A.A Prof. R. Morandi

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1 Svolgimento di alcuni esercizi del corso di Calcolo Numerico A.A. - Prof. R. Morandi Versione in aggiornamento ( gennaio ): ogni segnalazione di imprecisioni è gradita

2 Aritmetica Finita Esercizio : Assegnati i numeri reali a = 7, b =, c = 6 siano ã, b, c, i loro floating su un elaboratore ideale che utilizza la base β = ed m = cifre per la rappresentazione della mantissa (senza limiti sulla caratteristica) che operano per arrotondamento. Si chiede di effettuare la somma ã b c scegliendo opportunamente l ordine di esecuzione e motivandone la scelta. Siano a = 7, b =, c = 6 ; fl(a) = ã =.9, fl(b) = b =., fl(c) c =.6 Dato che ã e c hanno la stessa caratteristica la somma deve essere effettuata nell ordine seguente ã b c = (ã c) b cioè.9 +. = fl(.9 ) +. =.9 Esercizio : Su un elaboratore ideale che utilizza m =, β =, opera per arrotondamento e non ha limitazioni sulla rappresentazione della caratteristica, si consideri la matrice à floating di A = [ Nell aritmetica dell elaboratore si calcoli l errore A à A. Per calcolare à si devono calcolare i floating di tutti gli elementi, cioè [.9.9 à = ] [ ].7, A à =. ]. Usando l aritmetica dell elaboratore in questione A à A =. =. 7.9 Esercizio : Su un elaboratore ideale che utilizza m =, β =, opera per arrotondamento e non ha limitazioni sulla rappresentazione della caratteristica, si consideri la matrice à floating di A = [.. Nell aritmetica dell elaboratore si calcoli l errore A à A, e si confronti con la precisione di macchina dell elaboratore di cui sopra. Per calcolare à si devono calcolare i floating di tutti gli elementi, cioè [.. à = ]., ].

3 [. A Ã =.... Calcoliamo l errore relativo A =. ] = [. ] A Ã A =.. = 7 < ε m = Esercizio : Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β =, aritmetica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = le cifre a disposizione della mantissa e n = le cifre per la caratteristica. i) Si rappresentino in macchina i seguenti vettori x = (.696,.), y = (.698,.), z = (.6 8,. 9 ) ii) Usando l aritmetica dell elaboratore e la norma, si calcoli l errore relativo a meno del quale y approssima x. i) Dato che l elaboratore opera per arrotandamento, la precisione di macchina è ϵ m = β m = =.. ii) Rappresentiamo in macchina i vettori assegnati: x = (.696,. ) fl(x) = (.69,. ) y = (.698,. ) fl(y) = (.7,. ) z = (.6 9,. ) fl(z) = (.6 9, }. {{ } ) underflow iii) Ricordiamo che la norma del vettore z IR n, z = (z, z,..., z n ) è z = n i= z i e l errore relativo a meno del quale y approssima x è e R = x y x Usando l aritmetica dell elaboratore otteniamo e R = fl(x) fl(y) = (.69,. ) (.7,. ) fl(x) (.69,. ) (.,.) = (.69,. ) =. (.69. ) =. (.69. ) =..7 =.88 Esercizio : Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β =, aritmetica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = le cifre a disposizione della mantissa e n = le cifre per la caratteristica.

4 i) Si rappresentino in macchina i seguenti vettori x = (.,.76987), y = (.,.77), z = ( 6.6 7, 6.86) ii) Usando l aritmetica dell elaboratore e la norma, si calcoli l errore relativo a meno del quale y approssima x. i) Dato che l elaboratore opera per arrotandamento, la precisione di macchina è ϵ m = β m = =.. ii) Rappresentiamo in macchina i vettori assegnati: x = (., ) fl(x) = (.,.7699 ) y = (.,.77 ) fl(y) = (.,.77 ) z = (.66,.686 ) fl(z) = (.6 }{{ },.68 ) overflow iii) Usando l aritmetica dell elaboratore otteniamo e R = fl(x) fl(y) fl(x) = (.,.7699 ) (.,.77 ) (.,.7699 ) = (.,. ) =. (..77 ) =..7 =.7 Esercizio 6: Consideriamo un elaboratore operante con rappresentazione in base β =, aritmetica floating-point e tecnica di arrotondamento. Siano m = le cifre a disposizione della mantissa e n = le cifre per la caratteristica. i) Assegnati vettori x = ( 6.876,.,.8), y = (.,.76), si rappresentino in macchina. ii) Dopo aver definito x, x e x, si calcolino x, x usando l aritmetica dell elaboratore. iii) Si definisca la precisione di macchina ϵ m e si indichi il valore di ϵ m per l elaboratore sopra descritto. i) Rappresentiamo in macchina i vettori assegnati: x = (.6876,.,.8 ) fl(x) = (.69,.,.8 ) y = (.,.76 ) fl(y) = (. }{{ },.77 ) overflow

5 ii) Posto x IR n, x = (x, x,..., x n ), si ha n x = x i, x = n x i, i= i= x = max i n x i. Usando l aritmetica dell elaboratore abbiamo fl(x) = = =.69. =.8 e fl(x) =.69. iii) La precisione di macchina ϵ m è la limitazione superiore all errore relativo commesso nel rappresentare un numero x in macchina: x fl(x) x ϵ m, x IR, x Il valore di ϵ m per l elaboratore descritto è ϵ m = β m =.

6 Sistemi Lineari: Metodi Diretti (Metodo di Gauss) Esercizio : Sia assegnata la matrice A A = si chiede di: i) calcolare K (A), essendo K (A) il numero di condizionamento della matrice A in norma ; ii) si commenti il risultato ottenuto. Si ricorda che K (A) = A. A. i) Sia A =, A = 6 Dobbiamo calcolare la matrice A e la sua norma. Impostiamo i tre sistemi con i vettori dei termini noti uguali ai primi tre vettori canonici ed applichiamo il metodo di Gauss per risolvere i sistemi., Risolvendo i tre sistemi lineari determiniamo le colonne della matrice inversa: a = a + a, a =, a + a = a = a =, a + a + a = a = =, a + a + a = a = a =, a + a = a =, a + a + a = a = A = La norma della matrice inversa è quindi A =. Il numero di condizionamento in norma risulta essere. K (A) = A A = 6 = 8 Esercizio : Sia assegnata la matrice A A = / / / / / ;

7 si chiede di calcolare K (A), essendo K (A) il numero di condizionamento della matrice A in norma. Si ricorda che K (A) = A. A. Sia A = A = / / / / / Dobbiamo calcolare la matrice A e la sua norma. Impostiamo i tre sistemi con i vettori dei termini noti uguali ai primi tre vettori canonici ed applichiamo il metodo di Gauss per risolvere i sistemi. ; Risolvendo i tre sistemi lineari determiniamo le colonne della matrice inversa: A = La norma della matrice inversa è quindi A = 6. Il numero di condizionamento in norma risulta essere: K (A) = 6 = 8 Esercizio : Assegnati la matrice A ed un parametro reale α, con: α/ A =, si chiede di: i) stabilire per quali valori del parametro α è possibile fattorizzare la matrice A; ii) fattorizzarla per il valore di α = ; iii) calcolare il determinante di A con il valore di α = ; iv) calcolare K (A) con il valore di α =. i) Per il teorema di fattorizzazione, la matrice A è fattorizzabile se i determinanti dei minori principali di testa di una matrice A IR n IR n, A k con k =,,...n sono diversi da zero, ovvero, in questo caso deve essere 6

8 det(a ) = α ; det(a ) = α ; quindi deve essere α e α = ii) Poniamo α = Quindi, considerando che la matrice L è costituita dai moltiplicatori e cioè L = m m m abbiamo L = U = iii) det(a) = det(l) det(u) = i= u ii = iv) A =, K (A) = 6 = 8 Esercizio : Assegnati la matrice A ed un parametro reale α, con: α A = 6, si chiede di: i) stabilire per quali valori del parametro α è possibile fattorizzare la matrice A; ii) fattorizzarla per il valore di α = ; iii) calcolare il determinante di A con il valore di α = ; iv) calcolare K (A) con il valore di α =. i) Per il teorema di fattorizzazione tutti i minori principali di testa della matrice devono avere determinante diverso da zero fino all ordine, quindi i valori di α che consentono la fattorizzazione sonoα e 6α ; ovvero α e α, ii) Poniamo α = 6 L = U = 7

9 iii) Per il teorema di Binet e quindi det(a) = det(a) = det(l) det(u) = iv) Per il calcolo della matrice inversa e del numero di condizionamento si veda, ad esempio l esercizio n.. In questo caso abbiamo A = K (A) = = 9 Esercizio : Assegnata la matrice 6 i) se ne determini l inversa ed il determinante (utilizzando il metodo di Gauss con pivot se necessario); ii) si calcoli il numero di condizionamento in norma della matrice di cui sopra. Dobbiamo calcolare la matrice A e la sua norma. Impostiamo i tre sistemi con i vettori dei termini noti uguali ai primi tre vettori canonici ed applichiamo il metodo di Gauss per risolvere i sistemi con tecnica di pivot parziale al secondo passo. 6 A = i= u ii con il pivot parziale 6 6 Risolvendo i tre sistemi otteniamo le colonne della matrice inversa A =. Si ricorda che in presenza di pivot parziale/totale il determinante della matrice cambia segno per ogni scambio di righe/colonne effettuato. Quindi det(a) = ( ) = e K (A) = 8 = Esercizio 6: Assegnati la matrice A ed un parametro reale α, con: α 6 8

10 si chiede di: i) stabilire per quali valori del parametro α è possibile fattorizzare la matrice A; ii) fattorizzarla per il valore di α = ; iii) calcolare il determinante di A con il valore di α = ; iv) calcolare K (A) con il valore di α =. i) Per il teorema di fattorizzazione tutti i minori principali di testa della matrice devono avere determinante diverso da zero fino all ordine, quindi i valori di α che consentono la fattorizzazione sono α e 6α, ovvero α e α ii) Poniamo α = : 6 iii) Per il teorema di Binet U = e quindi det(a) = = L = det(a) = det(l) det(u) = i= u ii iv) Per il calcolo della matrice inversa e del numero di condizionamento si veda ad esempio esercizio n.. In questo caso abbiamo A = Esercizio 7: Assegnato il sistema lineare, K (A) = = 9 x x x = i) se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con la variante del pivoting totale ii) si calcoli il determinante della matrice dei coefficienti., Applichiamo il metodo di Gauss con pivot totale ed otteniamo: con il pivot totale 9

11 La soluzione del sistema è x =, x =, x = Ricordando uno scambio di riga al primo passo di Gauss abbiamo det(a) = ( ) ( ) = Esercizio 8: Assegnata la matrice A ed il vettore b A = b = i) fattorizzare la matrice A; ii) calcolare il determinante della matrice A; iii) risolvere il sistema Ax = b con il metodo di Gauss con pivot parziale. i) U =, L = ii) det(a) = = iii) x = con il pivot parziale Esercizio 9: Assegnato il sistema lineare x x x = se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con la variante del pivoting totale. Si calcoli quindi il determinante della matrice dei coefficienti. Applichiamo il metodo di Gauss con pivot totale ed otteniamo:, con il pivot totale

12 La soluzione del sistema è x =, x =, x =. Ricordando uno scambio di riga al primo passo di Gauss abbiamo det(a) = ( ) ( ) = Esercizio : Assegnata la matrice A se ne determini il numero di condizionamento K (A) = A A. con il metodo di Gauss. Si discuta il condizionamento ottenuto. Si calcoli l inversa Per la spiegazione si veda, ad esempio esercizio n.. A = A = A = K (A) = = 8 Esercizio : Assegnato il sistema lineare x x x = i) se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con la tecnica del pivoting parziale ii) si stabilisca se la matrice dei coefficienti è fattorizzabile e se ne determini quindi la fattorizzazione LR. i) Applichiamo il metodo di Gauss che serve per ottenere la fattorizzazione e la soluzione del sistema lineare. con il pivot parziale 8 con il pivot parziale 8 8

13 La soluzione è ii) Fattorizzazione: L = x =, x =, x =, U = Esercizio : Data la matrice A = se ne determini K (A). Applichiamo il metodo di Gauss. Per la spiegazione si veda,ad esempio esercizio n.. A = K (A) = = 9 Esercizio : Dato il sistema lineare x x x = se ne determini la soluzione utilizzando il metodo di Gauss con pivoting totale. Applichiamo il metodo di Gauss: con il pivot totale con il pivot totale con il pivot totale

14 La soluzione del sistema ottenuto con gli scambi del pivot totale è y =, y =, y =. Dovendo necessariamente riordinare le incognite, la soluzione del sistema iniziale è x = y, x = y, x = y x = (,, ) T. Esercizio : Assegnata la matrice A ed il vettore f k A =, f = si chiede di: 6 i) determinare i valori di k per cui la matrice non è fattorizzabile; ii) se per k = la matrice è fattorizzabile, fattorizzarla con il metodo di Gauss; iii) calcolare det(a); iv) calcolare la soluzione del sistema Ax = f. Per le spiegazioni si veda ad esempio esercizio n.6. i) Per 6 + k, ovvero k 6, è fattorizzabile. ii) k = L = iii) det(a) = 8 = 8. iv) Soluzione del sistema 8, U = 8 x = 9, x = 9, x = 9.

15 Sistemi lineari: Metodi Iterativi (Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel) Esercizio : Dato il sistema x + x x = x x + x = x + x + 6 x = i) si scriva la matrice di iterazione P GS del metodo di Gauss-Seidel e la condizione che assicura la convergenza delle iterate ii) si parli della scelta del vettore iniziale iii) sapendo che gli autovalori di P GS sono {,.7,.67} si chiede di stabilire se è possibile applicare il metodo di Gauss-Seidel iv) se la risposta alla domanda precedente è affermativa, eseguire due iterazioni del metodo. i) Sia A una matrice invertibile. Posto A = (a ij ) IR n n, a ii i, b = (b, b,..., b n ) T, il metodo di Gauss-Siedel è un procedimento iterativo che genera una successione di iterate { x (k)} che in caso di convergenza approssimano la soluzione del sistema lineare a partire da un vettore iniziale x () IR n scelto in modo arbitrario. Le iterazioni del metodo di Gauss-Seidel possono essere espresse in forma matriciale introducendo tre matrici L, D, U tali che A = L + D + U: a a a L = a a, D = a, a n a n... a n n a nn U =. a a a n a a n. a a n.... Si chiama matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel la matrice P GS = (L + D) U ed è facile verificare che, dato x () IR n, x (k+) = P GS x (k) + (L + D) b per k. Il metodo di Gauss-Seidel è convergente alla soluzione x del sistema lineare se e solo se ρ(p GS ) = max i n λ i(p GS ) < cioè il più grande autovalore in modulo di P GS è minore di. La convergenza del metodo non dipende dalla scelta del vettore iniziale.,

16 La matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel è in questo caso P GS = (L+D) U dove L =, D = 6, U = cioè P GS = 8 Il metodo di Gauss-Siedel è convergente se e solo se 6 = ρ(p GS ) = max i n λ i(p GS ) < e la convergenza non dipende dalla scelta del vettore iniziale. ii) Dato che ρ(p GS ) =.67, il metodo di Gauss-Seidel è convergente. iii) Prendiamo x = x () = + = x () = + = 8 x () = = Il secondo passo del metodo di Gauss-Seidel è il seguente x () = = 8 96 x () = x () = = 7 8 = 7, x () = x () = Esercizio : Dato il sistema x 6 x + x = x + 7 x + x = 8x x = i) si scriva la matrice di iterazione P J ii) si dica se il metodo di Jacobi è convergente iii) in caso di risposta affermativa relativamente al punto precedente eseguire due iterazioni del metodo di Jacobi. i) Sia A = (a ij ) IR n n una matrice invertibile, b = (b, b,..., b n ) T. Si chiama matrice di iterazione del metodo di Jacobi la matrice P J = D (L + U). Il metodo di Jacobi è convergente se e solo se ρ(p J ) = max i n λ i(p J ) <

17 cioè il più grande autovalore in modulo di P J è minore di. La convergenza del metodo non dipende dalla scelta del vettore iniziale. i) La matrice di iterazione del metodo di Jacobi è P J = 7 7 ii) e quindi il metodo è convergente ρ(p J ) = max i n λ i(p J ) =.7 < iii) Fissato in modo arbitrario il vettore iniziale x () IR, l iterata (k + )-esima è tale che x (k+) = P J x (k) + D b, k, ovvero x (k+) x (k+) x (k+) = b a x (k) a x (k) a = x (k+) dove x (k+) x (k+) = b a x (k) a x (k) a a x (k) Ponendo ad esempio x = Il secondo passo del metodo è : x () Esercizio : Dato il sistema x () = +6 = x () = + 7 = 7 x () = 8 = = = 7 7 x () = = 7 x () = 8 = x (k+) = b a x (k) a, x () = x + x 6 x = x + x + x = x + x + x =, x () = i) sapendo che gli autovalori della matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel sono {,.+.69 i,..69 i}, stabilire se il metodo di Gauss-Siedel è convergente ii) in caso di risposta affermativa relativamente al punto precedente eseguire un iterazione del metodo di Gauss-Seidel i) La matrice di iterazione è P GS = (L + D) U dove L = 6, D = , U = 6

18 Quindi P GS = 6 = Dato che ρ(p GS ) =.776, il metodo di Gauss-Seidel è convergente. x = ii) Dato che il vettore iniziale si può scegliere in modo arbitrario prendiamo, ad esempio, x () = +6 = x () = = = 9 x () =, x () = 7 9 7

19 Equazioni Non Lineari Esercizio : Assegnata l equazione f(x) =, con si chiede di: i) localizzare le radici dell equazione; f(x) = x + x 6 ii) determinare un intervallo che contiene la radice α = in cui sono verificate le condizioni di convergenza del metodo di Newton; iii) eseguire due passi del metodo di Newton nell intervallo di cui al punto ii). i) Per localizzare le radici bisogna trovare intervalli [a, b] tali che f(a)f(b) < valutando il segno della funzione. In questo caso due possibili intervalli possono essere [, ] e [, ]. ii) Nell intervallo [, ], con come estremo di Fourier, sono verificate le condizioni sufficienti per la convergenza di Newton, cioè f è derivabile due volte con continuità in un intervallo [a, b] e soddisfa le seguenti condizioni in [a, b]: il segno di f (x) è costante per x [a, b]; il segno di f (x) è costante per x [a, b]; l approssimazione iniziale x è tale che f(x )f (x ) > (estremo di Fourier) iii) Applicando la formula di Newton otteniamo: x = = 7 6 =.7, x =.67 Esercizio : Verificato che il valore π può essere calcolato valutando la radice dell equazione f(x) =, con f(x) = sin(x), compresa nell intervallo [,.], si chiede di: i) stabilire teoricamente se per calcolare la radice compresa nell intervallo [,.] dell equazione f(x) = suddetta può essere utilizzato il metodo di Newton; ii) in ogni caso, verificare sperimentalmente la risposta di cui al punto precedente, scegliendo come innesco il valore x =, eseguendo due passi del metodo ed ottenendo x e x. Si considerino cifre dopo il punto decimale; iii) stimare infine l errore che si commette calcolando x in un calcolatore che lavora in base β = con cifre per la mantissa e la caratteristica compresa tra e e che opera per troncamento. i) Dato che sin() =., sin(.) =.77, π =.6 e sin(π) =, possiamo concludere 8

20 che π è una radice contenuta nell intervallo [,.]. In questo intervallo non è verificata la condizione sufficiente di segno costante della derivata seconda (vedi esercizio n.). ii) Applicando la formula di Newton x k+ = x k f(x k) f (x k ) a partire da x = otteniamo x =., x =.6 iii) Indichiamo con x il floating di un numero x. In aritmetica finita scriviamo la formula di Newton nella forma seguente: x k+ = x k f( x k ) f ( x k ) Quindi operando con m = e troncamento otteniamo: ovvero e con un errore relativo x =...99 x =. +. x =. +. =. x x / x = Esercizio : Verificato che il valore π/ può essere calcolato valutandolo come la radice compresa nell intervallo [.,.8], dell equazione f(x) =, con f(x) = cos(x), si chiede di: i) stabilire teoricamente se per calcolare la radice compresa nell intervallo [.,.8] dell equazione f(x) = suddetta può essere utilizzato il metodo di Newton; ii) in ogni caso, verificare sperimentalmente la risposta di cui al punto precedente, scegliendo come innesco il valore x =., eseguendo due passi del metodo ed ottenendo x e x. Si considerino cifre dopo il punto decimale; iii) stimare infine l errore che si commette calcolando x in un calcolatore che lavora in base β = con cifre per la mantissa e la caratteristica compresa tra e e che opera per troncamento. i) Dato che cos(.) =.77, cos(.8) =.7, π/ =.78 e cos(pi/) =, possiamo concludere che π/ è una radice contenuto nell intervallo [.,.8]. In questo intervallo non è verificata la condizione sufficiente di segno costante della derivata seconda (vedi esercizio n.). ii) Applicando la formula di Newton x k+ = x k f(x k) f (x k ) 9

21 a partire da x =. otteniamo x =.79..., x = iii) Indichiamo con x il floating di un numero x. In aritmetica finita scriviamo la formula di Newton nella forma seguente: x k+ = x k f( x k ) f ( x k ). Quindi operando con m = e troncamento otteniamo: ovvero e con un errore relativo x = x = x =. +.7 =.7 x x / x = Esercizio : Sia assegnata l equazione f(x) =, con f(x) = x + x 6, i) determinare opportuni intervalli in cui il metodo di Newton converge alle radici di f(x) =, x = e x = ii) eseguire una iterazione del metodo per approssimare ciascuna delle radici. i)la forma della successione {x k }, x k IR, generata dal metodo di Newton applicato al problema f(x) = è: scelta l approssimazione iniziale x, x k+ = x k f(x k) f (x k ), f (x k ). ii) f(x) = x + x 6 f (x) = x +, x > f (x) = > sempre. Dal momento che f (x) = > l estremo di Fourier è il valore per cui la f(x) è positiva. Esercizio : Assegnata l equazione f(x) =, con si chiede di: i) localizzare le radici dell equazione; f(x) = x + x ii) determinare un intervallo che contiene la radice α = in cui sono verificate le condizioni di convergenza del metodo di Newton;

22 iii) eseguire due passi del metodo di Newton nell intervallo di cui al punto ii). i) Le radici possono essere localizzate negli intervalli [, ] e [, ]. ii) Nell intervallo [, ] sono verificate le condizioni sufficienti (si veda Esercizio ) per la convergenza del metodo di Newton ed il valore x = può essere preso come estremo di Fourier. Otteniamo quindi iii) Esercizio 6: Data la funzione x = 6 = 7 6 =.66 x =.6 f(x) = x x + i) si localizzi la radice negativa e si eseguano due iterazioni del metodo di bisezione; ii) stabilire quanti passi sono necessari per localizzare lo zero in un intervallo di ampiezza. i) Localizzare una radice negativa di f consiste nel determinare un intervallo [a, b] contenente α <. Osservando che f( ) > e f( ) <, possiamo concludere che una radice negativa appartiene all intervallo [, ]. Noto [a k, b k ], l iterazione k-esima del metodo di bisezione ha la forma: Calcola il punto medio x k di [a k, b k ]: x k = a k +b k ; Se f(a k ) f(x k ) <, poni [a k, b k ] = [a k, x k ]; Se f(a k ) f(x k ) >, poni [a k, b k ] = [x k, b k ]; Se f(a k ) f(x k ) =, allora α = x k. Poniamo [a, b ] = [, ]. Al primo passo abbiamo x =, f( ) > f( )f( ) <, [a, b ] = [, ] La seconda iterazione è la seguente x = 7, f( 7 ) < f( )f( 7 ) >, [a, b ] = [ 7, ] ii) Per determinare il numero k dei passi necessari per localizzare lo zero in un intervallo di ampiezza, poniamo b k a k. Quindi b k a k = b a k, k log b a = 9.96 Pertanto sono necessarie iterazioni.

23 Esercizio 7: Data la funzione f(x) = log(x) + x, si localizzi la radice e individui un punto x che soddisfa le condizioni sufficienti per la convergenza del metodo di Newton. Quindi si esegua una iterazione del metodo di Newton. Si noti che f() < e f() >. Allora una radice di f appartiene all intervallo [, ]. Le condizioni sufficienti per la convergenza del metodo di Newton possono essere applicate in questo caso perché: f C ([, ]), f (x) = x + >, x [, ] il segno di f (x) è costante per x [, ]; f (x) = x <, x [, ] il segno di f (x) è costante per x [, ]. Una approssimazione iniziale che assicura la convergenza della successione {x k } è Posto x =, si ha x = dato che f(x )f (x ) > x = x f(x ) f (x ) = log() Per calcolare la seconda iterata si pone x = x f(x ) f (x ) = x log(x ) + x x +.69 Esercizio 8: Data la funzione f(x) = e x e x, si localizzi la radice negativa e si eseguano due iterazioni del metodo di bisezione. Localizzare una radice negativa di f consiste nel determinare un intervallo [a, b] contenente α <. Osservando che f( ) < e f() >, possiamo concludere che una radice negativa appartiene all intervallo [, ]. Poniamo [a, b ] = [, ]. Al primo passo abbiamo x =, f( ) > f( )f( ) <, [a, b ] = [, ] La seconda iterazione è la seguente (vedi esercizio n.6) x =, f( ) > f( )f( ) <, [a, b ] = [, ]

24 Interpolazione e Approssimazione Esercizio : Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i=, con x =, x =, x = e f =, f =, f = si chiede di costruire: i) la retta che meglio approssima, nel senso dei minimi quadrati, i dati assegnati; ii) calcolare l errore dell approssimazione. i) Dati m punti {(x i, f i )} m i=, per determinare il polinomio P (x) = a +a x di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati si calcolano i coefficienti a, a in modo da minimizzare il quadrato della norma del vettore errore e cioè ponendo a zero il gradiente della funzione ottenendo il seguente sistema lineare: ) ( ) a ( m i= m i= x i m i= x i m i= x i a = ( m i= f ) i m i= x if i I coefficienti del polinomio di migliore approssimazione risolvono il sistema: { a a = a + 6a = 6 Otteniamo quindi ii) La norma del vettore errore è a =, a =, P (x) = x E = ( ) + ( ) + ( + ) = Il risultato è corretto dal momento che in questo caso la migliore approssimazione di primo grado coincide con il polinomio interpolante. Esercizio : Considerato il seguente insieme di dati (x i, f i ), i =,...,, x = (,,, ) e f = (,,, ), si costruisca la parabola di migliore approssimazione ai minimi quadrati risolvendo il sistema lineare con il metodo di Gauss. Si calcoli l errore nel punto x =. Dati m punti {(x i, f i )} m i=, per determinare il polinomio P (x) = a + a x + a x di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati si calcolano i coefficienti a, a, a in modo da minimizzare il quadrato della norma del vettore errore e cioè ponendo a zero il gradiente della funzione ed ottenendo il seguente sistema lineare: m i= m i= x i m i= x i m i= x i m i= x i m i= x i m i= x i m i= x i m i= x i In questo caso il sistema lineare da risolvere con il metodo di Gauss è 6 A = 6 8, b = a a a

25 Quindi abbiamo a =, a =, a = 7. La parabola di migliore approssimazione è L errore nel punto x = è P (x) = 7 + x + x. P () =. Esercizio : Assegnati i punti {(x i, f i )} i= con x = (,,,,, ) ed f = (,,,,, ) si determini: i) il polinomio interpolante nella forma di Newton; ii) il polinomio interpolante nella forma di Lagrange (è sufficiente impostarlo). i) Il polinomio interpolante nella forma di Newton è definito come segue: dove e N n (x) = A + A ω (x) + A ω (x) A n ω n (x), () A j = f[x,..., x j ], per j =,,..., n () ω j (x) = Π j i= (x x i), per j =,,..., n. () Quindi per il calcolo del polinomio interpolante nella forma di Newton si costruisce la tavola della differenze divise: x i f i = = 6 =

26 ottenendo P (x) = + (x + ) (x + )(x + ) + (x + )(x + )(x + ) (x + )(x + )(x + )x(x ) + (x + )(x + )(x + )x(x )(x ) ii) Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange è definito come segue: con l i (x) = n k=k i P (x) = l (x)f + l (x)f l n (x)f n x x k = (x x )(x x )(x x i )(x x i+ )(x x n ) x i x k (x i x )(x i x )(x i x i )(x i x i+ )(x i x n ), i =,..., n Nel caso particolare, dato che solo i valori f e f sono diversi da zero, basta calcolare le due basi l (x) = l (x) = (x + )(x + )(x )(x ) ( + )( + )( )( ) (x + )(x + )(x + )(x ) ( + )( + )( + )( ) iii). Esercizio : Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i=, con x =, x =, x =, x = e f =, f =, f =, f = si chiede di costruire: i) il polinomio p(x) che interpola le coppie di valori assegnati; ii) il polinomio p(x) che interpola oltre alle coppie di valori assegnati anche il punto (, ). i) Il polinomio interpolante n + punti {(xi, fi)} n i=, è il polinomio P (x) di grado al più n tale che P (x i ) = f i, i =,..., n. Il polinomio interpolante esiste ed è unico quando i nodi x i sono distinti. Tenendo in mente anche la domanda successiva conviene utilizzare la formulazione di Newton. Costruiamo quindi la tavola delle differenze divise considerando tutte le coppie di punti assegnati: x i f i + + = + + = = = + = = = + = + = 6

27 dove è stato aggiunto anche il punto (, ) con le relative differenze divise. P (x) = + (x + ) + (x )(x + ) ii) P (x) = P (x) + 6 (x )(x )(x + )(x + ) Esercizio : Considerato il seguente insieme di dati (x i, f i ), i =,...,, x = (,,, ) e f = (,,, ), si costruisca il polinomio interpolante tali dati. Si calcoli quindi l errore nel punto x =. Anche se non espressamente richiesto, conviene utilizzare la formulazione di Newton per calcolare il polinomio interpolante dal momento che successivamente viene anche richiesto di calcolare l errore in un punto. Scriviamo quindi la tavola della differenze divise: x i f i + = = = = 6 L espressione del polinomio interpolante risulta essere 6 + = P (x) = + (x + ) (x + )x(x ) = + x x Per dare una stima dell errore nel punto x =, punto diverso dai punti fondamentali dell interpolazione, possiamo utilizzare la formulazione di Newton. A tale scopo occorre approssimare il valore f( x). Ad esempio possiamo approssimarlo con il valore della retta passante per (x i, f(x i )), (x i+, f(x i+ )), dove x [x i, x i+ ]. L espressione di tale retta può essere determinata mediante la seguente tavola delle differenze divise: x i f i = ed ottenere l approssimazione f( x) = + ( x ) = + =. Aggiungiamo ora la coppia x =, f( x) = nella tavola delle differenze divise:. 6

28 x i f i + = = = = 6 = 6 + = 6 = + + = A questo punto siamo in grado di stimare l errore in x. Si ricorda che si tratta di una stima poichè il valore f( x) è stato approssimato. E n ( x) = f( x) P n ( x) = ( x x )( x x ) ( x x n )f[x, x,..., x n, x] = ( + )( )( )( ) = Esercizio 6: Assegnati i punti {(x i, f i )} i= con x = (,,,,, ) ed f = ( /,,,,, /) si determini: i) il polinomio interpolante nella forma di Newton; ii) il polinomio interpolante nella forma di Lagrange (è sufficiente impostarlo); i) Per il calcolo del polinomio interpolante nella forma di Newton si costruisce la tavola della differenze divise: x i f i 8 8 = 7

29 ottenando P (x) = + (x + ) (x + )(x + ) + (x + )(x + )(x + ) (x + )(x + )(x + )x + 8 (x + )(x + )(x + )x(x ) ii) Per il calcolo del polinomio interpolante nella forma Lagrange è sufficiente calcolare l (x) e l (x), dato che solo f e f sono diversi da zero. l (x) = l (x) = (x + )(x + )x(x )(x ) ( + )( + )( )( )( ) (x + )(x + )(x + )x(x ) ( + )( + )( + )( ) Esercizio 7: Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i=, con: si chiede di costruire: x =, x =, x =, x =, f =, f =, f =, f = 8, i) il polinomio P (x) che interpola le coppie di valori assegnati; ii) il polinomio P (x) che interpola le coppie di valori assegnati ed il punto (/, /8); iii) verificare la correttezza del polinomio interpolante. i)costruiamo la tabella delle differenze divise x i f i + + = = 8 8 = 7 P (x) = + (x + ) + (x + )x + (x + )x(x ) = x ii) Se si aggiunge il punto (/, /8) il risultato non cambia. Infatti i punti stanno tutti sulla cubica P (x) = x iii) Per verificare la correttezza del risultato dobbiamo controllare se sono verificate tutte le condizione di interpolazione, ovvero P (x i ) = f i, i =,,. Infatti abbiamo P ( ) = = f ; P () = = f ; P () = = f ; P () = 8 = f. Esercizio 8: Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i=, con: x = ; x = ; x = ; 8

30 e con: si chiede di: f = ; f = ; f = i) costruire la retta di migliore approssimazione ai minimi quadrati dei dati assegnati; ii) costruire il polinomio interpolante i dati assegnati. Per le spiegazioni dell approssimazione ai minimi quadrati si veda ad esempio esercizio n.. i) x i =, x i =, f i =, x i f i = Si tratta di risolvere il sistema La soluzione è [ [ ] [ a a ] [ a a ] = ] = [ [ a =, a = P (x) = x. ii) Si usa la formulazione di Newton per calcolare il polinomio interpolante. tavola delle differenze divise: x i f i 8 L espressione del polinomio interpolante risulta P (x) = + (x ) + (x )(x ) = x + x ] ] Costruiamo la Esercizio 9: Assegnato l insieme dei nodi (,,, ) si costruisca la spline di grado m = interpolante le coppie (, ), (, ), (, ), (, ). Si risolva il sistema lineare con il metodo di Gauss con pivoting parziale. L espressione di una funzione spline di primo grado con due nodi interni,,, è a + a x + a x + + a (x ) +. Per essere interpolante deve essere soluzione del sistema a = a = a + a + a = a + a + a + a = 9

31 Applichiamo Gauss: con il pivot parziale con il pivot parziale La soluzione del sistema è a =, a =, a =, a =. Quindi l espressione della spline è s(x) = + x x + + (x ) +. Esercizio : Considerato il seguente vettore di nodi y = (,,, ) si determini la spline di grado di nodi y interpolante nei nodi i valori f = (,,, ) risolvendo il sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss. La spline di primo grado con due nodi interni ha l espressione s(x) = a + a x + a (x + ) + + a (x + ) +. Imponendo le condizioni di interpolazione otteniamo il sistema lineare a a = a a = a a + a = a + a + a = che risolviamo usando il metodo di Gauss: La soluzione è a =, a =, a =, a =. e quindi l espressione della spline risulta essere s(x) = + x (x + ) + + (x + ) +. Esercizio : Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i= : {x i } i= = ( π,, π),

32 con f i = f(x i ), con f(x) = sin(x), si chiede di: i) stabilire se è possibile costruire la funzione spline s(x) di grado e nodi [ π,, π] che interpola le coppie di valori assegnati; ii) nel caso in cui la risposta alla domanda precedente sia affermativa, calcolare la spline s(x). i) L espressione di una funzione spline di primo grado e con come unico nodo interno è s(x) = a + a x + a (x) +. I parametri da determinare sono ed abbiamo condizioni date dall interpolazione. Quindi possiamo impostare il sistema: ii) La soluzione è la spline nulla. a πa = a = a + πa + πa = Esercizio : Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i= : con f i = f(x i ), con f(x) = cos(x), si chiede di: {x i } i= = ( π/,, π/), i) stabilire se è possibile costruire la funzione spline s(x) di grado e nodi [ π/,, π/] che interpola le coppie di valori assegnati; ii) nel caso in cui la risposta alla domanda precedente sia affermativa, calcolare la spline s(x). i) L espressione di una funzione spline di primo grado e con come unico nodo interno è s(x) = a + a x + a (x) +. I parametri da determinare sono ed abbiamo condizioni date dall interpolazione. Quindi possiamo impostare il sistema: ii) La soluzione è la spline a π a = a = a + π a + π a = s(x) = + π x + π x +. Esercizio : Assegnate le coppie di valori {x i, f i } i= : {x i } i= = (,, ),

33 con si chiede di: {f i } i= = (,, ), i) stabilire se è possibile costruire la funzione spline s(x) di grado e nodi [,, ] che interpola le coppie di valori assegnati; ii) nel caso in cui la risposta alla domanda precedente sia affermativa, calcolare la spline s(x); ii) verificare le proprietà della spline interpolante. i) L espressione di una funzione spline di primo grado e con come unico nodo interno è s(x) = a + a x + a (x) +. I parametri da determinare sono ed abbiamo condizioni date dall interpolazione. Quindi possiamo impostare il sistema: ii) La soluzione è a a = a = a + a + a = s(x) = + x (x) +. iii) Per verificare le proprietà della spline dobbiamo controllare se è interpolante e se nel nodo interno è continua. Per l interpolazione Per la continuità dobbiamo verificare che s( ) = ; s() = ; s() = s() = s() + =. Infatti, rispetto al nodo, abbiamo s(x) = + x che calcolata in è uguale a e s(x) + = + x (x) che calcolata in è ancora uguale. Esercizio : Considerato il seguente vettore di nodi y = (,, ) i) calcolare, se possibile, la spline di grado di nodi y interpolante in x = (,,, ) i valori f = (,,, ); ii) verificare le proprietà della spline interpolante. i)la funzione spline di secondo grado con un nodo interno ha l espressione s(x) = a + a x + a x + a x +. Imponendo le condizioni di interpolazione otteniamo il sistema lineare a a + a = a a + a = a = a + a + a + a =

34 La soluzione del sistema è L espressione della spline risulta essere a =, a = 7, a =, a = 6. s(x) = 7 x x + 6(x ) +. ii) Per verificare le proprietà della spline dobbiamo controllare se è interpolante e se nel nodo interno è continua fino alla derivata prima (la spline è di secondo grado). Per l interpolazione abbiamo s( ) = ; s( ) = ; s() = ; s() = quindi s(x) è interpolante. Per la continuità dobbiamo verificare che s() = s() + = e Infatti, rispetto al nodo, abbiamo s() = s() + = s(x) = 7 x x che calcolata in è uguale a e s(x) + = 7 x x + 6(x ) che calcolata in è ancora uguale. Inoltre s (x) = 7 x che calcolata in è uguale a 7 e s (x) + = 7 + 9x che calcolata in è ancora uguale a 7.

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