SOMME DI POTENZE DEGLI INTERI POSITIVI CONSECUTIVI

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1 SOMME DI POTENZE DEGLI INTERI POSITIVI CONSECUTIVI GUIDO CAROLLA 1 Sunto. Si pesenta un pogamma in QBasic ed alcuni esempi con input e output: esso, fa l alto ci mosta come sia possibile isolvee l inteessante poblema di calcolo numeico elativo alla somma delle potenze dei numei positivi consecutivi, SR,TR e (SR-TR),a patie dall unità e ispettivamente fino ad N e ad M e loo diffeenza, pe mezzo di paticolai algoitmi, fino alle potenze con esponente R<=4. Esso utilizza anche la seie con i pimi cinque numei di Benoulli pe il medesimo calcolo, nel caso di un qualunque R positivo. Inolte il pogamma suddetto utilizza un alta seie con i coefficienti binomiali di Newton. Infine, i isultati di cui sopa vengono affontati con quelli eali, ottenuti molto semplicemente con un ciclo FOR- NEXT. Abstact. The Autho pesents a Qbasic pogamme and some examples with data inputs and outputs: among othe things, it shows how we can solve the calculus poblem about the sum of powes of positive consecutive numbes, SR, TR and (SR- TR), fom the unity and espectively to N and to M and to thei diffeence, thanks to special algoithms, to the powes with exponent R<=4. It makes also use of the seies with the fist five Benoulli numbes fo this calculus, in the case of any positive R. Moeove the afoe-mentioned pogamme uses anothe seies with Newton binomial coefficients. Finally, the elated outputs ae put in compaison with the eal ones, easily calculated with a FOR-NEXT loop. Algoitmi utilizzati nel listato Si ipotano alcuni casi paticolai delle somme di potenze degli intei positivi, cioè di n che, pe i valoi di da 1 a 4, sono: n ( n + 1) n ( n + 1) n + 1 n ( n + 1) n( n + 1) pe =1 ; pe = ; pe =3 ; 3 n ( n + 1) n + 1 3n 1 pe =4 3n n 1 B1 n B ( 1)( + )n n ! 4! ; la seie con i numei di Benoulli utilizzata é, nella quale la somma temina con n oppue con n, secondo che sia pai o dispai e Bk sono i numei di Benoulli, i cui 1 Docente di Matematica in ogni odine di Scuola e Peside di Istituti supeioi a. Piazza Mazzini n Lecce tel. 083/317045; cell ; guidocaolla@libeo.it 4 6 x x I numei di Benoulli B 1,B,B 3,... sono definiti dalla seie: B 1 x B 1 x B3 = + + x... con x < π x e 1! 4! 6! 4 6 x x B1 x B x B3 x 1 cot = con x < π! 4! 6!

2 pimi cinque sono ipotati nel listato e nei quatto esempi in output; infine, si ipota la seie con i coefficienti binomiali, (con, n intei positivi) e quindi se S = 1 +, alloa si ha = ( n+ 1) ( n 1) n S S S Listato del pogamma in QBasic CLS : PRINT "Il pogamma CALCOLA, con paticolai algoitmi, SR che è la SOMMA delle potenze R.sime dei numei natuali consecutivi,fino ad N,di quelle fino ad M (TR) e la loo diffeenza,cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle fino a M (SR-TR) (soltanto pe R<=4); CALCOLA con la seie in cui figuano i numei di Benoulli,con ottima appossimazione,le stesse somme e diffeenze (pe il valoe digitato di R>4) e li affonta con i valoi eali,dando di essi anche le somme paziali di dette potenze. Infine,mette in affonto i valoi ottenuti dalla seie in cui figuano dei coefficienti binomiali di Newton con quelli,elativi alla stessa seie degli SR,pecedentemente calcolati con un algoitmo." INPUT "DIGITA R,N,M(<N) "; R, N, M: CLS : PRINT "R="; R, "N="; N, "M="; M IF R = 1 THEN S1 = N * (N + 1) / : PRINT "S1="; S1, : T1 = M * (M + 1) / : PRINT "T1="; T1, : PRINT "S1 - T1="; S1 - T1 IF R = THEN S = N * (N + 1) * ( * N + 1) / 6: PRINT "S="; S; : T = M * (M + 1) * ( * M + 1) / 6: PRINT "T="; T; : PRINT "S-T="; S - T IF R = 3 THEN S3 = (N * (N + 1) / ) ^ : PRINT "S3="; S3; : T3 = (M * (M + 1) / ) ^ : PRINT "T3="; T3; : PRINT "S3-T3="; S3 - T3 IF R = 4 THEN S4 = N * (N + 1) * ( * N + 1) / 6 * (3 * N ^ + 3 * N - 1) / 5: PRINT "S4="; S4; : T4 = M * (M + 1) * ( * M + 1) / 6 * (3 * M ^ + 3 * M - 1) / 5: PRINT "T4="; T4; : PRINT "S4-T4="; S4 - T4 A = (N + 1) ^ (R + 1) - (N + 1) PRINT "Pe un qualunque valoe di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/+B1*R*N^(R- 1)/!-B*R*(R-1)*(R-)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con B1,B,B3,...che sono i numei di Benoulli,cioè 1/6,1/30,1/4,1/30,5/66,...),che pe R="; R; "dà" E = N ^ (R + 1) / (R + 1) + N ^ R / + 1 / 6 * R * N ^ (R - 1) / - 1 / 30 * R * (R - 1) * (R - ) * N ^ (R - 3) / ( * 3 * 4) + 1 / 4 * R * (R - 1) * (R - ) * (R - 3) * (R - 4) * N ^ (R - 5) / ( * 3 * 4 * 5 * 6) F = -1 / 30 * R * (R - 1) * (R - ) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * N ^ (R - 7) / 4030 G = 5 / 66 * R * (R - 1) * (R - ) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * (R - 7) * (R - 8) * N ^ (R - 9) / SR = E + F + G: TR = M ^ (R + 1) / (R + 1) + M ^ R / + 1 / 6 * R * M ^ (R - 1) / - 1 / 30 * R * (R - 1) * (R - ) * M ^ (R - 3) / / 4 * R * (R - 1) * (R - ) * (R - 3) * (R - 4) * M ^ (R - 5) / 70-1 / 30 * R * (R - 1) * (R - ) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * M ^ (R - 7) / / 66 * R * (R - 1) * (R - ) * (R - 3) * (R - 4) * (R - 5) * (R - 6) * (R - 7) * (R - 8) * M ^ (R - 9) /

3 PRINT "S"; R; "="; SR; " T"; R; "="; TR; ", soltanto con l'utilizzo di B1,B,B3,B4 e B5", "S"; R; "-T"; R; "="; SR - TR PRINT "Infatti le somme paziali e la totale fino ad N="; N; "delle potenze di"; R; "dei numei natuali consecutivi sono:" DIM Z(100) FOR i = 1 TO N Z(i) = Z(i - 1) + i ^ R: PRINT Z(i); : NEXT i: PRINT "ed il valoe eale di S"; R; "Š popio"; Z(N); "." S1 = N * (N + 1) / : S = N * (N + 1) * ( * N + 1) / 6: S3 = S1 ^ : S4 = S * (3 * N ^ + 3 * N - 1) / 5 PRINT "I valoi che seguono sono quelli di SR pe R<=4 e di SR pe R digitato:": PRINT "S1 = "; S1, " S = "; S, " S3 = "; S3, " S4 = "; S4, "S"; R; "="; SR PRINT "Inolte,se SR=1^R+^R+...+N^R,dove R ed N sono intei positivi,si ha (R+1 ad 1 ad 1)*S1+(R+1 a a )*S+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)-(N+1)="; : PRINT A; "la cui seie ha significato soltanto se nei calcoli,oa pedisposti ispettivamente pe R=1,R=,R=3,R=4,ci si fema al temine R.mo del elativo SR, es. se ci si fema al pimo,al secondo,al tezo ed al quato temine si avanno:": R = 1: PRINT (R + 1) * S1; : R = : PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / * S; : R = 3: PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / * S + (R + 1) * R * (R - 1) / ( * 3) * S3; : R = 4: PRINT (R + 1) * S1 + (R + 1) * R / * S + (R + 1) * R * (R - 1) / ( * 3) * S3 + (R + 1) * R * (R - 1) * (R - ) / ( * 3 * 4) * S4; "uno dei quali ultimi valoi è popio uguale a quello ottenuto pecedentemente pe mezzo dell'algoitmo sopa ipotato,soltanto se si è digitato R<=4.": REM!+...+(R+1)!/R!*SR= (N+1)^(R+1)-(N+1)=; A:PRINT PRINT "Si noti che,pe R=1,quest'ultimo algoitmo è equivalente a *S1" END Esempi con input output Il pogamma CALCOLA, con paticolai algoitmi, SR che è la SOMMA delle potenze R.sime dei numei natuali consecutivi,fino ad N,di quelle fino ad M (TR) e la loo diffeenza,cioè delle somme fino ad N diminuite di quelle fino a M (SR-TR) (soltanto pe R<=4); CALCOLA con la seie in cui figuano i numei di Benoulli,con ottima appossimazione, le stesse somme e diffeenze (pe il valoe digitato anche di R>4) e li affonta con i valoi eali, dando di essi anche le somme paziali di dette potenze. Infine, mette in affonto i valoi ottenuti dalla seie in cui figuano dei coefficienti binomiali di Newton con quelli, elativi alla stessa seie degli SR, bpecedentemente calcolati con un algoitmo. DIGITA R,N,M(<N)? 1,18,4 S1= 171, T1= 10, S1 - T1= 161 Pe un qualunque valoe di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/+B1*R*N^(R-1)/!- B*R*(R-1)*(R-)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con B1,B,B3,... che sono i numei di Benoulli,cioè 1/6,1/30,1/4,1/30,5/66,...),che pe R= 1 dà

4 S 1 = T 1 = , soltanto con l'utilizzo di B1,B,B3,B4 e B5 S 1 -T 1 = 161 Infatti le somme paziali e la totale fino ad N= 18 delle potenze di 1 dei numei natuali consecutivi sono: ed il valoe eale di S 1 è popio 171. I valoi che seguono sono quelli di SR pe R<=4 e di SR pe R digitato: S1 = 171 S = 109 S3 = 941 S4 = S 1 = Inolte,se SR=1^R+^R+...+N^R,dove R ed N sono intei positivi,si ha (R+1 ad 1 a d 1)*S1+(R+1 a a )*S+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)- (N+1)= 34 la cui seie ha significato soltanto se nei calcoli,oa pedisposti ispettivamente pe R=1,R=,R=3,R=4,ci si fema al temine R.mo del elativo SR, es. se ci si fema al pimo,al secondo,al tezo ed al quato temine si avanno: uno dei quali ultimi valoi è popio uguale a quello ottenuto pecedentemente pe mezzo dell'algoitmo sopa ipotato,soltanto se si è digitato R<=4. Si noti che,pe R=1,quest'ultimo algoitmo è equivalente a *S1 Digita R,N,M(<N)? R= 4 N= 6 M= S4= 75, T4= 17, S4-T4= 58 Pe un qualunque valoe di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/+B1*R*N^(R-1)/!- B*R*(R-1)*(R-)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con B1,B,B3,...che sono i numei di Benoulli,cioè 1/6,1/30,1/4,1/30,5/66,...),che pe R= 4 dà S 4 = 75 T 4 = 17, soltanto con l'utilizzo di B1,B,B3,B4 e B5 S 4 -T 4 = 58 Infatti le somme paziali e la totale fino ad N= 6 delle potenze di 4 dei numei natuali consecutivi sono: ed il valoe eale di S 4 è popio 75. I valoi che seguono sono quelli di SR pe R<=4 e di SR pe R digitato: S1 = 1 S = 91 S3 = 441 S4 = 75 S 4 = 75 Inolte,se SR=1^R+^R+...+N^R,dove R ed N sono intei positivi,si ha (R+1 ad 1 a d 1)*S1+(R+1 a a )*S+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)- (N+1)= la cui seie ha significato soltanto se nei calcoli,oa pedisposti ispettivamente pe R=1,R=,R=3,R=4,ci si fema al temine R.mo del elativo SR, es. se ci si fema al pimo,al secondo,al tezo ed al quato temine si avanno: uno dei quali ultimi valoi è popio uguale a quello ottenuto pecedentemente pe mezzo dell'algoitmo sopa ipotato,soltanto se si è digitato R<=4. Si noti che,pe R=1,quest'ultimo algoitmo è equivalente a *S1

5 Digita R,N,M(<N)? R= 7 N= 6 M= 1 Pe un qualunque valoe di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/+B1*R*N^(R-1)/!- B*R*(R-1)*(R-)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con B1,B,B3,...che sono i numei di Benoulli,cioè 1/6,1/30,1/4,1/30,5/66,...),che pe R= 7 dà S 7 = T 7 = , soltanto con l'utilizzo di B1,B,B3,B4 e B5 S 7 -T 7 = Infatti le somme paziali e la totale fino ad N= 6 delle potenze di 7 dei numei natuali consecutivi sono: ed il valoe eale di S 7 è popio I valoi che seguono sono quelli di SR pe R<=4 e di SR pe R digitato: S1 = 1 S = 91 S3 = 441 S4 = 75 S 7 = Inolte,se SR=1^R+^R+...+N^R,dove R ed N sono intei positivi,si ha (R+1 ad 1 a d 1)*S1+(R+1 a a )*S+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)- (N+1)= la cui seie ha significato soltanto se nei calcoli,oa pedisposti ispettivamente pe R=1,R=,R=3,R=4,ci si fema al temine R.mo del elativo SR, es. se ci si fema al pimo,al secondo,al tezo ed al quato temine si avanno: uno dei quali ultimi valoi è popio uguale a quello ottenuto pecedentemente pe mezzo dell'algoitmo sopa ipotato,soltanto se si è digitato R<=4. Si noti che,pe R=1,quest'ultimo algoitmo è equivalente a *S1 Digita R,N,M(<N)? R= 5 N= 7 M= 4 Pe un qualunque valoe di R si ha: N^(R+1)/(R+1)+N^R/+B1*R*N^(R-1)/!- B*R*(R-1)*(R-)*N^(R-3)/4!+B3*R*(R-1)*(R-)*(R-3)*(R-4)*N^(R-5)/6!-...(con B1,B,B3,...che sono i numei di Benoulli,cioè 1/6,1/30,1/4,1/30,5/66,...),che pe R= 5 dà S 5 = 9008 T 5 = , soltanto con l'utilizzo di B1,B,B3,B4 e B5 S 5 -T 5 = 7708 Infatti le somme paziali e la totale fino ad N= 7 delle potenze di 5 dei numei natuali consecutivi sono: ed il valoe eale di S 5 è popio 9008.I valoi che seguono sono quelli di SR pe R<=4 e di SR pe R digitato: S1 = 8 S = 140 S3 = 784 S4 = 4676 S 5 = 9008 Inolte,se SR=1^R+^R+...+N^R,dove R ed N sono intei positivi,si ha (R+1 ad 1 a d 1)*S1+(R+1 a a )*S+(R+1 a 3 a 3)*S3+...+(R+1 ad R ad R)*SR=(N+1)^(R+1)- (N+1)= 6136 la cui seie ha significato soltanto se nei calcoli,oa pedisposti ispettivamente pe R=1,R=,R=3,R=4,ci si fema al temine R.mo del elativo SR, es. se ci si fema al pimo,al secondo,al tezo ed al quato temine si avanno:

6 uno dei quali ultimi valoi è popio uguale a quello ottenuto pecedentemente pe mezzo dell'algoitmo sopa ipotato,soltanto se si è digitato R<=4. Si noti che,pe R=1,quest'ultimo algoitmo è equivalente a *S1 Bibliogafia -Muay R. Spiegel, Manuale di Matematica, McGaw-Hill, Robet Anson, Chisty Gemmell, Hay Hendeson, MS-DOS QBasic Guida del Pogammatoe, McGaw-Hill Libi Italia sl, 199. Lecce, mazo 004 Guido Caolla pe