Outline. La trasformata di Laplace. (Metodi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi

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1 Ouline La rasformaa di Laplace La rasformaa di Laplace (Meodi Maemaici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Berolazzi DIMS Universià di reno anno accademico 28/29 (aggiornaa al 2/9/28) 2 Proprieà della rasformaa 3 Calcolo di alcune rasformae rasformaa della crescia polinomiale k u() rasformaa della crescia esponenziale a b u() rasformazione delle derivae e inegrali 4 Alre proprieà della rasformaa di Laplace Valori asinoici 5 abella delle rasformae 6 Esercizi sulle rasformae La rasformaa di Laplace / 3 La rasformaa di Laplace La rasformaa di Laplace 2 / 3 La rasformaa di Laplace La rasformaa di Laplace Definizione f() f(s) L {f()} (s) f(s) f()e s d ɛ + M + Uilià: rasforma M f()e s d ɛ Equazioni differenziali Equazioni algebriche Pierre-Simon Laplace, La rasformaa di Laplace 3 / 3 Analogia con il logarimo: a log a a b log a + log b cioè il logarimo rasforma i prodoi in somme che sono più facili da maneggiare. La rasformaa di Laplace 4 / 3

2 La rasformaa di Laplace Uso della rasformaa di Laplace per risolvere ODE Proprieà della rasformaa Proprieà della rasformaa Linearià, raslazione, Cambio di scala Equazione Differenziale rasformaa di Laplace Equazione algebrica abella Linearià a f() + b g() a f(s) + b ĝ(s) ecniche Analiiche (variazione delle cosani,...) ecniche Algebriche (sisemi lineari,frai semplici,...) Cambio di scala f(a) a f ( s ) a 2 raslazione in s e a f() f(s a) 3 Risposa nel empo Ani-rasformaa di Laplace Risposa in frequenza raslazione in f( a) e as f(s) 4 a e b sono numeri reali. Inolre a > nei puni 2 e 4. La rasformaa di Laplace 5 / 3 La rasformaa di Laplace 6 / 3 Proprieà della rasformaa Linearià e Cambio di scala Proprieà della rasformaa raslazione L {af() + bg()} (s) (af() + bg())e s d a f()e s d + b g()e s d a f(s) + b ĝ(s) f(a)e s d [ z/a, a > ] L {f(a)} (s) sz/a dz f(z)e a a f ( s a) L { e a f() } (s) e a f()e s d f()e (a s) d f(s a) f( a)e s dz [ a z] L {f( a)} (s) f(z)e s(z+a) dz [f(z) per z ] a e sa f(z)e sz dz as e f(s) La rasformaa di Laplace 7 / 3 La rasformaa di Laplace 8 / 3

3 Proprieà della rasformaa Funzioni rasformabili (/3) Non ue le funzioni sono rasformabili, ad esempio { L e 2} (s) e 2 s d e ( s) d + e ( s) d per ogni valore di s scegliendo > Re (s) si ha che e ( s) d non è convergene e quindi la funzione non è rasformabile per nessun valore di s. Proprieà della rasformaa Funzioni rasformabili (2/3) Se f() è coninua con ie di crescia: f() Me N per allora è Laplace-rasformabile: L {f} (s) f()e s d + f()e s d Infai f()e s + d f()e s d Me N e s d Me N e Re(s) d M e (N Re(s)) d ed per Re (s) > N si ha che e (N Re(s)) d + La rasformaa di Laplace 9 / 3 Proprieà della rasformaa Funzioni rasformabili (3/3) Definizione (Funzioni generalmene coninue) f() è generalmene coninua se per ogni inervallo [, ] è disconinua al più in un numero finio di puni la funzione è iaa Definizione () f() è di ordine esponenziale se è generalmene coninua con ie di crescia: f() Me N per Da ora in poi se non specificamene indicao assumiamo che le funzioni considerae siano di ordine esponenziale e con derivae generalmene coninue fino all ordine che a serve. La rasformaa di Laplace / 3 Proprieà della rasformaa eorema () Sia f() di ordine esponenziale allora vale: f(s), s s R Derivazione: Assumendo s reale f(s) f()e s d f() e s d M e (N s) d M s N ma M s + s N La rasformaa di Laplace / 3 La rasformaa di Laplace 2 / 3

4 Calcolo di alcune rasformae rasformaa della crescia polinomiale ed esponenziale rasformaa della crescia polinomiale ed esponenziale Funzione di Heaviside { se < ; u() se. Crescia lineare { se < ; + u() se. Crescia polinomale { se < ; k + k u() k se. Crescia esponenziale { se < ; v() a b u() a b se. La rasformaa di Laplace 3 / 3 Calcolo di alcune rasformae abella 2 s rasformaa della crescia polinomiale ed esponenziale 5 s 2 6 k k! s k+ 7 a b s b log a Aenzione, le funzioni a sinisra delle rasformae devono inendersi uguali a per <, cioè f() f(s) in realà è u()f() f(s) dove u() è la funzione di Heaviside. La rasformaa di Laplace 4 / 3 8 Calcolo di alcune rasformae rasformaa della funzione di Heaviside u() Calcolo di alcune rasformae rasformaa della crescia lineare u() Definizione della funzione di crescia lineare Definizione della funzione di Heaviside { se < ; u() se. rasformaa (assumendo Re (s) > ): L {u} (s) û(s) u()e s d e s d [ s ] + e s s + u() rasformaa (assumendo Re (s) > ): L {+} (s) +(s) u()e s d e s d [ s ] + e s + e s d s + [ s ] + s e s s 2 La rasformaa di Laplace 5 / 3 La rasformaa di Laplace 6 / 3

5 Calcolo di alcune rasformae rasformaa della crescia polinomiale k u() Calcolo di alcune rasformae rasformaa della crescia esponenziale a b u() Definizione della funzione di crescia polinomale k + k u() rasformaa (assumendo Re (s) > ): { } L k + (s) k + (s) k u()e s d k e s d [ ks ]+ e s + k k e s d s + k k + s (s) Usando l induzione e enendo cono che +(s) si ha s2 k k! + (s) s k+ La rasformaa di Laplace 7 / 3 Calcolo di alcune rasformae rasformazione delle derivae e inegrali rasformazione della derivaa prima (/2) Definizione della funzione di crescia esponenziale v() a b u() rasformaa (assumendo Re (s) > b log a): { L a b} (s) a b u()e s d a b e s d e b log a e s d e (b log a s) d [ ] + log a s) e(b (b log a s) s b log a La rasformaa di Laplace 8 / 3 Calcolo di alcune rasformae rasformazione delle derivae e inegrali rasformazione delle derivaa prima (2/2) eorema (Laplace rasformaa della derivaa prima) Sia f() di ordine esponenziale con derivaa generalmene coninua. Allora la rasformaa della derivaa prima divena: L { f () } (s) s f(s) f( + ) (assumiamo che f() per ) Derivazione: Sia Re (s) > e > : f ()e s d [ f()e s] + + s f()e s d f()e s + s f()e s d da cui abbiamo [ f ()e s d f ()e s d + ɛ ɛ [ f()e s + s f( + ) + s f()e s d + ] f ()e s d ] f()e s d + poiché f() per abbiamo ɛ f()e s d e quindi L { f () } (s) f( + ) + s f()e s d. La rasformaa di Laplace 9 / 3 La rasformaa di Laplace 2 / 3

6 Calcolo di alcune rasformae rasformazione della derivaa k-esima rasformazione delle derivae e inegrali Calcolo di alcune rasformae rasformazione dell inegrale rasformazione delle derivae e inegrali eorema (Laplace rasformaa della derivaa k-esima) Sia f() con le sue derivae fino alla k esima di ordine esponenziale e la derivaa k esima generalmene coninua. Allora la rasformaa della derivaa k-esima divena: { } k L f (k) () (s) s k f(s) s i f (k i ) ( + ). (assumiamo che f() per ) Derivazione: La derivazione è del uo analoga alla derivazione per la derivaa prima applicando k vole l inegrazione per pari. i eorema (Laplace rasformaa dell inegrale) Sia f() generalmene coninua, e g() definia come segue g() f(z) dz la rasformaa L {g()} (s) ĝ(s) divena: ĝ(s) s f(s). Derivazione: Basa applicare la regola di derivazione per la funzione g() e osservare che g () f() e g(). La rasformaa di Laplace 2 / 3 Alre proprieà della rasformaa di Laplace Valori iniziali e finali eorema (eorema del valore iniziale) Sia f() di ordine esponenziale con derivaa generalmene coninua allora vale: f( + ) s f(s) s + s R Derivazione: Dal eorema applicao a f () abbiamo s + L { f () } (s) s + s f(s) f( + ) Valori asinoici La rasformaa di Laplace 22 / 3 Alre proprieà della rasformaa di Laplace eorema (eorema del valore finale) Sia f() di ordine esponenziale con derivaa generalmene coninua se esise il ie f(+ ) + f() allora vale: f(+ ) s s f(s) s R Derivazione: Applicao la regola di rasformazione di f () abbiamo s + L {f ()} (s) s + L {f ()} (s) s f(s) f( + ) s + s + f ()e s d f () d f(+ ) f( + ) f () s + e s d Il passaggio del ie soo il segno di inegrale si può fare per il eorema della convergenza dominaa di Lebesgue. Valori asinoici La rasformaa di Laplace 23 / 3 La rasformaa di Laplace 24 / 3

7 Alre proprieà della rasformaa di Laplace Valori asinoici Alre proprieà della rasformaa di Laplace Funzioni periodiche e convoluzione Moliplicazione per n L { n f()} (s) ( ) n dn ds n f(s) Divisione per. Sia g() f() allora per la formula precedene che può essere scrio come: L L {g()} (s) d L {f()} (s) ds { d ds L g() } (s) ĝ(s) o meglio { } g() (s) ĝ(s) ds + C ĥ(s) La cosane complessa C va scela in modo che ĥ(s) soddisfi i eoremi del valore iniziale e finale. Ovviamene + g()/ deve esisere ed essere finio. La rasformaa di Laplace 25 / 3 eorema (raformazione di funzioni periodiche) Sia f( + ) f() per > allora vale L {f()} (s) f()e s d e s eorema (raformazione del prodoo di convoluzione) Sia (f g)() definia come segue: (f g)() f(z)g( z) dz allora vale L {f g} (s) f(s) ĝ(s) La rasformaa di Laplace 26 / 3 abella delle rasformae rasformae di derivae e inegrali abella delle rasformae rasformae di funzioni elemenari f(z) dz abella 3 s f(s) 9 f () s f(s) f( + ) f () s 2 f(s) f ( + ) sf( + ) d n d n f() n f() sn f(s) n s n j f (j) ( + ) 2 j ( ) n dn ds n f(s) 3 (f g)() f(s) ĝ(s) 4 e a cos ω e a sin ω e a cosh ω e a sinh ω abella 4 s a (s a) 2 + ω 2 5 ω (s a) 2 + ω 2 6 s a (s a) 2 ω 2 7 ω (s a) 2 ω 2 8 e a n n! (s a) n+ 9 e α e α (s α)(s ) 2 La rasformaa di Laplace 27 / 3 La rasformaa di Laplace 28 / 3

8 Esercizi sulle rasformae ,,5 K,5 K, 2 3 4,9,8,7,6,5,4,3,2, ,,8,6,4, ,,8,6,4,2 K, ,,5 K,5 K, rasformaa di funzioni periodiche Esercizi sulle rasformae rasformaa di funzioni periodiche { < f() n n < n + { < 2 g() + 2n < 2n + 2n + < 2n + 2 { < 3 h() 2n 2n < 2n + 2n + 2 2n + < 2n + 2 f() sin() 2 g() sin() 3 h() sin() 3 e f(s) s (e s ) s ; ĝ(s) e s s e s + ; ĥ(s) e s s 2 e s + f(s) + s 2 e πs + e πs ; 6 ĥ(s) (s 2 + )(s 2 + 9) ĝ(s) arcan(s); La rasformaa di Laplace 29 / 3 La rasformaa di Laplace 3 / 3 Riferimeni Riferimeni Joel L. Schiff he Laplace ransform, heory and applicaions Springer-Verlag, 999. U. Graf Applied Laplace ransforms and z-ransforms for Scieniss and Engineers Birkh auser, 24. Spiegel Murray R. Laplace ransforms Schaum s ouline series, 965. La rasformaa di Laplace 3 / 3