Fusione e fissione nucleare

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 8 Fusione e fissione nucleare

2 FUSIONE NUCLEARE

3 Fusione nucleare Abbiamo già accennato alla fusione nucleare che costituisce la sorgente di energia del sole Hans Bethe Nobel 1967 Oggi vogliamo trattare questo processo in maniera un po più quantitativa: Energie irraggiata e durata del sole Fenomeni che determinano il tasso della reazione Picco di Gamow 3

4 Reazioni nucleari nel sole 4

5 La vita del sole Per calcolare quanto può vivere il sole: 1. Energia cinetica rilasciata nel sole dal processo completo di fusione Q tot 2. Energia irraggiata dal sole per unità di tempo W 3. Protoni consumati unità di tempo dn p /dt~w /Q tot 4. Vita del sole: N p /(dn p /dt) 5

6 Reazioni nucleari Consideriamo solo la sequenza più probabile di processi: 1 H + 1 H 2 H + e + +ν e 2 H + 1 H 3 He +γ 3 He + 3 He 4 He H Stimare l energia cinetica rilasciata alla materia solare (quindi escludere i neutrini) 6

7 Barriera Coulombiana Perché una reazione tra il nucleo X ed il nucleo Y possa avvenire bisogna superare la barriera coulombiana: V = e2 4πε 0 Z X Z Y R X + R Y = e 2 4πε 0!c!c R X + R Y Z X Z Y!c = α Z X Z Y R X + R Y Per la prima reazione della catena, p+p, R p ~0.85 fm (PDG) V pp = α!c = 1 197MeV fm = 0.85MeV 2R p fm Il problema è quanti protoni hanno l energia sufficiente per superare tale barriera: I protoni, ad una temperatura T dn avranno una distribuzione di dv = N 2 3/2 m p v 2 exp 1 m p v 2 π kt 2 kt velocità alla Maxwell-Boltzmnann: o, rispetto all energia cinetica: dn de = dn dv dv de = N 2 3/2 m p 2E exp E E = 1 π kt m p kt 2 m p v2 v = 2E / m p 7 dv de = 2 1 m p 2 1E = 1 2m p E = N 2 π 1 kt 3/2 E exp E kt 1 2m p E

8 Barriera Coulombiana Il problema è quanti protoni hanno l energia sufficiente per superare tale barriera. La frazione di protoni con E>V pp f = 1 N + Vpp dn de de = erf( x ) 2 π + = de 2 1 π kt Vpp ( ) x exp x Al centro del sole T~ K: kt= ev/k K = 1.3 kev V pp /kt = 850 kev/1.3 kev = V pp /kt 3/2 E exp E kt =1 erf = 2 π Per fare calcoli con numeri così grandi possiamo usare l espansione della erf per x x + 1 erf ( x) exp( x 2 ) / π x non esistono protoni 1 log 10 f = log 10 π 2 V pp kt + kt V exp V con energia sufficiente pp pp kt =1.5 V pp kt log e = V pp kt + 2 π + V pp /kt V pp dx x exp( x) kt exp V pp kt x = E kt 8

9 Picco di Gamow Reazioni di fusione alle temperature stellari sono possibili solo grazie all attraversamento della barriera Coulombiana per effetto tunnel Lo stesso fattore di Gamow che entra nel decadimento α: G = 2m p e 2 f! 2 E 4πε o 2R p b La probabilità di interazione λ per un protone di energia E è data da: λ = vσ (E)n p = 2E / m p σ (E)n p n p =densità di protoni Il tasso di interazioni per unità di volume ad una certa energia: dn int dt (E) = n p (E) 2E m p e 2G(E) σ 0 (E)n p e 2 b = 4πε o E f ( x ) = arccos x x x 2 La sezione d urto effettiva: σ (E) = e 2G σ 0 (E) sezione d urto in assenza di repulsione Coulombiana 9

10 Reattività Il tasso di interazione ad una certa energia è dato da: dn int dt (E) = n p (E) 2E m p e 2G(E) σ 0 (E)n p Il tasso totale di interazioni per unità di volume: n = n p (E) p v(e)e 2G(E) σ n 0 (E)n p p dn int dt = n p de n p(e) v(e)e 2G(E) σ 0 (E) n p pesata sulla distribuzione dell energia sezione d urto velocità dn int dt In generale per diverse specie: dn int dt = n p 2 σ v = n X n Y σ v 10

11 FISSIONE NUCLEARE

12 Fissione nucleare Nella fissione nucleare ci troviamo nell altro lato della curva dell energia media di legame. Nuclei pesanti possono scindersi in nuclei più leggeri e più legati liberando energia: Processo possibile per A 120 Non avviene spontaneamente a causa della solita barriera di potenziale: stabilità dei nuclei rispetto alla repulsione elettrostatica Può venire indotto da un eccitazione: interazioni con neutroni materiali fissili ed energia nucleare 12

13 Fissione nucleare 13 La fissione è il processo in cui un nucleo si spezza in frammenti più piccoli il caso più semplice è la fissione in due frammenti Z A A X 1 A Z1 X + 2 Z2 X + Q fiss L energia rilasciata nel processo di fissione si trova attraverso la differenza di massa Q fiss c 2 Perchè la fissione sia permessa deve essere Q fiss > 0 Utilizzando l energia di legame A = A 1 + A 2 Z = Z 1 + Z 2 = M ( A, Z ) M ( A 1, Z 1 ) M ( A 2, Z 2 ) Q fiss = B( A, Z ) B( A 1, Z 1 ) B( A 2, Z 2 ) Dove l energia di legame è data dalla formula di Bethe-Weizsäcker B( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 ( A 2Z ) 2 + a 4 A ± a 5 A 3 4

14 Fissione nucleare L energia disponibile è approssimativamente 0.9 MeV per nucleone. Per fusione abbiamo visto: ~26 MeV/4 = 6.5 MeV/nucleone Densità di energia immagazzinata molto maggiore di quella in combustibili chimici ~50 MJ/kg 14

15 Energy density 15

16 Processo di fissione Possiamo visualizzare il processo di fissione come la separazione di una goccia di liquido nucleare: r E = B( A, Z ) L energia del sistema evolve: da quella dovuta all energia di legame del nucleo originale 16 a quella dei due nuclei separati. il nucleo può esistere solo se lo stato iniziale è metastabile In tal caso la fissione necessita di superare una barriera di potenziale E = B( A 1, Z 1 ) + B( A 2, Z 2 ) + Z 1Z 2 e 2 4πε 0 r

17 Fissione nucleare: termine di superficie Dalla formula dell energia di legame 17 B( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 i termini influenzati da una deformazione del nucleo sono: l energia superficiale l energia di Coulomb ( A 2Z ) 2 + a 4 A Assumiamo che il nucleo assuma una forma di ellissoide prolato ( semiasse x = semiasse y < semiasse z ) Introduciamo il parametro ε che definisce una deformazione che mantiene costante il volume a = R( 1+ ε ) b = R / 1+ ε il termine nella formula di Bethe-Weizsäcker diventa a 2 A 2 3 a2 A ε 2 Concludiamo che l energia superficiale aumenta ± a 5 A 3 4 2b V = 4 3 πab2 = 4 3 π R3 S = 4π R ε 2 2a

18 Fissione nucleare: termine Coulombiano Discutiamo adesso il termine dell energia di legame dovuto alla repulsione elettrostatica Due elementi di carica ρdv 1 e ρdv 2 hanno un energia elettrostatica U = ρ ( r 4πε 1 ) dv 1 ρ ( r 2 ) dv 2 o r 12 Per una distribuzione sferica l energia si calcola facilmente Il caso dell ellisoide prolato è più complesso U = 3 1 Q 2 5 4πε o R U = 3 1 Q 2 5 4πε o R 1 ε 2 5 Pertanto, per tenere conto dell effetto della deformazione, nella formula di Bethe-Weizsäcker si opera la sostituzione a 3 Z 2 L energia elettrostatica diminuisce A 1 3 Z 2 a 3 1 ε 2 5 A

19 Fissione nucleare: stabilità In definitiva l effetto della deformazione è a 2 A ε 2 Z 2 + a 3 A ε 2 5 = a 2 A 2 Z a3 A a 2A a 3 Z 2 A 1 3 ε 2 La differenza rispetto al nucleo sferico è ΔE = 2 5 A a 3 Z 2 2a 2 A ε 2 Introducendo i valori delle costanti a 2 = a 3 = ΔE 2 5 A Z 2 A ε 2 Il nucleo sferico stabile se ΔE > 0 La condizione di stabilità è pertanto 2 Z A < 50 Questa condizione è verificata anche per nuclei molto pesanti Il nucleo sferico è pertanto molto stabile La positività dell energia ΔE per quasi tutti i nuclei spiega perchè la fissione spontanea è un fenomeno raro 19

20 Vite medie parziali per fissione pari-pari pari-dispari λ fiss = BR λ totale Branching Ratio BR frazione dei decadimenti in un certo canale. λ 1 fiss = τ BR = τ 1/ BR 235 U 238 U τ 1/ yr yr BR λ fiss yr s yr s 20

21 Energia nucleare Il processo di fissione è alla base della produzione di energia nucleare. La fissione spontanea non è in grado di produrre una potenza apprezzabile: necessario ricorrere a fissione indotta da neutroni: Proprietà della fissione Diverso comportamento dei materiali Reazione a catena Possibilità di automantenimento della produzione di energia Controllo della reazione: moderatore distribuzione in energia nelle interazioni neutroni ritardati trasformata di Laplace 21

22 Fissione indotta Un evento di fissione rilascia una notevole quantità di energia: Ad esempio per 238 U ci aspettiamo: 0.9 MeV/nucleone 238 nucleoni = 214 MeV La potenza però è limitata: 1 g di 238 U emette per fissione: N P = Q A fiss A λ fiss 200 MeV s 4 MeV/s W e per radioattività α: P = Q α N A A 700 MeV/s 1 4 MeV τ 1/ W yr s/yr La fissione può essere indotta da collisioni con neutroni che pongono il nucleo in uno stato eccitato: riduce l altezza della barriera di potenziale da superare 22

23 Fissione indotta Un esempio di reazione: n U U * I Y + 3n Q fiss = 183 MeV I 96 39Y Q=6.0 MeV 54 Q=7.1 MeV Xe 96 Zr Q=4.1 MeV 137 Cs 55 Ce ne sono molte possibili con le stesse caratteristiche: nuclei figli ricchi di neutroni: decadimenti β neutroni in eccesso emessi nella reazione Q=1.1 MeV 137 Ba 56 23

24 Fissione Indotta La fissione indotta dell Uranio 235 è molto più probabile della fissione spontanea succede che il nucleo 235 U assorbe un neutrone molto lento (al limite fermo) e produce un nucleo di 236 U Nel processo vengono rilasciati 6.3 MeV significa che per estarre un neutrone dal nucleo 236 U occorre fornire 6.3 MeV L energia disponibile è sufficiente a produrre lo stato eccitato 236 U* ( 5.7 MeV ) Poichè il nucleo è in uno stato eccitato la barriera è più bassa. La fissione è molto più probabile ricordiamo che la probabilità di effetto tunnel è una funzione esponenziale dell altezza della altezza della barriera 5.7 MeV 235 U+n 236 U* 6.3 MeV 5.7 MeV 236 U 24

25 Fissione indotta Abbiamo utilizzato l isotopo 235 U, molto meno abbondante dell isotopo 238 U I minerali naturali di Uranio (es. Pechblenda o Uranite) contengono solo una piccola percentuale di 235 U : circa lo 0.7% Per l isotopo 238 U l equivalente processo di fissione indotta sarebbe quello rappresentato in figura: l energia liberata nella cattura non è sufficiente a produrre il primo stato eccitato 239 U* Il motivo di questa differenza si può comprendere ricordando l ultimo termine dell energia di legame della formula di Bethe-Weizsäcker è nullo per A dispari ( 239 U ) è negativo per nuclei pari-pari ( 236 U ) Pertanto l ultimo neutrone dell isotopo 239 U è meno legato e l energia rilasciata nella cattura non è sufficiente per raggiungere il primo stato eccitato la barriera rimane alta e il processo è più raro 239 U* 239 U 238 U+n 6.0 MeV 4.8 MeV B( A, Z ) =... ± a 5 A 3 4 a 5 = 33.6 MeV 25

26 Fissione indotta Sezioni d urto per fissione e cattura neutronica: σ [b] σ [b] 10 3 Per l isotopo 238 U la soglia della fissione è molto elevata ( > 2 MeV ) Per neutroni lenti ( < 1 ev ) la fissione è molto più frequente in 235 U ad esempio per E ~ 0.1 ev σ 235 ~ 1000 σ 238 Ė anche riportata la sezione d urto di cattura radiativa di neutrone l energia in eccesso viene liberata come fotone e non avviene la fissione è importante per il funzionamento del reattore nucleare riduce il numero di neutroni che possono generare altre fissioni 26

27 Materiali fissili e materiali fertili 235 U è l unico materiale fissile che è soggetto a fissione indotta con neutroni termici kt=25 mev a 300 K è presente in natura in quantità significative: 0.7% dell uranio naturale È possibile produrre altri materiali fissili dai materiali fertili Ad esempio 239 Pu e 233 U da 238 U e 232 Th, rispettivamente n U U + γ U Np + e + ν e τ 1/2 = 23.4 minuti Np Pu + e + ν e τ 1/2 = 2.36 giorni n Th Th + γ Th Pa + e + ν e τ 1/2 = 23.3 minuti Pa U + e + ν e τ 1/2 = giorni Ad esempio, un reattore che brucia 239 Pu e che insieme al combustibile contiene 238 U produce altro combustibile 239 Pu reattori autofertilizzanti 27

28 Reazione a catena Il principio alla base dei reattori nucleare è la reazione a catena: Un nucleo di 235U cattura un neutrone Si scinde in due nuclei più leggeri ed un certo numero di neutroni L energia cinetica dei nuclei, come pure quella degli e - nei decadimenti β successivi, γ si trasfromano in calore del materiale: usato per la produzione di energia alcuni nuceli possono a loro volta emettere neutroni (neutroni ritardati) Questi neutroni possono: uscire dalla zona di reazione venire catturati da nuclei che si diseccitano emettendo γ colpire un altro nucleo di 235U e produrre una nuova fissione L aspetto critico è il controllo della catena: Se non ci sono abbastanza neutroni per nuove fissioni la catena rallenta e si ferma. Se ce ne sono troppi, il numero di reazioni aumenta esponenzialmente: esplosione. 28

29 Il controllo della catena Possiamo descrivere l evoluzione del numero di neutroni: dn = N t dt N(t): numero di neutroni τ: tempo medio necessario ad un neutrone per produrre una fissione ν: numero medio di neutroni prodotti da una fissione q: probabilità che un neutrone possa produrre una fissione La soluzione è: νq<1: sottocritico νq=1: critico νq>1: supercritico ( ) 1 ( νq 1) τ N ( t ) = N 0 ( )exp νq 1 ( ) t τ 29

30 Struttura del reattore assorbimento di neutroni rapporto 235 U 238 U H 2 0 usata anche per il raffreddamento Analizziamo ora alcuni degli elementi che influenzano q contenimento e termalizzazone dei neutroni 30

31 Sezioni d urto Consideriamo adesso una massa di uranio naturale: le frazioni dei due isotopi sono 238 U f = 99.3% 235 U f = 0.7% Consideriamo un neutrone di energia cinetica T = 2 MeV A questa energia le sezioni d urto totali di neutrone su 235 U o 238 U sono circa uguali: σ tot 7 barn In generale, se si ha una miscela di sostanze, ciascuna con frazione f i, si definisce una sezione d urto media σ = f i σ i Per l'uranio naturale (ρ=19.05 g/cm 3, A=238) il numero di atomi per unita di volume è n T = atomi/m 3 β = 2T m n = Otteniamo un libero cammino medio (distranza tra due collisioni) Il tempo medio fra due collisioni è λ = = 0.03 m t c = λ v = λ βc = s 31

32 Sezioni d urto Ad ogni collisione il neutrone può: indurre una fissione, con probabilità p fiss = σ fiss / σ tot venire catturato con emissione di γ p n,γ = σ n,γ / σ tot (non più disponibile per produrre una fissione) subire una collisione elastica o anelastica con perdita di energia È questo il processo con probabilità maggiore! In U naturale la sezione d urto media è circa quella di 238 U. Per un neutrone di 2 MeV: 32 il numero di diffusioni prima di un interazione distruttiva n = 1 / (p fiss + p n,γ ) probabilità di indurre una fissione: q = p fiss / (p fiss + p n,γ ) Cross Section (barns) σ [b] 235 U 238 U σ tot σ fiss σ(n,γ) σ n,γ σ fiss σ tot 238 U Incident Energy (MeV) Ad ogni urto l energia del n diminuisce. Quando si scende sotto la soglia di fissione di 238 U, q<1

33 Numero di collisioni La successione di eventi casuali che porta alla fissione o cattura è schematizzabile come segue La probabilità che l'interazione avvenga alla prima collisione è La probabilità che l'interazione avvenga alla seconda collisione è La probabilità che l'interazione avvenga alla terza collisione è P 1 = p P 2 = p( 1 p ) P 3 = p( 1 p) 2? p 1-p p = p fiss + p n,γ p? p 1-p? 1-p E così via La somma delle probabilità è correttamente normalizzata P k = p ( 1 p ) k 1 = p ( 1 p) k 1 = p 1 ( 1 p ) k=1 k=1 Il numero medio di collisioni è k = 1 p k=0 P k = p( 1 p ) k 1 k = kp k = p k 1 p k=1 = p p k=0 k=1 ( 1 p ) k ( ) k 1 = p 1 p p = 1 = p p k=1 ( 1 p) k 33

34 Sezioni d urto La situazione cambia qualitativamente per neutroni termici: T=25 mev, β= In U naturale f di 235 U=0.7% σ fiss = b = 4.1 b σ n,γ = b b σ q = fiss = 0.55 σ fiss + σ n,γ = 3.4 b Poiché ν 2.4, νq>1 si può avere una reazione a catena! Primo reattore di Fermi a Chicago, 1938 Cross Section (barns) σ [b] 235 U 238 U σ tot σ fiss σ(n,γ) U σ tot σ n,γ σ fiss Incident Energy (MeV) Nobel 1938 studio delle trasmutazioni indotte da n. Moderatore per termalizzare i neutroni Arricchimento in 235 U per aumentare q 34

35 Interludio: massa critica Abbiamo visto che un n effettua molte collisioni prima di essere catturato o indurre fissione. n = 1 / (p fiss + p n,γ ) La distanza media tra queste collisioni è il libero cammino medio: λ = 1 / σ tot n T Essendo questo un processo casuale, random walk, la distanza media percorsa dal n rispetto al punto di produzione è: l = λ n Se il blocco di combustibile ha una dimensione minore di tale distanza, i n usciranno senza aver fatto in tempo ad interagire. Esiste quindi una dimensione minima L min che il reattore deve avere perché la reazione possa autostostenersi. di conseguenza un valore minimo di volume V min ~L min3, e di massa ρv min : massa critica Il valore esatto dipende da geometria, combustibile,... 35

36 Rallentamento dei neutroni I neutroni rallentano (perdono energia) in seguito alle collisioni con i nuclei del materiale in cui si muovono Quando il neutrone è veloce una causa di rallentamento è una interazione inelastica n + A A * + n Nel bilancio energetico della reazione entra anche l energia del livello eccitato che pertanto non è più disponibile come energia cinetica del neutrone finale T n = T A + E A * + * T n ʹ T n E A Questo meccanismo diventa rapidamente inefficace quando l energia dei neutroni diventa insufficiente per eccitare il bersaglio Da questo momento in poi il meccanismo più efficace è lo scattering elastico ʹ T n Cross Section (barns) U σ tot σ n,γ σ fiss Incident Energy (MeV) 36

37 Scattering elastico Studiamo l urto elastico di un neutrone su un nucleo di massa A m A m n A n + A n + A v 1 v 2 v 3 v 4 m n v 1 m n v 3 m A v 2 = 0 m A v 4 θ L Siamo interessati a la distribuzione dell energia del neutrone dopo l urto l energia media dopo l urto la distribuzione dell angolo dopo l urto Il processo è non relativistico Il processo è molto semplice nel sistema di riferimento del centro di massa Il modulo della velocità del neutrone è lo stesso prima e dopo l urto Lo stesso vale per il nucleo v 3 ' = v 1 ' v 4 ' = v 2 ' m n v ' 1 m A v ' 4 m n v ' 3 m A v ' 2 v cm = m nv 1 + m A v 2 m n + m A = v 1 A +1 v i ' = v i v cm θ v cm 37

38 Rallentamento dei neutroni I dati del problema sono la velocità del neutrone prima dell urto e le masse Calcoliamo esplicitamente la velocità del neutrone v cm = m nv 1 + m A v 2 m n + m A = v 1 A +1 ' v i = v i v cm la velocità nel c.m. prima dell urto è ' v 1 = v 1 v 1 A = 1 A +1 A + 1 v Sappiamo che ' ' v 3 = v 1 ' Dopo l urto, nel sistema di laboratorio, la velocità del neutrone è v 3 = v 3 + v cm Siamo interessati alle energie e quindi calcoliamo il quadrato della velocità dopo l urto nel sistema di laboratorio ( ) 2 = v 3 ' v 3 E 3 E 1 = ( + v cm ) 2 ' = v m n v m n v 1 ( ) 2 + v cm ( ) 2 ( = v 3 ) 2 = ( ) 2 ( v 1 ) 2 ( ) 2 ' + 2v 3 v cm ( v 3 ) 2 A 2 = ( A +1) v A 2 ( A +1) A +1 1 ( A +1) v ( ) + 2 A 2 ( A +1) 2 cosθ A ( A +1) v cosθ 38

39 Rallentamento dei neutroni E 3 /E 1 nel laboratorio 2 E3 A 1 A = cos E ( A + 1) ( A + 1) ( A + 1) 1 L energia massima e l energia minima corrispondono a cosθ * = ±1 In caso di scattering isotropo, in genere vero per energie inferiori al MeV nel c.m. dn 1 = cost = d cos θ 2 Il calcolo della distribuzione dell energia nel laboratorio è: cosθ ( = A +1 ) 2 2A E 3 E 1 A 2 dn de 3 = ( A +1) 1 2 A +1 dn d cosθ d cosθ de 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 x max = E 3max = 1 x min = E 3min = A 1 E 1 E 1 A +1 θ ( ) 2 d cosθ = A +1 de 3 2A cosθ* nel centro di massa 1 E 1 39

40 Rallentamento dei neutroni Riepiloghiamo i risultati trovati dn de 3 = introducendo si ottiene: dn d cosθ d cosθ de 3 x = E 3 E 1 dn dx = A +1 4A ( ) 2 ( ) 2 d cosθ = A +1 de 3 2A Vediamo che dopo l urto la distribuzione dell energia del neutrone è uniforme Ė immediato calcolare il valor medio x = 1 ( 2 x min + x max ) = 1 ( A 1) 2 2 ( A +1) 2 +1 = A E 1 ( A + 1) E 3 = A2 +1 E 1 ( A +1) ( A + 1) 2 4A x = E 3 E 1 dn dx dn d cosθ = cost = 1 2 ( )2 x ( ) 2 max =1 x min = A 1 A + 1 x 40

41 Rallentamento dei neutroni La formula trovata ci permette di capire quali materiali funzionano meglio per rallentare i neutroni dopo l urto l energia del neutrone è uniformemente distribuita fra E 3min ( ) 2 E 3max ( ) 2 = A 1 E 1 A +1 Se il nucleo è leggero l intervallo è largo E 1 = 1 Ad esempio idrogeno A = 1, si ha 0 x 1 In un urto il neutrone può perdere molta energia Se il nucleo è pesante l intervallo è stretto Ad esempio uranio A = 238, si ha 0.98 x 1 In un urto il neutrone praticamente non perde energia dn dx dn dx x x = E 3 E 1 x min = = x Per rallentare i neutroni occorre utilizzare nuclei leggeri 41

42 Rallentamento dei neutroni Ci poniamo adesso la domanda: quante collisioni sono necessarie per raggiungere una energia termica? k supponiamo che il neutrone faccia una successione di urti nel passo k - 1 k lenergia varia da E k-1 a E k Il rapporto x = E k-1 /E k è distribuito uniformemente I limiti della distribuzione dipendono dal nucleo (A) Possiamo scrivere E n E 0 = E n E n 1 E n 1 E n 2 E 2 E 1 E 1 E 0 = n E i E i=1 i 1 Conviene considerare il logaritmo di questa espressione ln E n E 0 = ln n E k E k=1 k 1 Ancora una volta notiamo che x = E k-1 /E k ha sempre la stessa distribuzione = n i=1 ln E k E k n 2 k-1 k+1 ( A 1) 1 x ( A + 1) 42

43 Rallentamento dei neutroni Dal momento che abbiamo molti urti e che la distribuzione di x = E k-1 /E k è sempre la stessa possiamo scrivere n k=1 ln E k E k 1 n ln E f E i E i : energia prima dell urto E f : energia dopo l urto Utilizzando questo risultato ln E n E 0 = n ln E n = f E i ln E n E 0 ln E f E i x max = 1 ( x min = A 1 ) 2 ( A +1) 2 Per finire calcoliamo il valor medio del logaritmo ln E f E i = 1 x max x min x max 1 ln x dx = x ln x x min x max x min ( ) 1 x max x min ( ) 2 ln E f = A 1 E i 2A ln A +1 1 A 1 43

44 Moderatori Le formule appena trovate permettono di confrontare i vari materiali per il loro uso come moderatori. n = ln E n E 0 ln E f E i Ad esempio per raffreddare da 2 MeV a 0.02 ev un neutrone idrogeno H: A = 1 ( ) 2 ln E f = A 1 E i 2A ln E f = 1 n = ln E i ln A +1 A = 18 deuterio 2 H: A = 2 ln E f = 0.72 n = 1 E i 0.72 ln = 25 grafite: 12 C: A = 12 ln E f = 0.16 n = 1 E i 0.16 ln =

45 Moderatori Per concludere il discorso sui moderatori occorre tenere conto del fatto che molte collisioni aumentano la probabilità di cattura del neutrone i materiali devono anche essere confrontati sulla base delle loro sezioni d urto elastiche e di assorbimento la probabilità di assorbimento in una collisione è p p = σ nγ σ el la probabilità di sopravvivenza dopo n collisioni è δ δ = ( 1 p ) n Ricordiamo che δ è un limite inferiore: ulteriori urti mentre il neutrone si muove dopo la termalizzazione Moderatore σ el σ nγ p n δ 1 H 2 O H 2 O C

46 Il controllo della catena Possiamo descrivere l evoluzione del numero di neutroni: La soluzione è: νq<1: sottocritico νq=1: critico νq>1: supercritico dn dt = N t ( ) 1 ( νq 1) τ N ( t ) = N 0 Si possono combinare combustibile e moderatori per ottenere νq=1 Qualunque variazione allontana dall equilibrio controllo di q tramite barre di materiale in grado di catturare n I tempi della reazione τ~10-6 s τ λ β = 1 βn T σ troppo veloci per un sistema meccanico ( )exp νq 1 ( ) t τ I neutroni ritardati permettono di rallentare i tempi di risposta. 46

47 Neutroni ritardati L elemento chiave che si utilizza per il controllo dei reattori sono i neutroni ritardati alcuni dei prodotti di fissione decadono a loro volta in stati molto eccitati che a loro volta decadono emettendo neutroni ad esempio il 87 Br con un tempo di dimezzamento di 55 s Nel caso di 235 U i neutroni ritardati sono circa una frazione ν d = Se si calcolano i tempi di reazione del reattore in condizione critica tenendo conto dei neutroni ritardati si scopre che la scala dei tempi è fortemente influenzata dalla vita media 87 Br (o simili) In questo modo si rende il reattore più lento compatibile con i tempi di movimento meccanico delle barre 47

48 Cinetica del reattore: neutroni ritardati All istante di tempo t il numero di neutroni (ritardati) che provengono dal 87 Br (o simili) è dato da: t 1 t 2 t k t n t il numero presente a t 1 per la probabilità che sia sopravvissuto ν d n 1 p 1 il numero presente a t 2 per la probabilità che sia sopravvissuto ν d n 2 p 2 il numero presente a t k per la probabilità che sia sopravvissuto ν d n k p k ν d n( t 1 ) p( t t 1 ) +ν d n( t 2 ) p( t t 2 ) +!+ ν d n( t k ) p( t t k ) e così via La probabilità di sopravvivenza è Al limite del continuo,la somma diventa un integrale: ( ) = e p t ν d λ β t τ β t dt τ β exp[ λ β t ]λ β dt [ ( )] dx n( x )exp λ β t x 48

49 Cinetica del reattore: neutroni ritardati Pertanto al tempo t i neutroni ritardati sono ν d λ β n( x )exp λ β t x l equazione dell evoluzione temporale del numero dei neutroni: t [ ( )] dx dn = n( t )( νq 1)λdt dn dt = n t ( ) νq 1 ( ) dx ( )λ + ν d qλλ β n ( x )e λ β t x t probabilità di assorbimento convoluzione Questa equazione si risolve molto semplicemente utilizzando la Trasformata di Laplace Le proprietà che ci sevono sono dn( t ) dt + f ( x )g( t x ) dx f! s s!n ( s ) n( 0 ) ( )!g ( s ) exp λ β t [ ] 1 s + λ β n( t )!n ( s ) = n t 0 ( )e st dt 49

50 Cinetica del reattore: neutroni ritardati 50 Applichiamo la Trasformata di Laplace L incognita è ñ(s) L equazione integrodifferenziale è diventata un equazione algebrica la condizione iniziale è introdotta automaticamente La soluzione è dn dt = n t ( ) νq 1 s!n s ( )λ + ν d qλλ β n ( x )e λ β t x ( ) n ( 0 ) =!n ( s )( νq 1)λ!n ( s ) = n( 0 ) A quale funzione n(t) corrisponde? si potrebbe calcolare l antitrasformata ( ) dx In questo caso conviene utilizzare un metodo semplice ma istruttivo t ( )λ + ν d qλλ β!n s ( ) 1 s + λ β s + λ β s 2 + s λ β ( νq 1)λ ( )λλ β [ ] νq + ν d q 1

51 Cinetica del reattore: neutroni ritardati!n ( s ) = n( 0 ) s + λ β s 2 + s λ β ( νq 1)λ ( )λλ β [ ] νq + ν d q 1 osserviamo che q è un parametro (noto) e tutte le altre costanti sono note Il denominatore è un polinomio di secondo grado ha due zeri [ ] ± [ λ β ( νq 1)λ ] νq + ν d q 1 s ± = λ β ( νq 1)λ La funzione razionale può essere espressa come somma di due funzioni più semplici!n ( s ) n( 0 ) = A + B s s + s s Le costanti A e B si determinano da: ( ) ( ) = A + B ( s s + )( s s )!n s n 0 ( )s As Bs + Confrontando con l espressione originale 2 ( )λλ β A + B = 1 s A + s + B = λ β 51

52 Cinetica del reattore: neutroni ritardati Ricordiamo adesso una delle proprietà della Trasformata di Laplace Confrontiamo con la soluzione trovata ( ) ( ) = A!n s n 0 + B s s + s s Le costanti A e B sono semplicemente n t n 0 exp[ λ β t ] 1 s + λ β ( ) ( ) = Aes +t + Be s t A + B = 1 s A + s + B = λ β Ricordando gli esponenziali: A = s + + λ β s + s B = s + λ β s + s [ 1 ( νq 1)α ] ± [ 1 ( νq 1)α ] 2 + 4( νq + ν s ± = λ d q 1)α β 2 s - è un esponenziale decrescente, e non influenza la reazione s + può essere positivo: da tenere sotto controllo: costante di tempo 1/λ b invece che 1/λ α = λ λ β 52

53 Neutroni ritardati: soluzione [ 1 ( νq 1)α ] + [ 1 ( νq 1)α ] 2 + 4( νq + ν s + = λ d q 1)α β 2 ν = 2.47 ν d = α = λ / λ β 10 5 È evidente che la soluzione stazionaria è 1 s + = 0 q = = ν + ν d Nei d intorni di questo valore: νq 1 = ν d q = ( νq 1)α s + λ β 1 ( νq 1)α 2 [ ] ( νq + ν dq 1)α [ 1 ( νq 1)α ] 2 λ β 1 ( νq 1)α 2 [ ] ( νq + ν d q 1)α 2 [ 1 ( νq 1)α ] 2 4( νq + ν = λ d q 1)α β [ 1 ( νq 1)α ] ( νq + ν λ d q 1)α β ( νq 1)α ( νq + ν λ d q 1) β νq 1 ( ) Se νq>1, anche di poco e: (ritroviamo il caso di espansione con scala di tempi λ) 53 s + λ β [ 1 ( νq 1)α ] λ β ( νq 1)α s + λ ( νq 1)

54 Sicurezza del reattore Una caratteristica molto importante dei reattori è la variazione del parametro k = νq con la quantità del materiale refrigeratore Cosa succede se avviene una perdita nel moderatore/refrigerazione? Il risultato è la combinazione di due effetti se la quantità di moderatore diminuisce l energia dei neutroni è più alta i neutroni rilasciano un energia maggiore la temperatura aumenta d altro canto se l energia dei neutroni è più alta la probabilità di fissione diminuisce la potenza del reattore diminuisce la temperatura diminuisce Il reattore è sicuro se il secondo effetto prevale sul primo dk dt < 0 54