Lavoro ed energia. Lavoro di una forza Teorema dell energia cinetica Forze conservative Conservazione dell energia

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1 Lavoro ed energia Lavoro di una forza Teorema dell energia cinetica Forze conservative Conservazione dell energia

2 Moto uniformemente accelerato 1) v=v 0 +a(t-t 0 ) 2) s=s 0 +v 0 (t-t 0 )+½a(t-t 0 ) 2 s=s 0 + v 0 (v - v 0 ) /a + ½ (v - v 0 ) 2 / a s=s 0 + (2 v 0 v 2 v v 2 2 v 0 v + v 02 )/2 a 3) s s 0 = (v 2 v 02 )/2a a(s s 0 )=1/2(v 2 v 02 )

3 Caduta di un grave h(t) = h 0 ½ g t 2

4 Lavoro di una forza Consideriamo una forza F applicata ad un punto materiale P che si sposti di una quantità s lungo una traiettoria rettilinea. Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto scalare: L = F s=f s cos θ F P θ s

5 L è massimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e concordi: L = F s cos 0 = F s L è nullo nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari: L = F s cos π/2 = 0 Casi particolari L è minimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e discordi: L = F s cos π = - F s È la componente della forza lungo lo spostamento l unica a compiere lavoro!

6 Lavoro per un percorso generico L = L 1 +L 2 +L 3 + = Σ i L i

7 Unità di misura del lavoro Nel SI il lavoro si misura in Joule: 1 J=1 N m Nel CGS si misura in erg: 1 erg = 1 dina cm. Ne consegue che: 1 J = 1 N m = 10 5 dine 10 2 cm = 10 7 erg

8 Esempio

9 Concetto di energia Non è semplice definire il concetto di energia. L energia cinetica è una forma particolare di energia. Esprime l energia che un corpo possiede per il fatto che si muove. In generale per energia si intende la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro. Trattandosi di una grandezza omogenea al lavoro, si misura in J nel SI e in erg nel CGS.

10 Teorema dell energia cinetica Dato una particella di massa m e velocità v, si definisce energia cinetica la quantità scalare: K = ½mv 2 Secondo il teorema dell energia cinetica o delle forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su una particella che si muove di moto accelerato è uguale alla variazione di energia cinetica: L = K f - K i = ½ mv f 2 - ½ mv i 2

11 Teorema dell energia cinetica derivazione L = F Δs = ma v m Δt = = m(v f -v i /Δt) (v f +v i /2)Δt = = ½ m(v f -v i ) (v f +v i ) = = ½ mv f 2 - ½ mv i 2 = K f K i Diretta conseguenza della 2 a legge della dinamica.

12 Lavoro di una forza variabile

13 Esempio/problema Quando si trasporta qualcosa ad un altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità L = F d cos θ d cosθ = h Non importa il percorso compiuto ma solo il dislivello! θ 1 =π/3 θ 2 =π/6 m=15 Kg h=10 m θ 1 =π/3 d 1 =20 m L1=? θ 2 =π/6 d 2 =11.55 m L2=?

14 Forze conservative Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto può percorrere traiettorie molto complicate. Il lavoro L dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per andare da A a B. Per le forze conservative, L dipende dai soli punti iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita.

15 Forze conservative

16 Energia potenziale Per le forze conservative è possibile introdurre una grandezza scalare, che dipende dalla posizione, l energia potenziale U, tale che: L = U i - U f = - ΔU (teorema dell energia potenziale) L energia potenziale o posizionale di un corpo rappresenta l energia che questo possiede in virtù della sua posizione sotto l azione di una forza di tipo conservativo. Tale energia è potenzialmente convertibile in altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).

17 Conservazione dell energia meccanica Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle forze conservative. Per il teorema dell energia cinetica: L = ΔK Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0 Se indichiamo con E l energia meccanica totale del corpo, la precedente relazione diventa ΔE = 0 Principio di conservazione dell energia (meccanica): L energia si può trasformare da una forma all altra ma l energia totale di un sistema si conserva Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui l energia non si sia conservata Vale per tutte le forme di energia!

18 Energia potenziale La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa è associata una energia potenziale pari a U = m g h E l energia che il corpo possiede per il fatto che si trova ad una certa quota h. Energia meccanica del sistema: ½ mv 2 + m g h = costante gravitazionale

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20 h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s 2 v 0 = 0 m/s v finale =? Esercizio

21 h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s 2 v 0 = 0 m/s v finale =? Esercizio s(t)=1/2 a t 2 s(t finale )=1/2 g t 2 finale = h=70 m 2h 140 t finale = s = s = 3. 78s g 9.8 v = a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s K=1/2 m v 2 =0.5 * 1 Kg * m 2 /s 2= 686 J Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo? U=mgh=1Kg*9.8 m/s 2 *70 m=686 J

22 Esercizio h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola?

23 Esercizio h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo U=mgh=70 Kg*9.8m/ s 2 *6m = 4116 J Principio di conservazione K = U = 4116 J = ½ m v 2 => v=10.8 m/s=39 km/h v = m /s Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola? La stessa! mgh 2 v = = 2gh m

24 Energia potenziale elastica Per una forza di natura elastica esiste una proporzionalità diretta fra deformazione e forza deformante: F = k x (legge di Hooke). La forza elastica è una forza conservativa a cui è associata l energia potenziale U = ½ k x 2.

25 Potenza La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene compiuto. E definita come il rapporto fra il lavoro compiuto e l intervallo di tempo impiegato: P = ΔL/Δt Potenza istantanea P = dl/dt = dk/dt = mv dv/dt = = ma v = F v Nel SI si misura in Watt (simbolo W): 1 W = 1 J /s. Nel CGS in erg/s. Da cui: 1 W = 1 J/s = 10 7 erg/s Il chilowattora (kwh) è un unità di misura di energia: 1 kwh = 10 3 W s = J

26 Esercizio Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato?

27 Esercizio Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? L=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J W=L/Δt=2646 J / 4 s = W Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per 1 metro in 1 secondo 1 cavallo- vapore=mgh/s=75*9.8 Js=735 W In Inghilterra 746 W!