Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli

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1 Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove Calcolare R = R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x =, C : x + y x = Completando il quadrato, si osserva che x + y x = x + y = 4 cioè C è la circonferenza di centro, e raggio analogamente C : x + y = la circonferenza di centro, e raggio. Quindi R è la semicorona circolare compresa fra C e C nel primo quadrante. Passo : cambiamento di variabili l espressione analitica di f suggerisce l uso delle coordinate polari. Vediamo come si trasforma R: x = ρ cosϑ, y = ρ sinϑ, ρ = x + y Inoltre, ricordando che ρ, Allora R R, con è un dominio normale in ϑ. x x + y x ρ cosϑ ρ ρ cosϑ, x, y ϑ [ ], π ρ cosϑ ρ ρ cosϑ cosϑ ρ cosϑ. R = ρ, ϑ [, + [, π] : ϑ Passo : calcolo l integrale xy R x + y + x + y dxdy = ρ cosϑ sinϑ R ρ + ρ ρdρdϑ = = = / sinϑ / / cosϑ [, π ], cosϑ ρ cosϑ } ρ cosϑ sinϑdρdϑ + ρ cosϑ sinϑ [ ln + ρ ] sinϑ cosϑ [ ] cosϑ sinϑ ln + 4 cos ϑ ln + cos ϑ dϑ = I 4 I

2 ove per α > poniamo I α = / cosϑ sinϑ ln + α cos ϑdϑ Effettuando il cambiamento di variabili z = cos ϑ si ottiene I α = che calcoliamo integrando per parti. Quindi ln + αzdz e allora I α = R ln + α + α ln + α xy x + y + x + y dxdy = 5 ln5 ln 8 Esercizio. Calcolare z expx + y dxdydz, con = x, y, z R 3 : x + y z }. Svolgimento. Il dominio di integrazione è dato dalle due condizioni x + y z, z che individuano la regione compresa fra il paraboloide z = x + y che è una superficie di rotazione e il piano z =. Sia la geometria del dominio nella cui espressione analitica compare il termine x + y sia l espressione di f che contiene il termine x + y suggeriscono l uso delle coordinate cilindriche x = ρ cosϑ, y = ρ sinϑ, dxdydz ρdρdϑdz. z = z In coordinate cilindriche, il dominio diventa : z [, ], ϑ [, π], ρ z ρ z. Quindi, integrando per fili in ρ si ha z z expρ ρ dρ dϑdz = [,π] [,] = [,π] [,] π [ z ] z expρ dϑdz dϑ ze z dz =... = π. Esercizio 3. Calcolare xz dxdydz, ove è il solido contenuto nel primo ottante e limitato dalle superficie y = x + z e y =.

3 Svolgimento. Quindi è dato da = x, y, z R 3 : x, y, z, x + z y }. È naturale interpretare come dominio normale rispetto all asse y e integrare per strati rispetto alle variabili x, z: infatti, : y, x, z y = x, z R : x, z, x + z y }. Applicando la corrispondente formula di riduzione per strati, si ha xz dxdz dy. y Notiamo che per ogni y [, ] lo strato y è un disco di centro, e raggio y: è naturale calcolare l integrale esteso a y passando alle coordinate polari x = ρ cosϑ x, z ρ, ϑ : dxdz ρ dρdϑ y = ρ sinϑ e Quindi da cui xz dxdz = y [, y] [,π/] 4 y ρ y, ϑ π. y π/ ρ cosϑ sinϑρ dρdϑ = ρ 3 dρ sinϑ cosϑ dϑ = y dy =. [ 4 ρ4 ] y [ ] π/ cosϑ = 4 y Procedimento alternativo. Interpretare come dominio normale rispetto al piano xy e integrare per fili in z, cioè osservare che e quindi x, z, x + z y z y x, x y : x, y = x, y R : y, x y }, z y x. Quindi integrando per fili in z si ha y x xz dz dxdy =... = xy x 3 dxdy. ratto l integrale doppio su osservando che è un dominio normale in y e applico la relativa formula di riduzione. Esercizio: ritrovare il risultato applicando con questo procedimento alternativo. Esercizio 4. Siano a, b, c > e si consideri il volume racchiuso dall ellissoide x x + y dxdydz. a + y b + z c =. Calcolare 3

4 Svolgimento. Si osservi che = x, y, z R 3 : x } a + y b + z c è simmetrico rispetto all asse x, all asse y, e all asse z. Inoltre la funzione integranda è chiaramente pari in x, in y e in z visto che non dipende da z. Allora è facile vedere che 8 x y dxdydz + con + = x, y, z R 3 x } : a + y b + z, x, y, z. c La geometria del dominio di integrazione suggerisce il passaggio alle coordinate sferiche generalizzate x = aρ cosϑ sinϕ, y = bρ sinϑ sinϕ, dxdydz abcρ sinϕ dρdϑdϕ z = cρ cosϕ, e il dominio + diventa un parallelepipedo + [, ] [, π ] [, π ]. Quindi 8 = 8abc [,] [, π ] [, π ] [,] [, π ] [, π ] / = 8abc ρ 4 dρ =... = 8abc 5 3 = 4 5 πabc a + b. a ρ cos ϑ sin ϕ + b ρ sin ϑ sin ϕ abcρ sinϕ dρdϑdϕ a π 4 + π b 4 a ρ 4 cos ϑ sin 3 ϕ + b ρ 4 sin ϑ sin 3 ϕ dρdϑdϕ / π/ sin 3 ϕ dϕ a cos ϑ dϑ + b sin ϑ dϑ Esercizio assegnato. Calcolare con il volume racchiuso dall ellissoide x 4 + y 9 + z 5 =. z dxdydz Risposta: π. Esercizio 5. con Calcolare x + y dxdydz = x, y, z R 3 : x + y + z, x + y z, z }. 4

5 Svolgimento. La geometria del dominio intersezione di una sfera con un cono, nel semispazio z }, così come l espressione analitica della funzione integranda, suggeriscono il passaggio alle coordinate cilindriche. A questo scopo, osserviamo che x + y + z, x + y z, z z, x + y minz, z }. Quindi passando alle coordinate cilindriche x = ρ cosϑ, y = ρ sinϑ, z = z il dominio diventa dxdydz ρdρdϑdz. È facile vedere che : z [, ], ϑ [, π], ρ az := minz, z } = minz, z}. z se z az =, z se z. Allora, interpretando come dominio normale rispetto al piano ϑz e integrando per fili in ρ az ρ ρ dρdϑdz = dρ dϑdz [,π] [,] π = dϑ az dz / = π z dz + z dz. / Con il cambiamento di variabile calcolo / z dz = / π/4 sin t cost dt = z = sint / π/4 [ t + sint cost cos t dt = ] π/ π/4 = π 4 π 8 4. altra parte Quindi / z dz = [ z ] / = 4. π π 8 = π 4. Esercizio 6. nel piano yz Calcolare il volume V del solido ottenuto ruotando intorno all asse z la figura piana, contenuta G = y, z R : z y 4 z, z }. 5

6 Svolgimento. Applico la formula ottenuta usando le coordinate cilindriche per il calcolo del volume dei solidi di rotazione V = π ρ dρdz, G con G = ρ, z [, + R : } z ρ 4 z, z. Allora, osservando che G è un dominio normale in z, 4 z V = π ρ dρ dz = π 4 z z dz =... = π. z Esercizio 7. ata una costante a >, calcolare il volume del solido = x, y, z R 3 : x + y + z 3a, x + y az } Svolgimento. è l intersezione fra il volume racchiuso dalla superficie sferica di centro,, e raggio 3a il volume racchiuso dal paraboloide ellittico con base circolare x + y az Interpreto come dominio normale rispetto al piano xy. Graficamente, si vede che x, y variano nel disco chiuso, il cui bordo è la proiezione sul piano xy della circonferenza data dalla proiezione dell intersezione tra la superficie della sfera e il paraboloide. Quindi individuo la circonferenza intersezione fra superficie sferica e paraboloide x + y + z = 3a x + y = az z + az 3a = z = 3a, z = a z = 3a non accettabile. La circonferenza intersezione è C : x + y = aa = a, nel piano z = a, la cui proiezione sul piano xy è x + y = a. Quindi = x, y R : x + y a } per x, y fissato, esplicito i vincoli su z: z a x + y z 3a x y Integrando per fili, calcolo vol = dxdydz = = 3a x y dz dxdy a x + y 3a x y a x + y dxdy 6

7 Calcolo l integrale doppio passando alle coordinate polari = [, a] [, π] quindi vol = π a 3a ρ a ρ ρ dρ [ dϑ = π 3 3a ρ 3/ ] a 8a ρ4 3 =... = πa Procedimento alternativo I: integrare per strati NON È dominio normale risp. asse z, ma ragionando graficamente si vede che =,, normali rispetto asse z : : z a x + y az a z 3a x + y 3a z si ha dxdydz = dxdydz + dxdydz e calcolo i due integrali con la riduzione per strati Esercizio assegnato: ritrovare il risultato seguendo questoprocedimento. Procedimento alternativo II: usare i cambiamenti di coordinate. Osservare che con Allora =, : il volume racchiuso dal paraboloide az = x + y e dai piani z = e z = a. : il volume racchiuso dalla superficie sferica x + y + z = 3a e dal piano z = a. vol = vol + vol e calcolo vol passando alle coordinate cilindriche, vol passando alle coordinate sferiche. Esercizio assegnato: ritrovare il risultato seguendo questo procedimento. Esercizio 8. ove Usando un altra formula di riduzione, calcolare expz dz dxdy x +y = x, y R : x + y 4 }. 7

8 Svolgimento. La primitiva della funzione z expz non è una funzione elementare, impossibile calcolare x +y expz dz Calcolo I cambiando l ordine di integrazione. con è intersezione fra = expz dxdydz, x, y, z R 3 : x + y 4, il cilindro solido retto infinito, di base x + y 4, } x + y z e il volume racchiuso dal paraboloide x + y = z, con z. i fatto : z, x + y z è un dominio normale rispetto all asse z. Calcolo I integrando per strati expz dxdy x +y z} dz = = π expz areax + y z} dz z expz dz = π [ expz ] = πe4. Esercizio 9. ove Calcolare dxdydz x + y + z / = x, y, z R 3 : z x + y z z }. Svolgimento. Si noti che x + y z z x + y + z Quindi è l intersezione di x + y z complementare di x + y < z x + y z z sfera con C =,, r = La presenza di x + y nella definizione di suggerisce le coordinate cilindriche, quindi ϑ [, π], : z ρ z z Noto che z z z z [, ] 8

9 quindi : è dominio normale rispetto al piano ϑz. Quindi ϑ [, π], z [, ] z ρ z z z z ρ ρ dρdϑdz = ρ + z / [,π] [,] z ρ + z = π [ρ + z /] z z dz z = π z z dz =... = 3 π. / dρ dϑdz Esercizio. Calcolare il volume del solido = x, y, z R 3 : x + y z 8 4x }. Svolgimento. È naturale intepretare come dominio normale rispetto al piano xy, cioè della forma x, y, x + y z 8 4x. Per determinare, osservo che segue dall espressione di che deve essere x +y 8 4x x +y +4x x +4x +4+y 4 x +y 4. Allora e, integrando per fili vol = : Passando alle coordinate polari, calcolo 4 x y dxdy = x, y : x + y 4, x + y z 8 4x 8 4x dz dxdy = x +y [,] [,π] 4 ρ ρ dρdϑ = π 4 x y dxdy. 4ρ ρ 3 dρ = π 8 4 = 8π. Esercizio. ove Calcolare ze y dxdydz, = x, y, z R 3 : x + z 4, x, z, x y }. 9

10 Svolgimento. Si osservi che è un dominio normale rispetto al piano xz : : x, z : x, z, x + z 4 x y. Calcoliamo allora I riducendo per fili nella variabile y: ze y dy dxdz = z e x dxdz x Per calcolare quest ultimo integrale doppio, è possibile procedere in due modi:. interpretare come dominio normale in x: : x conseguenza dei vincoli x, x 4, z 4 x conseguenza dei vincoli z, z 4 x. Quindi esercizio: completare i conti!!! 4 x z e x dxdz = z e x dz dx =... = 5 3 3e.. passare alle coordinate polari nelle variabili x, z: in questo modo, ρ, : π ϑ π. Quindi esercizio: completare i conti!!! z e x dxdz = ρ sinϑ expρ cosϑ ρ dρdϑ = = [,] [π/,π] ρ ρ ρ sinϑ expρ cosϑ dϑ π/ π/ d expρ cosϑ dϑ dρ =... = 5 dϑ 3 3e. dρ Esercizio. Calcolare xy dxdydz P ove P è il parallelepipedo avente come facce opposte i due quadrati, rispettivamente determinati dai vertici A =,,, B =,,, C =,,, =,, e da E =,,, F =,,, G =,,, H =,,. Svolgimento. Graficamente si vede che P è il volume compreso fra i piani y =, y =, z =, z =, e i piani passanti, rispettivamente, per i punti A,, E, H e B, C, F, G. Si vede che questi due piani hanno, rispettivamente, equazione x = z e x = z +. Quindi P = x, y, z R 3 : y, z, z x z + }.

11 Quindi P si può vedere come dominio normale rispetto al piano yz: y, z [, ] [, ], P : z x z + Integrando per fili in x, si trova [,] [,] z+ z xy dx dydz = y [,] [,] = y dy z + z dydz z + dz =... = 6 Esercizio 3. Calcolare con date a, b, c >. = x, y, z R 3 : z dxdydz, x } a + y b + z c, z Svolgimento. è la porzione di ellissoide solido compresa nel semispazio z }. Interpreto come dominio normale rispetto al piano xy: esplicito i vincoli su z: z z c z c x a y b x a y b trovo imponendo che x a y b : Uso la formula di riduzione per fili = } x, y R : x a + y b c x a y b z dz dxdy = c x a y b dxdy Calcolo l integrale doppio passando alle coordinate ellittiche x = aρ cosϑ, dxdy abρ dρ y = bρ sinϑ, = [, ] [, π]

12 quindi c π ρ abρ dρ dϑ = πabc [ ρ 4 ρ4 ] = πabc 4 Procedimento alternativo: usare le coordinate sferiche generalizzate!! Esercizio 4 svolto a lezione. Calcolare il volume del solido = x, y, z R 3 : x + y + z y } Svolgimento. Nella definizione di compare x + y + z quindi uso le coordinate sferiche! x = ρ cosϑ sinϕ y = ρ sinϑ sinϕ z = ρ cosϕ Quale è la trasformazione?? Impongo x + y + z y ρ ρ sinϑ sinϕ ρρ sinϑ sinϕ In particolare sinϑ sinϕ ρ sinϑ sinϕ ϕ [,π] sinϑ Quindi : ϑ [, π] ϑ [, π], ϕ [, π], ρ sinϑ sinϕ N.B. è dominio normale risp. al piano ϑϕ. Quindi vol = π sinϑ sinϕ ρ sinϕ dρ dϕ dϑ = = 3 sinϕ sin3 ϕ sin 3 ϑ 3 dϕ dϑ sin 4 ϕ dϕ sin 3 ϑ dϑ

13 Calcolo Calcolo Facile conto: Calcolo sin 3 ϑ dϑ = = = 3 sin 4 ϕ dϕ = sinϑ dϑ sin ϕ cos ϕ dϕ sinϑ cos ϑ dϑ =... = 4 3 sin ϕ cos ϕ dϕ sin ϕ dϕ = π sinϕ sinϕ cos ϕ dϕ sinϕ d cos 3 ϕ dϕ dϕ perché Allora quindi int. parti = 3 = 3 = 3 = 3 = cos 4 ϕ dϕ cosϕ cos 3 ϕ dϕ + 3 sin ϕ dϕ sin ϕ dϕ 3 sin 4 ϕ dϕ sin ϕ dϕ = sin 4 ϕ dϕ = π 3 sin 4 ϕ dϕ = π [ sinϕ cos 3 ϕ ] π sin 4 ϕ dϕ sin 4 ϕ dϕ sin 4 ϕ dϕ = 3 8 π INFINE vol = π = π 6. Esercizio 5 svolto a lezione. Calcolare lnx + y + z dxdydz ove il solido è B C, con B = x, y, z R 3 : x + y + z } sfera unitaria C = x, y, z R 3 : x + y z, z } porzione di cono solido nel semispazio z } 3

14 L espressione x + y + z compare nella funz. integranda e in B, quindi passo alle coordinate sferiche! Come?? Osservo che B B : x = ρ cosϑ sinϕ y = ρ sinϑ sinϕ z = ρ cosϕ ϑ [, π], ϕ [, π], ρ ρ [, ] Per quel che riguarda la trasformazione C C, osservo innanzitutto che, poiché considero la porzione di cono solido nel semispazio z, ho subito [ ϑ [, π], ϕ, π ] Ora esprimo in coordinate sferiche la condizione x + y z : si ha ρ cos ϑ sin ϕ + ρ sin ϑ sin ϕ ρ cos ϕ ρ sin ϕ cos ϕ ρ sinϕ + cosϕsinϕ cosϕ sinϕ cosϕ ϕ [ ], π 4 Quindi Calcolo ϑ [, π], : ϕ [ ], π 4, ρ [, ] lnρ ρ sinϕ dϕdϑdϕ [,] [, π 4 ] [,π] Integrando per parti π/4 = π sinϕ dϕ ρ lnρ dρ ρ lnρ dρ = = 3 ρ 3 3 [ ] ρ 3 ρ dρ + 3 lnρ ρ dρ + 3 ln lim ρ ρ 3 3 lnρ = 9 Quindi π [ cosϕ] π/4 9 = 9 π. 4