SERIE NUMERICHE. Test di autovalutazione. 1+a 2
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- Carmelo Palmisano
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1 SERIE NUMERICHE Test di autovalutazioe. E data la serie: dove a R. Allora: ( ) 3a +a (a) se a = la serie coverge a (b) se a = 3 la somma della serie vale 5 (c) se a = 5 la serie diverge a (d) se a 0 la serie coverge.. La serie ( + 3 ) 7 (a) coverge a (b) è idetermiata (c) coverge a (d) diverge. 3. La serie (dipedete dal parametro b R) (cos b ) : (a) coverge b π + kπ, (k Z ) (b) se b = 3π, o coverge (c) coverge b R + (d) se b = π 6, coverge a. 4. La serie (dipedete dal parametro b R) (b +4b +3) (a) coverge se b ], [ ], + [ (b) se b = 3, diverge a (c) coverge se b R + (d) se b = 4, coverge.
2 5. La serie ( ) +3a a : +5 (a) se a =0 è divergete (b) coverge se <a< (c) coverge a IR (d) o esiste essu a per cui coverga, perché a + ( ) +3a a La serie 5 : (a) è maggiorata dalla serie 8 (b) è ua maggiorate della serie (c) coverge (per il criterio del rapporto) (d) diverge, perché è ua miorate della serie divergete. 7. Di ua serie a termii positivi a si sa che la somma vale 8 3. Allora: (a) o si può affermare ulla sul comportameto della serie a (b) + a = 8 3 (c) o è detto che la serie (d) c è ua k maggiore di 8 3. =3 a coverga a Sia (a ) N ua successioe a termii positivi covergete a 0. Allora: (a) la serie (b) la serie (c) la serie (d) la serie ( ) a è covergete ( ) a coverge se la successioe (a )è decrescete a coverge a coverge se la successioe (a ) N è decrescete.
3 9. La serie ( ) : (a) è assolutamete covergete (b) è covergete (c) è assolutamete divergete (d) è divergete. 0. La serie + + : (a) coverge (b) è idetermiata (c) è ua maggiorate della serie armoica (d) è ua miorate della serie 3.. Si cosiderio la serie a e la successioe (a ) N. (a) Se la successioe (a )è covergete, allora la serie (b) Se (c) Se a =0, allora a 0, allora a è covergete. a o coverge. (d) Se la successioe (a )è oscillate, allora la serie a coverge. a è idetermiata.. La serie ( ) k + dove k è u parametro reale: k (a) se k, coverge (b) coverge se k<0 (c) se k<0 è idetermiata (d) se k = ha per somma 3.
4 3. La serie ( + ): (a) ha per somma 0 = ( + ) (b) è divergete (c) è idetermiata (d) è ua maggiorate della serie. 4. La serie 5! : 5 (a) o coverge, perché! 0 (b) per il criterio del rapporto, coverge (c) poiché 5 >!, si ha a = 5 > e duque la serie diverge! (d) diverge, per il criterio della radice. 5. La serie ( + )( +3) : (a) o coverge, perché la successioe a = + (b) ha per somma (c) è ua serie telescopica (d) coverge al valore del ite ( + )( +3) ( + )( +3). è ifiitesima di ordie, per 6. Si cosiderio le serie a e a. (a) Se a coverge, allora a coverge. (b) Se a diverge, allora a diverge. (c) Se a 0 e a coverge, allora a coverge. (d) Se a 0 e a diverge, allora a diverge.
5 7. La serie ( + ): (a) coicide co la serie + + (b) è idetermiata, perché o esiste (c) diverge a (d) ha per somma 0. ( + ) 8. La serie si(π + π ) : (a) è maggiorata dalla serie (b) è assolutamete covergete (c) è idetermiata (d) è covergete. 9. La serie = cos(π) log : (a) coverge assolutamete (b) coverge semplicemete (c) è idetermiata (d) è ua maggiorate della serie =. 0. La serie : (a) è ua miorate della serie (b) diverge (c) è ua maggiorate della serie (d) o è defiita i campo reale.
6 . La serie (dipedete dal parametro b IR) (cos b) : (a) coverge b IR + (b) coverge b kπ, (k Z ) (c) se b = π 3, coverge a (d) se b = π, diverge a +. Sia a = si(π) ; si cosideri la serie a. Allora : (a) la serie coverge assolutamete (b) la serie coverge semplicemete ma o assolutamete (c) la successioe (a )è strettamete decrescete (d) la serie diverge, perché,per,a e la serie diverge 3. La serie ( ) : (a) ha per somma 3 (b) coverge semplicemete per il criterio di Leibiz (c) coverge assolutamete (d) o coverge 4. La somma della serie 8 : (a) vale 8 (b) vale 7 (c) o si può calcolare (d) vale 8 7
7 5. Data la serie a termii positivi a, se a =8, allora: (a) a =8 + (b) (c) + a + a = a =0 (d) + a = 8 6. Data la fuzioe f(x) = x x 3 : (a) la serie = ( ) 3 coverge (b) f(x) cambia sego i [, + [ + ( (c) l itegrale improprio x ) x 3 dx è idetermiato (d) la serie = ( 3 ) è a termii di sego altero
8 RISPOSTE. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = 3a e primo termie. Pertato : +a (a) è falsa: ifatti, se a =, q = e duque la serie diverge (b) è vera: ifatti, se a =3, q = 4 5 S = 4 =5 5 ; pertato la serie coverge e la sua somma vale (c) è falsa: ifatti, se a = 5, q = 8 3 ; pertato la serie coverge (d) è falsa: ad esempio, se a =0, q = e quidi la serie oscilla.. RISPOSTA ESATTA: (d). La serie ( + 3 7) è ua serie geometrica di ragioe q = Poiché q>, la serie diverge. Pertato le risposte (a), (b), (c) soo false, metre (d) è vera. 3. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = cos b. Pertato : (a) è falsa: ifatti, ad esempio, se b = 3π,q=, e duque la serie è oscillate. (b) è vera: per quato detto i (a), se b = 3π la serie o coverge. (c) è falsa: ad esempio, se b = 3π la serie o coverge. (d) è falsa: se b = π 3 6, q = ; quidi la serie coverge al valore S = ( 3 ) = 4 3.
9 4. RISPOSTA ESATTA: (a). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = b +4b + 3 e primo termie. Pertato : (a) è vera: ifatti la serie coverge se e solo se: <b +4b +3< <b< + b b ], [ ], + [. (b) è falsa: ifatti, se b = 3,q= 0 e duque la serie coverge a 0. (c) è falsa: ad esempio, se b =,q= 8 ; pertato la serie diverge. (d) è falsa: se b = 4,q= 3 e quidi la serie diverge. 5. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = +3a a +5. Pertato : (a) è falsa: ifatti, se a =0,q= 5, e duque la serie coverge. (b) è vera; ifatti, la serie coverge se e solo se < +3a a +5 < a 5 < +3a < a +5 <a< (c) è falsa: ad esempio, se a =3,q= 8 3 (d) è falsa: si deve effettuare il calcolo o del a = + + ( ) +3a a. +5 ; pertato la serie diverge +3a + a +5, ma del 6. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: ifatti,, 5 <8 e duque (b) è falsa: ifatti,, 5 > e duque (c) è vera; ifatti: a + a = ( +) = 5 > 8 5 < 5( +) = 5 < (d) è falsa: ifatti, pur essedo vero che la serie data è ua miorate della serie armoica (che è divergete), o è detto che sia divergete.
10 7. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: ifatti, poiché la serie è a termii positivi, a = a. (b) è falsa: ifatti, poiché la serie a è covergete, ecessariamete a =0 (c) è vera; ifatti la serie a coverge al umero 8 3 a 0 a a =3 (d) è falsa. Ifatti, se esistesse u a k > 8 3 si avrebbe: a = 8 3 a k +(a 0 + a + + a k + a k+ + + a + )= 8 3. Questo è assurdo poiché a k > 8 3 e i IN,a i RISPOSTA ESATTA: (b). (a) è falsa: ad esempio, la successioe (a ) = a = 0, ma la serie ( ) a diverge. (b) è vera, per quato afferma il criterio di Leibiz ( ) +( ) è a termii positivi e (c) è falsa: ad esempio la serie + diverge (d) è falsa: si cosideri lo stesso cotroesempio di (c). 9. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: la serie o tede a 0. è divergete, i quato serie a termii positivi il cui termie geerale (b) è falsa: il termie geerale ( ) o tede a 0 (c) è vera, per quato detto i (a) (d) è falsa: la serie ( ) è oscillate.
11 0. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: ifatti, come si vedrà i (c), la ostra serie è maggiorate di ua serie divergete, e duque diverge. (b) è falsa, i quato si tratta di ua serie a termii positivi. (c) è vera, perché, come si può facilmete verificare,, (d) è falsa perché si verifica che,, + + > >. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) e (b) soo false: si cosideri come cotroesempio la serie + (c) è vera: è la cotroomiale della codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie, che afferma: se la serie a coverge, allora a =0 (d) è falsa perché la serie a è a termii positivi e duque o può essere idetermiata.. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = k + k. Pertato : (a) è falsa: ad esempio, se k =0,q=, e duque la serie oscilla (b) è vera: ifatti la serie coverge se e solo se < k + < k<0 k (c) è falsa ( si veda (b) ) (d) è falsa: se k =,q= 3 e quidi la serie coverge al valore S= 3 = RISPOSTA ESATTA: (b). (a) è falsa; ifatti, posto a = +, la somma della serie è (se esiste fiito) S = (a + a + + a ) e o a (b) è vera, perché: S = (a + a + + a ) = ( + ) = + (c) è falsa, perché è ua serie a termii positivi (d) è falsa, perché a = + = ++ <.
12 4. RISPOSTA ESATTA: (b). 5 + ( + )! (a) è falsa, perché! 5 = 5! =0 (c) è falsa, perché per>0, 5 <! 5 =0<. Duque (b) è vera e (d) è falsa RISPOSTA ESATTA: (c). Poiché a = ( + )( +3) = +, si tratta di ua serie telescopica e si può verificare +3 che S == a 0 + a + a + + a = Pertato: (a) è falsa: la successioe a = è ifiitesima di ordie, per ( + )( +3) duque per il criterio di McLauri la serie coverge ( (b) è falsa perché S = + + ) = 3 +3 (c) è vera, per quato detto all iizio (d) è falsa perché la serie coverge a 3 e o a 0. + e 6. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: ad esempio la serie ( ) coverge, metre la serie diverge. (b) e (d) soo false: covergete. si cosideri come cotroesempio la serie divergete e la serie (c) è vera; ifatti, essedo la serie a covergete, ecessariamete = 0. Duque, essedo per ipotesi a 0, si avrà, defiitivamete, 0 a < e quidi 0 (a ) <a <. Pertato la serie (a ) è ua miorate di ua serie covergete e quidi coverge.
13 7. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa, perché a = + = (b) è falsa, perché si tratta di ua serie a termii egativi, e duque o può essere idetermiata (c) è vera perché (per quato visto i (b)) la serie può solo covergere o divergere a ; ma a =, e duque la serie o coverge (d) è falsa per quato visto i (c). 8. RISPOSTA ESATTA: (d). ( Osserviamo che si π + π ) = cos(π) =( ). Pertato: (a) è falsa perché ( ) < solo se è dispari. (b) è falsa perché la serie Per il criterio di Leibiz: è vera e (c) è falsa. diverge. ( ) = 0 e la successioe è decrescete. Duque (d) 9. RISPOSTA ESATTA: (b). Si osservi che cos(π) =( ). Duque: (a) è falsa : la serie della serie divergete log = = (b) è vera per il criterio di Leibiz, poiché decrescete. Duque (c) è falsa. diverge per il criterio del cofroto, essedo ua maggiorate ( ) log = 0 e la successioe log è (d) è falsa perché ( ) log > solo se è pari. 0. RISPOSTA ESATTA: (a). (a) è vera perché, essedo <, si ha < (b) è falso: la serie coverge perché miorate di ua serie covergete (si veda (a)) (c) è falso perché < (d) è falso perché,se,a IR.
14 . RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = cos b. Duque: (a) è falsa: ad esempio, se b =π,q= e la serie diverge (b) è vera: la serie coverge se e sole se cos b ± e duque se e sole se b kπ, k Z (c) è falsa perché, se b = π 3,q= e la serie coverge a S= = (d) è falsa perché, se b = π, q= e la serie oscilla.. RISPOSTA ESATTA: (a). Si osservi che si(π) = 0 = 0. Duque (a) è vera e tutte le altre soo false. 3. RISPOSTA ESATTA: (d). + Osserviamo che ( ) 3 +5 é semplicemete). 0 ; duque la serie o può covergere (é assolutamete Duque (a), (b) e (c) soo false, metre (d) è vera. 4. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di ua serie geometrica di ragioe q = 8 e primo termie 8 coverge al valore S= = 7. 8 Pertato (a), (c) e (d) soo false, metre (b) è vera., aziché. Duque 5. RISPOSTA ESATTA: (c). Per ipotesi la serie coverge e duque si deve avere a = 0. Duque (c) è vera e (a) è falsa. (b) è falsa, perché (d) è falsa perché a + può essere qualuque umero l a a può essere qualuque umero l. 6. RISPOSTA ESATTA: (a). Si applichi il criterio di McLauri alla fuzioe f(x) = x x 3, per cui f() = 3. Essa è decrescete su I= [, + [ perché, sui,f (x) < 0. Ioltre l itegrale improprio + ( x ) x 3 dx coverge. Duque (a) è vera e (c) è falsa. (b) è falsa perché, su I, f(x) > 0. Di cosegueza ache (d) è falsa.
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2.5 Convergenza assoluta e non
.5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello
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