Anno accademico 2005/06

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1 1 Modelli Matematici per i Mercati Finanziari Anno accademico 005/06 Prof.ssa Rosella Giacometti

2 Programma del corso A) Il rischio di mercato: A.1) Modelli per il mercato azionario La teoria del portafoglio nello spazio rischio/rendimento Il Capital Asset Pricing Model -CAPM L Arbitrage Pricing Theory -APT A.)Modelli per il mercato obbligazionario - Il prezzo equo di un obbligazione -La duration come scadenza media finanziaria come indicatore di rischio - La duration modificata o volatilità - La duration di un portafoglio - La convessità - Principi di immunizzazione A.3) Dalle misure di rischio tradizionali al VaR

3 Modelli matematici per i mercati finanziari 3 B)Rischio di credito: La valutazione dell esposizione al rischio di default Le perdite attese, inattese delle singole posizioni Stima della probabilità di default La logica di portafoglio Il modello CreditMetrics Il modello CreditRisk+

4 Libri consigliati 4 Rischio di mercato - L economia del mercato mobiliare /Pier Luigi Fabrizi. Egea 003 (Capitoli 9,10,11,1) VaR e Rischio di credito - Opzioni futures e altri derivati /John Hull. 3. ed. basata sulla 5. ed. americana Milano : Il sole-4 ore, 003. (capitolo 16 e 6)

5 Informazioni 5 Ricevimento Martedi Esercitazioni pratiche Modalità della prova di esame

6 La teoria del portafoglio :sommario in dettaglio 6 Rivediamo brevemente gli indicatori statistici per singoli titoli indicatori di rendimento indicatori di rischio varianza e deviazione standard Indicatori statistici per portafogli rendimento e rischio correlazione e covarianza Come confrontare i titoli e portafogli tra loro? La frontiera efficiente - portafoglio con due titoli rischiosi - portafoglio composto da un risk free e un titolo rischioso - portafoglio a n titoli

7 La teoria del portafoglio 7 La teoria del portafoglio studia la miglior ripartizione di un capitale in investimenti finanziari aleatori in funzione del rischio e del rendimento perché gli investitori detengono portafogli diversificati? Perché non investono tutto nel titolo più redditizio? Quale regola adottare per la scelta tra più titoli? Per rispondere a queste domande, partiamo da un esempio (si veda il foglio di lavoro primo foglio.xls) primo foglio.xls

8 Misure di rendimento e rischio 8 Il rendimento di un investimento rischioso è una variabile casuale R. L aleatorieta dei risultati futuri determina il rischio associato al singolo titolo. Tanto più il corso di un azione e variabile, tanto piu l investimento e rischioso e imprevedibile.

9 Misure di rendimento e rischio 9 Ricordiamo che per investimenti con rendimento certo vi sono criteri che individuano i migliori investimenti : V.A.N. o R.E.A., T.I.R. La Teoria del Portafoglio, per investimenti con rendimento aleatorio, di fonda sul criterio MEDIA-VARIANZA. Tra due investimenti si preferisce quello che ha il maggior rendimento atteso e il minor rischio Come misuriamo il rendimento atteso ed il rischio?

10 Misure di rendimento 10 Rendimento ex-post di periodo o holding period return. Media dei rendimenti di periodo Rendimento medio su piu periodi, o time weigthed return

11 Rendimento di periodo 11 Il rendimento su un singolo periodo r i, t = P i, t + D P i, t i, t 1 P i, t 1 r i,t P i,t-1 P i,t D i,t = Holding Period Return = Prezzo di acquisto al tempo t-1 (certo) del titolo i = Prezzo di realizzo al tempo t (incerto) = Dividendo capitalizzato nel periodo [t-1,t) Oss. Le serie sono spesso aggiustate per i dividendi

12 Rendimenti su due periodi? 1 Se r 1 =+10% e r =-10%, quale e la media del rendimento sul singolo periodo? r a = (r 1 + r )/=0 si tratta della media aritmetica r a = (r 1 + r + r r n ) / n

13 Rendimenti su due periodi? 13 Se r 1 =+10% e r =-10%, quale e il rendimento medio realizzato nei due periodi? r g = {(1+10%) (1-10%)} 1/ - 1=-0,5% Si tratta della media geometrica r g = {[(1+r 1 ) (1+r )... (1+r N )]} 1/n -1 La media geometrica prende il nome di time weighted return

14 Esercizio 1 14 Gli HPR ( Holding period return) osservati in 4 periodi sono Calcolare 1) la media dei rendimenti, ) il rendimento medio nei 4 periodi.

15 Come calcolo i rendimenti? 15 Media Aritmetica r a = (r 1 + r + r r n ) / n r a = ( ) / 4 =.10 = 10% Media Geometrica r g = {[(1+r 1 ) (1+r )... (1+r N )]} 1/n -1 r g = {[(1.1) (1.5) (.8) (1.5)]} 1/4-1 = (1.5150) 1/4-1 =.089 = 8.9%

16 I dati di input del modello media-varianza 16 Il modello media- varianza necessita di dati di input quali una stima del rendimento futuro atteso, una stima della rischiosità futura dei singoli titoli, una misura del grado di correlazione tra i diversi titoli. In un primo momento ipotizziamo delle stime basate su dati storici. Vedremo successivamente come migliorare queste stime.

17 Il rendimento futuro atteso 17 In un modello di portafoglio, una previsione del rendimento futuro atteso nel periodo successivo, E(R), puo essere ottenuta utilizzando la media aritmetica dei rendimenti realizzati in passato in un singolo periodo ( ovvero la media del campione). R = 1 n r i i= 1, n

18 Il rendimento futuro atteso 18 Per esempio si supponga che i rendimenti % fatti registrare negli ultimi 5 anni dai titoli A e B siano i stati seguenti: A 10% 10% 9% 10% 11% R A =10% B 5% 9% 8% 5% 8% R B = 15%

19 Misure di rischio: la varianza 19 Il rischio può essere misurato dalla varianza VaR( R) = σ S 1 = [ ri R n 1i= 1.. n della quale la varianza campionaria è una stima La volatilità è ] σ = σ Perchè la varianza è una misura di rischio?. La varianza di un attività priva di rischio e σ = 0

20 Misure di rischio: la varianza 0 A 10% 10% 9% 10% 11% m A =10% B 5% 9% 8% 5% 8% m B =15% Il rischio del titolo A ) = 0.5 Il rischio del titolo B σ A stimata = 0.71% S A = (1 4 S σ B B 1 = (( 10) + ( 6) 4 stimata = 10,65% + ( 7) ) = 113.5

21 Misure di rischio: la varianza 1 I rendimenti ottenuti dal titolo B sono risultati molto irregolari (addirittura peggiori rispetto a quelli ottenuti dal titolo A in ben 3 casi su 5); nonostante ciò, il rendimento medio complessivo del titolo B risulta superiore. Il rischio legato ad un investimento nel titolo B dipende dalla assoluta imprevedibilità dei rendimenti attesi nel breve periodo. Il problema della selezione del portafoglio è un problema di decisioni finanziarie in condizioni di incertezza: infatti sia il rendimento dei singoli titoli che il rendimento del portafoglio sono rappresentati da variabili aleatorie.

22 Utilizzando Excel Media Funzione media Varianza Funzione VAR Volatiltà Funzione radq (VAR) Riprendiamo il nostro foglio excel: calcolare media e varianza delle serie storiche

23 Esempio 3 Rendimenti settimanali Rendimenti % da gennaio 1996 a Luglio 1999

24 Alcune statistiche 4 Data la serie storica dei prezzi settimanali rendimento medio 0,41% varianza 0, volatilità (s.q.m) 5,07%

25 Distribuzione empirica 5 Istogramma dei rendimenti storici Numero di osservazioni rendimenti %

26 Sommario in dettaglio 6 Rivediamo brevemente gli indicatori statistici per singoli titoli indicatori di rendimento indicatori di rischio varianza e deviazione standard Indicatori statistici per portafogli rendimento e rischio correlazione e covarianza Come confrontare i titoli e portafogli tra loro? La frontiera efficiente - portafoglio con due titoli rischiosi - portafoglio composto da un risk free e un titolo rischioso - portafoglio a n titoli

27 Come costruisco un portafoglio con azioni 7 Il rendimento di un portafoglio composto da due titoli è dato da con x 1 +x =1 R = x 1 R 1 +x R Il rendimento futuro atteso di un portafoglio e la media pesata dei rendimenti attesi di ogni azione E[R] = x 1 E[R 1 ] + x E[R ]

28 Rischio di un portafoglio a due titoli 8 Quando due azioni con varianza VAR(R 1 )=σ 1 e VAR(R )= σ, rispettivamente, sono combinate in un portafoglio con pesi x 1 e x, la varianza del portafoglio e data da VAR(R) = VAR(x 1 R 1 +x R )= = x 1 VAR(R 1 )+x VAR(R ) + x 1 x Cov(R 1,R ) Scritto in modo più compatto σ p = x 1 σ 1 + x σ + x 1 x Cov(R 1,R ) Cov(R 1,R ) = Covarianza dei rendimenti delle azioni 1 e

29 La diversificazione dei rischi: la covarianza 9 La covarianza e una misura della dispersione congiunta di titoli intorno alla media. Una stima della covarianza e data da : COV ( R n 1 1, R) = ( r1, i R1 )( r, i R) n 1 i= 1 una covarianza negativa indica, intuitivamente, che quando il rendimento di un titolo è sotto la media, il rendimento dell altro è sopra la media. Cioe i due titoli si muovono generalmente in modo opposto.

30 Covarianza e correlazione 30 La Covarianza dipende dall unità di misura adottata. Esempio: covarianza tra peso e altezza dei partecipanti al corso. Il coefficiente di correlazione è un indicatore adimensionale. COV ( R, R 1 ρ = σ σ 1 1 ρ 1 Un ρ<1 rivela la possibilità di ridurre il rischio complessivo. ) Oss σ p = x 1 σ 1 + x σ + x 1 x ρσ 1 σ

31 Il coefficiente di correlazione 31 ρ=1 ρ=-1 ρ=0 0<ρ<1

32 Il coefficiente di correlazione 3 ρ=±1 i rendimenti dei due titoli sono legati da una dipendenza lineare perfetta ρ=0 i rendimenti non sono correlati linearmente (rendimenti sparsi) 0<ρ<1 caso più realistico, i rendimenti si muovono insieme ma non perfettamente

33 Esercizio 33 Stima varianza, covarianza e correlazione dei seguenti dati Costruisci portafogli con diverse composizioni settimana A rend % B rend % Puoi arrivare a delle conclusioni? Si veda frontiera efficiente.xls

34 Sommario in dettaglio 34 Rivediamo brevemente gli indicatori statistici per singoli titoli indicatori di rendimento indicatori di rischio varianza e deviazione standard Indicatori statistici per portafogli rendimento e rischio correlazione e covarianza Come confrontare i titoli e portafogli tra loro? La frontiera efficiente - portafoglio con due titoli rischiosi - portafoglio composto da un risk free e un titolo rischioso - portafoglio a n titoli

35 Criterio M-V: M Principio di dominanza 35 Si dice che un portafoglio A domina un portafoglio B: A B Quando vale almeno una delle disuguaglianze con il segno forte A B E[ A] E[ B] σ σ A B

36 Criterio M-V: M Principio di dominanza 36 E(r) B D m p C P A σ p σ D domina A; ha un maggior rendimento atteso C domina A: ha un rischio piu contenuto B domina C; ha un rendimento atteso maggiore

37 37 Criterio M-VM E(r) Portafogli Dominanti C? σ Titoli Efficienti: hanno minor rischio e un maggior rendimento atteso I portafogli C e D non sono confrontabili: il criterio introduce un ordinamento parziale tra portafogli P D? Portafogli Dominati

38 Criterio M-V M V Principio di dominanza 38 Non vogliamo esaminare le singole azioni e scartare quelle dominate. Vogliamo estendere l analisi a tutti i portafogli che posso ottenere combinando le azioni. Si può scoprire che un titolo dominato non deve essere necessariamente escluso dal mio portafoglio perché...

39 Criterio M-V M V Principio di dominanza 39 Portafogli ammissibili: insieme di alternative possibili (che includono le singole azioni e combinazioni lineari delle stesse) Portafogli efficienti: un portafoglio e efficiente quando non e dominato da nessun altro portafoglio ammissibile La scelta tra i portafogli efficienti avviene in base alla propensione al rischio dell investitore, ovvero in base ad una funzione di utilità.

40 Sommario 40 Rivediamo brevemente gli indicatori statistici per singoli titoli indicatori di rendimento indicatori di rischio varianza e deviazione standard Indicatori statistici per portafogli rendimento e rischio correlazione e covarianza Come confrontare i titoli e i portafogli tra loro? La frontiera efficiente portafoglio con due titoli rischiosi portafoglio composto da un risk free e un titolo rischioso portafoglio a n titoli

41 Impostazione del modello 41 Consideriamo un numero n di titoli a rendimento non certo. Si è già visto che i rendimenti dei singoli titoli sono rappresentati da variabili aleatorie che indicheremo con R 1, R,..R n Sia C il capitale disponibile per investire negli n titoli (portafoglio P) Devo decidere quanto investire nel titolo 1, quanto nel titolo,, tenuto conto del criterio di scelta media-varianza, ovvero allo scopo di ottenere portafogli a minimo rischio, per un fissato livello di rendimento.

42 Impostazione del modello 4 Indicato con C 1 l'ammontare da destinare all'acquisto del titolo 1, con C l'ammontare da destinare al titolo, e così via, risulta C 1 + C +..+ C n = C poiché tutto il capitale disponibile viene investito. Per rendere omogenei tali valori, ovvero per confrontare tra loro portafogli di diversi importi, conviene c c C = C C C C 1 cn ovvero x 1 + x +..+ x n = 1

43 Impostazione del modello 43 Essendo x i 0, i, quindi ogni x i rappresenta la quota percentuale investita nel titolo i. Rendimento del portafoglio: variabile aleatoria R P R P = x 1 R 1 + x R +..x n R n somma pesata di n v.a. o combinazione lineare di n variabili. Per ogni v.a. R i, rendimento del titoli i-esimo, si possono calcolare valore atteso e varianza E(R i )=m i e Var (R i )

44 Ipotesi del modello 44 Il modello di Markowitz si basa sulle seguenti ipotesi Gli investitori selezionano i portafogli in base al rendimento atteso e al rischio atteso. L orizzonte temporale è uniperiodale Gli investitori sono avversi al rischio e massimizzano l utilità attesa

45 Portafoglio a due titoli: 45 Come costruiamo la frontiera efficiente a partire da due titoli azionari? A tal fine introduciamo il concetto di diversificazione: come ridurre il rischio totale, senza sacrificare il rendimento. Scopriremo che si può verificare che il portafoglio efficiente a rischio minimo ha un rischio minore di min(σ 1,σ ). Si parla di effetto contrazione del rischio.

46 La Frontiera efficiente a partire da due titoli 46 Come costruiamo la frontiera efficiente a partire da due titoli azionari? Supponiamo di avere due azioni (v.a. R 1 e R ) con E(R 1 )<E(R ) e σ 1< σ Il portafoglio e caratterizzato da E(R p ) = x E(R 1 )+(1-x) E(R ) σ p = x σ 1 + (1-x) σ + x(1-x) σ 1 σ ρ Dobbiamo esprimere il rendimento in funzione del rischio

47 Esempio* 47 Siano dati titoli E(R 1 )= 8%, σ 1 =1% E(R )=10%, σ =15% Facciamo delle ipotesi su ρ Quando abbiamo una contrazione del rischio? Considero 8 portafogli con diversi pesi e ipotizzo diversi coefficienti di correlazione frontiera efficiente.xls *Da Bodie Kane Marcus Essential of investment

48 Esempio* 48 Il portafoglio e caratterizzato da E(R p ) = x E(R 1 ) + (1-x) E(R ) σ p = x σ 1 + (1-x) σ + x(1-x) σ 1 σ ρ 0 x 1 Portafoglio E[r] x 1-x

49 Significato di ρ: coeff. di correlazione lineare 49 ρ =1 Perfetta correlazione lineare positiva. Significa che i rendimenti dei titoli sono perfettamente correlati positivamente: variano nella stessa direzione e per lo stesso ammontare. Nella realtà non esistono titoli che si comportano così: esistono invece titoli con elevata correlazione positiva (ρ =0,8 o ρ =0,9). ρ = -1 Perfetta correlazione lineare negativa. I rendimenti dei titoli sono perfettamente correlati negativamente: variano in direzioni opposte e per lo stesso ammontare. ρ = 0. Assenza di correlazione lineare I titoli non sono correlati né positiva-mente, né negativamente. Nel piano di rappresentazione dei due rendimenti si ottiene una nuvola di punti

50 ρ =1 : perfetta correlazione positiva 50 Riprendiamo la (): σ P = x σ 1 + (1-x) σ + x(1-x) ρ 1 σ 1 σ diventa [ (1 ) ] σ σ σ P = x 1+ x Quindi σ σ σ σ P = P = x 1+ (1 x) da cui si può ricavare la variabile x e sostituire in (1). Risulta: x = σ σ σ σ 1

51 ρ =1 : perfetta correlazione positiva 51 E sostituendo in m P = x m 1 + (1-x) m Si ottiene: m m σ m σ m m = σ + σ e posto σ1 σ σ1 m m β 1 =, risulta β > 0 σ σ Si ha la F.E m = βσ + α Si può verificare che la retta passa per A e B.

52 Perfetta correlazione positiva 5 m P m B m 1 A ρ = 1 σ 1 σ σ P

53 ρ=-1:perfetta correlazione negativa 53 La () diventa : Quindi [ (1 ) ] σ σ σ P = x 1 x P = P = x 1 (1 x) σ σ σ σ σ P = 1 xσ (1 x) σ, per x 1 σ σ + σ 1 [ ] xσ (1 x) σ, per x 1 σ σ + σ 1

54 ρ=-1:perfetta correlazione negativa 54 Si noti che per x= σ /(σ 1 + σ ) si ottiene un PRT con varianza nulla! Esaminiamo i due casi separatamente: 1 si ricava la variabile x e si sostituisce nella (1). σ + σ x = Si ottiene σ + σ 1 m m1 m m1σ mσ 1 = σ + + σ + σ σ + σ 1 1

55 ρ=-1:perfetta correlazione negativa 55 Per semplificare si pone m1 m β1 = σ + σ e α = 1 1 m1σ + mσ 1 σ + σ 1 Notare che β 1 <0! Si ha la F.E m = β 1 σ + α 1 Si può verificare che tale retta passa per i punti A e C (0, α 1 )

56 ρ=-1:perfetta correlazione negativa 56 si ricava la variabile x e si sostituisce nella (1): σ + σ x = σ 1+ σ m m mσ m Si ottiene m = σ + + σ1+ σ σ1+ σ Posto m m m1σ + mσ 1 1 β =, con β > 0 e α1 = σ + σ σ1+ σ 1 Si ha la F.E m = β σ + α 1 Si può verificare che tale retta passa per i punti C (0, α 1 ) e B. σ 1 1 1

57 PRT con perfetta correlazione negativa 57 m P m B C m 1 1 A ρ = -1 σ 1 σ σ P

58 PRT ammissibili 58 m P m ρ = -1 B C m 1 ρ = -1 PRT ammissibili A ρ=1 σ 1 σ σ P

59 PRT ammissibili 59 m P m ρ -1 B C ρ 1 m 1 A σ 1 σ σ P

60 Esempio 60 Le formule relative ai casi esaminati si semplificano notevolmente quando si sostituiscono valori numerici. Si considerano due azioni tali che: R 1 : m 1 = 10%, σ 1 = 18% R : m =16%, σ = 30% Sia ρ = 1 graficamente abbiamo visto che la F.E. è lineare m% A B σ%

61 Esempio con ρ = 1 61 Calcoliamo m P e σ P m P = 10x+16(1-x)= 16-6x (1) σ P = 18x+30(1-x)= 30-1x Ricavo x : x=(30- σ)/1 e sostituisco in (1) m P = 0,5 σ P +1 F.E. Verifico che passa per A e B.

62 Esempio ρ =- 1 6 Sia ρ = -1. La (1) non cambia m P = 16-6x σ P = 18x-30(1-x) = 48x-30 σ P = 1 48x 30 per x 0,65-48x + 30 per x 0,65 1 σ P = 48x-30 Ricavo x : x=( σ+30)/48 e sostituisco in (1) m P = 1,5 0,15 σ P F.A. Verifico che passa per A e C

63 Esempio ρ = La () diventa σ P = -48x+30, per x 0,65 Ricavo x : x=( 30-σ)/48 e sostituisco in (1) m P = 1,5 + 0,15 σ P F.E. Verifico che non passa per A, passa per B e C:i PRT efficienti sono collocati sul segmento CB m% 16 1,5 10 C A B σ%

64 Esempio ρ = 0 64 Non abbiamo le formule generali, iniziamo con i dati: σ P = x σ 1 + (1-x) σ + 0 = 18 x + 30 (1-x) Sviluppando e raccogliendo risulta σ P = 1.4 x x La varianza del PRT è una funzione di secondo grado che dipende da x. Quando è minima la varianza? d dx σ =.448x =0 x=0.735

65 Esempio ρ = 0 65 Sostituendo questo valore di x in σ P si ha: σ P = 38,, σ = 38, = 15,4% P Quale rendimento medio corrisponde a questo PRT? σ% V x

66 Esempio ρ = 0 66 Dalla (1) m P = 16 6x sostituendo x= 0,735 Si ha m P = 11,58% Possiamo allora cercare di rappresentare la F.E. Sull arco VB sono collocati i PRT efficienti. Una opportuna miscela di A e B conduce al PRT V con σ V = 15,4% < σ 1. Come si spiega? m% 16 m V 10 V σ V A A B σ%

67 F.E. con punto di svolta 67 E opportuno caratterizzare i casi in cui la F.E. ha un punto di svolta. Si dimostra che esiste un ρ* > 0 tale che: se ρ P > ρ* non si ha punto di svolta. La linea dei PRT ammissibili è compresa tra σ 1 e σ e coincide con i PRT efficienti se ρ P ρ* la curva ha un punto di svolta: i PRT efficienti sono collocati sull arco superiore della curva VB

68 F.E. con punto di svolta 68 Possiamo distinguere tre casi possibili 1 3 m m m m 1 V m 1 V m 1 V σ σ σ

69 F.E. con punto di svolta 69 Deve essere V compreso tra m 1 e m : casi e 3. Se V= m 1 x=1 In altri termini la varianza è minima per x=1 σ P = x σ 1 + (1-x) σ + x(1-x) ρ 1 σ 1 σ σ = d dx 0 per x= 1 dσ dx x= 1 σ = σ ρσσ = 0 ρ* = σ

70 F.E. con punto di svolta 70 Quindi in un PRT c è contrazione del rischio se risulta ρ P ρ*. Rivediamo i casi esaminati 1 3 m m 1 m m m 1 m 1 ρ P >ρ* ρ P =ρ* ρ P < ρ* σ σ σ

71 Esempio con contrazione del rischio 71 Riprendiamo l esempio già trattato: si ha σ 1 = 18% e σ = 30% Se fosse ρ P = 0,3 come trovare i PRT efficienti che investono nelle due azioni? Notiamo che risulta Occorre calcolare σ P σ P = 900x 1.476x +900 σ 18 ρ = = = ρ< ρ 1 * 0,6 quindi * σ 30 con i nuovi dati. Si ha σ = x d dx σ = d dx per x= 0,8

72 Esempio con contrazione del rischio 7 Risaliamo alle coordinate in σ e m : σ (x=0,83) =89,84, σ=17,0% m P (x=0,83) =16-6x=11,08% PRT a var Minima: V x = 0.8 = σ = 17% m = 11% PRT efficienti: arco VB m% V A B σ%

73 Esempio con contrazione del rischio 73 Se invece fosse ρ P = 0,7 come trovare i PRT efficienti che investono nelle due azioni? Notiamo che risulta σ 18 ρ = = = ρ> ρ σ 30 1 * 0,6 quindi * Occorre calcolare σ P con i nuovi dati. Si ha σ P = 468x 1.044x +900 σ = x d dx σ = d dx 0 per x= 1,11

74 Esempio con contrazione del rischio 74 La Var è minima per valori non ammissibili! Infatti graficamente si nota che i PRT efficienti sono sull arco AB m% 16 B Non c è contrazione del rischio 10 V A σ% 18 30

75 Effetto delle correlazioni 75 Si può verificare che il portafoglio efficiente a varianza minima abbia varianza minore di min(σ 1,σ ). si parla di effetto contrazione del rischio. Quale relazione deve intercorrere tra i due titoli, perché si verifichi l effetto contrazione?

76 Riassumendo 76 portafoglio con due titoli rischiosi se ρ=1 non ho benefici della diversificazione, tanto vale investire nel titolo a rischio minore, se voglio minimizzare il rischio se ρ<ρ* inizio ad avere benefici nel diversificare, se ρ=-1 posso addirittura annullare il rischio

77 Sommario 77 Rivediamo brevemente gli indicatori statistici per singoli titoli indicatori di rendimento indicatori di rischio varianza e deviazione standard Indicatori statistici per portafogli rendimento e rischio correlazione e covarianza Come confrontare i titoli e i portafogli tra loro? La frontiera efficiente portafoglio con due titoli rischiosi portafoglio composto da un risk free e un titolo rischioso portafoglio a n titoli

78 Portafoglio con due titoli, uno privo di rischio 78 Si consideriamo due titoli 1) investimento certo (0,R f ) ) investimento aleatorio caratterizzato da (σ, E(R )) Ipotizziamo E(R ) >R f

79 Portafoglio con due titoli, uno privo di rischio 79 Il portafoglio generale e caratterizzato da E(R) = x E(R f ) + (1-x) E(R ) σ = x σ 1 + (1-x) σ + x(1-x) σ 1 σ ρ Rischio nullo Correlazione nulla Per cui il tutto si semplifica in (1) () E( R) = R σ f = (1 x) x + (1 x) E( R σ ) Dobbiamo esprimere il rendimento in funzione del rischio

80 I portafogli ammissibili 80 Dalla () ricavo (1 x) σ = σ Sostituisco nella (1) E( R) = R f x + (1 x) E( R ) L insieme dei portafogli ammissibili E( R) = R f + ( E( R ) R f ) σ σ

81 Esempi 81 Investi 100 Euro in un portafoglio. Il portafoglio comprende: 1) un asset rischioso con un rendimento atteso del 1% e deviazione standard del 15% ) un investimento privo di rischio con rendimento 5%. Quale percentuale del portafoglio dovrebbe essere investita in attività prive di rischio in modo che l'intero portafoglio abbia deviazione standard pari al 9%?

82 Soluzione 8 Le equazioni di rendimento e rischio sono E( r ) σ = = 5% x + (1 (1 x) 15% x ) 1% 0 Imponendo che la deviazione standard sia 9% σ x = (1 6 = 15 x)15% = 5 = 9%

83 Esempi 83 Investi 100 Euro in un portafoglio. Il portafoglio comprende: 1) un asset rischioso con un rendimento atteso del 1% e deviazione standard del 15% ) un investimento privo di rischio con rendimento 5%. Quale percentuale del portafoglio dovrebbe essere investita in attività prive di rischio in modo che l'intero portafoglio abbia deviazione standard pari al 9%? La percentuale del portafoglio investita in attività prive di rischio è x=/5 ossia il 40%

84 Esempi 84 Hai 500 Euro da investire. Il tasso di rendimento privo di rischio è 8%, così come quello di finanziamento. Il rendimento di un titolo rischioso è il 16%. Se volessi ottenere un rendimento del %, quanto dovresti investire nell attività priva di rischio?

85 Soluzione 85 L equazioni del rendimento è E( r ) = 8% x + (1 x ) 16% Non ho informazioni sulla volatilità del titolo. Imponendo che il rendimento atteso sia % E( r) = 8% x + (1 x)16% 0 3 x = 4 = %

86 Esempi 86 Hai 500 Euro da investire. Il tasso di rendimento privo di rischio è 8%, così come quello di finanziamento. Il rendimento di un titolo rischioso è il 16%. Se volessi ottenere un rendimento del %, quanto dovresti investire nell attività priva di rischio? La percentuale del portafoglio investita in attività prive di rischio è x=-3/4 ossia dovrei finanziarmi per 375 Euro.

87 Quale portafoglio scegliere? 87 Tutti i punti sulla frontiera efficiente sono buone combinazioni di rischio/ rendimento, tuttavia..non e detto che due portafogli efficienti siano egualmente desiderabili. la scelta tra i portafogli efficienti avviene in base alla propensione al rischio dell investitore

88 Quale portafoglio scegliere? 88 Ogni investitore e caratterizzato da una funzione di utilità che ne coglie le caratteristiche di tolleranza al rischio. La funzione di utilità viene calcolata su una combinazione rischio rendimento e misura l utilità che deriva dal possedere un portafoglio con questo profilo. Proviamo a rispondere alla domanda Hai vinto un premio, scegli tu quale a) $000 subito e certi b) una possibilità del 50% di vincere $5000

89 Quale portafoglio scegliere? 89 Esistono combinazioni di rischio e rendimento che forniscono la stessa utilità ossia i portafogli che danno la stessa utilità sono indifferenti -- Curve di indifferenza Il portafoglio ottimo e ottenuto dal punto di intersezione tra le curve di indifferenza che fornisce la più elevata utilità e la frontiera efficiente.

90 Quale portafoglio scegliere? 90

91 PRT efficienti e curve di utilità 91 Esistono tre tipologie di atteggiamenti nei confronti del rischio: Propensione al rischio Neutralità verso il rischio Avversione al rischio La Portfolio Theory assume l ipotesi che tutti gli individuai siano avversi al rischio. Questo corrisponde a una funzione non decrescente e concava. Quale funzione è atta ad esprimere le preferenze individuali? lineare Quadratica Cubica Logaritmica, od altro?

92 PRT efficienti e curve di utilità 9 Si assume che le preferenze siano ben rappresentate da una funzione di utilità quadratica Sia R una v.a. che rappresenta il rendimento % di un titolo o di un PRT: allora U(R)=R-gR, con g parametro positivo Funzione non decrescente e concava. Verifichiamolo: - U (R)= 1-gR 0, per R 1/(g) -U (R)=-g<0, essendo g>0 Si tratta di una famiglia di parabole con vertice R=1/(g) U(R) R

93 PRT efficienti e curve di utilità 93 Calcoliamo il valore atteso di U(R) (variabile aleatoria) E[U(R)] = E(R-gR )= E(R) ge(r ) (*) Per il momento del secondo ordine E( R ) ricordiamo che vale Var(R)= E(R )- [E(R)], quindi E(R )=Var(R)+ [E(R)] = σ + m e sostituendo in (*) E[U(R)]= m g(σ + m ), dove g misura del grado di avversione al rischio. Indicato con µ una costante, si pone E[U(R)]= µ luogo di utilità costante e si ottiene

94 PRT efficienti e curve di utilità 94 m g σ -gm = µ e dividendo per (-g) σ + 1 m µ m g + g = Con centro C(0, 1/(g)) e raggio 0 Equazione di un fascio di circonferenze concentriche 1 r = 4g c g Nel piano m- σ sono rappresentati da archi di circonferenza per m<1/(g).: sono tratti di curve di isoutilità

95 PRT efficienti e curve di utilità 95 m P Utilità crescente σ P

96 PRT efficienti e curve di utilità 96 m P P Il portafoglio ottimale sara quello efficiente, cioè sulla F.E., che si trova sulla curva di indifferenza piu elevata nel grafico P σ P Il PRT P è il punto di tangenza tra la famiglia di curve di isoutilità a l equazione della F.E.

97 Il modello più semplice : esempio 97 Data la frontiera efficiente m P = 1+0,5 σ P con 18 σ P 30 ci proponiamo di trovare il PRT ottimo, avendo un grado di avversione al rischio pari a g=4. Occorre risolvere max( m g σ -gm ) sapendo che m P = 1+0,5 σ P. 18 σ P 30 Si tratta di mettere a sistema le due funzioni e risalire all unica soluzione. Il testo indica come utilità quadratica: E[ U ( R)] = E( R) 0.5Aσ

98 Avversione al rischio e asset allocation 98 Un elevata avversione/propensione al rischio porta ad un portafoglio con un alta/bassa componente di attività priva di rischio Un investitore può aumentare il grado di rischiosità del suo portafoglio tramite effetto leva o leverage

99 Selezione dei portafogli ottimali e propensione al rischio 99 E(r) P Borrower r f Lender σ

100 Portafogli efficienti in presenza di un tasso di 100 indebitamento h>r f E(r) E(r 0 ) h P r f σ σ 0

101 Frontiera efficiente con tre titoli rischiosi 101 E(r) E(r 3 ) E(r ) E(r 1 )

102 Frontiera efficiente con più titoli rischiosi: esempio intuitivo 10 E(r)

103 103 Frontiera efficiente con più titoli rischiosi Frontiera efficiente con più titoli rischiosi Fissato un livello di rendimento K, determino il portafoglio a varianza minima. Si tratta di minimizzare la varianza. Posso pensare di far girare del software 1 ) ( vincoli rispetto dei ,.. = = i i i i i n n x x x k r E x nel x x x x x x x Min n ρ σ σ ρ σ σ σ σ σ

104 104 Frontiera efficiente con più titoli rischiosi Frontiera efficiente con più titoli rischiosi Spesso si preferisce usare una notazione matriciale. Con vincoli [ ] x x x x Min σ σ ρσ σ ρσ σ [ ] = x x [ ] µ = ) ( ) ( 1 1 r E r E x x

105 Frontiera efficiente con più titoli rischiosi 105 Spesso si preferisce usare una notazione matriciale ancora piu compatta Min ' xv x Con vincoli ' x E( r) = µ x'1 = 1

106 La frontiera dei portafogli efficienti 106 E(r) Frontiera efficiente Portafoglio a rischio minimo singole azioni insieme dei portafogli a rischio minimo St. Dev.

107 Includiamo anche il titolo privo di rischio 107 E(r) retta (M) retta (A) M P A G A M P (retta per il punto a minima varianza globale) r f P P&F M A&F

108 Frontiera efficiente 108 E(r) E( r) = r f + ( E( r ) M σ M r f ) σ B M A rf St. Dev

109 Indice 109 Misure di rischio e rendimento La diversificazione dei rischi I modelli di portafoglio in media e varianza. La frontiera efficiente nello spazio rischio/rendimento Procedimenti per stimare i parametri del modello in media e varianza. Il Capital Asset Pricing Model L Arbitrage Pricing Theory.