Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k, ilseguentesistemalineare: 8. 2x + ky + z =0. y z =2k.

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1 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta CFU) Dicembre 4 A Tempo a disposizione: 5 minuti Studiare, al variare del parametro reale k, ilseguentesistemalineare: >< x + ky = k x + ky + z = y z =k Nel piano sono dati il punto A, ) elarettab) x + y = Trovare le rette passanti per A che formano con l asse ~x elarettab) un triangolo di area Nello spazio sono dati il punto A,, ), ilpiano ) x + y z =elerette y z = x + y = r), s) x + y += x z += a) Trovare la retta t) passante per A, parallelaad ) ed ortogonale ad r) b) Trovare la proiezione ortogonale di s) su ) c) Trovare la distanza di A da r) d) Trovare il simmetrico di A rispetto ad ) e) Trovare la retta passante per A ed incidente le rette r) ed s) f) Trovare il piano contenente s) e parallelo ad r)

2 Dicembre 4 Svolgimento della prova scritta Siano A k k A, A = Riduciamo per righe la matrice A : A R!R k k k k k A R!R k k k k Se k 6=,ovverosek 6=,ilsistemaèdeterminato Se k =,ilsistemadiventa x + y = y + z = k k k k k che è indeterminato ed ammette soluzioni: h, h, h ) A Un generico punto P sulla retta b) ha coordinate P a, a), cona R La retta b) interseca l asse ~x nel punto B, ) In riferimento al triangolo ABP,sceltacomebaseil segmento AB la cui lunghezza è, lalunghezzadell altezzaph ad essa relativa è data da a Così si ha che: A AP B) = AB PH = a La condizione A AP B) =,impostadalquesito,diventa a = ) a =4 ) a = _ a =5 Pertanto, i punti richiesti hanno coordinate P 5, 4) e P, 4) Daquantotrovatosegue che esistono due rette che risolvono il quesito: la prima è la retta passante per A e P che denotiamo con r ))elasecondaèquellapassantepera e P che denotiamo con r )) Tali rette hanno equazioni r ) y = 4 x ), r ) y = 4 x ) 5 a) La retta t) richiesta è intersezione del piano passante per A eparalleloa ) edel piano contenente A eperpendicolareadr) Il piano ha equazione x ) + y ) z =ovvero x + y z = Per determinare il piano,calcoliamo preliminarmente il punto improprio di r, P r) Talepuntosideterminaintersecando la retta r) scritta in coordinate omogenee) con il piano improprio t =:

3 >< t = y z = x + y +t = da cui segue subito che P r),,, ) ediconseguenzark,, ) Così il piano ha equazione x )+y )+z ) = ovvero x y z+ = Quindi: x + y z = t) :, x y z += da cui, con facili conti: t) : x = z y = b) La proiezione richiesta è l intersezione tra il piano ) eilpiano contenente per s) ed ortogonale ad ) Scriviamol equazionedelfasciodipianicontenentis): x + y ) + µx z +)= Un vettore ortogonale ad un generico piano del suddetto fascio è w = + µ,, µ) Un vettore ortogonale al piano ) è v =,, ) Imponendo che w e v siano ortogonali, si ha: Così w v =, + µ + + µ =, + µ = : y + z = equindilaproiezionerichiestaèlaretta x + y z = y + z = c) Determiniamo le intersezioni tra la retta r) ed il piano passante per A eortogonale ad r) determinato nel punto a): >< y z = x + y += x y z += 5 da cui segue che e r) si intersecano nel punto H,, )Aquestopuntosegue subito che s 5 da, r) =da, H) = r 4 9 = 9 d) Determiniamo la retta passante per A eortogonalead ): >< x = t y =+t z = t,

4 Il punto A,simmetricodiArispetto al piano ) deve appartenere alla suddetta retta e quindi A t, +t, t) Perlacondizionedisimmetria,ilpuntomedioM del segmento AA deve appartenere al piano ), ovvero t, +t, t ), perciò t + +t + t = ) t = In conclusione A,, e) La retta m) richiesta è l intersezione del piano passante per A econtenenter) edel piano passante per A econtenentes) Determiniamo Alloscopo,scriviamol equazionedelfasciodipianicontenentir) e imponiamo successivamente il passaggio per A: y z)+µx + y +)=, da cui imponendo il passaggio per A si ottiene =e µ =, ottenendocosì :y z x y = +µ =equindisipuòscegliere Determiniamo Alloscopo,scriviamol equazionedelfasciodipianicontenentis) e imponiamo successivamente il passaggio per A: x + y ) + µx z +)=, da cui imponendo il passaggio per A si ottiene In definitiva m) : : x + y = y z x y = x + y = +µ =equindi f) Nel punto a) abbiamo già visto che P r),,, ) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti s) scritta in coordinate omogenee): x + y t)+µx z + t) = Imponendo che P r) appartenga al suddetto fascio, si ottiene quindi si può scegliere µ =, =e si trova che il piano richiesto ha equazione: x + y =

5 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta CFU) Dicembre 4 B Tempo a disposizione: 5 minuti Studiare, al variare del parametro reale k, ilseguentesistemalineare: >< x +y + kz = k +)y + z = x +y = k Nel piano sono dati il punto A, ) elarettar) x y =TrovareipuntiP della retta r) tali che l area del triangolo OAP dove O, )) valga Nello spazio sono dati il punto A,, ), ilpiano ) x + y z =elerette x + y = z = r), s) x z += x +y += a) Trovare la retta t) passante per A, parallelaad ) ed incidente r) b) Trovare la proiezione ortogonale di r) su ) c) Trovare la distanza di A da r) d) Trovare la simmetrica di r rispetto ad ) e) Trovare la retta passante per A ed incidente le rette r) ed s) f) Trovare il piano contenente s) e parallelo ad r)

6 Dicembre 4 Svolgimento della prova scritta Siano A k k + A, A = Riduciamo per righe la matrice A : A R!R k k + 4 k k + A R!R k + k k k k + k k +4 k Se k +k 4 6=,ovverosek 6= 4 ^ k 6=,ilsistemaèdeterminato Se k =,ilsistemadiventa x +y + z = A 4x + z = che è indeterminato ed ammette soluzioni: h, h, 4h) Se k = 4, il sistema è impossibile per il teorema di Rouché-Capelli, poiché il rango della matrice dei coefficienti è minore del rango della matrice completa In particolare ra) =<ra )= Un generico punto P sulla retta r) ha coordinate P a, a), cona R PostoAH = da, r), si ha che OP AH A OAP )= Risulta OP = p a + a = a p, p AH = da, r) = p = La condizione A OAP )=,impostadalquesito,diventa p a p = ) a =4 ) a = ±4 Pertanto, i punti richiesti hanno coordinate P 4, 4) e P 4, 4) a) La retta t) richiesta è intersezione del piano passante per A eparalleload ) edel piano contenente A ed r) Il piano ha equazione x ) + y ) z = ovvero x + y z =Perdeterminareilpiano,scriviamol equazionedelfascio di piani passanti per r: x + y)+µx z +)= eimponiamoilpassaggiopera, ottenendo +µ = ) = µ,

7 così il piano ha equazione y + z =Quindi: x + y z = t) : y + z = b) La proiezione richiesta è l intersezione tra il piano ) eilpiano contenente r) ed ortogonale ad ) Scriviamol equazionedelfasciodipianicontenentir): x + y)+µx z +)= Un vettore ortogonale ad un generico piano del suddetto fascio è w = + µ,, µ) Un vettore ortogonale al piano ) è v =,, ) Imponendo che w e v siano ortogonali, si ha: Così w v =, + µ + + µ =, + µ = : y + z = equindilaproiezionerichiestaèlaretta x + y z = y + z = c) Determiniamo il punto improprio di r), P r), intersecandolarettar) scritta in coordinate omogenee) con il piano improprio t =: >< t = x + y =, x z + t = da cui segue subito che P r),,, ) ediconseguenzar k,, ) Determiniamo, adesso, il piano passante per A e ortogonale ad r): :x ) y ) + z ) = ovvero : x y + z = Calcoliamo \ r risolvendo il sistema >< x + y = x z += x y + z = Si vede subito che il suddetto sistema ammette la soluzione H,, ) Quindi: da, r) =da, H) = p 4++= p 6 d) Determiniamo r \ : >< x + y = x z += x + y z = >< z = ) x = y = x = quindi r \ = Q, doveq,, ) Inoltre il punto B,, ) r) Determiniamo preliminarmente il simmetrico di B

8 rispetto ad ) Alloscoposcriviamoequazioniparametrichedellarettaa) passante per B eortogonalead ): >< x = t a) : y = t z = t + Un generico punto B a) ha coordinate B t, t, t) Richiediamocheilpuntomedio M del segmento BB appartenga ad ) Avendosi t M, t, t la condizione di appartenenza di M ad ) diventa t + t t = da cui si ricava t = ecosì B,, La simmetrica r ) della retta r) rispetto ad ) èdunquelarettapassanteperq e B : x = y = z da cui r y ): = z + x = 5 y e) La retta m) richiesta è l intersezione del piano passante per A econtenenter edel piano passante per A econtenentes) Nel punto a) abbiamo già trovato il piano lì è stato chiamato ): : y + z = Scriviamo, ora, il fascio di piani contenenti s): x +y +)+µz = Imponendo il passaggio per A si ricava In definitiva m) : : z = y + z = z = =,quindi f) Nel punto c) è stato trovato il punto improprio di r): P r),,, ) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti s) scritta in coordinate omogenee): z + µx +y +t) = Imponendo che P r) appartenga al suddetto fascio, si ottiene equindisipuòscegliere µ = = µ =,cosìilpianorichiestohaequazione: x +y + z +=

9 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta CFU) Febbraio5 A Tempo a disposizione: 5 minuti Studiare, al variare del parametro reale h, ilseguentesistemalineare: >< x +y + z = y + z = hx ++h)y +hz = Nel piano sono dati i punti O, ) e A, ) TrovareiquadratiaventiA ed O come vertici consecutivi ed area Nello spazio siano dati il punto A,, ), ilpiano ) x + y z =elerette y z = y z += r), s) x +y += x z = a) Provare che r) ed s) sono sghembe e trovare la retta passante per A ecomplanarecon r) ed s) b) Trovare la distanza di A da r) c) Trovare il simmetrico di A rispetto ad ) d) Trovare la proiezione ortogonale di r) su )

10 Febbraio5 Svolgimento della prova scritta Siano A h +h h Riduciamo per righe la matrice A : A R!R h A, A = A R!R h +h h Se h 6=,ovveroseh 6=,ilsistemaèdeterminato Se h =,ilsistemadiventa >< x +y + z = y + z = x +4y +z = che è indeterminato ed ammette soluzioni: t, t, t), alvariaredit R A A La retta passante per O ed A ha equazione y = x Per individuare un quadrato di quelli verificanti la condizione assegnata, occorre determinare i rimanenti due vertici Tali vertici appartengono alle rette passanti per O ed A, rispettivamente,eperpendicolariallaretta passante per O ed A Consideriamo, ad esempio, la retta passante per O eperpendicolare alla retta y = x: essahaequazioney = x Osserviamoche,trovatelecoordinatedelterzo vertice, quelle del quarto sono univocamente determinate Quindi è sufficiente trovare le coordinate del terzo vertice Un generico punto P sulla retta y = x ha coordinate P a, a), cona R IsegmentiOA e OP sono dunque due lati consecutivi del quadrato Q in oggetto Occorre, dunque, richiedere che tale quadrato abbia area L area di Q è data da A Q) =OA OP = p pa + a = a La condizione A Q) =,impostadalquesito,diventa a = ) a = ) a = ± Pertanto, i punti richiesti hanno coordinate P, ) e P, ) Daquantotrovatosegue che esistono due quadrati che risolvono il quesito Il primo quadrato, Q,hatreverticicoincidenticonipuntiO, A, P Ilquartovertice B lo si può determinare, ad esempio, effettuando l intersezione tra la retta passante per A eparallelaay = x che ha equazione y = x +)elarettapassanteperp eparallela a y = x che ha equazione y = x ): si trova che B, ) Il secondo quadrato, Q,hatreverticicoincidenticonipuntiO, A, P Ilquartovertice B lo si può determinare, ad esempio, effettuando l intersezione tra la retta passante per A eparallelaay = x che ha equazione y = x +)elarettapassanteperp eparallela a y = x che ha equazione y = x +): si trova che B, )

11 a) Si consideri il sistema x z = >< y z += y z = x +y += Con facili conti si trova che il sistema precedente è equivalente al sistema x = z >< z = y = z z = che è chiaramente impossibile Quindi le rette r) ed s) sono sghembe Si trovi, ora, l equazione del piano passante per A econtenenter) el equazionedel piano passante per A econtenentes) L equazione del fascio di piani contenenti r) èdata,alvariaredi, µ R, da y z +)+µx z) = Imponendo il passaggio per A si ottiene + µ =,quindisipuòscegliere = e µ =ottenendo ) x y + z = L equazione del fascio di piani contenenti s) èdata,alvariaredi, µ R, da y z)+µx +y +)=

12 Imponendo il passaggio per A si ottiene µ =,quindiµ =e ) y z = La retta richiesta è l intersezione dei piani ) e ): x y + z = y z = b) Le equazioni parametriche della retta r) sono: >< x = +t r) y = t z = t èqualsiasiesiha quindi il vettore v =,, ) èparalleloadr) ediconseguenzailpuntoimproprio di r) è P r),,, ) L equazionedelpiano ) passante per A eperpendicolare ad r) è ) x ) y z = Determiniamo l intersezione tra ) ed r), risolvendoilsistema >< x ) y z = y z = x +y += Con facili conti si trova che la soluzione del precedente sistema è la terna H, La distanza da, r) richiesta è dunque la distanza tra i punti A ed H: s da, H) = = p, c) Un vettore ortogonale al piano ) è w =,, ) Scriviamoequazioniparametriche della retta passante per A eaventecomevettoredidirezionew: >< x =+t y = t z = t Un generico punto K appartenente alla suddetta retta ha coordinate K + t, t, Calcoliamo, ora, le coordinate del punto medio M del segmento KA: +t M, t, t Imponiamo che M ) ottenendo +t + t + t =, da cui t = Si conclude che il simmetrico A di A rispetto ad ) ha coordinate A,,,, t)

13 d) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti la retta r): x +y +)+µy z) = Un vettore u ortogonale ad un generico piano del suddetto fascio ha componenti u =, + µ, µ) Occorre richiedere che u sia ortogonale a w =,, ) Tale condizione, equivale ad imporre che il prodotto scalare tra tali vettori sia nullo, ovvero che: u w =, + + µ + µ =, +µ =, quindi si può scegliere =e µ = Il piano del fascio corrispondente a tali valori dei parametri e µ è x + y +z += La proiezione ortogonale richiesta è dunque la retta x + y +z += x + y z =

14 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta CFU) Febbraio5 A Tempo a disposizione: 5 minuti Èdatol endomorfismof : R! R definito dalle relazioni f,, ) = h,,h), f,, ) =,h+, ), f,, ) =,,h) a) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf b) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche c) Calcolare f,, 4) d) Studiare la semplicità di f nel caso h = Èdatal applicazionelinearef : R 4! R associata rispetto alle basi canoniche alla matrice M A h +h +h a) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf b) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi A = {,,, ),,,, ),,,, ),,,, )} e B = {,, ),,, ),,, )}

15 Febbraio5 Svolgimento della prova scritta a) Tenendo conto delle assegnazioni della consegna, si ha: inoltre fe )=h,,h), f,, ) = f,, ) +,, )) = fe + e )=fe )+fe )=,h+, ), quindi fe )+fe )=,h+, ) ) epoi fe )=,,h) ) Sostituendo la ) nella ), si trova fe )=,h+, ),,h)=,h+, h), quindi fe )=,h+, h) In questo modo abbiamo le immagini tramite f dei vettori della base canonica di R, E = {e, e, e } È dunque possibile scrivere la matrice associata all endomorfismo rispetto alla base canonica E Essa è M E,E h f) h h + A h h h Si trova subito che det M E,E h f) = hh +)h ) Per h 6= e h 6= ±, f èunisomorfismo,cioèèiniettivaesuriettiva Ker f = {,, )} e Im f = R Sia h =Intalcaso quindi dim Im f = M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e Ker f ={x, y, z)r : Sia h =Intalcaso quindi dim Im f =, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Dunque y+z =,y =}={x, y, z)r : y =,z =}=h,, )i M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Ker f = {x, y, z)r : x y + z =, y =,x+ z =}= = {x, y, z)r : x = z,y =}=h,, )i

16 Sia h = Intalcaso quindi dim Im f = M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Ker f = {x, y, z)r : x y + z =, x +y z =}= = x, y, z)r : x = z,y = z =h,, )i b) La matrice richiesta è la matrice M E,E h f) trovata nel punto a) c) Occorre discutere il sistema >< hx y + z = h +)y = hx + h)y + hz =4 Detta A la matrice completa del suddetto sistema, si ha A h h + A h h h 4 Riduciamo per righe la matrice A A R!R h h + h h A R!R h h + h 5 R h h 5 A R h+ h!r h 5 h )h+) h + Se h 6= e h 6= ± il sistema è determinato e si ha h f h,, 4) = hh +)h ), h +, 5h h +)h ) A 5h+) Se h = ± il sistema è impossibile poiché la terza equazione è sempre falsa infatti per h =si trova = 4 eperh = si trova =) Se h =il sistema è impossibile avendosi >< y + z = >< += y z =5 ) y = z = 5 = z = d) Si consideri la matrice M E,E f): M E,E f) A A

17 Calcoliamo, ora, il polinomio caratteristico pt) della matrice M E,E f), ovverocalcoliamo pt) = det M E,E f) ti t t t A = tt ) L autovalore t =ha molteplicità algebrica pari a, mentrel autovaloret =ha molteplicità algebrica pari a Determiniamo adesso gli autospazi V e V,associati rispettivamente all autovalore t =eall autovaloret = Chiaramente l autospazio V èilnucleodell endomorfismof L autospazio V èinveceilnucleodell endomorfismoassociatoallamatricem E,E f) I elosideterminarisolvendoilsistema x + y z = x z = Tale sistema ammette soluzioni: s,,s), s R ediconseguenza V = h,, )i Si ha dunque che la molteplicità geometrica dell autovalore t =,ovveroladimensione dell autospazio V,èpariad equindiessanonèugualeallamolteplicitàalgebrica dell autovalore t = Si conclude che per h =l endomorfismo f non è semplice a) Riduciamo per righe la matrice M: M R!R +h A R!R h Se h 6=,lamatriceM ha rango equindidim Im f =epertantoim f = R Sempre nel caso in cui h 6=,ilnucleodif si ottiene risolvendo il sistema >< x +z + t = y + z + t = t = che ammette soluzioni: w, w, w, ), w R Nevieneche Ker f = h,,, )i e dim Ker f = Sia, ora, h =IntalcasoIm f = h,, ),,, )i equindi Im f = {x, y, z) R : y z =} Sempre nel caso in cui h =,ilnucleodif si ottiene risolvendo il sistema x +z + t = y + z + t = A

18 che ammette soluzioni: v u, v u, v, u), u, v R Di conseguenza, dim Ker f =epoiché v u, v u, v,u) =v,,, ) + u,,, ), una base del nucleo è l insieme {,,, ),,,, )} equindi Ker f = h,,, ),,,, )i b) Si richiede la matrice M A,B h f) Ènotocheessasipuòesprimerenelmodoseguente: M A,B h f) =P E,B M E 4,E h f)p A,E 4, dove M E 4,E h f) =M Si ha P A,E 4 = C A Determiniamo P E,B Alloscopo,siriducaperrighelamatrice K A Si ha: K R!R A R!R pertanto In definitiva: M A,B h f) = P E,B A Svolgendo i facili conti, si trova M A,B h f) h +h 5 h h 5h A A A, C A

19 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova di Matematica Discreta CFU) Febbraio5 Prova completa Tempo a disposizione: 5 minuti Èdatol endomorfismof : R! R definito dalle relazioni f,, ) = h,,h), f,, ) =,h+, ), f,, ) =,,h) a) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf b) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche c) Calcolare f,, 4) d) Studiare la semplicità di f nel caso h = Nello spazio sono dati il piano ) x y z =, il punto A,, ) e la retta r) x =y z =Trovare: a) la retta passante per A eparallelaad ) ed ortogonale ad r); b) il simmetrico di A rispetto ad ); c) la distanza di A da r) Risolvere il seguente sistema di congruenze: x 5 mod x mod 5 4 Quanti sono i numeri naturali di cifre aventi le prime tre pari ed in ordine crescente e le ultime tre in ordine decrescente? 5 Trovare la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del seguente sistema: x + y + z = >< <xapple 4 y z>

20 Febbraio5 Svolgimento della prova scritta a) Tenendo conto delle assegnazioni della consegna, si ha: inoltre fe )=h,,h), f,, ) = f,, ) +,, )) = fe + e )=fe )+fe )=,h+, ), quindi fe )+fe )=,h+, ) ) epoi fe )=,,h) ) Sostituendo la ) nella ), si trova fe )=,h+, ),,h)=,h+, h), quindi fe )=,h+, h) In questo modo abbiamo le immagini tramite f dei vettori della base canonica di R, E = {e, e, e }Èdunquepossibilescriverelamatriceassociataall endomorfismo rispetto alla base canonica E Essa è M E,E h f) h h + A h h h Si trova subito che det M E,E h f) = hh +)h ) Per h 6= e h 6= ±, f èunisomorfismo,cioèèiniettivaesuriettiva Dunque Ker f = {,, )} e Im f = R Sia h =Intalcaso quindi dim Im f = M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e Ker f ={x, y, z)r : Sia h =Intalcaso quindi dim Im f =, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} y+z =,y =}={x, y, z)r : y =,z =}=h,, )i M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Ker f = {x, y, z)r : x y + z =, y =,x+ z =}= = {x, y, z)r : x = z,y =}=h,, )i

21 Sia h = Intalcaso quindi dim Im f = M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Ker f = {x, y, z)r : x y + z =, x +y z =}= = x, y, z)r : x = z,y = z =h,, )i b) La matrice richiesta è la matrice M E,E h f) trovata nel punto a) c) Occorre discutere il sistema >< hx y + z = h +)y = hx + h)y + hz =4 Detta A la matrice completa del suddetto sistema, si ha A h h + A h h h 4 Riduciamo per righe la matrice A A R!R R! R h h + h h A R!R h h + h h h 5 A R h+ h!r h 5 h )h+) h + Se h 6= e h 6= ± il sistema è determinato e si ha h f h,, 4) = hh +)h ), h +, 5h h +)h ) A 5h+) Se h = ± il sistema è impossibile poiché la terza equazione è sempre falsa infatti per h =si trova = 4 eperh = si trova =) Se h =il sistema è impossibile avendosi >< y + z = >< += y z =5 ) y = z = 5 = z = d) Si consideri la matrice M E,E f): M E,E f) A A

22 Calcoliamo, ora, il polinomio caratteristico pt) della matrice M E,E f), ovvero calcoliamo pt) = det M E,E f) ti t t t A = tt ) L autovalore t =ha molteplicità algebrica pari a, mentrel autovaloret =ha molteplicità algebrica pari a DeterminiamoadessogliautospaziV e V,associati rispettivamente all autovalore t =eall autovaloret = Chiaramente l autospazio V èilnucleodell endomorfismof L autospazio V èinveceilnucleodell endomorfismoassociatoallamatricem E,E f) I elosideterminarisolvendoilsistema x + y z = x z = Tale sistema ammette soluzioni: s,,s), s R ediconseguenza V = h,, )i Si ha dunque che la molteplicità geometrica dell autovalore t =,ovvero la dimensione dell autospazio V,èpariad equindiessanonèugualeallamolteplicità algebrica dell autovalore t = Si conclude che per h =l endomorfismo f non è semplice a) Il piano ) passante per A eparalleload ) ha equazione x ) + )y) + )z +)=,ovver ) x y z = Si vede subito che un vettore di direzione della retta r) è,, ) Ilpiano passante per A eperpendicolareadr) èdunquex ) + y)+z +)=ovvero ) y +z += La retta cercata è l intersezione dei piani ) e ): x y z = y +z += b) Un vettore ortogonale al piano ) è w =,, ) Scriviamoequazioniparametriche della retta passante per A eaventecomevettoredidirezionew: >< x =+t y = t z = t Un generico punto K appartenente alla suddetta retta ha coordinate K + t, t, t) Calcoliamo, ora, le coordinate del punto medio M del segmento KA: +t M, t, +t

23 Imponiamo che M ) ottenendo +t + t + 4+4t =, da cui t = Si conclude che il simmetrico A di A rispetto ad ) ha coordinate A, ), )),, ) c) L equazione del piano ) passante per A eperpendicolareadr) è ) y +z += Determiniamo l intersezione tra ) ed r), risolvendoilsistema >< y +z += x = y z = Con facili conti si trova che la soluzione del precedente sistema è la terna H, La distanza da, r) richiesta è dunque la distanza tra i punti A ed H: r da, H) = r 5 = 5, Occupiamoci della congruenza x 5 mod Scriviamo l identità di Bézout relativa a, ): =, ) =, da cui si ottengono le relazioni 5= 5 5, 5= 5+ 5 ed infine 5) = 5 + 5) Si riconosce così che una soluzione particolare della prima congruenza è x = totalità delle soluzioni di tale congruenza è x 5 mod,ovvero x mod Occupiamoci, ora, della congruenza x mod 5 Scriviamo l identità di Bézout relativa a, 5): =, 5) = 5, da cui si ottengono le relazioni =+5, 4=+5 5, così la

24 Si riconosce così che una soluzione particolare della seconda congruenza è x =4,così la totalità delle soluzioni di tale congruenza è x 4 mod 5 Si consideri adesso il sistema x mod x 4 mod 5 ) Detta x una soluzione di tale sistema, si ha x =+h x =4+5k Confrontando le due equazioni si ottiene +h =4+5k da cui Dall identità di Bézout relativa a, 5) si ricava =h 5k ) = 6 5 ) Confrontando ) e ), si ricava h =6e k =,cosìunasoluzioneparticolaredelsistema ) è x =9 In definitiva, la totalità delle soluzioni del sistema proposto è x =9 mod [, 5], ovvero x 4 mod 5 4 Le cifre sono I numeri naturali richiesti devono avere cifre I numeri pari sono 4; ogni volta che di questi ne scegliamo, soltantounasolalorodisposizioneèquellache ci interessa poiché si richiede che essi siano disposti in ordine crescente Di conseguenza, si può prescindere dal numero di disposizioni giacché ad ogni disposizione corrisponde una sola combinazione utile In altri termini, possiamo collocare tre cifre pari in ordine crescente in C 4, modi In modo analogo, dovendo disporre tre cifre in ordine decrescente non è stato precisato nulla circa la loro parità), avremo C, combinazioni possibili Non si fa alcuna richiesta particolare sulle due cifre restanti, che dunque possono essere disposte sia in ordine crescente che decrescente; ne viene che in tal caso il numero di disposizioni utili corrisponde al numero di disposizioni con ripetizione di elementi presi a due a due, ovvero è pari a Riassumendo, i numeri naturali che soddisfano la condizione posta sono C 4, C, = 4 =4 5 Il sistema proposto è equivalente al seguente: x + y + z = >< apple x apple 4 y z

25 Posto X = x, Y = y, Z = z, ilsuddettosistemaèasuavoltaequivalenteal seguente: X + Y + Z =5 >< apple X apple Y Z Denotata con ] la cardinalità richiesta, si ha: ] = ] ], dove con ] si è denotata la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del sistema X + Y + Z =5 >< X s ) Y Z econ] si è denotata la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del sistema X + Y + Z =5 >< X 4 s ) Y Z Posto X = X Alla luce di ciò, si ha subito 4, ilsistemas ) èequivalentealseguente X + Y + Z = >< X Y Z ] = C r),5 C r),

26 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta CFU) 4 Febbraio 5 A Tempo a disposizione: 5 minuti Studiare, al variare del parametro reale h, ilseguentesistemalineare: >< hx y + z = h hy z = x hy + z = Nel piano sono date le rette r) x y =ed s) x y =TrovareipuntiP di s) tali che, detta H la proiezione ortogonale di P su r), l areadeltriangolooph valga Nello spazio siano dati il punto A,, ), ilpiano ) x + y z =elerette x y = x = r), s) z += y z = a) Provare che r) ed s) sono sghembe e trovare la retta che le incontra ortogonalmente b) Trovare la distanza di A da r) c) Trovare il simmetrico di A rispetto ad ) d) Trovare la retta passante per A, parallelaad ) ed incidente r)

27 4 Febbraio 5 Svolgimento della prova scritta Siano A h h h A, A = Riduciamo per righe la matrice A : A R h h A R!R hr! h h R!R + h h h h h h h Se h 6=,ovveroseh 6=,ilsistemaèdeterminato Se h =,ilsistemadiventa x y + z = h h +h h A A y z = che è indeterminato ed ammette soluzioni:, +t, t), alvariaredit R Un generico punto P su s) ha coordinate P a, a), a R Scriviamol equazionedellaretta n passante per P eperpendicolareadr): n) y a = x a), ovvero n) x + y =a Determiniamo le coordinate del punto H di intersezione tra r) ed n): x + y =a x y = da cui H a, a) Abbiamo: r a PH = 4 + a 4 = a p, r 9 OH = 4 a a = a p L area del triangolo OPH èdatada: A OPH) = OH PH Imponendo che A OPH) =esostituendoivaloridioh ediph si ottiene: a p a p =6

28 da cui si ricava a =4equindia = ± Pertanto esistono due punti P che soddisfano la condizione posta ed hanno coordinate P, 4), P, 4) a) Un vettore di direzione di r) è v =,, ) eunvettoredidirezionedis) è w =,, ) Un generico punto P appartenente ad r) ha coordinate P a, a, ) eungenericopunto Q appartenente ad s) ha coordinate Q,b,b) Un vettore di direzione della retta passante per P e Q è u = a, b a, b +)Siimpongonolecondizionidiortogonalità v u =, w u =che danno luogo al sistema a + b a = a = ) b a + b += b = Pertanto P,,, Q,, La retta passante per P e Q che incontra ortogonalmente le rette r) ed s) ha dunque equazione: x = y + + da cui x +y += y +z +4= = z + +, b) Le equazioni parametriche della retta r) sono: >< x = t r) y = t z = quindi il vettore v =,, ) èparalleloadr) ediconseguenzailpuntoimpropriodi r) è P r),,, ) L equazionedelpiano ) passante per A eperpendicolareadr) è )x ) + y =, ossia ) x + y = Determiniamo l intersezione tra ) ed r), risolvendoilsistema >< x + y = x y = z += Con facili conti si trova che la soluzione del precedente sistema è la terna H,, La distanza da, r) richiesta è dunque la distanza tra i punti A ed H: r da, H) = 4 + r 5 4 += c) Poiché A ), siconcludecheilsimmetricoa di A rispetto ad ) coincide con A: A A

29 d) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti la retta r): x y)+µz +)= Imponendo il passaggio per A si ottiene l equazione omogenea +µ = Scegliendo =e µ =, sitrovachel equazionedelpiano ) contenente r) e passante per A è )x y z = Poiché A ), ilpianopassantepera eparalleload ) è ) stesso Ne viene che la retta richiesta è l intersezione di ) con ), ovvero: x y z = x + y z =

30 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta CFU) 4 Febbraio 5 A Tempo a disposizione: 5 minuti Èdatol endomorfismof : R! R associato rispetto alle basi canoniche alla matrice A h h A h a) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf b) Studiare la semplicità di f nel caso h = c) Calcolare f h, h, ) Èdatal applicazionelinearef : R! R 4 definito dalle relazioni f,, ) = h,,h,), f,, ) =,h+,, ), f,, ) =,,h,) a) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf b) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche c) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi A = {,, ),,, ),,, )} e B = {,,, ),,,, ),,,, ),,,, )}

31 4 Febbraio 5 Svolgimento della prova scritta a) Riduciamo la matrice A: A R h h h A R!R h h A R!R h h h Allora, se h 6=, siha A) =dimimf =,quindiimf = R equindidim ker f = e ker f = {,, )} Sia ora h = In tal caso il nucleo di f si trova risolvendo il sistema x y z = x y = ed evidentemente ker f ha dimensione erisultaker f = h,, )i Inoltre dim Im f = Im f = h,, ),,, )i eleequazionicartesianedell immaginesitrovanoimponendoche A = x y z da cui si ha x + y z = b) Sia h = Intalcaso A A Calcoliamo, ora, il polinomio caratteristico pt) della matrice A, ovvero pt) =deta ti) t t t A = t t ) L autovalore t =ha molteplicità algebrica pari a, mentrel autovaloret =ha molteplicità algebrica pari a Determiniamoadessol autospaziov associato all autovalore t =:chiaramenteessoèilnucleodell endomorfismof nel caso h = esiè già visto che in tal caso dim ker f =,pertantolamolteplicitàgeometricadell autovalore t =èparia Nevienechelemolteplicitàalgebricaegeometricadell autovalore t =non sono uguali Ciò basta per concludere che l endomorfismo non è semplice per h = Non è dunque necessario determinare l autospazio V associato all autovalore t =) c) Occorre discutere il sistema >< x + hy z = h x + hy = x +h )y z = h Detta M la matrice completa del suddetto sistema, si ha A

32 M = Riduciamo per righe la matrice h h h h h A M R!R R! Se h 6= Se h = quindi f h h h h + h il sistema è determinato e si ha A R!R R! f h, h, ) = h, h, h h h h h + h il sistema è indeterminato ed è equivalente al seguente x y = z = h, ) = {t, t, ),t R} A a) Determiniamo le immagini dei vettori della base canonica E mediante f Dalle relazioni che definiscono f e dalla sua linearità,si deduce subito che: fe ) = h,,h,), fe ) =,h+,, ),,h,) =,h+, h, ), fe ) =,,h,) Ne viene che la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche è h M E,E 4 = B h + h h h A Riduciamo per righe la matrice M E,E 4 : M E,E 4 R!R hr! R $R! h h + h h h h + h h C A R $R! 4 R C 4!R 4 h h )R A! h h + h h h h + Allora, se h 6=, ovviamenteker f = {,, )} e dim Imf = Le equazioni cartesiane dell immagine sono date da C A C A

33 det h h h + h h x y z t C A = Nella suddetta matrice si operi la sostituzione R 4! R 4 h h det B h + h h A x ht y z ht tr ;occorredunquecalcolare Per farlo effettuiamo lo sviluppo di Laplace rispetto all ultima colonna Quindi: det h h h + h h x y z t C A = ) Svolgendo i facili conti, si trova che l immagine ha equazione Sia, ora, h = hx z +h h )t = Intalcasoilnucleodif èdatoda x y + z = x = h + h h x ht y z ht edunquedim ker f =e ker f = h,, )i Inoltre in tal caso M E,E 4 )==dimimf =erisultache Im f = h,,, ),,,, )i A = b) La matrice richiesta è la matrice M E,E 4 trovata nel punto a) c) Si richiede la matrice M A,B h f) Ènotocheessasipuòesprimerenelmodoseguente: M A,B h f) =P E 4,B M A,E h f)p A,A Ovviamente P A,A = I Dalle assegnazioni fatte nella consegna si ha subito che M A,E 4 h = h h + h h C A Determiniamo P E 4,B Alloscopo,siriducaperrighelamatrice K = C A

34 Si ha: K R!R R! 4 pertanto In definitiva: R!R R M A,B h f) = P E 4,B = C! A R!R +R 4 Svolgendo i facili conti, si trova M A,B h f) = C B C A h h + h h h h h+ h + h C A C A C A C A

35 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prova di Matematica Discreta CFU) 4 Febbraio 5 Prova completa Tempo a disposizione: 5 minuti Èdatol endomorfismof : R! R definito dalle relazioni f,, ) = h,,h), f,, ) =,h+, ), f,, ) =,,h) a) Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf b) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche c) Calcolare f,, 4) d) Studiare la semplicità di f nel caso h = Nello spazio sono dati il piano ) x y z =, il punto A,, ) e la retta r) x =y z =Trovare: a) la retta passante per A eparallelaad ) ed ortogonale ad r); b) il simmetrico di A rispetto ad ); c) la distanza di A da r) Risolvere il seguente sistema di congruenze: x 5 mod x mod 5 4 Quanti sono i numeri naturali di cifre aventi le prime tre pari ed in ordine crescente e le ultime tre in ordine decrescente? 5 Trovare la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del seguente sistema: x + y + z = >< <xapple 4 y z>

36 4 Febbraio 5 Svolgimento della prova scritta a) Tenendo conto delle assegnazioni della consegna, si ha: inoltre fe )=h,,h), f,, ) = f,, ) +,, )) = fe + e )=fe )+fe )=,h+, ), quindi fe )+fe )=,h+, ) ) epoi fe )=,,h) ) Sostituendo la ) nella ), si trova fe )=,h+, ),,h)=,h+, h), quindi fe )=,h+, h) In questo modo abbiamo le immagini tramite f dei vettori della base canonica di R, E = {e, e, e }Èdunquepossibilescriverelamatriceassociataall endomorfismo rispetto alla base canonica E Essa è M E,E h f) h h + A h h h Si trova subito che det M E,E h f) = hh +)h ) Per h 6= e h 6= ±, f èunisomorfismo,cioèèiniettivaesuriettiva Dunque Ker f = {,, )} e Im f = R Sia h =Intalcaso quindi dim Im f = M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e Ker f ={x, y, z)r : Sia h =Intalcaso quindi dim Im f =, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} y+z =,y =}={x, y, z)r : y =,z =}=h,, )i M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Ker f = {x, y, z)r : x y + z =, y =,x+ z =}= = {x, y, z)r : x = z,y =}=h,, )i

37 Sia h = Intalcaso quindi dim Im f = M E,E h f) = M E,E Inoltre dim Ker f =dimr dim Im f =e, A f) =eunabasediim f è {,, ),,, )} Ker f = {x, y, z)r : x y + z =, x +y z =}= = x, y, z)r : x = z,y = z =h,, )i b) La matrice richiesta è la matrice M E,E h f) trovata nel punto a) c) Occorre discutere il sistema >< hx y + z = h +)y = hx + h)y + hz =4 Detta A la matrice completa del suddetto sistema, si ha A h h + A h h h 4 Riduciamo per righe la matrice A A R!R R! R h h + h h A R!R h h + h h h 5 A R h+ h!r h 5 h )h+) h + Se h 6= e h 6= ± il sistema è determinato e si ha h f h,, 4) = hh +)h ), h +, 5h h +)h ) A 5h+) Se h = ± il sistema è impossibile poiché la terza equazione è sempre falsa infatti per h =si trova = 4 eperh = si trova =) Se h =il sistema è impossibile avendosi >< y + z = >< += y z =5 ) y = z = 5 = z = d) Si consideri la matrice M E,E f): M E,E f) A A

38 Calcoliamo, ora, il polinomio caratteristico pt) della matrice M E,E f), ovvero calcoliamo pt) = det M E,E f) ti t t t A = tt ) L autovalore t =ha molteplicità algebrica pari a, mentrel autovaloret =ha molteplicità algebrica pari a DeterminiamoadessogliautospaziV e V,associati rispettivamente all autovalore t =eall autovaloret = Chiaramente l autospazio V èilnucleodell endomorfismof L autospazio V èinveceilnucleodell endomorfismoassociatoallamatricem E,E f) I elosideterminarisolvendoilsistema x + y z = x z = Tale sistema ammette soluzioni: s,,s), s R ediconseguenza V = h,, )i Si ha dunque che la molteplicità geometrica dell autovalore t =,ovvero la dimensione dell autospazio V,èpariad equindiessanonèugualeallamolteplicità algebrica dell autovalore t = Si conclude che per h =l endomorfismo f non è semplice a) Il piano ) passante per A eparalleload ) ha equazione x ) + )y) + )z +)=,ovver ) x y z = Si vede subito che un vettore di direzione della retta r) è,, ) Ilpiano passante per A eperpendicolareadr) èdunquex ) + y)+z +)=ovvero ) y +z += La retta cercata è l intersezione dei piani ) e ): x y z = y +z += b) Un vettore ortogonale al piano ) è w =,, ) Scriviamoequazioniparametriche della retta passante per A eaventecomevettoredidirezionew: >< x =+t y = t z = t Un generico punto K appartenente alla suddetta retta ha coordinate K + t, t, t) Calcoliamo, ora, le coordinate del punto medio M del segmento KA: +t M, t, +t

39 Imponiamo che M ) ottenendo +t + t + 4+4t =, da cui t = Si conclude che il simmetrico A di A rispetto ad ) ha coordinate A, ), )),, ) c) L equazione del piano ) passante per A eperpendicolareadr) è ) y +z += Determiniamo l intersezione tra ) ed r), risolvendoilsistema >< y +z += x = y z = Con facili conti si trova che la soluzione del precedente sistema è la terna H, La distanza da, r) richiesta è dunque la distanza tra i punti A ed H: r da, H) = r 5 = 5, Occupiamoci della congruenza x 5 mod Scriviamo l identità di Bézout relativa a, ): =, ) =, da cui si ottengono le relazioni 5= 5 5, 5= 5+ 5 ed infine 5) = 5 + 5) Si riconosce così che una soluzione particolare della prima congruenza è x = totalità delle soluzioni di tale congruenza è x 5 mod,ovvero x mod Occupiamoci, ora, della congruenza x mod 5 Scriviamo l identità di Bézout relativa a, 5): =, 5) = 5, da cui si ottengono le relazioni =+5, 4=+5 5, così la

40 Si riconosce così che una soluzione particolare della seconda congruenza è x =4,così la totalità delle soluzioni di tale congruenza è x 4 mod 5 Si consideri adesso il sistema x mod x 4 mod 5 ) Detta x una soluzione di tale sistema, si ha x =+h x =4+5k Confrontando le due equazioni si ottiene +h =4+5k da cui Dall identità di Bézout relativa a, 5) si ricava =h 5k ) = 6 5 ) Confrontando ) e ), si ricava h =6e k =,cosìunasoluzioneparticolaredelsistema ) è x =9 In definitiva, la totalità delle soluzioni del sistema proposto è x =9 mod [, 5], ovvero x 4 mod 5 4 Le cifre sono I numeri naturali richiesti devono avere cifre I numeri pari sono 4; ogni volta che di questi ne scegliamo, soltantounasolalorodisposizioneèquellache ci interessa poiché si richiede che essi siano disposti in ordine crescente Di conseguenza, si può prescindere dal numero di disposizioni giacché ad ogni disposizione corrisponde una sola combinazione utile In altri termini, possiamo collocare tre cifre pari in ordine crescente in C 4, modi In modo analogo, dovendo disporre tre cifre in ordine decrescente non è stato precisato nulla circa la loro parità), avremo C, combinazioni possibili Non si fa alcuna richiesta particolare sulle due cifre restanti, che dunque possono essere disposte sia in ordine crescente che decrescente; ne viene che in tal caso il numero di disposizioni utili corrisponde al numero di disposizioni con ripetizione di elementi presi a due a due, ovvero è pari a Riassumendo, i numeri naturali che soddisfano la condizione posta sono C 4, C, = 4 =4 5 Il sistema proposto è equivalente al seguente: x + y + z = >< apple x apple 4 y z

41 Posto X = x, Y = y, Z = z, ilsuddettosistemaèasuavoltaequivalenteal seguente: X + Y + Z =5 >< apple X apple Y Z Denotata con ] la cardinalità richiesta, si ha: ] = ] ], dove con ] si è denotata la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del sistema X + Y + Z =5 >< X s ) Y Z econ] si è denotata la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del sistema X + Y + Z =5 >< X 4 s ) Y Z Posto X = X Alla luce di ciò, si ha subito 4, ilsistemas ) èequivalentealseguente X + Y + Z = >< X Y Z ] = C r),5 C r),

42 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prove in itinere di Matematica Discreta CFU) 7 Marzo 5 Tempo a disposizione: 5 minuti A Studiare, al variare del parametro reale h, ilseguentesistemalineare: >< x + hy = x + hy + z = hx + y z = h Nello spazio sono dati il punto A,, ), ilpiano ) x +y z =elarettar) x y = z =Trovare a) la retta passante per A, parallelaad ) ed ortogonale ad r); b) la distanza di A da r); c) il simmetrico di A rispetto ad ); d) la proiezione ortogonale di r) su ) A Èdatol endomorfismof : R! R definito, rispetto alle basi canoniche, dalle relazioni fx, y, z) =x + hy, hx +4y, x y +h )z), h R a) Trovare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche b) Studiare f al variare del parametro h determinando in ciascun caso ker f e Im f c) Trovare, al variare del parametro h, l immagine inversa del vettore,, ) d) Studiare la semplicità di f nel caso h = ed eventualmente trovare una base di autovettori 4 Sia data la matrice A = h Studiare, al variare del parametro reale h, l applicazionelinearef : R! R associata ad A rispetto alle basi canoniche Trovare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R eallabaseb = {, ),, )} di R

43 7 Marzo 5 Svolgimento della prova scritta A Siano A h h h A, A = Riduciamo per righe la matrice A : A R h h A R!R +R! h h R!R h h h h h h +h +h h h h +h h Se h 6= ±, ilsistemaèdeterminatoelasuaunicasoluzioneèlaterna,, h h Se h =, ilsistemaèindeterminatoedammette soluzioni: t, t, ), alvariaredi t R Se h =,ilsistemaèimpossibile A A a) Determiniamo il piano ) passante per A eparalleload ): x +y z ) =, cioè ) x +y z = Le equazioni parametriche della retta r) sono >< x = t y = t z = dalle quali si deduce che P r),,, ) Allalucediciòèfacilescriverel equazione del piano passante per A eortogonaleadr); essaè: x )+y) =,cioèx+y = Ne viene che la retta cercata è la seguente: x +y z = x + y = b) Nel punto a) abbiamo trovato che l equazione del piano passante per A eortogonale ad r) è x + y =Determiniamol intersezioneh di tale piano con r): >< x y = x = y = z = z = x + y = quindi H,, Così si ha subito da, r)) = da, H) = r = r

44 c) Poiché A ), siconcludecheilsimmetricoa di A rispetto ad ) coincide con A: A A d) Scriviamo l equazione del fascio di piani contenenti la retta r): x y)+µz ) = Un vettore ortogonale ad ) è w =,, ) ed un vettore ortogonale al generico piano del suddetto fascio è v =,, µ) Imponendo la condizione di ortogonalità tra w e v, ovverow v =,sitrae µ =da cui = µ Scegliendo, ad esempio, =e µ =, sitrovacheilpianocontenenter) eortogonalead ) ha equazione x y z +=Nevienechelarettacercatahaequazione x y z += x +y z = a) Si ha subito: A fe ) = f,, ) =,h,), fe ) = f,, ) = h, 4, ), fe ) = f,, ) =,,h ) Ne viene che la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche è M E,E f) h h 4 A h b) Si trova che det M E,E f) =h )4 h ) Se h 6= ±, sihaim f = R e ker f = {,, )} Sia, ora, h = In tal caso si ha che M E,E f)) =, quindidim Im f =erisultaim f = h,, ),, 4, )i Troviamo le equazioni cartesiane dell immagine: 4 A = ) x y = x y z Da quanto trovato in precedenza, si deduce che dim ker f =evistocheilsistema lineare >< x +y = x +4y = x y = ammette le infinite soluzioni,,t), al variare di t R, si deduce che ker f = h,, )i Sia, infine, h = In tal caso si ha che M E,E f)) =, quindi dim Im f = erisultaim f = h,, ),, 4, )i Troviamo le equazioni cartesiane dell immagine: 4 x y z A = ) x + y = Da quanto trovato in precedenza, si deduce che dim ker f =evistocheilsistema lineare >< x y = x +4y = x y +4z =

45 ammette le infinite soluzioni t, 4t, t), t R, sideducecheker f = h, 4, )i c) Occorre discutere il sistema >< x + hy = hx +4y = x y +h )z = Detta M la matrice completa del suddetto sistema, si ha M h h 4 A h Si ha det M = h ) h +),quindiseh6= ± il sistema è determinato e si trova f 4,, ) = h 4, h h 4, h + h + h ) h +) Se h =il sistema è impossibile poiché esso contiene le due equazioni incompatibili x +y =e x +y = Se h = il sistema è impossibile poiché esso contiene le due equazioni incompatibili x y =e x y = d) Per h =la matrice associata all endomorfismo rispetto alle basi canoniche diventa M E,E f) 4 A Calcoliamo, ora, il polinomio caratteristico pt) della matrice M E,E f), ovvero pt) =detm E,E f) ti) = t 4 t A = tt 5t) t L autovalore t =ha molteplicità algebrica pari a, mentre l autovalore t =5ha molteplicità algebrica pari a Determiniamoadessol autospaziov associato all autovalore t =:chiaramenteessoèilnucleodell endomorfismof nel caso h =esiè già visto che in tal caso dim ker f =,pertantolamolteplicitàgeometricadell autovalore t =èparia Nevienechelemolteplicitàalgebricaegeometricadell autovalore t =non sono uguali Ciò basta per concludere che l endomorfismo non è semplice per h = Non è dunque necessario determinare l autospazio V 5 associato all autovalore t =5) 4 Per ogni h R il rango della matrice A è, quindidim Im f =e Im f = R Daquanto trovato segue che dim ker f =evistocheilsistemalineare x +y = hy z = ammette le infinite soluzioni t, t, ht), t R, sideducecheker f = h,,h)i Come è noto, si ha M E,B = P E,B M E,E I

46 Occorre determinare soltanto P E,B Siha: R $R! R!R R! Si conclude, dunque, che Quindi M E,B = 4 P E,B = 4 R! R! h R! R! 4 h = 4

47 Università degli Studi di Catania Anno Accademico 4-5 Corso di Laurea in Informatica Prove in itinere di Matematica Discreta CFU) 7 Aprile 5 B Tempo a disposizione: 5 minuti Sia data la matrice A = Dire se A èdiagonalizzabileecalcolarea Trovare la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del seguente sistema: x + y + z =5 >< <xapple4 apple y< z> In quanti modi si può mescolare un mazzo di 5 carte in modo che gli assi siano consecutivi eleregineadueadueconsecutive? 4 Quanti sono i numeri naturali di cifre aventi le prime due cifre diverse e le ultime tre cifre scritte in ordine crescente? Esempio: 795) 5 Da un urna, contenente 7 biglie numerate da a 7, Tizio e Caio effettuano ciascuno estrazioni aseguitodiognunadellequalilabigliaestratta,dopoesserestatavista,vienereinserita nell urna Definiti gli eventi A = Tizio ottiene sempre un numero pari oppure un numero dispari, B = Caio ottiene sempre un numero inferiore a 4 oppure sempre superiore a, calcolare le probabilità dei seguenti eventi: A A [ B), B A [ B), A \ B) A [ B) 6 Si hanno 5 chiavi, una sola delle quali apre una certa serratura Di tali chiavi se ne prendono a caso che vengono quindi inserite in un cassetto A; le rimanenti chiavi vengono inserite in un cassetto B Successivamente,daB si estrae a caso una chiave a) Calcolare la probabilità che la chiave estratta da B non apra la serratura b) Supposto che la chiave estratta da B non apra la serratura, calcolare la probabilità che l unica chiave che apre la serratura sia contenuta nel cassetto B

48 7 Aprile 5 Svolgimento della prova scritta La matrice A èdiagonalizzabileseesoloseèsemplicel endomorfismof : R! R tale che M E,E f = A IlpolinomiocaratteristicodiA è t p A t) =det = t t t 4 Gli autovalori associati ad f sono le radici dell equazione p A t) =,ovverot = e t =4 L endomorfismo f in questione è dunque semplice giacché esso ammette due autovalori distinti La matrice che permette la diagonalizzazione è data dalla matrice del cambiamento di base P F,E,essendoD una base di autovettori Dobbiamo dunque determinare F :essasiottiene dall unione di una base dell autospazio V ediunabasedell autospaziov 4 Determiniamo V : ) ) Quindi V = h, )i Determiniamo V 4 : 4 4 x y x y = = =) x +y = = = =) x y = Quindi V 4 = h, )i In definitiva F = {, ),, )} èunabasediautovettori Lamatricechepermettela diagonalizzazione è P F,E esihachelamatricediagonaled cercata è data da Poiché, banalmente, si ha D = P E,F A P F,E P F,E = occorre determinare soltanto P E,F : quindi P E,F = 5,! Alla luce di quanto trovato si ha immediatamente che: M F,F f = D = , = 4 Si ha che A = P F,E D P E,F,quindiconfacilicontisiottieneche: 4 A = ) = 6 5 5

49 Riscriviamo il sistema in una forma conveniente: x + y + z =5 x + y + z =5 >< <xapple4 >< apple x apple 4, apple y< apple y apple x> z Si pone X = x, Y = y e Z = z, ottenendoilsistema: X + Y + Z = >< apple X apple 5 apple Y apple Z x + y + z =5 >< apple x +apple 5, apple y apple z Sia a la proprietà terne X, Y, Z) tali che X 6 esiaa la proprietà terne X, Y, Z) tali che Y Si denoti con Na a ) il numero di soluzioni intere del sistema assegnato Per il principio di inclusione-esclusione si ha Na,a )=N Na ) Na )+Na,a ), dove N èilnumerodisoluzioniinteredelsistema X + Y + Z = X,Y,Z, quindi N = C r), = + ; Na ) èilnumerodisoluzioniinteredelsistema X + Y + Z = X 6,Y,Z quindi Na )=C r),7 = +7 ; Na ) èilnumerodisoluzioniinteredelsistema X + Y + Z = X,Y,Z quindi Na )=C r), = + ; Na,a ) èilnumerodisoluzioniinteredelsistema X + Y + Z = X 6,Y,Z,,, quindi Na,a )=C r),5 = +5 In definitiva: Na,a )= In un mazzo da 5 carte da gioco, vi sono 4 assi e 4 regine Gli assi vanno disposti in blocco elereginevannodisposteindueblocchicostituitidadueregineciascuno Poichésiparla di blocchi, è possibile vedere questi tre blocchi come tre carte Di conseguenza, se dalle 5 carte originarie, togliamo le carte complessivamente inserite nei suddetti blocchi, si hanno 44 carte restanti; a queste aggiungiamo i tre blocchi di cui sopra e quindi le tre carte virtuali), ottenendo in totale 47 oggetti da disporre su 47 posti Tali disposizioni sono le permutazioni

50 semplici di 47 oggetti e dunque sono 47! Per ognuna di tali disposizioni, si ha che gli assi possono essere permutati in 4! modi diversi e le regine, a loro volta, possono essere permutate in altrettanti 4! modi In totale, quindi, il mazzo di 5 carte può essere mescolato in 47! 4! 4! modi diversi 4 Le cifre sono I numeri naturali richiesti devono avere cifre Le prime due cifre devono essere diverse: occorre considerare tutte le disposizioni semplici delle cifre nei posti e da queste occorre togliere tutte le disposizioni che hanno al primo posto ed le restanti 9 cifre nel secondo posto In altre parole, le cifre nei primi due posti possono essere scelte in D, D 9, modi diversi Occupiamoci adesso dei tre posti finali: si possono usare le cifre con la condizione che le tre cifre scelte siano disposte in ordine crescente Di conseguenza, si può prescindere dal numero di disposizioni giacché ad ogni disposizione corrisponde una sola combinazione utile: quella che vede le tre cifre in questione in ordine crescente In altri termini, possiamo collocare tre cifre in ordine crescente in C, modi Non si fa alcuna richiesta particolare sulle tre cifre restanti, che dunque possono essere disposte sia in ordine crescente, sia decrescente che con eventuali ripetizioni; ne viene che in tal caso il numero di disposizioni utili corrisponde al numero di disposizioni con ripetizione di elementi presi a tre a tre, ovvero è pari a Riassumendo, i numeri naturali che soddisfano la condizione posta sono! D, D 9, ) 9! C, = =97 )! 9 )! 5 Si ha subito: 4 P A) = + = = P B) Si osservi inoltre che gli eventi A e B sono stocasticamente indipendenti Si ha dunque: Infine: P A A [ B)) = P A \ B) A [ B)) = = P A) P A [ B) = P A) P A)+P B) P A \ B) = P A) = 49 = P B A [ B)) 5 P A \ B) P A [ B) = P A)P B) P A)+PB) P A \ B) = P A) P A) = 5 6 Si definiscano gli eventi H = B contiene la chiave che apre la serratura ed E = la chiave estratta da B non apre la serratura Si ha subito: P H) = 4 5 a) Bisogna calcolare P E) Si ha: = 5, PE H) =, PE Hc )= P E) =P E H)P H)+PE H c )P H c )= = 4 5 b) Bisogna calcolare P H E) ApplicandolaformuladiBayessiha: P H E) = P E H)P H) P E) = = 4