ESERCIZIO SVOLTO B. Verifica al ribaltamento (tipo EQU)

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1 l Muri di sostegno e fondazioni 1 ESERCIZIO SVOLTO B Eseguire le verifiche agli stati limite ultimi di ribaltamento, di scorrimento sul piano di posa e di collasso per carico limite dell insieme fondazione-terreno per il muro di sostegno in c.a. riportato in figura a osservando le prescrizioni contenute nelle N.T.C. 008; sul terrapieno grava il carico variabile q = 6 kn/m. Il piano di fondazione è situato alla profondità D 0,50 m rispetto alla superficie del terreno. Gli elementi caratteristici del terreno hanno i seguenti valori: angolo di attrito ϕ = 35 ; peso volumico del terreno γ t = 18 kn/m 3. a q P q 0,0 0,0,50 Sq 1,67 fr onte fit tizio de t erra pien o P P 1 t S t P D = 0,50 0,40 4,60 5,00 h= P 3 A 1,70 0,40 0,70 B=,80 Per ogni verifica deve essere rispettata la condizione 1, essendo il valore di progetto della resistenza del sistema, mentre è il valore di progetto dell azione o del suo effetto. Verifica al ribaltamento (tipo EQU) Questo stato limite deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio di corpo rigido, applicando la combinazione EQU + M + R. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

2 1) Momento spingente di calcolo M Sd = (sfavorevole) I parametri geotecnici di calcolo si ottengono applicando ai relativi valori caratteristici i coefficienti parziali γ M (Volume 5, pag. 1, tab. 5, colonna M ): angolo di attrito: tg ϕ tg 35 tg ϕ = = 0,560 e quindi ϕ 9,6 γ ϕ 1,5 peso per unità di volume del terreno: γ 18,00 γ t = t = =18 kn/m 3 1,0 γ γ Spinta dovuta al terreno: 1 S t = γ t h tg ϕ 45 1 = 18,00 5,00 tg 9, ,6 kn Spinta dovuta al carico variabile: S q = q h tg ϕ 45 =6,00 5,00 tg 9, ,30 kn Spinta di calcolo Le spinte di calcolo si ottengono moltiplicando i valori prima ottenuti per i coefficienti parziali γ F (Volume 5, pag. 1, tab. 4 colonna EQU) e si ottiene: S t,d = S t γ G1 = 77,6 1,1 84,99 kn S q,d = S q γ Q = 10,0 1,5 15,30 kn Spinta totale di calcolo S d = 100,9 kn Distanze di applicazione dal punto A: h 5,00 h 5,00 d t = = 1,67 m d q = =,50 m 3 3 Momento spingente di calcolo M Sd = : M Sd = S t,d d t + S q,d d q = 84,99 1, ,30,50 180,18 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd Pesi del muro, del terreno e del sovraccarico variabile sopra la mensola a monte: P 1 = (0,0 4,60 1,00) m 3 5,00 kn/m 3 = 3,00 kn P = 1 0,0 4,60 1,00 m 3 5,00 kn/m 3 = 11,50 kn P 3 = (,80 0,40 1,00) m 3 5,00 kn/m 3 = 8,00 kn P t = (1,70 4,60 1,00) m 3 18,00 kn/m 3 = 140,76 kn P q = (1,70 1,00) m 6,00 kn/m = 10,0 kn U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

3 3 I pesi nominali ora calcolati, tutti favorevoli, devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F della colonna EQU in tabella 4, γ G1 = 0,9 per i carichi permanenti e γ Q = 0,0 per il carico variabile P q, per ottenere i pesi di calcolo: P 1,d = P 1 γ G1 = 3,00 0,9 0,70 kn P,d = P γ G1 = 11,50 0,9 10,35 kn P 3,d = P 3 γ G1 = 8,00 0,9 5,0 kn P t,d = P t γ G1 = 140,76 0,9 16,68 kn P q,d = P q γ G1 = 10,0 0,0 0,00 kn Distanza di applicazione dal punto A: 0,0 d 1 = +0,0 + 0,70 = 1,00 m d = 0,0 + 0,70 0,83 m 3,80 1,70 d 3 = =1,40 m d t = +0,40 + 0,70 1,95 m Momento resistente di calcolo M Rd : M Rd = P 1,d d 1 + P,d d + P 3,d d 3 + P t,d d t = = 0,70 1, ,35 0,83 + 5,0 1, ,68 1,95 311,60 kn m 3) Verifica Il momento M Rd deve essere ridotto dividendolo per il coefficiente parziale della resistenza γ R = 1,0 (colonna R ) ottenendo la resistenza di calcolo e per la verifica si ha: M Rd 311,60 γ R 1,0 = = 1,79 > 1 Verificato M Sd 180,18 Coefficienti parziali g R per le verifiche agli S.L.U. STR e GEO dei muri di sostegno (Tabella 6.5.I delle Norme) Verifica Coefficiente Coefficiente Coefficiente parziale R 1 parziale R parziale R 3 Capacità portante della fondazione g R = 1,0 g R = 1,0 g R = 1,4 Scorrimento g R = 1,0 g R = 1,0 g R = 1,1 Resistenza del terreno a valle g R = 1,0 g R = 1,0 g R = 1,4 Verifica allo scorrimento sul piano di posa È dovuto alle componenti orizzontali delle forze agenti, e quindi in questo caso dalle spinte del terreno e del sovraccarico variabile;viene utilizzata la Combinazione A 1 + M 1 + R 3 dell Approccio. Poiché i coefficienti parziali γ M della colonna M 1 in tabella 5 sono tutti uguali all unità, i valori dei parametri geotecnici di calcolo sono uguali a quelli caratteristici (ϕ = 35 e γ t = 18,00 kn/m 3 ). U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

4 4 1) Spinta di calcolo S d = (sfavorevole) Spinta dovuta al terreno: 1 S t = 18,00 5,00 tg ,97 kn Spinta dovuta al sovraccarico variabile: 35 S q = 6,00 5,00 tg 45 8,13 kn Applicando ai valori ottenuti i coefficienti parziali γ F della colonna A 1 in tabella 4, si ottengono le spinte orizzontali di calcolo, ossia i valori di progetto delle azioni: S t,d = S t γ G1 = 60,97 1,3 79,6 kn S q,d = S q γ Q = 8,13 1,5 1,0 kn Spinta totale di calcolo S d = = 91,46 kn ) Azione resistente di progetto Pesi del muro, del terreno e del sovraccarico variabile sopra la mensola a monte Sono stati calcolati nella precedente verifica a ribaltamento e i valori ottenuti devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F della colonna A 1 in tabella 4, ottenendo i pesi di calcolo: P 1,d = P 1 γ G1 = 3,00 1,0 3,00 kn P,d = P γ G1 = 11,50 1,0 11,50 kn P 3,d = P 3 γ G1 = 8,00 1,0 8,00 kn P t,d = P t γ G1 = 140,76 1,0 140,76 kn P q,d = P q γ Q = 10,0 0,0 0,0 kn Peso totale di calcolo = 03,6 kn Il coefficiente di attrito terra-muro risulta f = tg 35 0,70 e, in favore della sicurezza, si assume f = 0,65, per cui l intensità della forza di attrito è: F a = f = 0,65 03,6 13,1 kn che viene divisa per il coefficiente parziale γ R = 1,1 della colonna R 3 per ottenere il valore di progetto della resistenza: F = a 13,1 = 10,11 kn 1,1 3) Verifica: 10,11 = 1,31 > 1 Verificato 91,46 Verifica al collasso per carico limite dell insieme fondazione terreno L azione di progetto è costituita da tutti i carichi verticali che gravano a livello del piano di fondazione; viene utilizzata la Combinazione A 1 + M 1 + R 3 dell Approccio. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

5 5 1) Momento spingente di calcolo M Sd I valori delle spinte di calcolo sono uguali a quelli calcolati per la verifica a scorrimento in quanto i valori dei coefficienti parziali da applicare ai parametri geotecnici (γ ϕ = γ γ = 1) e quelli da applicare alle spinte (γ G1 = 1,3 e γ Q = 1,5) coincidono con quelli utilizzati per la verifica a scorrimento; i valori di tali spinte sono: S t,d = 79,6 kn S q,d = 1,0 kn e sono applicate alle distanze dal punto A: d t = 1,67 m d q =,50 m Il momento spingente di calcolo risulta quindi: M Sd = 79,6 1,67 + 1,0,50 16,86 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd I pesi calcolati per la verifica al ribaltamento, in questo caso sfavorevoli, devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F in colonna A 1 della tabella 4: P 1,d = P 1 γ G1 = 3,00 1,3 9,90 kn P,d = P γ G1 = 11,50 1,3 14,95 kn P 3,d = P 3 γ G1 = 8,00 1,3 36,40 kn P t,d = P t γ G1 = 140,76 1,3 18,99 kn P q,d = P q γ Q = 10,0 1,5 15,30 kn Peso totale di calcolo = = 79,54 kn Le distanze di applicazione dal punto A sono (vedi verifica al ribaltamento): d 1 = 1,00 m d = 0,83 m d 3 = 1,40 m d t = d q = 1,95 m Momento resistente: M Rd = 9,90 1, ,95 0, ,40 1, ,99 1, ,30 1,95 479,93 kn m 3) Calcolo dell eccentricità M u = Rd M Sd 479,93 16,86 = 1,13 m 79,54 B,80 e = u = 1,13 0,7 m 4) Calcolo del carico limite della fondazione Essendo la risultante delle forze agenti inclinata ed eccentrica, anziché la formula di Terzaghi è necessario applicare l espressione di Brinch-Hansen che prende in considerazione le caratteristiche della risultante e la profondità del piano di fondazione mediante coefficienti da calcolare; considerando la coesione c = 0, l espressione che viene utilizzata per determinare il carico unitario ultimo è: q ult = γ t D N q d q i q + γ t B * N γ d γ i γ U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

6 6 D = 0,50 m = profondità del piano di posa della fondazione; B * = B e =,80 0,7 =,6 m = larghezza equivalente della fondazione per carico eccentrico; fattori di capacità portante: 1 + senϕ 1 + sen35 N q = e π tgϕ =,7188 π tg35 33,30 1 senϕ 1 sen35 N γ = 1,5 (N q 1) tg ϕ = 1,5 (33,30 1) tg 35 33,93 coefficienti di profondità: D 0,50 d q = 1 + tg ϕ (1 sen ϕ) = 1 + tg 35 (1 sen 35 ) 1,046 (essendo D < B) B,80 d γ = 1 coefficienti di inclinazione: i q = S 1 = 1 79,6 + 1,0 = 1 d S t,d + S q,d 0,453 79,54 S d i γ = 1 3 = 79,6 + 1, ,305 79,54 Sostituendo si ottiene: q ult = (18,00 0,50 33,30 1,046 0,453) + 35,50 kn m,6 33,93 1 0,305 che si pensa distribuito sulla larghezza equivalente B * con intensità: Q ult = q ult B * = 35,50,6 = 756,65 kn/m Questo valore deve essere ridotto dividendolo per il coefficiente parziale di resistenza γ R = 1,4 in colonna R 3 per ottenere il valore della resistenza di progetto : Q = Q lim = ult 756,65 = 540,46 kn/m 1,4 γ R 18,00 5) Verifica: 540,46 = 1,93 > 1 Verificato 79,54 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 011

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