Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4

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1 Argometo: Probabltà classca Lbro d testo pag. 1-7 e 7-77 e varable casuale uforme dscreta NB: asscurars d cooscere le defzo, le propretà rchamate e le relatve dmostrazo quado ecessaro Eserczo 1 S cosder u ura co N palle umerate da 1 a N, d cu K cadescet e N K fredde. S suppoga che (<N) palle sao estratte casualmete dall ura e fatte scvolare su u cotetore estero da u meccasmo automatco. Qual è la probabltà che s estraggao palle cadescet el caso d a) resermeto b) seza resermeto c) S suppoga N8, K4, 4,. Se vo foste l carcato al recupero mauale dal cotetore estero ed evetuale resermeto delle palle uscta dall ura, bedato e prvo d qualsvogla protezoe alle ma, qual de due schem preferreste che fosse utlzzato? S applca la defzoe classca d probabltà: umero cas favorevol umero cas possbl (r) a) umero de cas possbl D N (possbl campo d ampezza co resermeto) N, umero d cas favorevol K probabltà d palle cadescet K (N K) N K N (N K) N K N dove p è la proporzoe d palle cadescet ell ura ( p) ( 1 p) N! b) umero de cas possbl D N. (possbl campo d ampezza el caso cu o (N )! c sa resermeto ache detto campoameto blocco) umero d cas favorevol D N K, DK,DN K, K! (N K)! (K )! ( N K ( ) )! 1

2 probabltà d palle cadescet c) el caso a) Prob( palle cadescet) el caso b) Prob( palle cadescet) 0,375 K! (N K)! (K )! N! (N )! ( N K ( ) ) K! N K N Suppoedo che l addetto prefersca preservare l arto tatto ( ) al lascare bradell d tessuto eptelale e coettvo su qualche palla uscta dall ura ( ), lo schema seza resermeto dovrebbe essere quello preferto.

3 Eserczo Da u ura coteete 1 palle verd e 8 palle rosse s estraggoo 4 palle. S calcol la probabltà che el campoe estratto v sao pù palle verd che rosse, 1. se l estrazoe è co resermeto;. se l estrazoe è seza resermeto. Da u ura coteete 1 palle verd e 8 palle rosse s estraggoo 4 palle. La probabltà che el campoe estratto v sao pù palle verd che rosse rsulta: , se l estrazoe è co resermeto; , se l estrazoe è seza resermeto. 3

4 Eserczo 3 Da u ura coteete 44 palle, delle qual 11 soo bache, s estraggoo co resermeto 3 palle. 1. S calcol la probabltà che la prma palla estratta sa baca.. S calcol la probabltà che, fra le tre palle estratte, ua sa baca e le altre due o sao bache. 3. S calcol la probabltà che almeo ua delle tre palle estratte sa baca. 1. La probabltà che la prma palla estratta sa baca cocde co la proporzoe p d palle bache ell ura: p 11 / 44 ¼ La probabltà che ua palla sa baca e le altre due o sao bache s può calcolare come 3p(1 p) (3/4) La probabltà che almeo ua delle tre palle estratte sa baca è data da 1 (1 p) 3 1 (3/4)

5 Eserczo 4 Da u ura coteete 8 palle bache e 46 palle ere s estraggoo co resermeto 3 palle. 1. S calcol la probabltà che essua palla estratta sa baca.. S determ la probabltà che le palle estratte sao tutte dello stesso colore. 3. S calcol la probabltà che almeo ua palla estratta sa baca. S dch co p la proporzoe d palle bache ell ura, ovvero p 8 / (8+46) 14/ La probabltà che essua delle 3 palle estratte sa baca è data da (1 p) 3 (3/37) La probabltà che le 3 palle estratte sao dello stesso colore è data da (1 p) 3 + p La probabltà che almeo ua delle 3 palle estratte sa baca è data da 1 (1 p)

6 Eserczo 5 S cosder u goco che cosste el lacare u dado regolare le cu facce soo cotrassegate co umer da 1 a 6. Il gocatore paga per gocare u prezzo d 40 euro e vce ua somma par 10 euro moltplcata per l umero otteuto ella prova. S cosder la varable casuale X che rappreseta l guadago otteuto dal gocatore al etto del prezzo pagato per gocare. 1. S dca qual è l supporto della varable X e s dseg l grafco della fuzoe d probabltà e della fuzoe d rpartzoe.. S calcol l valore atteso e la varaza d X. 3. Gochereste al goco? Gochereste al goco se l prezzo fosse 10 euro? E se fosse 60 euro? 1. Il supporto d X è par a: 30, 0, 10, 0, 10, 0 otteuto come 10 valore sulla facca del dado 30 P(Xx) 1/6 x 30, 0, 10, 0, 10, 0 avedo og facca la medesma probabltà 1/6. E(X) 5 euro e Var(X) E(X ) (E(X)) 9 Alteratvamete dcado co Y la v.a. che assume valore par al umero rportato sulla facca del dado s ha che Y è ua v.a. uforme dscreta co N6 e supporto 1,,,6. Da cu N E (Y) e Essedo X Y s ha N 1 35 Var(Y). 1 1 E(X) Var(X) Per u prezzo par a 30 o sembra coveete gocare avedo l goco u guadago atteso egatvo. Per u prezzo par a 60 euro l goco ha u guadago postvo co probabltà 0 sembra duque rrazoale gocare (essedo mpossble l eveto guadago postvo ). Per u prezzo par a 10 l guadago atteso è 5 euro e qud è razoale accettare l goco 6

7 Eserczo 6 Sa X ua v.a co dstrbuzoe bomale d parametr e p. S dmostr che E(X)p e 1 Var(X)p(1 p). Suggermeto ( ) ( ). 1 1 S dmostra la seguete formula rcorsva E(X ) pe [(Y + 1) ] co Y B (p, 1) E (X ) 0 ( )p (1 p) ( )p (1 p) p ( 1 1 )p 1 (1 p) j 1 j p (j + 1) ( j )p (1 p) (sosttuedo j 1) j 0 pe (Y 1 [ + 1) ] Da cu E(X) pe [(Y + 1) ] 0 p. Ioltre E(X ) pe(y + 1) pe(y) + p p( 1)p + p p p + p. Da cu Var(X) E(X ) E(X) p p + p p p(1 p). 7