Determination of dynamic soil properties through propagation of Rayleigh waves

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1 Determination of dynamic soil properties through propagation of Rayleigh waves Ing. Vitantonio Roma Dipartimento Ingegneria Strutturale e Geotecnica Politecnico di Torino 20 Luglio 2001

2 Schema della prova sperimentale Source Receivers D x x Tecnica non invasiva: misure eseguite sulla superficie libera

3 Modello Geometria Comportamento meccanico Onde di Rayleigh Fenomeno di Dispersione e Attenuazione delle onde Inversion Problem Rigidezza Damping Ratio Spessori Risposta Sperimentale Risposta Teorica Confronto e Soluzione Ottimale

4 Modello Geometria Comportamento meccanico Onde di Rayleigh Fenomeno di Dispersione e Attenuazione delle onde Inversion Problem Rigidezza Damping Ratio Spessori Risposta Sperimentale Risposta Teorica Confronto e Soluzione Ottimale

5 Modello del Sistema z r Vs * i, Vp * i, h i, ρ i Linear visco-elastic, homogeneous, isotropic horizontal layers Half-space 4 n + 3 parameters

6 Modello Geometria Comportamento meccanico Onde di Rayleigh Fenomeno di Dispersione e Attenuazione delle onde Inversion Problem Rigidezza Damping Ratio Spessori Risposta Sperimentale Risposta Teorica Confronto e Soluzione Ottimale

7 Fenomeno di Dispersione La forma d onda totale cambia durante la propagazione

8 Fenomeno di Dispersione Perturbazione u( x, t) = A( x, t) e iφ ( x, t) Fase φ( x, t) = ω( cx t) Velocità di Fase ω c = = c(ω) k c( ω) = cos tan te c( ω) cos tan te No dispersione dispersione

9 Fenomeno di Dispersione Velocità di fase c Curva di Dispersione Frequenza (Hz)

10 Fenomeno di Dispersione Circular frequency ω Curva di Dispersione P β ω U ( ω ) = = tan( β ) k δ ω c( ω ) = = tan( δ k ) Velocità di Gruppo U Wave number k Velocità di fase c

11 Dispersione Normale Dispersione Inversa x group x crest x crest x group

12 Modello Geometria Comportamento meccanico Onde di Rayleigh Fenomeno di Dispersione e Attenuazione delle onde Inversion Problem Rigidezza Damping Ratio Spessori Risposta Sperimentale Risposta Teorica Confronto e Soluzione Ottimale

13 Onde di Rayleigh Onde cilindriche viaggiano sulla superficie del semispazio Le due componenti del moto formano una ellisse nel piano verticale In un semispazio omogeneo sono non dispersive In un semispazio stratificato sono dispersive

14 Onde di Rayleigh Informazioni sugli strati interessati nella propagazione

15 Dispersione delle Onde di Rayleigh in un mezzo stratificato Stiffness Matrix Method (See for example Kausel, Roesset 1981) 1) Equilibrium of forces at the interfaces 2) Continuity of displacements at the interfaces 3) Radiation condition at infinite depth and stress-free conditions at the surface F = [S] X det[s] = 0 Dynamic equilibrium of the global system Free vibrations of the system R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = i i i i 0 Rayleigh dispersion relation

16 Dispersione delle Onde di Rayleigh in un mezzo stratificato For a fixed frequency f several wavenumbers may exist and for a fixed wavenumber k several frequencies may exist Example Case E Layer h (m) Vp (m/s) R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = Vs (m/s) Mass density (kg/m 3 ) i i i i Vs (m/s) Half-space Z (m)

17 Modi di propagazione di Rayleigh 150 Rayleigh modes Frequency (Hz) R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = i (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (o) 4th mode i i i Wavenumber (1/m)

18 1000 Modi di propagazione di Rayleigh Theoretical Rayleigh modes for site E Phase velocity (m/s) (.) 1st mode (star) 2nd mode 200 (+) 3rd mode 100 (o) 4th mode Frequency (Hz)

19 Ricerca degli zeri della Relazione di Dispersione di Rayleigh f=115hz Programma di Hisada R( Vs, h, ν, ρ, k, f ) = i i i i 0

20 Jumps Problem Layer h (m) Vp (m/s) Esempio Case B Vs (m/s) Mass density (kg/m 3 ) Vs (m/s) Half-space Z (m)

21 Jumps Problem Salto 1 Salto 2

22 Jumps Problem f=115hz Discontinuità nella funzione di Rayleigh

23 Jumps Problem I modi di Rayleigh non sono discontinui

24 Modello Geometria Comportamento meccanico Onde di Rayleigh Fenomeno di Dispersione e Attenuazione delle onde Inversion Problem Rigidezza Damping Ratio Spessori Risposta Sperimentale Risposta Teorica Confronto e Soluzione Ottimale

25 Risposta Sperimentale del Sistema Deve rappresentare il più possibile le caratteristiche geometrico-meccaniche del sistema Spostamenti nello spazio-tempo Spostamenti spettrali in f-k Relazione di Dispersione

26 Risposta Sperimentale del Sistema Metodo SASW standard Metodo F-K

27 Risposta Sperimentale del Sistema Metodo F-K Attivo Source Receivers D x x n ricevitori (max 24) disposti lungo una retta passante per la sorgente Metodo F-K Passivo Main Energy Source 16 Sensor Circular Array Additional Sources

28 Metodo F-K Attivo 2D Fourier Transformation Relazione di Dispersione delle onde di Rayleigh max ) ( k f f c = π Picco dello Spettro a frequenza costante Apparent Phase Velocity McMechan and Yedlin(1981) ( ) = dk d e k R k N t x u t kx i ω ω ω ω ) ( ), ( ), (, ( ) = = ), ( ), ( ), (, ω ω ω ω ω k R k N dk d e e t x u k u ikx t i Spostamenti k max

29 Risposta Sperimentale del Sistema Normalized Power f=costante Metodo F-K Attivo Wavenumber (rad/m) Curva di Dispersione Apparente più regolare Intervallo di frequenze più esteso alle basse frequenze Non indispensabile mediare su diverse configurazioni

30 Risposta Teorica del Sistema Esistono più rami teorici della curva di Dispersione delle onde di Rayleigh (Modi di Rayleigh), ma una sola curva apparente o effettiva sperimentale. Come fare un confronto tra risposta sperimentale e risposta teorica ai fini di un processo di Inversione? Sistemi Normalmente dispersivi e Inversamente dispersivi Occorre considerare la Sovrapposizione dei modi di Rayleigh Importanza relativa dei diversi modi di Rayleigh Coerenza tra prova sperimentale e simulazione teorica

31 Sistemi Normalmente dispersivi Velocità di fase (m/s) Profilo di Rigidezza G Cresce con z Z (m) 100 Frequenza (Hz) La curva di Dispersione sperimentale coincide con il modo fondamentale della Relazione di Dispersione teorica di Rayleigh I modi superiori sono trascurabili

32 1200 Sistemi Inversamente dispersivi Velocità di fase (m/s) Profilo di Rigidezza G 600 (.) 1st mode 400 (star) 2nd mode (+) 3rd mode (o) effective dispersion curve 200 (<) 4th mode Frequenza (Hz) Z (m) Tutti i modi di Rayleigh assumono importanza e la curva di dispersione sperimentale non coincide con nessuno dei modi teorici.occorre costruire una curva di Dispersione teorica Apparente o Effettiva da confrontare con la curva sperimentale.

33 Risposta Teorica del Sistema Simulazione della prova SASW standard a 2 ricevitori dal dominio spazio-tempo Metodo della Velocità di fase Effettiva (Lai, 1998) Simulazione della prova f-k ad n ricevitori dal dominio spazio-tempo: occorre caratterizzare la sorgente e richiede troppo tempo durante la simulazione

34 Effective Phase Velocity (Lai) Processo di media Procedure Sperimentale e Teorica diverse Valori a diverse distanze

35 Risposta Teorica del Sistema Simulazione della metodo f-k sperimentale ad n ricevitori dal dominio spazio-frequenza ( ) ( ) = + = M j r j k i e j z r A z r 1,,,, u β ϕ ω β ω β Spazio-frequenza Spazio-numero d onda ( ) k,ω u Metodo f-k Teorico (Roma et al., 2001) Configurazione dei ricevitori identica nel test sperimentale e nella simulazione teorica

36 Confronto fra Curve Teoriche

37 Metodo F-K Teorico Example Case E Layer h (m) Vp (m/s) Vs (m/s) Mass density (kg/m 3 ) Vs (m/s) Half-space Z (m)

38 1200 Theoretical Rayleigh modes and Effective dispersion curve at site E 1000 Phase velocity (m/s) (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (o) effective dispersion curve 200 (<) 4th mode Frequency (Hz)

39 150 Theoretical Rayleigh modes and Effective dispersion curve at site E Frequency (Hz) (o) effective dispersion curve (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (<) 4th mode Wavenumber (1/m)

40 Frequencies and Wavenumbers of Resonance in Layered Media for Traveling Rayleigh Waves 1 Frequencies of resonance at site E normalized spectrum of vertical displacements (.) 1st mode (star) 2nd mode (+) 3rd mode (<) 4th mode Frequency (Hz)

41 Sensitivity analysis of a simple system Single layer over a Half-space F z iωt Far Field:Rayleigh Waves = F 0 e Vs, h i i,ν, i ρ i r z Half-space

42 Magnitude of the Spectrum of each mode Normalized spectrum of vertical displacements on the surface Frequencies of Resonance for travelling Rayleigh waves h1=15m, Vs1=400m/s, Vp=1.5Vs Frequency (Hz) (.) 1st mode (+) 2nd mode (>) 3rd mode (star) 4thmode (o) 5th mode

43 Sensitivity Analysis Resonant frequencies for Rayleigh modes(h1=25m,vsinf=1000m/s) Resonant frequencies for Rayleigh modes(vs1=600m/s,vsinf=1000m/s) Resonant frequency (Hz) Vs1=200m/s Vs1=400m/s Rayleigh modes f*h1/vsinf 2,5 2 1,5 1 0, thicknesses h1 (m) mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 Dependence of resonant frequency from Vs1(h1=25m) 7 x 10-6 Fundamental mode for different stiffness ratios Resonant frequency (Hz) Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Spectrum of vertical displacements (m) h1=25m, Vs1=400m/s, Vp=1.5Vs (.) Vsinf=1.25Vs1 (+) Vsinf=2Vs1 (>) Vsinf=2.5Vs1 (star) Vsinf=4Vs1 (o) Vsinf=5Vs1 (diamond) Vsinf=10Vs1 Shear wave velocity Vs1 (m/s) Frequency (Hz)

44 Frequencies and Wavenumbers of Resonance for a layer over a half-space f R( j) ( A + Bj) Vs 1 h1 V = λ f k 2 π R( j) ( A + Bj) h1 Vs V j 1

45 Analogy with Shear waves f Shear( j) = ( j) Vs 1 h1 j=generic mode of propagation h Free surface S Rigid bedrock f Rayleigh( j) ( j) Vs 1 h1

46 Analogy with Shear waves Rayleigh and Shear Frequencies of Resonance Frequency (Hz) Rayleigh Shear Mode of propagation

47 Risposta Teorica del Sistema Vantaggi del metodo f-k Teorico Coerenza tra prova Sperimentale e simulazione Teorica Non occorre caratterizzare la sorgente nel dominio spaziotempo Non occorre passare dal dominio spazio-tempo: risparmio di tempo computazionale nel processo di Inversione Codice di calcolo che fornisce la Funzione di Trasferimento del Sistema Importanza relativa dei diversi modi di Rayleigh

48 Mezzi debolmente dissipativi : Inversione Disaccoppiata di G e D Condizione di mezzo debolmente dissipativo D 10% Inversione Non Lineare del profilo di rigidezza G(z) Ipotesi di elasticità Inversione Lineare del profilo di Smorzamento D(z)

49 Processo di Inversione Prova Sperimentale Confronto Relazione di Dispersione Sperimentale-Teorica Ipotesi iniziale sui Parametri geometricomeccanici Simulazione Teorica Variazione dei Parametri NO Minimizzare la distanza fra le due risposte? SI FINE

50 Processo di Inversione Variabili Indipendenti Velocità delle onde di Taglio e Spessori degli strati Funzione Obiettivo Distanza tra Risposta Sperimentale e Risposta Teorica Vincoli Velocità positivi e spessori superiori ad un valore limite inferiore Massima Profondità raggiungibile

51 Processo di Inversione Funzione Obiettivo P( h, vs i j, R) = ( N ) cexp erimental c f theoretical ( h f i, vs j ) f = vincoli 2 {(min( 1,0 } M P1 = R h i )) i= 1 P P M = + R i= 1 ( min(, ) 1 2 vs j 0 M = R min h i h i= 1 { } 2 3 max, 0 2 R=penalty parameter

52 Ottimizzazione Non Lineare Variazione dei Parametri Nuova Configurazione alla iterazione k Direzione della variazione x k = x k 1 + α s k Configurazione precedente k-1 Intensità della variazione x = n ( Vs, Vs,.., Vs,.., Vs, h, h,.. h,.. h ) 1 2 i n 1 2 i 1

53 Processo di Inversione Ottimizzazione Multi-dimensionale Scelta della Direzione S della Variazione Definisce il tipo di Algoritmo x k = x k 1 + α s k Ottimizzazione Mono-dimensionale Line Search

54 Ottimizzazione Non Lineare Algoritmo di Davidon-Fletcher-Powell B k +1 = B k + p p k T k p q T k k T B q qk B q B q k k T k k k k Appartiene alla classe dei Metodi Quasi-Newton Si basa su informazioni del primo ordine: Gradiente della Funzione Obiettivo calcolato ad ogni iterazione Converge almeno ad un minimo locale o ad un flesso locale

55 Analisi di Sensitività Layer number Thickness (h) [m] Shear velocity (vs)[m/s] Half space Frequency (Hz)

56 Variano Spessori e Velocità Layer number h [m] h[m] Vs[m/s] Vs[m/s] Half space Variazioni < 20% Funzione Obiettivo

57 Variano Spessori e Velocità Obiettivo 25 iterazioni

58 Variano Spessori e Velocità Layer number h [m] h[m] Vs[m/s] Vs[m/s] Half space Funzione Obiettivo iterazioni L Inversione contemporanea di Velocità e Spessori porta a soluzioni poco attendibili a causa della presenza di minimi locali della Funzione Obiettivo bel Dominio delle variabili

59 Piccole variazioni di velocità spostano il Minimo Layer number Thickness (h) [m] Shear velocity (vs)[m/s] 1 X Y 220 (+20) ( 20) Half space - 600

60 Piccole variazioni degli Spessori non spostano il Minimo Layer number Thickness (h) [m] Shear velocity (vs)[m/s] X Half space - Y Obiettivo Vs2=200 Vs4=600

61 Inversione delle Velocità Layer number h [m] Vs[m/s] Vs[m/s] Half space Funzione Obiettivo iterazioni L Inversione delle Velocità agli Spessori esatti è corretta

62 Inversione delle Velocità

63 Mezzo Inversamente Dispersivo 6 iterazioni

64 Mezzo Inversamente Dispersivo Layer number h [m] Vs[m/s] Vs[m/s] Half space Funzione Obiettivo iterazioni Convergenza ad un minimo locale molto prossimo al minimo globale: soluzione accettabile

65 Risposta Teorica del Sistema Inversion of an artificial case Shear velocity Vs (m/s) Depth (m) True profile Last iteration First iteration

66 Esistenza di Minimi Locali Algoritmo di Ottimizzazione Locale: la Soluzione Finale dipende dalla Configurazione Iniziale

67 Layer h [m] Poisson Vs[m/s] Half space Sito alluvionale, Inversamente dispersivo Wolf River (USA)

68 Wolf River (USA) Curve di Dispersione (.) Risposta sperimentale (o) Risposta teorica Frequenza(Hz)

69 Wolf River (USA) Numero d onda (1/m) Curve di Dispersione (.) Risposta sperimentale (o) Risposta teorica Frequenza(Hz)

70 Wolf River (USA) Numero d onda (1/m) (o) Rayleigh modes Frequency Spectrum (o) Risposta sperimentale Frequenza(Hz)

71 Wolf River (USA) 1 Spettro Normalizzato Frequenza(Hz)

72 Verzuolo Layer h [m] Poisson Vs[m/s] Vs[m/s] Half space

73 Verzuolo

74 Damping Ratio Profile (Rix et al.2000) ( ) ( ) [ ] ( ) ), ( ), ( 1,,,,, u ω ψ ω ω β ϕ ω ω ω r t i e r u M j r j k t i e j z A r t z r = = + = Spostamenti Teorici [Aki and Richards(1980), Lai(1998)] r e r G F r u ) ( ), ( ), ( ω α ω ω = Geometric and MaterialDamping Coefficiente di Attenuazione + = i s N i i s R i s i p R i p R D V c V k V c V c,,, 2 ) ( ω ω α Lai (1998) Nota da Vs profile

75 Damping Ratio Profile Spostamenti Sperimentali acc( r, ω) u( r, ω) = 2 ω C( ω) Calibration factor Coherence function Errore nelle misurazioni Matrice W dei pesi Standard deviation σ

76 Damping Ratio Profile Spostamenti Sperimentali Spostamenti Teorici Regression Analysis Coefficiente di Attenuazione α Sperimentale

77 + = i s n i i s R i s i p R i p R D V c V k V c V c,,, 2 ) ( ω ω α [ ] exp D = α M [m x 1] [n x 1] x n] [m = m=frequenze n=strati Constrained Linear Inverse Algorithm (Constable,1987) Obiettivo=Smoothness ( ) = = n i i s i D s D R 2 2 1,, Vincolo= distanza Damping Ratio Profile D M W W za dis ] ][ [ ] [ tan = α

78 Damping Ratio Profile Metodo dei moltiplicatori di Lagrange [ M ] D = αexp D inverted Confronto Attenuazione sperimentale e teorica α theo = [ M ] Dinverted

79 Mud A Isola artificiale realizzata sul fiume Mississipi Frequenza(Hz)

80 Mud A Spostamenti Sperimentali (o) e Teorici (.)

81 Mud A Curva di Attenuazione Sperimentale

82 Mud A Damping Profile Z (m) (%)

83 Mud A

84 Conclusioni Nuova Procedura di simulazione Teorica della Risposta del Sistema (Roma,2001) Tiene in conto la sovrapposizione dei Modi superiori di Rayleigh quindi è applicabile ai sistemi inversamente dispersivi Non occorre caratterizzare la sorgente Trasforma dal dominio spazio-frequenza al dominio numero d onda frequenza con risparmio di tempo computazionale

85 Conclusioni Importanza relativa dei diversi Modi di Rayleigh Frequenze e Numeri d onda di Risonanza di un mezzo stratificato attraversato da onde Rayleigh Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio

86 Conclusioni Procedura di Inversione Disaccoppiata dei Profili di Rigidezza e di Smorzamento Algoritmo di Ottimizzazione DFP Quasi- Newton Inversione delle sole Velocità sia per sistemi normalmente dispersivi che inversamente dispersivi Applicazioni reali Esistenza di Minimi locali

87 Conclusioni Inversione del Profilo di Smorzamento Valutazione della curve di Attenuazione sperimentale e teorica Applicazione a casi reali

88 Conclusioni Importanza relativa dei diversi Modi di Rayleigh Frequenze e Numeri d onda di Risonanza di un mezzo stratificato attraversato da onde Rayleigh Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Procedura di Inversione Disaccoppiata dei Profili di Rigidezza e di Smorzamento

89 Conclusioni Importanza relativa dei diversi Modi di Rayleigh Frequenze e Numeri d onda di Risonanza di un mezzo stratificato attraversato da onde Rayleigh Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Formula Approssimata nel caso di strato su semispazio e analogia formale con il modello colonna delle onde di taglio Procedura di Inversione Disaccoppiata dei Profili di Rigidezza e di Smorzamento