Soluzioni 3.1. n(n 1) (n k + 1) z n k! k + 1 n k. lim k

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1 (1) La sere bnomale è B n (z) = k=0 Con l metodo del rapporto s ottene R = lm k Soluzon 3.1 n(n 1) (n k + 1) z n k! c k c k+1 = lm k k + 1 n k lm k c k z k. k= k 1 n k = 1 (2) La multfunzone f(z) = z z è l prodotto d 2 multfunzon Z Z e W 3 W. È qund ragonevole supporre che Z = 0, coè z = 1 e W = 0, coè z = sano punt d dramazone d f. Per stablre questo analtcamente, faccamo un gro ntorno a z = 1 partendo dal valore prncpale della radce, coè ponamo z + 1 = re θ. Allora f(z) = r 1/2 e θ/ re θ Il numero sotto radce cubca ha parte reale 1 + r cos θ e parte mmagnara sn θ 1. ha qund un angolo Θ = tan 1 1 sn θ 1 r cos θ Quando θ vara tra 0 e 2π, l angolo Θ vara tra un valore mnmo e uno massmo come mostrato n fgura (lnee tratteggate) -1 z = -1 + re θ θ x Qund, qualunque sa l valore scelto della radce cubca per θ = 0, questo non camba dopo un gro θ = 0 θ = 2π. Ma la radce quadrata camba: dopo un gro camba d segno. Qund f(z) f(z) quando θ = 0 θ = 2π

2 2 z = 1 è dunque un punto d dramazone della multfunzone f(z). Poché c voglono due gr per tornare al valore nzale, z = 1 è un punto d dramazone semplce. 1 Trattando n manera smle un gro ntorno a z =, s vede faclmente che z = è un punto d dramazone d ordne 2 della funzone f(z). Sulla base d quanto vsto a lezone, s possono ottenere ram (coè funzon ad un sol valore) d f(z), facendo due tagl, ad esempo le due semrette n neretto mostrate n fgura -1 x A lezone abbamo vsto che per la funzone g(z) = z z + è possble ottenere suo ram con un solo taglo: x - perchè n un gro completo ntorno al punto d partenza due cambament d segno s compensano e la funzone rtorna al suo valore d partenza. Questo non è possble per la funzone f(z): non 1 Se, n prma battuta, l ragonamento che ha portato a questa conclusoneo non è charo, s ntroducano coordnate r 1, r 2, θ 1, θ 2 come nella rsoluzone sotto dell eserczo 6. Alla fne c s dovrebbe rendere conto che l ragonamento è sostanzalmente lo stesso.

3 3 è possble un taglo del tpo -1 x perchè essendo le veloctà angolar opposte n senso d rotazone ma d dverso modulo (una è 1/2 e l altra è 1/3), non c può essere compensazone dopo un gro completo. (3) f(z) = z 2 1 = z 1 z + 1, al fnto, ha due punt d dramazone semplc n z = ±1. Per valutare se f(z) ha un punto d dramazone all nfnto, s consdera F (z) = f(1/z) per z = 0. Ma ( ) F (z) = f = z z 2 1 = 1 z2 z 2 = 1 1 z2. z Qund z = 0 non è un punto d dramazone d F. Allora z = non è un punto d dramazone d f. Possbl tagl: (4) (a) f(z) = sn z. S consder un gro attorno a 0 lungo l dsco untaro z = 1. Allora: sn e (θ=0)/2 = sn(1) sn e (θ=2π)/2 = sn e π = sn( 1) = sn(1) Qund sn z ha un punto d dramazone semplce nello zero. Pochè un gro lungo z = 1 è anche un gro attorno all nfnto, anche l nfnto è un punto d dramazone della funzone. (b) f(z) = sn z. Il seno s annulla per z = nπ ed è sngolare all nfnto 2. C potrebbero essere de punt d dramazone n quest punt. Consderamo l punto z = nπ. Possamo scrvere sn z = (z nπ) sn z z nπ. 2 Sulla base d quanto appreso nella lezone 5.1, l seno ha una sngolartà essenzale all nfnto, n quanto è defnto n termn della funzone esponenzale, e la funzone e 1/z ha una sngolartà essenzale nello zero.

4 4 S osserv che la funzone g(z) = sn z z nπ è non nulla e ha una sngolartà elmnable n z = nπ (lezone 5.1), 3 lm z nπ Allora, n un pccolo ntorno d nπ s ha sn z z nπ = lm z nπ cos z 1 sn z = (z nπ)( 1) n = ( 1) n Qund, poché z nπ ha un un punto d dramazone semplce per z = nπ anche sn z avrà un punto d dramazone semplce per z = nπ. Poché tutt punt d dramazone z = nπ vanno fno all nfnto, l nfnto non è una sngolartà solata, ma un punto d accumulazone d sngolartà. Un punto d dramazone deve essere una sngolartà solata e qund non è un punto d dramazone. (c) f(z) = z sn z. La funzone è a un sol valore. Dmostrazone veloce: z 1/2 sn z 1/2 = ± z sn(± z) = ± z(± sn( z) = z sn z (d) f(z) = sn z 2. Poché sn z 2 = 0 per z = (nπ) 1/2, quest potrebbero essere punt d dramazone. Possamo scrvere sn z 2 2 sn z2 = z z 2 dove la funzone sn z 2 /z 2 è non nulla e ha una sngolartà elmnable per z = 0: per z 0 la funzone tende a 1. Pochè z 2 non ha un punto d dramazone n 0, lo stesso vale per f(z). Consderamo adesso l punto z = (nπ) 1/2, sn z 2 = ( z nπ ) sn z 2 z nπ sn z 2 /(z nπ) è non nulla e ha una sngolartà elmnable per z = nπ lm z nπ sn z 2 z nπ = lm 2z cos z 2 z = 2 nπ( 1) n nπ 1 Poché (z nπ) 1/2 ha un punto d dramazone n z = nπ, anche sn z 2 lo avrà. Qund f(z) = sn z 2 ha punt d dramazone semplc n z = nπ per n = ±1, ±2 ± 3,.... Il punto all nfnto non è una sngolartà solata (e pochè non è neanche un polo, è una sngolartà essenzale). (5) Per trovare punt d dramazone d espandamo f(z), f(z) = 3 z 3 z f(z) = z 1/3 (z 1) 1/3 (z + 1) 1/3 3 S osserv che procedamo come per pol nella lezone 5.1: fattorzzamo le radc della funzone n modo che quel che resta è analtco e non nullo.

5 5 C sono punt d dramazone d ordne 2 n z = 1, 0, 1. Facendo la sosttuzone z 1/z s vede che non c sono punt d dramazone all nfnto n quanto Tre possbl tagl: F (z) = f(1/z) = 1 z (1 z)1/3 (1 + z) 1/3 S vede faclmente che l prmo taglo va bene e trasforma la multfunzone n una funzone a un solo valore. Il secondo taglo non va bene perché permette un gro ntorno a punt ±1. Un gro ntorno a quest due punt fa varare l valore d partenza della funzone d un fattore e 4π/3, qund la funzone così ottenuta non è a un sol valore. Il terzo taglo va bene: grando ntrono a tre tagl la funzone non camba (e 6π/3 = e 2π = 1). (6) Per prma cosa fattorzzamo f(z), f(z) = (z ) 1/3 (z + ) 1/3. C sono punt d dramazone( d ordne 2) n z = ±. Un modo d ntrodurre tagl è l seguente: θ 1 r 1 z = + r 1 e θ1 =!- + r 2 e θ2 r 2 x - θ 2 Da cu, f(z) = ( r 1 e θ1) 1/3 ( r2 e θ2) 1/3 = 3 r 1 r 2 e (θ1+θ2)/3

6 6 S vuole determnare l ramo n cu Deve qund valere f(0) = 1 2 ( 1 + ) 3 = e (2π/3+2πn) 3 1e (θ 1+θ 2)/3 = e (2π/3+2πn) coè, per avere l ramo rchesto, gl angol devono soddsfare la relazone Una scelta possble è θ 1 + θ 2 = 2π + 6πn π 2 < θ 1 < 5π 2, π 2 < θ 2 < 3π 2 (7) (a) f(z) = log(z 2 1) = log(z 1) + log(z + 1) C sono punt d dramazone n z = ±1. Per sapere che cosa succede all nfnto, consderamo l comportamento nello zero d ( ) 1 F (z) = f(1/z) = log z 2 1 = log(z 2 ) + log(1 z 2 ) log(z 2 ) ha un punto d dramazone n z = 0, log(z 2 ) = ln z 2 + arg(z 2 ) = ln z 2 2 arg(z) Ogn volta che gramo ntorno allo zero l valore della funzone F (z) camba d 4π. Allora z = è un punto d dramazone d f(z). Possamo rendere la funzone ad un sol valore ntroducendo due tagl che partono da z = ±1 e vanno all nfnto. ( ) z + 1 (b) f(z) = log = log(z + 1) log(z 1) z 1 C sono punt d dramazone n z = ±1. ( ) 1 + z F (z) = f(1/z) = log 1 z F (z) non ha punt d dramazone nello zero, qund f(z) non ha punt d dramazone all nfnto. Possamo rendere la funzone ad un sol valore ntroducendo due tagl che partono da z = ±1 e vanno all nfnto. Possamo anche rendere la funzone ad un sol valore ntroducendo un solo taglo taglo che collega punt z = ±1. Questo perché log(z + 1) e log(z 1) cambano rspettvamente d 2π e 2π quando s percorre un gro completo ntorno a due punt d dramazone nella drezone postva.