenza di alti mateiali, in paticolae dalla pesenza di pellicole liquide. Fissata la natua delle supefici, i coefficienti µ s e µ d nelle elazioni F as µ s N F ad = µ d N possono essee assunti come costanti in un intevallo piuttosto ampio di valoi della componente nomale della eazione vincolae N e della velocità v del copo. Al di fuoi di questo intevallo, tali 10

38 elazioni possono essee ancoa usate, ma bisogna tene conto che i coefficienti µ s e µ d dipendono ispettivamente da (N/S) e (v,n/s), dove S è la supeficie di appoggio. E' bene guadae un po' in dettaglio l'oigine delle foze di attito, non tanto pe deteminae la loo espessione, quanto pe tovae delle giustificazioni a quanto ossevato speimentalmente. Una supeficie, pe quanto possa essee levigata, pesenteà sempe, a livello micoscopico, delle aspeità. Quando noi poggiamo un copo su di un piano oizzontale, in ealtà lo poggiamo su un ceto numeo di queste aspeità. A causa dell inteazione ta il copo e il piano di appoggio, queste aspeità si defomano, tendono cioè a schiacciasi: in coispondenza di ciascuna aspeità si cea una piccola zona in cui i due copi sono ealmente a contatto. Le dimensioni di questa zona dipendono dalla defomazione subita dalla aspeità. Oa, noi sappiamo che i mateiali eagiscono alle defomazioni geneando una foza elastica. Quindi, in ciascun punto di contatto si oigineà una foza di tipo elastico che saà popozionale alla defomazione e quindi all'aea di effettivo contatto. La somma di tutte queste foze elastiche, oiginatesi nei punti di contatto, costituisce la eazione vincolae che, nel caso di un copo appoggiato su di un piano oizzontale, possiede solo la componente nomale N, la quale bilancia il peso del copo. Da questo deiva che l'aea di effettivo contatto è popozionale al peso del copo. Nei punti di contatto si fomano dei legami a livello molecolae ta un copo e l'alto. Il numeo di tali legami è popozionale alla supeficie di effettivo contatto ta i due copi, che abbiamo visto essee popozionale al peso del copo appoggiato, o, equivalentemente, alla componente nomale della eazione vincolae. La foza di attito è popio uguale ed opposta alla foza necessaia pe ompee questi legami. Si capisce anche peché la foza di attito non può dipendee dalla supeficie macoscopica di appoggio del copo sul piano: infatti, l'aea di effettivo contatto deve essee sempe la stessa, indipendentemente dalla supeficie macoscopica di appoggio, in quanto deve essee popozionale al peso del copo. Se la supeficie di appoggio è gande ci saanno molti punti di contatto, ciascuno debolmente defomato, ciascuno quindi con una piccola aea di contatto effettivo; se invece la supeficie di appoggio è piccola, ci saanno meno punti di contatto ma con una maggioe defomazione, quindi ciascuno con una aea di effettivo contatto più gande. Questo semplice modello è in gado di spiegae anche peché il coefficiente di attito dinamico è più piccolo di quello statico. La foza di attito, sulla base delle consideazioni pecedenti, può essee intepetata come la foza necessaia a ompee i legami che si stabiliscono nelle zone di effettivo contatto. Nel caso dell attito statico, poiché le supefici a contatto sono feme una ispetto all alta, c è tutto il tempo necessaio peché questi legami si consolidino, nel caso invece dell attito dinamico, in cui le supefici a contatto scoono una sull alta, questi legami si ceano e si ompono in tempi estemamente stetti e quindi isultano più deboli di quelli che si geneano nel caso statico. Le foze d'attito sono molto impotanti. Esse infatti ci consentono di camminae, scivee, tenee in mano degli oggetti, degli utensili etc. Sono le foze di attito che consentono ad una automobile di acceleae o di aestasi (anche possedendo un motoe molto potente, un automobile ha difficoltà ad acceleae sul ghiaccio o sulla 103

39 spiaggia nella sabbia). L'attito viene anche utilizzato pe ealizzae i feni, o attacchi a fizione. Si ceca in questi casi di lavoae con elevati valoi di µ s e di posi nelle condizioni possime al moto incipiente, in maniea tale che la foza di attito sia massima. In molti alti casi invece l'attito è indesideato: pe esempio negli inganaggi. In una automobile il 0% della potenza del motoe è spesa pe vincee le foze di attito. Si ceca in questi casi di idue l'attito utilizzando pe esempio dei lubificanti. E' anche vantaggioso sostituie a copi che stisciano, copi che otolano (attito volvente). Infatti mente nel pimo caso è necessaio tanciae le micosaldatue pe podue il movimento, e tutte allo stesso istante, nel secondo caso queste vengono otte pe stiamento, e solo una piccola fazione alla volta. Si ottiene così una notevole iduzione dell'attito. Tensione in una coda. Le code vengono spesso usate pe tasmettee delle foze. Le code sono in gado di esecitae delle foze a "tiae", in nessun caso è possibile spingee con una coda o esecitae, attaveso la coda, una foza tasvesale ispetto alla diezione della coda tesa. Se ad una coda viene applicata una foza con una componente pependicolae alla coda stessa, alloa la coda tende a modificae la popia diezione e ad allineasi con la foza applicata. Consideiamo una coda tesa e ne isoliamo un tatto. Questo tatto inteagià con il esto della coda, in paticolae con la pate di coda a desta e con la pate di coda a sinista. Chiamiamo F d la foza esecitata dalla pate di coda a desta sul tatto di coda in esame e F s quella esecitata dalla pate di coda a sinista. Poiché abbiamo detto che le code esecitano solo foze a tiae aventi la diezione della coda stessa la situazione saà quella mostata in figua. Possiamo scivee la seconda legge di Newton pe il tatto di coda consideato: F s + F d = ma dove abbiamo indicato con m la massa della pate di coda in esame. Se la coda è fema alloa l'acceleazione a è uguale a zeo. Petanto Pate a sinista F s Pate a desta F d F s = F d cioè la foza esecitata dalla pate a sinista sul tatto di coda in esame è uguale alla foza esecitata dalla pate a desta. Ma pe il pincipio di azione e eazione la foza esecitata dal tatto di coda in esame sulla pate di coda a sinista saà uguale a F s, e quindi uguale a F d. La coda quindi tasmette sulla pate di coda a sinista tutta la foza esecitata dalla pate di coda alla sua desta. Se l'acceleazione a della coda non è nulla e non è nulla neppue la massa della coda, alloa F s = ma F d. In questa caso la foza esecitata dalla pate di coda a sinista è divesa dalla foza esecitata dalla pate a desta. Se peò la massa della coda è piccola ispetto a quella degli alti copi con cui la coda inteagisce, pe cui è possibile tascuala, consideala nulla, si itona alla condizione F s = F d. Anche in questo caso dunque la coda tasmette inalteata la foza applicata ad un suo estemo all'alto estemo. A meno che non venga esplicitamente detto, noi suppoemo che le code utilizzate nei poblemi siano code ideali: inestensibili e pive di massa. Petanto sia in condizioni statiche che in condizioni dinamiche questo tipo di code tasmette lasciandola inalteata la foza applicata ad un estemo all'alto. In queste condizioni, in qualunque posizione noi andiamo a tagliae idealmente la coda, la pate a desta eseciteà sulla pate a sinista una foza F, e pe il pincipio di azione e eazione, la pate a sinista eseciteà sulla pate a desta una foza F, e l'intensità di tale foza è indipendente dal paticolae punto in cui è eseguito il taglio ideale. A questa foza si da il nome di tensione della coda. La tensione è dunque, nel caso di coda a massa nulla, costante lungo tutta la coda. 104

40 Consideiamo oa un blocco su un piano oizzontale a cui è attaccata una coda. La coda è tiata da un uomo con una foza F 9 cu dietta secondo l'asse delle x. La coda eseciteà sull'uomo una foza uguale e contaia, F uc. La coda esecita sul blocco una foza F bc dietta lungo l'asse delle x mente il blocco esecita sulla coda una foza uguale e contaia, F cb. La foza totale agente sulla coda è data dalla elazione: R = F cu + F cb = m c a F cu Se l'acceleazione a è divesa da zeo, alloa la foza esecitata dall'uomo sulla coda è divesa dalla foza esecitata dalla coda sul blocco. Solo se a = 0 la foza esecitata dall'uomo sulla coda è uguale alla foza esecitata dalla coda sul blocco. Questo isultato vale anche nel caso ideale in cui la massa della coda è uguale a zeo. In questo caso isulta essee sempe veificata la elazione: F cb F bc F cu F cu = F cb = F bc Cioè la foza in questo caso è inteamente tasmessa pe mezzo della coda dall'uomo al blocco. Spesso si usano delle caucole pe cambiae la diezione della tensione. A meno che non venga detto esplicitamente il contaio, noi consideemo le caucole pive di massa o con un aggio molto piccolo. In queste condizioni il loo unico effetto è quello appunto di fa cambiae la diezione alla tensione ma non la sua intensità. Dopo ave studiato i moti di otazione dei copi igidi potemo deteminae l'effetto di una caucola di dimensioni finite e dotata di massa sull intensità della tensione. M T T m Resistenze passive. Resistenze passive sono quelle foze che si manifestano su di un copo in moto e sono sempe diette in maniea contaia al moto. Un esempio è l'attito dinamico. Un alto esempio è costituto dalla foza che un fluido esecita su di un copo che si muove in esso, pe esempio un'automobile che si muove nell'aia. Pe penetae nel fluido, il copo deve spostalo, la eazione del mezzo a questo spostamento è una foza che si oppone al moto. Pe velocità molto basse (egime viscoso) la foza è popozionale alla velocità: F = b v dove b è una costante positiva che dipende dal fluido, dalle dimensioni e dalla foma del copo. Pe esempio pe un copo di foma sfeica (aggio ) che si muove in un fluido viscoso avente coefficiente di viscosità η, b è dato dalla legge di Stokes: b = 6!η L'equazione dimensionale del coefficiente di viscosità η è data da: [n] = [ML -1 T -1 ] e le sue unità di misua nel sistema SI sono Kg/(m s), mente nel sistema CGS sono g/(cm s) e vengono chiamate poise. A velocità più elevate, quelle tipiche di un automobile (100km/h) ientano in questo caso, la esistenza passiva ha una dipendenza dal quadato della velocità. 9 F cu : il pimo indice indica il copo su cui la foza agisce, il secondo indica il copo che genea la foza. 105

41 Il suo modulo può essee espesso nel seguente modo: D = 1 CρAv dove C = coefficiente aeeodinamico ( 0.4 1) ρ = densità del fluido A = aea efficace Anche in questo caso la diezione è quella della velocità, il veso opposto al moto. Foze di azione e eazione. Facciamo alcuni esempi di foze di azione e eazione. Consideiamo un copo appoggiato su di un piano oizzontale. Il blocco è soggetto alla foza di attazione della Tea P. Pe la teza legge di Newton una foza uguale ed opposta viene esecitata dal blocco sulla Tea, P '. Queste due foze costituiscono una coppia di azione e eazione. Se queste fosseo le uniche foze pesenti nel sistema, il blocco cadebbe veso la Tea, sotto l'azione della foza P acquistando una acceleazione in accodo alla seconda legge della dinamica. Anche la Tea cadebbe veso il copo, sotto l'azione della foza P '. Si ossevi che a causa della gande diffeenza di massa ta la Tea ed il copo, e data l'eguaglianza dei moduli delle foze P e P ', l'acceleazione subita dalla Tea è estemamente più piccola di quella subita dal copo. E' pe questo che solitamente si tascua il moto della Tea e si dice semplicemente che il copo cade veso la Tea. Poiché questo non accade, il copo infatti imane femo sul piano oizzontale, vuol die che c'è qualche alta foza che agisce sul copo. Infatti il copo essendo appoggiato sul piano oizzontale inteagisce con esso: il piano oizzontale esecita quindi sul blocco una foza nomale N che bilancia esattamente la foza P (questo si deduce applicando al copo la seconda legge di newton ed ossevando che il fatto che il copo imane femo: N + P = ma = 0 ). Il blocco isulta petanto in equilibio. Ma se il piano esecita sul blocco una foza, il blocco a sua volta esecita sul piano una eazione uguale e contaia, N '. Anche le foze N ed N ' costituiscono una coppia di foze di azione e eazione. P N N' Cento della Tea P' 106

42 Applicazioni delle leggi di NEWTON Regole da utilizzae nella soluzione di poblemi che ichiedono l uso delle leggi di NEWTON 1. Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. In qualche poblema è pesente più di un punto mateiale: le opeazioni descitte ai successivi punti dal al 6 vanno ipetute pe ogni punto mateiale pesente nel poblema.. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto In molti poblemi si faà uso del sistema del laboatoio, ma in qualche alto caso come nei poblemi di gavitazione conveà usae un sistema geocentico (moto della luna e dei satelliti atificiali) o eliocentico (moto della tea, moto dei pianeti). In qualche alto caso, come pe descivee moti che avvengono in un teno, su una nave, si potanno usae dei sistemi di ifeimento legati al teno, alla nave etc puchè questi oggetti si muovono di moto ettilineo unifome ispetto al sistema del laboatoio, altimenti occoeà consideae sempe il sistema del laboatoio. 3. Deteminae tutte le foze agenti sul punto mateiale sotto ossevazione. Pe icecae le foze dobbiamo tene pesente che nei sistemi di ifeimento ineziali le foze sono foze di inteazione, nel senso che olte ad esseci il copo che le subisce (il copo sotto ossevazione) pe ciascuna foza si può deteminae il copo che la oigina. Pe icecae le foze agenti sul copo sotto ossevazione occoe quindi guadae nell ambiente cicostante il copo stesso ed individuae quei copi che possono dae oigine a foze. È utile tene pesente che le foze si possono suddividee in 1. foze che agiscono a distanza (non è ichiesto il contatto ta il copo che oigina la foza ed il copo che la subisce). Pe esempio la foza peso, la foza di gavitazione univesale, la foza elettostatica ta caiche elettiche, la foza di Loentz.. foze di contatto (agiscono solo se c è contatto ta il copo che oigina la foza ed il copo che la subisce). Pe esempio la eazione vincolae (composta dalla componente nomale al vincolo N e dalla componente paallela, la foza di attito), la tensione della coda, la foza elastica, la esistenza passiva. Petanto, una volta iconosciute le foze che possono agie a distanza, basta guadae i copi a contatto con il copo sotto ossevazione. Nel deteminae le foze agenti sul copo si suggeisce di localizzae il copo stesso in una posizione possibilmente divesa sia da quella iniziale che da quella finale, una posizione intemedia scelta abitaiamente. 4. Costuie il diagamma del copo libeo. È utile affiguae con dei vettoi le foze agenti sul copo in quanto questa opeazione semplifica quella pevista dal successivo punto 6. Molto spesso vengono semplicemente ipotate le foze nello schizzo che affigua la situazione fisica in cui avviene il moto ed in cui sono appesentati tutti i vincoli pesenti. Si suggeisce comunque di affiguae le foze agenti sul punto mateiale oggetto dell ossevazione in uno schizzo in cui non sono appesentati né i vincoli, né i dispositivi utilizzati pe applicae le foze, molle, code, etc. Lo schizzo così costuito si chiama diagamma del copo libeo. 5. Scivee la seconda legge della dinamica (in foma vettoiale). F = ma 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoiale). Ogni equazione vettoiale è equivalente a te equazioni scalai ottenute eguagliando le componenti dei vettoi lungo te diezioni ta loo otogonali. F F F ( ) x = ma ( ) y = ma ( ) z = ma ( ) x ( ) y ( ) z 107

43 Pe poiettae la seconda legge della dinamica non è necessaio utilizzae gli assi del sistema di ifeimento ineziale utilizzato pe scivela. Infatti quando due vettoi sono uguali devono essee uguali anche le loo componenti lungo una qualsiasi delle infinito alla te diezioni dello spazio. Pe tovae le te equazioni scalai coispondenti all equazione vettoiale di patenza basta eguagliae le componenti dei vettoi lungo te diezioni abitaiamente scelte puché pependicolai ta loo. È chiao quindi che si ha la massima libetà nella scelta delle diezioni degli assi su cui poiettae l equazione vettoiale. Ricodando che: ( F ) x = F x ( m a ) x = ma x F x = ma x F F ( ) y = F ( ) z = F y z ( ma ) y = ma y ( ma ) z = ma z F y = ma y F z = ma z 7. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema, se due copi sono connessi da una coda ideale, quindi di lunghezza costante, è possibile scivee delle elazioni ta i loo spostamenti e quindi ta le loo velocità e le loo acceleazioni. Se un copo è femo (x,y e z costanti), tutte e te le componenti dell acceleazione sono nulle. In alcuni casi solo alcune delle coodinate del punto mateiale sono costanti, ne deiva le coispondenti componenti dell acceleazione sono nulle. Se la taiettoia pecosa è cuva, cioè non ettilinea, alloa la componente nomale dell acceleazione vale a n = v (v=modulo della velocità, aggio di cuvatua della taiettoia). Alcune delle foze possono avee lo stesso modulo: - Coppia di foze di azione e eazione, in base alla teza legge. - Foze esecitate su oggetti divesi dallo stesso tatto di coda. Etc. 8. Deteminae le componenti dell acceleazione o, detto in alti temini, le acceleazioni dei punti poiezione nei loo moti ettilinei sugli assi coodinati. F a x = x F x = ma m x F F y = ma y a y = y m F z = ma z F a z = z m 9. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate. 1. se qualcuna delle componenti dell acceleazione è costante, alloa vuol die che il moto del punto poiezione sull asse consideato è un moto unifomemente acceleato.. L acceleazione è costante se tutte le gandezze da cui dipende sono delle costanti: pe esempio m,g,µ s, µ c, senθ (con θ costante), etc.. Pe essee costante l acceleazione non deve dipendee dal tempo o da gandezze dipendenti dal tempo come la posizione o la velocità. 3. Se qualcuna delle componenti dell acceleazione è popozionale all opposto della posizione coispondente alloa il moto è amonico. 4. Se qualcuna delle componenti dell acceleazione è popozionale all opposto della coispondente componente della velocità, il moto lungo quella diezione è smozato. 5. Se nessuno di questi casi paticolai è veificato occoe pocedee con la isoluzione delle equazioni diffeenziali. Moto unifome Acceleazione nulla a x =0 x = x o + v xo t v x = v xo 108

44 Moto unifomemente acceleato Moto amonico Moto smozato Acceleazione costante: a x =costante x = x o + v xo t + 1 a x t Acceleazione popozionale all opposto della posizione: a x = ω p x Acceleazione popozionale all opposto della velocità a x = γv x v x = v xo + a x t ( ) ( ) x = Acos ω p t + ϕ o v x = Aω p sen ω p t + ϕ o v x = v e γt xo x = x o + v xo γ ( 1 e γt ) 10. Scivee le leggi oaie facendo attenzione ad inseie coettamente le condizioni iniziali. Se qualcuna delle condizioni descitte al punto 9 è veificata si può passae a scivee la coispondente legge oaia sulla base della coispondenza mostata nella tabella pecedente. Altimenti andanno isolte le te equazioni diffeenziali se dovesseo isultae indipendenti o il sistema di equazioni diffeenziali in caso contaio. Vanno individuate infine le condizioni iniziali, cioè la posizione e la velocità all istante di tempo iniziale (genealmente l istante t=0 s) pe ciascuno dei copi pesenti nel poblema e, sulla base di queste, vanno deteminati i paameti libei nelle soluzioni geneali. 11. Deteminae le foze mancanti. Quando sul copo agiscono eazioni vincolai, con componente nomale e foza di attito, oppue la tensione di una coda, poiché queste foze non sono note a pioi esse vanno deteminate sulla base delle te equazioni scalai descitte pecedentemente. Ho voluto iassumee in questo paagafo la pocedua da seguie pe la soluzione dei poblemi che ichiedono l applicazione delle leggi di Newton. Pe appezzane la loo utilità è necessaio applicale ad un caso conceto. Si pega petanto di ileggee questo paagafo dopo ave seguito alcuni degli esempi poposti o ave svolto qualche poblema. 109

45 Moto sul piano inclinato. Si considei un copo di massa m appoggiato su un piano inclinato ispetto al piano oizzontale con inclinazione vaiabile con continuità da zeo a 90. Speimentalmente si osseva che quando l'angolo aggiunge il valoe θ s =30 il m copo inizia a muovesi. Se, una volta che il copo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valoe θ s =30, si osseva che il copo si muove di moto ettilineo unifomemente acceleato. Se, invece, subito dopo ave messo in moto il copo, l'inclinazione viene apidamente diminuita e potata al valoe θ d =5, il moto isulta essee ettilineo unifome. Deteminae i valoi dei coefficienti di θ attito statico e dinamico µ s e µ d ta il piano inclinato e il copo di massa m e l acceleazione nel caso in cui l inclinazione del piano viene mantenuta uguale a θ s =30. Cechiamo in questo esempio di utilizzae la pocedua illustata nel paagafo pecedente. 1. individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. Nel nosto caso si tatta del copo di massa m poggiato sul piano inclinato. y. fissae il sistema di ifeimento ineziale. Pe moti che avvengono nel laboatoio si può scegliee il sistema del Laboatoio. Ovviamente siamo libei di scegliee l'oientazione del sistema di ifeimento in maniea tale da semplificae i calcoli. Nel nosto caso, pe esempio, possiamo scegliee un sistema ifeimento il cui piano xy sia il piano veticale contenete la nomale al piano stesso, l'asse y coincidente con la nomale al piano, l'asse x paallelo al piano, dietto veso la base del x piano, e l'asse z dietto in maniea da fomae una tena destosa. Possiamo anche fissae l'oigine del sistema di ifeimento coincidente con la posizione del punto mateiale all'inizio del moto. 3. deteminae tutte le foze che agiscono sul copo. Pe tovae le foze occoe guadae ai copi che sono intono al copo di massa m. 1. inteazioni a distanza: l aggettivo inclinato, ifeito al piano, pesente nella taccia ci fa capie che siamo nelle vicinanze della supeficie teeste (infatti aggettivi come oizzontale, veticale e inclinato hanno solo significato sulla supeficie teeste). Il copo di massa m saà dunque soggetto alla foza peso P = m g.. Inteazioni con contatto: il copo di massa M è a contatto con il piano inclinato. E logico attendesi una inteazione ta il copo di massa m ed il piano inclinato. Dato che il piano inclinato costituisce un vincolo al moto del copo di massa m, la foza che il piano inclinato eseciteà sul copo di massa m è la eazione vincolae. Questa avà sia la componente nomale N che la componente tangente, la foza di attito F a. Pe piccoli valoi dell angolo di inclinazione, fino all angolo di θ s =30, la foza di attito saà di attito statico. Ovviamente quando il copo si muove la componente paallela della eazione vincolae saà di attito dinamico. La diezione della foza di attito statico è deteminata della componente paallela al piano della foza agente sul copo, che nel nosto caso è la foza peso. Quest'ultima può essee decomposta in una componente nomale ed una paallela al piano. La componente paallela è contenuta nel piano xy, il piano veticale contenente anche la nomale al piano inclinato. Anche la foza di attito statico giace in questo piano. Quando l'angolo del piano inclinato viene aumentato, la componente paallela al piano della foza peso aumenta fino a diventae più gande della massima 10 foza di attito che il piano può esecitae: a questo punto il copo si mette in movimento. Siccome il copo pate da femo, il suo moto avveà nella diezione della 10 Si ossevi che anche la nomale N diminuisce. Con l aumentae dell angolo diminuisce anche la massima foza di attito che il piano inclinato può escitae, peché diminuisce N. 110

46 componente paallela della foza peso. Ne deiva che il moto avviene nel piano veticale contenente la nomale al piano inclinato. La foza di attito dinamico, che si oppone al moto, è anch'essa contenuta in questo piano. N Fa P 4. costuie il diagamma del copo libeo: in un diagamma sepaato si ipotano nel sistema di ifeimento fissato, le foze che agiscono sul punto mateiale. y N Fa P x 5. applicae la seconda legge di Newton in foma vettoiale. Nel nosto caso si ha: P + N + F a = m a 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica. x y z mgsen θ F a = ma x N mg cosθ = ma y 0 = ma z 7. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema, Pe θ leggemente minoe, pe esempio un infinitesimo più piccolo, di θ s, il copo è ancoa femo, cioè a x è uguale a zeo, mente la foza di attito statico F s è solo un infinitesimo più piccola di quella massima. Si può scivee che: θ θ s a x = 0 F a = F s max Inolte, poiché il copo è femo, anche a y =0 8. Deteminae le acceleazioni dei punti poiezione. 9. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate 10. Scivee le leggi oaie. Possiamo talasciae nel nosto caso questi te punti peché sappiamo che il copo è femo. 111

47 11. Deteminae le foze mancanti. Utilizzando le equazioni scitte al punto 6 e le condizioni ipotate al punto 7 toviamo: F a max = mgsen θ s N = mg cosθ s Ricodando che il modulo della foza di attito statico massima e data da:f a max = µ s N possiamo icavae il coefficiente di attiti statico: µ s = F max a N = mgsenθ s mgcosθ s = senθ s cosθ s = tan θ s Il coefficiente di attito statico è popio uguale alla tangente dell angolo limite θ s (µ s =0.58). Consideiamo oa il caso in cui l angolo θ s viene idotto al valoe θ c. I punti dall uno al sei sono esattamente uguali a quelli del caso pedente ad eccezione del fatto che in questo caso la foza di attito da consideae è quella di attito dinamico. 6bis. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica. x y z mgsen θ F a = ma x N mg cosθ = ma y 0 = ma z 7bis. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema, 1. Essendo l attito dinamico, il modulo della foza di attito dinamico vale: F a = µ d N. L inclinazione del piano inclinato è θ d. 3. Poiché la taccia affema che quando l angolo è θ d il moto è unifome alloa vuol die che in questo caso a x è uguale a zeo. a x = 0 4. Poiché duante il moto il copo si mantiene sempe a contatto con il piano inclinato, questo vuol die che la sua coodinata y, nel sistema di ifeimento adottato, non cambia. Petanto la componente y della velocità è costante ed è uguale zeo, e anche la componente y della acceleazione è nulla, visto che la coispondente componente della velocità non vaia (è sempe uguale a zeo). a y = 0 8bis. Deteminae le acceleazioni dei punti poiezione. 9bis. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate 10bis. Scivee le leggi oaie. Anche in questo caso possiamo talasciae questi te punti peché sappiamo già dalla taccia che il moto è unifome. Fose vale la pena soffemasi un attimo sulla equazione del moto lungo l asse z: 0 = ma z Questa equazione ci dice che il moto lungo l asse z è un moto unifome. La legge oaia di un moto unifome è: z(t) = z o + v zo t Dalla taccia icaviamo che il copo pate da femo: al tempo t=0 (s) v zo =0 (m/s) e la posizione z o =0(m). Petanto z(t) è costantemente uguale a zeo. Il moto avviene nel piano xy, anzi in questo caso solo lungo l asse x. 11

48 z(t) = 0 (m) 11bis. Deteminae le foze mancanti. Utilizzando le equazioni scitte al punto 6bis e le condizioni ipotate al punto 7bis toviamo: F ad = mgsen θ d N = mg cosθ d Da cui icaviamo: µ d = F ad N = mgsenθ d = sen θ d = tan θ mgcosθ d cosθ d d Il coefficiente di attito dinamico è popio uguale alla tangente dell angolo θ d (µ d =0.47). Consideiamo oa il tezo caso in cui l angolo θ s viene mantenuto al valoe limite di 30. I punti dall uno al sei sono esattamente uguali a quelli dei casi pedenti tenendo peò conto del fatto che in questo caso la foza di attito da consideae è quella di attito dinamico. 6te. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica. x y z mgsen θ F a = ma x N mg cosθ = ma y 0 = ma z 7te. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema, 1. L inclinazione del piano inclinato è θ s.. La foza di attito da consideae è quella di attito dinamico, il modulo della foza di attito dinamico vale: F a = µ c N 3. Poiché duante il moto il copo si mantiene sempe a contatto con il piano inclinato, questo vuol die che la sua coodinata y, nel sistema di ifeimento adottato, non cambia. Petanto la componente y della velocità è costante ed è uguale zeo, e anche la componente y della acceleazione è nulla, visto che la coispondente componente della velocità non vaia (è sempe uguale a zeo). a y = 0 4. Pe quanto iguada il punto poiezione sull asse z valgono le consideazioni svolte pecedentemente al punto 10bis. Ne isulta che il moto del punto mateiale è un moto ettilineo sull asse x. 8te. Deteminae le acceleazioni dei punti poiezione. In questo caso siamo inteessati solo alla componente dell acceleazione lungo l asse x. Abbiamo già mostato che il moto del punto mateiale è un moto ettilineo lungo l asse x. Utilizzando la pima delle equazioni elencate al punto 6te e le ulteioi condizioni elencate al punto 7te, toviamo che la componente x dell acceleazione, che ta l alto è l unica componente non nulla, vale: a x = mgsenθ s F ac m = mg senθ s µ c N m Dalla seconda delle equazioni elencate al punto 6te, deteminiamo il valoe del modulo della componente nomale della eazione vincolae, anticipiamo cioè il punto 11te: N = mg cosθ s La componente x dell acceleazione diventa dunque: 113

49 a x = mgsenθ s µ c N m = mg senθ s µ c mg cosθ s m = g( senθ s µ c cosθ s ) 9te. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate La componente x dell acceleazione è costante a x = g( sen θ s µ c cosθ s ) essa dipende infatti da g, µ c e θ c, paameti che non vaiano duante il moto del copo di massa m. essa vale infatti: a x = 0, 9 m s Il moto del punto poiezione sull asse x è quindi un moto ettilineo unifomemente acceleato. 10te. Scivee le leggi oaie. Limitiamoci sempe a consideae il moto del punto poiezione sull asse delle x. La soluzione geneale del moto unifomemente acceleato è data da: x(t) = x o + v xo t + 1 a x t in cui x o e v xo sono ispettivamente la posizione e la componente x della velocità all istante iniziale cioè al tempo t=0 secondi. Poiché come si desume dalla taccia il punto mateiale pate da femo e dato che abbiamo scelto il sistema di ifeimento con l oigine coincidente con la posizione iniziale del punto mateiale, entambe le due quantità pecedenti sono nulle. La legge oaia diventa quindi: x(t) = 1 a x t = 1 g ( senθ µ cosθ s c s)t 11te. Deteminae le foze mancanti. Abbiamo già anticipato al punto 7te il calcolo del modulo della componente nomale della eazione vincolae. Moto del poiettile. Un cannone lancia un poiettile con una velocità iniziale v o =60m/s ad un angolo di 60 ispetto all oizzontale. Deteminae, tascuando la esistenza dell aia, 1. la distanza dal punto di patenza del punto di atteaggio del poiettile (gittata).. la velocità di impatto al suolo 3. la duata del moto 4. l altezza massima aggiunta dal poiettile. 5. il tempo impiegato pe aggiungela. 6. il valoe dell angolo pe il quale la gittata è massima ed il valoe della gittata. 7. la gittata quando l angolo è di Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. Il punto mateiale è il poiettile. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto Scegliamo un sistema di ifeimento con l oigine nella posizione del cannone, cioè coincidente con la posizione iniziale del poiettile, l asse y veticale, l asse x oizzontale in maniea che il vettoe della velocità iniziale sia contenuto nel piano xy (l asse x cioè è dietto nella diezione in cui punta la canna del cannone). L asse z è automaticamente fissato da queste scelte e dal fatto che la tena catesiana deve essee costuita con la egola della mano desta. 114

50 3. Deteminae tutte le foze agenti sul punto mateiale sotto ossevazione. Una volta che il poiettile ha abbandonato la canna del cannone, nell ipotesi di pote tascuae la esistenza dell aia, l unica foza agente è la foa peso P = m g. 4. Costuie il diagamma del copo libeo. In questo caso il diagamma del copo libeo è abbastanza semplice: 5. Scivee la seconda legge della dinamica (in foma vettoiale). P = m a g = a 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoiale). x 0 = a x y g = a y y (m) P θ o x (m z 0 = a z 7. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema. Nessuna condizione paticolae. 8. Deteminae le componenti dell acceleazione o, detto in alti temini, le acceleazioni dei punti poiezione nei loo moti ettilinei sugli assi coodinati. x a x = 0 y a y = g z a z = 0 9. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate. Il moto lungo l asse x è un moto unifome. Quello lungo l asse y è unifomemente acceleato. Quello lungo l asse z è unifome come quello lungo l asse z. x(t) = x o + v ox t y(t) = y o + v oy t 1 gt z(t) = z o + v oz t 10. Scivee le leggi oaie facendo attenzione ad inseie coettamente le condizioni iniziali. Avendo scelto l oigine del sistema di ifeimento coincidente con la posizione iniziale del poiettile isulta che: x o = 0 y o = 0 z o = 0 mente le componenti della velocità iniziale La legge oaia del poiettile diventa: v xo = v o cosθ o v yo = v o sinθ o v zo = 0 x(t) = v o cosθ o t y(t) = v o sinθ o t 1 gt z(t) = 0 v x = v o cosθ o v y = v o sinθ o gt v z = 0 Il fatto che la coodinata z sia costantemente uguale a zeo significa che il moto è piano ed avviene nel piano xy. Le equazioni paametiche della taiettoia sono: 115

51 x(t) = v o cosθ o t y(t) = v o sinθ o t 1 gt L equazione della taiettoia si ottiene eliminando il paameto tempo. Ricaviamo il tempo dalla pima equazione e sostituiamo nella seconda: t = x x y = v v o cosθ o sinθ o 1 o v o cosθ o g x v o cosθ o y = x tan θ o 1 g x v o cos θ o L'equazione è del tipo y = ax + bx ed è quella di una paabola come quella appesentata nel gafico. y (m) ( tan θo) y = g x v o = 50 m / s 1 v g o cos θ o x 11. Deteminae le foze mancanti. Non ci sono foze mancanti da deteminae v y θ o = 60ϒ G Avendo deteminato la taiettoia del poiettile, è possibile ispondee alle domande della taccia. 50 vx y max θ o 1. la distanza dal punto di patenza del punto 0 di atteaggio del poiettile (gittata). Pe calcolae la gittata occoe deteminae la coodinata x del punto di impatto. Poiché la x (m coodinata y del punto di impatto è uguale a zeo, occoe icecae i valoi della coodinata x quando la y è uguale a 0. y = 0 0 = x tan θ o 1 g x v o cos θ o x 1 = 0 x = tan θ v o o cos θ o g = v o cos θ o senθ o g cosθ o 0 = x tan θ o 1 g x v o cos θ o = v o senθ o cosθ o g La soluzione x 1 appesenta il punto di patenza, mente x quello di aivo. La gittata è la diffeenza delle due coodinate: G = x x 1 = v o senθ o cosθ o = 0.6 m g. la velocità di impatto al suolo Conviene ispondee pima alla successiva domanda. 3. la duata del moto 116

52 Pe calcolae la duata del moto occoe calcolae il tempo di impatto del poiettile. Si usa la legge oaia lungo l asse y imponendo che y sia uguale a zeo. y = 0 0 = t v o sinθ o 1 t 1 = 0 gt Il tempo t 1 coisponde al punto di patenza, t al punto di impatto. La duata del moto è la diffeenza ta i due tempi: t = v o sinθ o g D = t t 1 = v sen θ o o = 8.8 s g La velocità finale si può ottenee calcolando le due componenti all istante di tempo dell impatto t. v x = v o cosθ v x = v o cosθ o o v y = v o sinθ o gt v y = v o sinθ o g v sinθ o o = v g o sinθ o La componente x è la stessa di quella all inizio del moto, quella y è opposta a quella iniziale. Il modulo della velocità è lo stesso siaallo spao che all impatto. 4. l altezza massima aggiunta dal poiettile. Anche qui conviene ispondee pima alla domanda seguente. 5. il tempo impiegato pe aggiungela. Osseviamo che, essendo la velocità sempe tangente alla taiettoia, nel punto in cui la taiettoia aggiunge la massima altezza, la velocità ha solo la componente oizzontale, quindi la componente veticale della velocità è nulla. Si può usae questa condizione pe deteminae l istante di tempo in cui viene aggiunta la massima altezza. v y = v o sinθ o gt 0 = v v y = 0 o sinθ o gt t 3 = v sinθ o o g Il tempo pe aggiungee la massima altezza è esattamente la metà della duata del moto. Utilizzando la legge oaia possiamo colcolae le coodinate del punto in cui la taiettoia aggiunge la massima altezza, cioè all istante di tempo appena calcolto, t 3. x(t) = v o cosθ o t y(t) = v o senθ o t 1 gt t 3 = v o senθ o g x max = v o senθ o cosθ o g y max = v o senθ o v o senθ o g 1 g v senθ o o g x max = v o sen θ o cosθ o = m g y max = 1 v o sen θ o = 95.6 m g 6. il valoe dell angolo pe il quale la gittata è massima ed il valoe della gittata. Dall espessione della gittata, usando la elazione tigonometica sen θcosθ = sen θ otteniamo G = x x 1 = v o senθ o cosθ o g = v osen( θ o ) g La gittata saà massima a paità di velocità iniziale, quando il seno saà massimo. Il massimo della funzione seno è uguale a 1 in coispondenza di un angolo di 90. Possiamo concludee che la gittata saà massima in coispondenza di una angolo di lancio di 45. Il valoe della gittata massima saà: G max = v o g = 54.8 m 7. la gittata quando l angolo è di 30. G = v o sen( θ o ) = v o sen( * 30 ) = 0.6 m g g Il valoe della gittata con un angolo di tio di 30 gadi è uguale alla gittata con un angolo 117 ( )

53 di tio di 60. Angoli che distano da 45 della stessa quantità hanno la stessa gittata. L'oscillatoe amonico. Un punto mateiale di massa m=1 kg può muovesi lungo una guida oizzontale ettilinea piva di attito. Il copo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il secondo estemo della molla è connesso ad una paete veticale, come mostato in figua. Inizialmente il copo viene spostato in maniea da allungae la molla di un tatto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Deteminae la legge oaia, mostae che il moto è peiodico e deteminane il peiodo. F el 1. Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. Il punto mateiale è il copo di massa m.. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto Intoduciamo un sistema di ifeimento avente l'asse x coincidente con la guida ettilinea oizzontale l'asse y veticale e l'asse z in maniea da fomae una tena destosa. Abbiamo cua di scegliee l'oigine del sistema di ifeimento in modo da coincidee con la posizione del punto mateiale quando la molla non è defomata. Questa accotezza ci pemette di espimee la foza elastica esecitata dalla molla sul copo in funzione della posizione del copo attaveso la elazione: F x =-kx Il sistema di ifeimento così intodotto è connesso igidamente al Laboatoio, quindi è il sistema di ifeimento del Laboatoio. Pe moti beve duata esso può essee consideato ineziale. In tale sistema possiamo applicae le leggi di Newton. 3. Deteminae tutte le foze agenti sul punto mateiale sotto ossevazione. Se si tascua la pesenza dell aia, le inteazioni che il copo subisce sono le seguenti: Azioni a distanza: la foza peso Azioni pe contato: la foza dovuta alla molla, la eazione vincolae del piano (solo la componente nomale peché il vincolo è pivo di attito). 4. Costuie il diagamma del copo libeo. asse y asse y O F el x N P asse F el asse x O x P 5. Scivee la seconda legge della dinamica (in foma vettoiale). P + N + F e l = ma v N 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoiale). x y z F elx = ma x N mg = ma y 0 = ma z 118

54 7. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema. Poiché duante il moto il copo si mantiene sempe a contatto con il piano inclinato, questo vuol die che la sua coodinata y, nel sistema di ifeimento adottato, non cambia. Petanto la componente y della velocità è costante ed è uguale zeo, e anche la componente y della acceleazione è nulla, visto che la coispondente componente della velocità non vaia (è sempe uguale a zeo). L equazione lungo l asse z: a y = 0 0 = ma z ci dice che lungo l asse z il moto è unifome. La legge oaia del moto unifome è: z(t) = z o + v zo t Dalla taccia icaviamo che il copo pate da femo: al tempo t=0 (s) v zo =0 (m/s) e la posizione z o =0(m). Petanto z(t) è costantemente uguale a zeo. z(t) = 0 (m) Il moto avviene nel piano xy, anzi in questo caso solo lungo l asse x. 8. Deteminae le componenti dell acceleazione o, detto in alti temini, le acceleazioni dei punti poiezione nei loo moti ettilinei sugli assi coodinati. L unica acceleazione che ci imane da calcolae è quella lungo l asse x. D alto canto le consideazioni che abbiamo fatto ci potano a concludee che si tatta di un moto ettilineo lungo l asse x. a x = k m x 9. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate. La componente x dell acceleazione, l unica non nulla, dipende dalla posizione in cui si tova il punto mateiale, la coodinata x. Poiché la posizione vaia duante il moto, alloa l acceleazione non è costante, non si tatta quindi di un moto unifomemente acceleato. Piuttosto in questo caso l acceleazione è popozionale all opposto della posizione. Petanto il moto è amonico e l espessione geneale della legge oaia vale: Equazione diffeenziale Legge oaia ( ) a x = ω p x x(t) = Acos ω p t + ϕ o dove A, l ampiezza del moto, e ϕ o, la fase iniziale, sono le costanti da deteminae in base alle condizioni iniziali, mente ω p, la pulsazione angolae vale: k. ω p = m 10. Scivee le leggi oaie facendo attenzione ad inseie coettamente le condizioni iniziali. Dalla taccia sappiamo che x o =10 cm = 0.10 m, mente v xo =0 m/s. Valutando dalla legge oaia la velocità in funzione del tempo e poi i valoi della posizione e della velocità all istante iniziale otteniamo: v x = dx = Aω sen ω p ( t + ϕ p o) ( ) ( ) x o = Acos ϕ o 0 = Aω p sen ϕ o dalla seconda ϕ o1 = 0 ϕ o = π La seconda soluzione usata nella pima equazione ci daebbe una ampiezza negativa (cosπ=-1). Va selezionata la soluzione ϕ o =0 peché è l unica che fonisce una soluzione positiva pe l ampiezza, che in tal caso è popio uguale a x o =0.10 m. 119

55 Tenendo infine conto che nel nosto caso ω p = k m la legge oaia diventa: x(t) = 0.10 cos( 0t) con t in secondi e x in meti 11. Deteminae le foze mancanti. Dalla seconda delle equazioni ipotate al punto 6 e icodando l ossevazione del punto 7 possiamo calcolae il valoe del modulo della nomale N: N mg = ma y con a y = 0 N = mg Pe deteminae il peiodo del moto amonico dobbiamo fa icoso alla elazione ta il peiodo T e la pulsazione angolae ω p. T = π ω p = π m k = s m 1 La macchina di Atwood. Si consideino un copo di massa m 1 = kg ed un secondo di massa m =1kg connessi da una coda ideale avvolta ad una caucola anch essa ideale. Al inizio il copo di massa m viene mantenuto a contatto con il suolo. In queste condizioni il copo m1 si tova ad una altezza di m dal suolo come mostato in figua. Deteminae 1. la velocità del copo m quando il copo m1 tocca il suolo,. il valoe della tensione della coda, 3. la massima altezza aggiunta dal copo di massa m. h m 1. Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. In questo caso nel poblema si pala di due copi, occoe deteminae le foze agenti su ciascuno dei due copi e scivee la seconda legge di newton pe ciascuno dei due copi.. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto Il sistema di ifeimento da usae è il sistema del laboatoio, con l oigine sul suolo, l asse y veticale, l asse x oizzontale nel piano della figua e l asse z deteminato dalle scelta degli alti due assi. Il sistema di ifeimento è inieziale. 3. Deteminae tutte le foze agenti sul punto mateiale sotto ossevazione. Sul copo di massa m 1 : azioni a distanza: la foza peso P 1. azioni pe contatto: la tensione della fune T 1. Sul copo di massa m : azioni a distanza: la foza peso P. azioni pe contatto: la tensione della fune T. 4. Costuie il diagamma del copo libeo. Vedi la figua al lato. 5. Scivee la seconda legge della dinamica (in foma vettoiale). Pe il copo di massa m 1 : P 1 + T 1 = m 1 a 1 y h T 1 m 1 P 1 T m P x Pe il copo di massa m : 10

56 P + T = m a 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoiale). Pe il copo di massa m 1 : x y z 0 = m 1 a x1 m 1 g + T 1 = m 1 a y1 0 = m 1 a z 1 Pe il copo di massa m : x y z 0 = m a x m g + T = m a y 0 = m a z Il fatto che le acceleazioni dei due copi lungo gli assi x e z siano uguali a zeo, unitamente al fatto che le ispettive velocità iniziali lungo questi assi sono nulle, ci fa capie che non c è moto dei copi nelle diezioni x e z, i copi si muovono quindi di moto ettilineo lungo la veticale. Pe ottenee le poiezioni scalai della seconda legge abbiamo usato pe entambi i copi lo stesso sistema di ifeimento, quello intodotto al punto. Avemmo potuto scegliee sistemi di ifeimento divesi pe ciascun dei due copi. Pe esempio pe il copo m 1 che scende avemmo potuto utilizzae un asse y 1 oientato veso il basso, mente pe il copo m che sale un asse y dietto veso l alto. Questa scelta ha una dietta conseguenza sulle consideazioni ipotate al punto successivo. 7. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema, Pe le popietà delle code ideali e delle caucole ideali, il modulo della tensione agente sul copo m 1 e quello della tensione agente sul copo m sono uguali: T 1 = T =T Con T indichiamo il valoe comune. Poiché la coda è ideale e quindi di lunghezza costante, se il copo m si solleva di un tatto Δy, il copo di massa m 1 si abbassa di un tatto Δy 1. In alti temini: Δy = - Δy 1 Pe spostamenti infinitesimi, diventa: dy = - dy 1 e dividendo pimo e secondo membo pe, l intevallo di tempo in cui avvengono gli spostamenti infinitesimi, si ottiene: dy = dy 1 v y = v y1 Deivando ulteiomente si ottiene: dv y = dv y1 a y = a y1 8. Deteminae le componenti dell acceleazione o, detto in alti temini, le acceleazioni dei punti poiezione nei loo moti ettilinei sugli assi coodinati. Consideando le due equazioni elative all asse y deteminate al punto 6 e le ulteioi condizioni deteminate al punto 7, otteniamo il seguente sistema: m 1 g + T 1 = m 1 a y1 m g + T = m a y e tenendo conto che T 1 = T = T a y = a y1 m 1 g + T = m 1 a y1 m g + T = m a y1 Da cui sottaendo membo a membo pe eliminae T, si ottiene: 11

57 m 1 g + m g = m 1 a y1 + m a y1 a y1 = m 1 m m 1 + m g L acceleazione a y1 è negativa (m 1 è più gande di m ), cosa che indica che il copo 1 scende. Di conseguenza a y è positiva ad indicae che il copo sale. 9. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate. Le due acceleazioni a y1 e a y sono costanti. Il moto dei due copi petanto è unifomemente acceleato. 10. Scivee le leggi oaie facendo attenzione ad inseie coettamente le condizioni iniziali. Tenendo conto che le velocità iniziali sono nulle pe entambi i copi mente y 1o =h e y o =0, le leggi oaie pe i due copi valgono: y 1 (t) = h 1 m 1 m m 1 + m gt v y1 (t) = m 1 m m 1 + m gt y (t) = 1 m 1 m gt v m 1 + m y (t) = m m 1 gt m 1 + m 11. Deteminae le foze mancanti. Pe il calcolo della tensione possiamo usae una delle due equazioni del sistema intodotto al punto 8: m 1 g + T = m 1 a y1 ( m T = m 1 a y1 + m 1 g = m 1 m ) 1 g + m m 1 + m 1 g = m + m 1 1 m + m 1 + m 1 m g = m m 1 g m 1 + m m 1 + m Sostituendo i dati del poblema, si ottiene pe la tensione il seguente isultato: T= 13.0 N Pe ispondee alle alte due domande della taccia, la velocità del cospo quando il copo 1 tocca tea, occoe deteminae l istante di tempo in cui il copo 1 tocca tea, quando cioè y 1 =0 meti. Dalla legge oaia abbiamo: y 1 (t f ) = 0 0 = h 1 m 1 m gt m 1 + m f ( ) t f1 = h m + m 1 ( m 1 m )g ( ) t f = h m + m 1 ( m 1 m )g La pima delle due soluzioni è sicuamente da scatae peché si ifeisce ad un istante di tempo antecedente all inizio del moto. Sostituendo il empo t f nell espessione della velocità del copo, otteemo il valoe della velocità quando il copo m 1 tocca tea. y v y ( t f ) = m m 1 ( ) ( ) g h m + m 1 m 1 + m ( m 1 m )g = gh m m 1 ( m 1 + m ) = 3.71 m s Ovviamente questo è anche il modulo della velocità del copo m 1 quando tocca tea. Pe calcolae la massima altezza aggiunta dal copo m, è necessaio fae un attimo di attenzione. Quando il copo m 1 tocca tea, si fema. L effetto sul copo di massa m è che dal momento in cui il copo di massa m 1 tocca tea, la tensione della coda si annulla (la coda si affloscia). L unica foza che agisce sul copo di massa m, dopo che il copo di massa m 1 ha toccato tea, è il suo peso (P =m g) m 1 m P h 1

58 La seconda legge della dinamica pe il copo m vale: P = m a m g = m la cui poiezione sull asse delle y ci da: a g = a y Nell ipotesi di fa ipatie l oologio dall istante in cui il copo di massa m 1 ha toccato tea (t=0), il moto del copo m è un moto ettilineo lungo l asse veticale, unifomemente acceleato con acceleazione g, velocità iniziale pai a 3,71 m/s e posizione iniziale y o = m. La coispondente legge oaia vale: y (t) = h + v yo t 1 gt La massima altezza veà aggiunta quando la velocità si annulla: Sostituendo nella legge oaia, si ottiene: v y (t max ) = 0 v y max = y (t max ) = h + v yo yo g 1 g v yo g questo completa la soluzione del poblema. t max = v yo g v y (t) = v yo gt 0 = v yo gt max y max = h + 1 v yo g = m m s 9.81 m =, 7m e s Il pendolo semplice. Un copo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboatoio. Deteminae il peiodo del pendolo nell ipotesi che l ampiezza delle oscillazioni sia di 5 e possa essee consideata piccola. Deteminae inolte il valoe della tensione nella fune quando passa pe la posizione veticale. 1. Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. Il punto mateiale di cui si vuol conoscee i lmoto è il copo di massa m.. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto Come sistema di ifeimento usiamo quello del Laboatoio, che sappiamo essee ineziale. 3. Deteminae tutte le foze agenti sul punto mateiale sotto ossevazione. Azioni a distanza: la foza peso Azioni pe contatto: la tensione della fune 4. Costuie il diagamma del copo libeo. Vedi disegno al lato. θ T P 5. Scivee la seconda legge della dinamica (in foma vettoiale). P + T = ma 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla θ 13 u θ

59 seconda legge della dinamica (vettoiale). Nel caso del pendolo conviene poiettae la seconda legge della dinamica non lungo gli assi x,y,z del laboatoio, ma lungo te diezioni ta loo pependicolai indicate nella figua a lato. u è il vesoe adiale, il vesoe del vettoe posizione u θ è il vesoe tasveso (pependicolae al vettoe posizione) u z è un vesoe pependicolae agli alti due. Esso è pependicolae al piano della figua. Si ottiene quindi: u u θ u z mgcosθ T = ma mg senθ = ma θ 0 = ma z L ultima equazione, insieme con la consideazione che la componente della velocità nella diezione pependicolae al piano della figua è sempe nulla e tale quindi doveva essee anche all inizio del moto, ci pemette di die che il moto del pendolo è un moto piano che avviene nel piano che all istante iniziale ea individuato dalla veticale passante pe il punto di sospensione (la linea tatteggiata nella figua) e dalla fune. 7. Deteminae tutte le ulteioi condizioni paticolai pesenti nel poblema, 1. Poiché il pendolo si muove su di una taiettoia cicolae, la componente adiale dell acceleazione coincideà con l acceleazione centipeta la cui intensità vale v /L, dove v è il modulo della velocità nel punto consideato. a = v L. Il segno meno deiva dal fatto che l acceleazione centipeta è dietta veso il cento della taiettoia cicolae, mente il vesoe u è dietto veso l esteno. L acceleazione tasvesa coincide con l acceleazione tangenziale quando il pendolo si muove in veso antioaio. Nello studio del moto cicolae avevamo fatto vedee che in queste condizioni: a θ = a t = αl dove α è l' acceleazione angolae α = d θ 8. Deteminae le componenti dell acceleazione L equazione secondo u θ si può iscivee nella seguente foma: mgsenθ = ma θ Lα = gsenθ d θ = g L sen θ 9. Esaminae con cua la dipendenza delle acceleazioni appena calcolate Se l ampiezza delle oscillazioni è piccola, l angolo massimo espesso in adianti è molto minoe di 1 adiante, alloa vale l appossimazione che senθ = θ e l ultima equazione diventa: d θ = g L θ Risulta che l acceleazione angolae ( d θ ) è popozionale all opposto della posizione angolae (θ). Si tatta quindi di un moto amonico. La legge oaia saà data da: 14

60 θ(t) = θ max cos( ω p t + ϕ o ) con ω p = g L θ max e ϕ o da deteminae con le condizioni iniziali 10. Scivee le leggi oaie facendo attenzione ad inseie coettamente le condizioni iniziali. Nel nosto caso la taccia non specifica le condizioni iniziali, sappiamo solo che l ampiezza delle oscillazioni vale θ max =5, mente ϕ o non è deteminabile. 11. Deteminae le foze mancanti. Utilizzando la pima delle elazioni elencate al punto 6 insieme con la pima ossevazione del punto 7, possiamo calcolaci la tensione nella fune del pendolo. mg cosθ T = ma T = mg cosθ + m v L a = v L che ci dà il valoe della tensione T in funzione dell angolo θ se è noto il valoe del modulo della velocità del punto mateiale in quella posizione. Il poblema ci chiede di calcolae il valoe della tensione quando θ è uguale a zeo, cioè quando la fune passa pe la diezione veticale. È necessaio conoscee il valoe della velocità quando il punto mateiale passa pe la posizione θ=0. Dalla legge oaia possiamo calcolaci la velocità angolae e poi possiamo passae alla velocità moltiplicando pe il aggio della taiettoia cicolae (L in questo caso). θ(t) = θ max cos( ω p t + ϕ o ) ω = dθ = θ ω sen ω max p ( t + ϕ p o) θ(t) = 0 ω p t + ϕ o = π ω( θ = 0) = θ max ω p v( θ = 0) = Lθ max ω p Con L=.5m, θ max =5 = adianti e ω p = g L = 9.81 = 1.98 ad / s la tensione vale:.5 T = mgcosθ + m v L T =1kg * 9.81 m.5m * 0.087* s +1kg s = 9.81N N = 9.88N.5m Si ossevi che il valoe della tensione è più gande di quello della foza peso 11, valoe che assume 11 La posizione θ=0 è anche la posizione di equilibio del pendolo. Le foze agenti sul punto mateiale sono infatti la tensione della fune e la foza peso. La posizione di equilibio del pendolo si ottiene quando la isultante della foze applicate è nulla (copo in quiete=acceleazione nulla): T + P = 0 da cui si ottiene: T = P 15

61 la tensione nella fune quando il copo è femo nella posizione di equilibio. Possiamo infine valutae il peiodo T del pendolo sfuttando la elazione ta il peiodo e la pulsazione angolae ω p : T = π = 6,8 ω p 1.98 = 3.17 s Dinamica del moto cicolae unifome. Un disco di massa m sta al di sopa di un tavolo oizzontale pivo di attito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attaveso un foo al cento del tavolo, come illustato in figua. Si detemini la velocità del disco lungo la ciconfeenza di aggio in gado di mantenee femo il cilindo. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, =50 cm. 1. Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. In questo poblema ci sono due punti mateiali da tenee sotto contollo: il copo di massa m e quello di massa M.. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto Anche in questo caso useemo il sistema di ifeimento del laboatoio, che è ineziale. 3. Deteminae tutte le foze agenti sul punto mateiale sotto ossevazione. Sul copo di massa m Azioni a distanza: la foza peso Azioni pe contatto: la tensione T della fune, la eazione vincolae (in questo caso c è solo la componente nomale N, poiché pe ipotesi il piano è liscio). Sul copo di massa M Azioni a distanza: la foza peso Azioni pe contatto: la tensione T della fune 4. Costuie il diagamma del copo libeo. T1 v N m P1 M T P 5. Scivee la seconda legge della dinamica (in foma vettoiale). Pe il copo di massa m P 1 + N + T 1 = m a 1 Pe il copo di massa M P + T = M a 6. Scivee le te equazioni scalai coispondenti alla seconda legge della dinamica (vettoiale). Questa condizione si ealizza quando la fune è disposta nella diezione veticale (filo a piombo) e l'intensità della tensione vale mg. 16